1. 서    론

이 연구는 초고층 건물의 철근콘크리트 기둥 단면을 최적화하기 위한 알고리즘을 개발하고 이를 실제 프로젝트에 적용하는 과정에서 검증, 보완한 실용화 연구이다. 최적설계변수는 콘크리트 강도와 단면형상으로 구조엔지니어에 의해 수행된 1차적인 구조설계 결과를 바탕으로 상기 설계변수들을 순수하게 수치적 관점에서 전산최적화한 실례를 소개, 제시하는 것이 이 논문의 목적이다.

이 논문에서 다루는 기법은 기본적인 구조설계가 이미 완료된 상태, 즉 콘크리트 강도, 부재 단면형상이 1차적으로 결정된 상태를 가정하고 이후 이루어지는 VE 단계에서의 기둥 단면형상 최적화만을 대상으로 한다. 즉 이는 기타 구조적 제한조건들이 모두 고정된 상태에서 부재 중량을 최소화하는 순수한 수학적 관점 하에서 수행되는 최적화 기법이다.

한편 일반적인 구조체 반응을 해석하는 컴퓨터 프로그램은 현재 이미 여러 강력한 소프트웨어들이 상용화된 단계이나 VE 관점에서 경제적 구조설계를 수행하는 컴퓨터 프로그램은 아직 없다. 구조체 최적설계는 아직 세계적으로도 알고리즘 제안 단계에 있으며, 소수의 최적구조설계 용역을 수행하는 세계선도 기업들에서도 내부(in-house) 프로그램을 개발하거나 기존 상용 프로그램의 스크립팅, API 등을 활용하여 자체적인 기법을 개발, 적용해나가고 있는 실정이다.

이 연구에서 제안하는 최적설계기법은 실제 초고층 프로젝트의 특정 구조부재에 대한 최적설계를 위해 집중 개발된 것이므로 구조적 관점에서 매우 한정된 최적화만을 수행한다. 그러나 반대로 실제 프로젝트에 적용해 성공적인 VE 성과를 도출했으므로 이론적 제안에 그치지 않는 현업 적용에 의의가 있다. 또한 한정적 설계변수의 수치적 최적화에 집중하였으므로 미시적 최적설계라는 한계를 가지나 역으로 실제 제약조건을 반영, 특정 구조부재의 강도 높은 상향식(bottom-up 개발) 프로세스를 정립함으로써 이후 실제 프로젝트에 발전적인 적용과 개발이 가능하다는 의의를 가진다.

이 연구에서 활용한 최적전산설계 도구는 연구진이 개발한 파라메트릭 구조설계 자동화 소프트웨어 StrAuto이다. StrAuto는 구조해석모델의 완전한 파라메트릭 모델링 기능을 지원하는 컴포넌트들과 SAP2000, ETABS 등의 상용 구조해석 솔버들과 연동하여 이들을 컨트롤하는 컴포넌트들로 구성된다. 파라메트릭 모델링 컴포넌트에 의해 구조체 형상, 부재 단면형상, 치수를 매개변수(parameter)로 수많은 해석모델 대안을 자동생성하는 것이 가능하다. 이를 솔버 컨트롤 컴포넌트에 의해 외부의 구조해석 패키지와 연동하여 자동화된 구조해석을 수행하고 그 결과를 실시간 추출함으로써 유전자 알고리즘, 시뮬레이티드 어닐링(simulated annealing) 알고리즘에 기반한 자동 최적화를 수행한다.

이와 같은 전산최적설계는 해석모델의 크기와 설계변수의 조합에 따라 소요 시간이 기하급수적으로 증가할 수 있다. 한편 실제 프로젝트에서는 설계변수에 대한 여러 구속조건들이 주어지므로 이를 목적함수에 대한 제약조건으로 설정하고 알고리즘을 설계함으로써 최적설계의 효율을 높일 수 있다. 이에 이 연구에서는 한정적 범위 내에서 기둥의 단면형상 및 콘크리트 강도 최적화를 실시하는 최적설계 방법론을 제안하고 이를 수행하는 StrAuto 컴포넌트를 추가 개발하였다.

2. 최적설계 컴포넌트 및 프로세스 개발

2.1 최적설계 관련 기술동향 분석

콘크리트골조의 최적설계와 관련한 기존의 방법론에서는 일반적으로 목적함수의 제약조건 설정 시 구조설계에서 고려되는 모든 변수들을 포괄적으로 반영하는 연역적 방식을 차용한다.^4-8) 일반적으로 표준적인 목적함수는 구조물의 중량, 부피, 비용의 산정식으로 이를 최소화하는 것이 목표이며 제약조건은 구조물 각 층의 층간변위율이 된다. 최적설계 대상은 단순 콘크리트골조로 이루어진 샘플 해석모델을 상정하고, 설계영역에 대한 탐색을 적정 수준으로 제한하기 위해 부재 단면의 형상 및 크기를 적정 범위 내에서 제한하고 부재력에 근거해 부재를 그루핑한다. 그리고 층간변위를 제어하는 제어식을 목적함수에 대입함으로써 최종적인 최적설계함수식을 유도한다.

한편 StrAuto를 활용한 최적설계는 층간변위 제어식을 정밀하게 설계하고 이로부터 최적설계함수를 유도하는 표준적인 최적설계와 근본적으로 다른 접근방식에서 출발한다.^1,2) StrAuto의 핵심 기술은 파라메트릭 기법에 의해 물리적 형상을 실시간 변경 가능한 해석모델과 SAP2000, Etabs 등의 상용 구조해석솔버를 연동시키는 API에 있다. StrAuto의 최적설계 컴포넌트는 구조체 형상을 제어하는 파라미터들을 관리하면서 해석모델을 생성, 변환해 외부의 구조해석 솔버로 보내고 그 해석 결과를 실시간 피드백 받아 평가한다. 그리고 평가된 해석 결과가 특정 목표치에 도달할 때까지 새로운 파라미터 조합을 생성함으로써 해석모델을 진화시킨다. 이로써 StrAuto의 해석모델은 동적이고 진화 가능한 특성을 가진다.

따라서 StrAuto에 의한 최적설계는 근본적으로 수많은 대안들을 시행착오 방식으로 평가하고 그 평가 결과에 근거해 형상들을 스스로 진화시킴으로써 형상 최적안을 도출하는 방식이다. 즉 해석모델의 생성에만 수 시간 또는 수 일이 소요되던 물리적 제약에서 벗어나 수많은 형상 대안을 테스트하고 나아가 이를 진화적으로 수정해가는 것이 가능해진 것이다.

한편 StrAuto는 외부의 상용 해석솔버를 통해 모델을 해석하므로 건물 규모에 따라 단위모델의 해석에도 절대적으로 소요되는 일정 시간이 있다. 이로 인해 설계변수가 증가할 경우 최적화 시간이 기하급수적으로 증가할 수 있다. 또한 VE 설계 실무에서는 최적설계의 제약조건이 일반적으로 매우 한정돼 있으므로 이 연구에서는 최적설계를 축소적으로 적용하는 방법을 착안하기에 이르렀다. 실제 최근 실무에서는 고층 건물의 최적설계 시 골조를 축소해석하는 다양한 방법들이 제안되고 있다.³⁾

2.2 최적설계 프로세스 제안

이 연구에서는 1차 구조설계가 완료된 초고층 건물의 기둥 중량을 최소화하는 한정된 최적설계만을 목표로 했으므로 이를 위해 다음과 같은 방법론을 고안하였다. 순수한 수학적 관점 하에서 반복 해석에 의해 기둥 단면을 전산 최적화할 경우 수직 부재의 특성 상 단면이 과도하게 축소되는 경향이 있다. 따라서 최적설계함수의 제약조건이 되는 부재력은 1차 구조설계 모델로부터 산출한 값을 기준으로 한다. 기둥 단면크기 및 콘크리트 강도는 1차 구조설계 결과로 산출된 값 이하를 정의구간으로 설정한다. 이로부터 단면 정의구간 내에서 산출된 부재력을 만족하는 최소 단면크기를 산출하는 StrAuto 컴포넌트를 개발하였다.

콘크리트 강도는 1차 구조설계에 근거, 5가지 등급으로 한정하고 이 각각의 등급에 대해 건물 전 층에 한 가지 등급만을 적용한 상태에서 각 층에서 해당 부재력을 만족하는 최소 단면크기를 개발된 StrAuto 컴포넌트를 이용해 산출한다. 이후의 최적설계는 StrAuto에 의한 전산최적 결과에 근거해 설계자의 경험적 판단이 개입되는 과정이다. 즉 5가지 강도 등급에 대해 각 강도가 건물 전 층에 동일하게 적용된 상태에서 각 층에서 필요한 부재력을 만족시키는 최소 기둥 단면을 산출했으므로 총 다섯 가지 결과표를 얻게 된다. 이 다섯 가지 결과표를 설계자가 비교 분석해 강도가 바뀌는 경계층에서 해당 강도들에 대한 최적 단면형상이 동일하거나 가장 유사한 것을 선택함으로써 동일 층을 경계로 강도와 단면이 동시에 변경되는 것을 막는다. 이때 시공 효율 상 동일 단면이 최소 3개 층 이상에서 유지되도록 한다. 이와 같은 비교 분석 과정은 테스트할 콘크리트 강도 수가 늘어날 경우 전산화가 가능할 것으로 판단되는데 이 연구에서는 수동으로 충분히 조정 가능하였으므로 이와 관련한 컴포넌트는 후속 개발 예정이다.

마지막으로 최종 결정된 기둥의 단면형상과 강도를 해석모델에 반영하고 최상층 횡변위가 H/500 기준을 만족하는지 확인한다. 이와 같은 프로세스에 근거, 실제 프로젝트에 적용한 상세 프로세스는 2.5절에서 기술하였다.

2.3 파라메트릭 모델링 컴포넌트

StrAuto는 3차원 자유형상 모델러로 널리 사용되고 있는 Rhino3D의 파라메트릭 디자인 도구인 Grasshopper를 기반으로 개발되었다. 파라메트릭 디자인은 매개변수들을 사용하여 함수 또는 논리적 관계를 정의하고 이에 의해 설계를 제어하는 동적이고 규칙에 기반한(rule-based) 설계방식이다. 즉 고정된 좌표 또는 수치가 아닌 변수를 매개로 설계의 규칙과 논리 관계를 정의하므로 이러한 특정 규칙 하에 기하학적으로는 유연한 수많은 형상 대안들을 생성하는 것이 가능하다.

StrAuto는 파라메트릭 기법에 의해 구조부재의 단면정보를 관리하고 형상을 만들어내며 이를 구조해석 솔버와 연계 가능한 정보로 가공해낸다. 이러한 원리에 의해 특정 구속조건을 만족시키는 수많은 형상대안을 만들어내는 것이 가능한데 특히 구조부재의 단면속성 및 형상을 변수로 설정하면 세밀한 속성 및 형상 변화에 따른 수많은 대안을 비교 평가하고 최적안을 도출하는 것이 가능하다.

2.4 전산최적설계 컴포넌트 개발

이 프로젝트는 1차 구조설계가 이미 완료된 VE 단계에서 제한적 수준의 기둥 최적설계만을 목표로 한 것으로 단면형상, 콘크리트 강도, 철근비 등의 설계변수들이 구조설계 원안에서 산출한 값들로부터 과도하게 벗어나지 않을 것을 요구하였다. 따라서 외부의 해석 솔버로부터 원 해석모델에서 산출한 하중값을 받아오고 이를 기준으로 최소 비용을 만족하는 단면형상을 찾는 StrAuto 컴포넌트를 새로 개발하게 되었다. 컴포넌트를 위해 고안한 최적설계 함수는 다음과 같다.

여기서, 는 단면적 , 콘크리트 강도 , 철근비 를 독립변수로 산출되는 기둥의 부재력, 는 구조 엔지니어가 콘크리트 강도를 사전 가정하고 단면형상은 원안을 적용한 해석모델로부터 산출한 해당 기둥에 작용하는 하중의 합력이다. 단면형상을 정의하는 적정 구간을 사전 제약조건으로 설정하고 이로부터 식 (1)을 만족하는 최소 단면적을 산출하는 것이 새로 개발한 최적설계 컴포넌트의 핵심이다.

이때 단면적 는 최적설계 컴포넌트의 최종 목표값, 즉 종속변수가 되고 콘크리트 강도 는 구조 엔지니어가 사전 가정한 특정값, 철근비 는 사전 설정한 적정 구간 내에서 정의되는 값이다.

한편 콘크리트 강도는 프로젝트가 목표로 하는 최적설계 대상이나 이 최적설계 함수에서는 독립변수가 되고 이후 프로세스에서 전산최적설계 결과에 근거해 적정 구간 내에서 최종 조정한다. 목표함수의 기준값 는 엔지니어가 사전 설정한 강도값과 원안의 단면형상을 적용한 해석모델로부터 산출한 해당 기둥의 하중 합력이므로 구조설계 원안에 의한 단면형상과 이를 반영하여 산출한 부재 응력 또한 최적설계함수의 구속조건이 되게 된다. 최적설계 알고리즘에 사전 구속조건으로 작용하는 이상의 요소들을 정리하면 Table 1과 같다.

수직력을 담당하는 기둥의 특성 상 적정 수준의 제약조건을 설정하지 않으면 단면 최적설계가 과도하게 이루어지는 경향이 있다. 이 프로젝트에서는 상기의 구속조건들이 초기부터 주어짐으로써 이를 피하고 최적설계의 효율을 높여 이에 소요되는 시간을 획기적으로 단축할 수 있었다.

한편 초고층 구조설계는 통상 최상층의 횡변위 제어에 의해 이루어지는데 이 프로젝트에서는 횡변위를 최적설계 구속조건으로 활용하지 않았다. 이 프로젝트는 이미 1차 구조설계가 완료된 시점에서 이를 사전 구속조건으로 활용하고 있는데 원안에 의한 최상층의 최대 횡변위를 검토한 결과 충분히 여유가 있는 것으로 판단되었다. 따라서 이상의 구속조건들에 따라 최적설계를 완료한 이후 최종 단계에서 최상층 횡변위가 H/500을 만족시키는지 여부만 확인하였다.

이상의 알고리즘에 의한 전산최적설계가 이 프로젝트를 위해 고안한 전체 최적설계 프로세스의 핵심을 이루며 그 상세과정은 다음과 같다.

2.5 최적설계 프로세스 상세

이 프로젝트의 궁극적 목표는 기둥 단면적을 최소화하고 콘크리트 강도를 낮춤으로써 부재 물량·비용을 절감하고 임대면적을 최대화하는 것이었다. 이를 위해 예비 최적설계 등의 사전 테스트를 거쳐 최종적으로 정립한 상세 프로세스는 다음과 같다.

1)원안의 구조해석 결과로부터 최적설계를 위한 안전 여유도를 파악한다.

2)유사한 거동을 보이는 기둥들을 평면 상 그룹으로 묶는다. 이후 수행되는 전산최적설계는 기둥 그룹을 기준으로 한다.

3)안전 범위 내에서 가능한 단면형상 대안들을 각 기둥 그룹별로 생성한다.

4)원 구조설계에 의한 콘크리트 강도 수직조닝, 아웃리거 위치 등을 기준으로 구조 엔지니어의 판단에 의해 콘크리트 강도를 사전 가정한다.

5)사전 가정한 콘크리트 강도를 기준으로 단면형상에 대한 전산최적설계를 수행한다. 이로부터 사전 설정한 콘크리트 강도를 적용할 경우 요구되는 응력을 만족하는 각 층에서의 최소 단면을 구한다.

6)사전 가정에서 적용한 모든 콘크리트 강도에 대해 각 강도를 건물 전 층에 동일하게 적용한 상태에서 단면형상에 대한 전산최적설계를 수행한다. 이로부터 각 강도를 전 층에 동일하게 적용할 경우 이로부터 응력을 만족하는 각 층에서의 최소 단면을 구한다.

7)콘크리트 강도를 변수로 수행한 단면형상 최적설계 결과로부터 다음 기준에 따라 단면형상을 최종 선택한다.

(1)최하부층의 가장 높은 콘크리트 강도에 대한 최적 단면형상에서부터 시작하여 상부 방향으로 최적 단면형상을 선택해나간다.

(2)한 가지 단면형상은 시공 효율 상 최소 3개 층 이상 범위에 적용되도록 한다.

(3)건물 전 층에 동일 콘크리트 강도를 적용해 얻은 최적 단면형상 결과들을 서로 비교 검토해 강도가 바뀌는 경계층에서는 해당 강도들에 대한 최적 단면형상이 가장 유사한 것을 선택하도록 한다.

8)기둥 그룹별로 도출한 최적설계 결과를 그룹 간 비교 검토하여 다음 기준에 따라 단면형상 및 콘크리트 강도를 조정, 최종 결정한다.

(1) 원안의 수직조닝과 사전 설정한 콘크리트 강도에 의한 수직조닝을 참고하여 유사한 수직조닝이 이루어지도록 한다.

(2) 단면형상을 재조정하여 모든 기둥 그룹이 콘크리트 강도에 대해 동일한 수직 조닝을 이루도록 한다.

9)최종 결정된 기둥의 단면형상과 강도를 해석모델에 반영하고 최상층 횡변위가 H/500 기준을 만족하는지 확인한다.

이상의 프로세스를 대상 프로젝트에 반영한 결과와 단면 최적설계로 인해 얻은 비용절감 효과는 다음과 같다.

3. 최적설계 수행

3.1 건물 개요 및 설계기준

대상 건물은 철근콘크리트 구조의 62층 초고층 타워이다. 이미 1차 구조설계가 완료된 상태에서 VE 최적설계를 통해 비용 절감을 이루는 것이 이 프로젝트 용역의 최종 목적이었다. 해석을 위한 하중조합 및 철근콘크리트 강도는 Table 2, 3의 기준을 따랐다.

3.2 설계변수 설정

대상 건물의 기둥은 x축 방향으로 7.7m/11.94m, y축 방향으로 9.1m 간격으로 배치되어 있다. 원 구조설계안에서는 평면 상 각각 다른 단면형상을 적용한 세 가지 기둥 그룹이 존재했다. 최적설계를 위해 기둥의 실제 거동에 따라 이를 Fig. 1과 같이 다섯 개 그룹으로 세분하였다. 이는 1차 구조설계안의 해석 결과에 근거했으며, 서로 다른 거동을 보이는 기둥들을 보다 세분한 결과이다. C1과 C4, C2와 C5는 구조설계 원안에서 각각 같은 단면 그룹을 형성하고 있었는데 C1과 C2 그룹은 건물 코너에 위치, C4, C5와 확연히 다른 거동을 보였으므로 최적설계를 위해 기존 그룹으로부터 각각 분리하였다.

그 다음 다섯 개 기둥 그룹에 대해 각각 단면형상 대안 그룹을 생성하였다. 이 프로젝트에서는 모두 사각 기둥을 사용하였으므로 단면형상의 정의구간은 원 구조설계안에 준하여 건축계획이 허용하는 한의 범위까지 단면의 가로, 세로 길이를 100mm씩 변경함으로써 설정하였다.

3.3 콘크리트 강도 최적설계

원안에서는 B80, B70, B60의 세 가지 콘크리트 강도를 적용하였으나 부재 물량비용의 절감을 위해 B40 강도를 새롭게 도입할 것이 요구되었다. 따라서 B80, B70, B60, B40의 총 네 가지 강도에 대해 각 강도를 건물 전 층에 적용하고 단면형상 최적화를 실시하였다(2.5절 f 단계). 이 결과에 근거해 2.5절의 g, h 단계를 수행하게 되는데 여기서는 다음의 원칙에 의해 단면형상 선택을 조정함으로써 콘크리트 강도 구간을 결정하였다.

1)저층부에서는 원안의 콘크리트 강도 구간과 동일한 조닝이 이루어질 수 있도록 단면형상을 조정 선택한다.

2)상층부에서는 새롭게 도입되는 B40 강도를 적용할 최적 구간을 설정하기 위해 각 기둥 그룹별로 도출된 단면형상 최적화 결과를 서로 비교 검토하고 모든 기둥 그룹에 걸쳐 강도 변경이 가장 합리적으로 이루어지는 최적층을 선택한다.

원안에 의한 콘크리트 강도와 모든 최적설계 완료 후 최종 결정된 콘크리트 강도는 Table 4와 같다. 최적설계안은 저층부에서는 원안과 동일하고 상층부에서는 B40 강도를 적용하기 위한 52층부터 지붕층까지의 구간이 새롭게 도입되었다.

3.4 단면형상 최적설계

기둥의 단면형상 및 콘크리트 강도 선택은 다음 과정과 같이 이루어진다. Fig. 3은 부재 수가 가장 많은 기둥 그룹 C3 사례로 콘크리트 등급 B40부터 B80까지의 강도가 각각 건물 전 층에 동일하게 적용한 상태에서 StrAuto 최적설계 컴포넌트에 의해 각 층에서 해당 강도의 콘크리트에 대해 필요한 부재력을 만족시키는 최소 기둥 단면이 산출된 결과표이다. 각 강도에 대해 각 층별로 산출된 최소 단면형상 결과를 바탕으로(Fig. 3 내 3-7열) 원안에 근거한 강도 조닝을 가정했을 경우 각 강도 구간 내에서 최소가 되는 단면형상을 선택한다(Fig. 3 내 2열). 이에 근거하여 다시 2.5절의 g 단계에서 서술한 상세 기준에 따라 최소 단면형상을 최종 조정한다(Fig. 3 내 1열). 이와 같은 과정을 전 기둥 그룹에 대해 반복하고 각 기둥 그룹에서의 최소 단면형상 결과표들을 다시 비교 검토하여 최종적으로 모든 기둥 그룹에 대해 동일한 층에서 합리적인 강도 조닝이 이루어질 수 있도록 단면형상을 조정, 최종 선택한다.

이상의 과정에 따라 도출한 모든 기둥 그룹에 대한 단면형상 최적설계 결과는 Fig. 4와 같다. 반투명 박스로 표기한 단면들은 원안의 단면크기를 초과하지 않기 위해서는 철근비를 늘려야하고 불투명 붉은색 박스로 표기한 단면은 적정 철근비를 초과하지 않으려면 원안보다 단면크기를 키워야함을 의미한다. 단면크기를 더 늘리지 않고 이와 같은 최종 조정한 이유는 원안의 단면형상을 기준으로 가능한 한 최소 비용을 만족하면서도 콘크리트 강도 조닝이 모든 기둥 그룹에 대해 동일하도록 하는 것을 목표로 했기 때문이다.

Fig. 3은 단면형상 최적설계의 최종 결과이다. 원안에서는 각 기둥 그룹별로 세 가지 단면형상만 적용하고 있는데 최적설계안에서는 적용된 단면형상이 매우 세분화되었다. 붉은색 배경의 셀을 제외하고 대부분의 단면크기가 원안보다 축소된 것을 확인할 수 있다.

3.5 최상층 횡변위 검토

이상의 과정에 의해 최적설계한 기둥의 단면형상과 콘크리트 강도를 해석모델에 반영하고 최상층 횡변위가 H/500 기준을 만족하는지 확인한 결과는 Table 5와 같다. 원안의 최대 횡변위가 충분히 여유 있는 수준이었으므로 최적설계안의 최대 횡변위는 x축 방향이 H/660, y축 방향이 H/1200으로 허용 범위 내에 있었다.

3.6 비용 평가

단면 최적설계에 의한 비용 절감 효과를 분석하기 위해 최적화된 부재의 부피 및 중량을 계산하고 이를 실제 비용으로 환산한 결과는 Table 6과 같다. 비용은 이 프로젝트의 발주처에서 제공한 각 콘크리트 강도별 단가를 해당 강도가 적용된 콘크리트 총 부피에 곱해 산출하였다. 최적화 결과 부재 부피 및 중량은 원안의 88.73% 수준으로 감소하였으며 비용은 원안의 87.19%로 약 13%의 비용 절감 효과를 달성하였다.

이는 최적설계한 기둥의 콘크리트 부재만 반영한 결과이며 철근은 제외하였다. 그러나 이로 인한 영향은 크지 않을 것으로 판단된다. 비용은 산출된 콘크리트 부피에 콘크리트 강도별 공사 가격을 곱해 산정하였다.

4. 결    론

이 연구에서는 현업 적용을 목표로 초고층 건물의 철근콘크리트 기둥 단면을 최적화하는 전산최적설계 컴포넌트를 개발하고 이를 적용한 최적설계 프로세스를 제시하였다. 이 연구의 결과를 요약하면 다음과 같다.

1)기둥 단면형상의 최적화를 위해 개발한 컴포넌트는 단면형상을 정의하는 적정 구간을 제약조건으로 설정하고 사전 구조설계로부터 계산된 부재 응력을 만족하는 최소 단면적을 산출한다.

2)이를 활용한 최적설계 프로세스의 핵심은 다음과 같다.

(1)부재 응력에 따라 기둥 그룹을 나누고 그룹별로 사전 가정한 모든 콘크리트 강도 종류에 대해 각각의 강도를 전 층에 동일하게 적용한 상태에서 각 층에서의 최소 단면을 구한다.

(2)각 강도에 대한 최적 단면형상 결과들을 서로 비교 검토해 두 가지 강도에 대한 최적 단면형상이 동일층에서 가장 유사하게 바뀌는 곳을 강도가 바뀌는 경계층으로 설정한다.

(3)단면형상을 재조정하여 모든 기둥 그룹이 콘크리트 강도에 대해 동일한 수직조닝을 이루도록 한다.

3)이 기법의 제약조건 설정 부분을 구조적 관점에서 보강하고 최소 단면형상을 조정·선택하는 부분을 보다 체계적이고 완전한 전산 알고리즘으로 발전시킨다면 이는 실용적 관점에서 매우 유용한 도구가 될 것이다.