1. 서    론

최근에 건축물의 내진 설계에서 있어서 지진에 대한 건물의 성능을 명시하는 성능 기반 내진설계가 주목을 받고 있다. 성능 기반 내진설계는 미리 설정한 내진 성능 목표를 만족할 수 있도록 규정하고 있다. 특히, 지진 후의 건물의 사용성이나 복원성이 설계상의 명확한 목표로써 인식되고, 연구가 수행되고 있다.¹⁾ 이를 정확하게 파악하기 위해서는, 건물을 구성하는 재료 레벨에 있어서의 검토가 불가피하지만, 실무적인 관점에서 보면 보다 단순하고 취급하기 쉬운 지표가 필요하고, 지진 후에 건물이나 부재에 잔류하는 변형량을 지표로 사용하는 것이 가장 유용하다고 사료된다.

프리스트레스트 콘크리트(PSC) 건물은 철근콘크리트(RC) 건물보다 원점 지향성이 강한 거동, 즉 잔류 변형량이 작은 이력을 나타내는 것이 잘 알려져 있다.^2-4) 이 특성을 유효하게 이용하는 것으로써, 다른 콘크리트 구조물에 비해 고성능인 건물 내진 설계의 구축이 가능이라고 생각되지만, PC부재의 이력 형상은 부재에 배치되는 PC강재량, 보통 철근량, PC강재 배치 위치, 강재-콘크리트간의 부착 강도 등 다양한 조건에 의해 크게 변동한다. 이에 이 논문은, PSC 보부재를 대상으로 분할 요소 해석법에 의해 휨해석을 실시하고, 기존의 실험 결과와 비교하여 PSC 보부재의 잔류 변형 산정 방법에 대하여 고찰하고자 한다.

2. 잔류 변형 산정 방법

2.1 기본 방침

콘크리트 부재의 하중-변형(부재 변형각) 관계를 해석적으로 추정하는 대표적인 방법으로서 단면 해석에 등가 소성 경첩 길이의 가정을 조합하는 ‘등가 소성 힌지 길이법’이 있다.⁵⁾ 이 방법은, 단면 레벨에 있어서의 힘의 균형 조건을 기본으로, 단면에 발생하는 하중과 단면 곡률의 관계를 요구해 더욱 그 곡률이, 가정하는 소성 영역의 범위(등가 소성 힌지 길이)에 동일하게 분포한다고 보고 부재 변형각(=단면 곡률×등가 소성 힌지 길이)을 계산하는 방법이다. 이 방법은 그 원리가 이론적으로 명쾌하고, 곡률의 크기에 미치는 각종 요인의 영향의 정성적인 경향 및 정량적인 파악이 비교적 용이하게 할 수 있는 이점을 가지고 있다. 한편, 실제의 콘크리트 부재의 변형 성질과 상태는 인장 측에 발생하는 균열에 크게 지배되지만, 이 방법에서는 부재의 변형을 연속체로서 파악해 한편 등가 소성 힌지의 가정을 이용하는 것으로부터, 그 산정의 정밀도는 반드시 높지 않다.⁶⁾

또한 PSC 보부재를 대상으로 하는 경우, PC강재와 콘크리트의 부착의 영향 즉, 부착-미끄러짐 관계 등에 의해 직접 평가해 고려할 수가 없는 문제를 가진다. 이것에 대해, 부재 전체를 요소 분할해, 재축방향의 힘의 균형, 및 변형의 적합 조건을 채우는 것을 조건으로 해석을 실시하는 ‘분할 요소 해석법’이 있다.⁷⁾ 이 방법은 부재 전체를 평가해, PC강재-콘크리트간의 부착을 양자 사이의 부착-미끄러짐 관계에 근거해 해석 가능하다. 그 한편, 해석 수법이 복잡하고 부재에 관한 각종 요인이 작용하여 그 결과에 대해 인과관계를 물리적으로 설명하는 것은 상당히 곤란하다.^8,9)

이와 같이, 두 해석법은 각각 장점과 단점을 가지고 있다. 따라서, 이 논문에서는 양자의 이점을 이용해 다음과 같은 방침으로 잔류 변형 산정을 하는 것으로 했다. 우선, PSC 보부재의 잔류 변형률을 등가 소성 힌지법에 근거해 잔류 변형률 식을 전개하고, 보 단부의 단면곡률과 등가 소성 힌지 길이를 변수로 하는 잔류 변형률 산정 기본식을 유도한다. 다음에, 분할 요소 해석법을 이용하여 각종 요인을 파라미터로 한 해석을 실시하고 그 결과로부터 각종 요인이 잔류 변형에 미치는 영향을 정량적으로 파악해, 잔류 변형률 산정 기본식 중의 각종 수치를 결정한다.

2.2 고려하는 요인

이 산정식에 있어서 잔류 변형률에 대한 부재 요인에 의한 영향으로서 다음의 1)～6)을 고려하였다.

1)프리스트레싱 계수()

2)PC강재 계수()

3)PC강재 배치 위치()

4)PC강재 종류(PC강재-콘크리트간의 부착 강도)

5)초기 프리스트레스력()

6)부재의 경험 최대 부재각()

이하에 상기 파라미터의 설명을 적는다.

1)프리스트레싱 계수()는 ‘종국시 휨내력에 대한 PC강재의 기여율’을 나타내며, 식 (1)에 의해 계산된다. 의 범위는 0～1.0 이며, 1.0 의 경우 순수 PC부재, 0의 경우 RC부재를 나타낸다.

:휨내력에 대한 PC강재의 부담률

:휨내력에 대한 보통 철근의 부담률

2)강재 계수()는 ‘콘크리트 단면 중심축의 압축강도에 대한, 종국시 모든 강재 응력의 비율’을 나타내며, 식 (2)에 의해 계산된다. 복근비가 1.0인 경우는, 압축측 보통 철근량과 인장측 보통 철근량이 같으므로(), 모든 강재의 응력은 PC강재의 응력이 된다.

:인장측 PC강재 항복시 인장력

:압축측 PC강재 장기 유효 압축력

:인장측 보통 철근 항복시 인장력

:압축측 보통 철근 항복시 압축력

:단면의 폭, : 단면 깊이, : 콘크리트 압축강도

3)PC강재 배치 위치()는 압축연단으로부터 PC강재 배치 위치까지의 거리()를 단면 깊이()으로 나누어서 무차원화 한 값이다. 이 논문에서 검토한 단면은, 2개의 PC강재를 단면 깊이 방향으로 중심에 대해 대칭에 배치했고, 인장 측에 위치하는 PC강재의 값을 가지고 을 정의한다.

4)PC강재 종류는 이형 PC강봉, PC 강연선, 원형 PC 강봉의 3종류이고, 해석상은 콘크리트-강재간의 부착강도의 차이로서 고려한다. 구체적으로는, 4.1절에서 기술하고자 한다.

5)초기 프리스트레스력은 인장측 PC강재 항복시 인장력에 대한 초기 프리스트레스력의 비율(, : 유효 프리스트레스력)로 나타낸다.

3. 잔류 변형률 산정 기본식의 유도

3.1 기호 및 해석 조건

직사각형 단면(, : 단면의 폭, : 단면 깊이)을 대상으로 잔류 변형률 산정을 위한 기본식을 유도한다.

Fig. 1에서 부재의 경험 변형량의 최대 시점(이후 ‘피크시’라 칭함) 부재각을 , 피크시부터 제하상태가 되어 부재에 발생하는 모멘트가 0이 되는 시점(이후 ‘잔류 변형시’라 칭함)의 부재각을 이라고 정의하면, 잔류 변형률()은 와 같이 나타낼 수 있고, 부재 변형각을 단면 곡률과 등가 소성 힌지 길이의 곱으로 나타내면, 및 은 식 (3)과 같다. 식 (3)에서는 등가 소성 힌지 길이를 피크시와 잔류 변형시의 서로 다른 값으로 해서 정의하고 있지만, 이것은 부재에 작용하는 모멘트가 증가하는 상황과 제하에 의해 변형이 감소하는 상황에서는 강재에 작용하는 힘이 완전히 역으로 되어, 힌지부의 거동이 다르다고 생각했기 때문이다. 모멘트가 증가하는 경우의 값을 (피크시 등가 소성 힌지 길이), 감소하는 경우의 값을 (잔류 변형시 등가 소성 힌지 길이)로 한다.

: 피크시 부재각, : 잔류 변형시 부재각

: 피크시 곡률, : 잔류 변형시 곡률

3.2 기본식의 유도

Fig. 2에서 잔류 변형시 곡률()은 피크시 곡률()로부터 제하에 의해 생기는 곡률 감소량()을 뺀 것으로서 식 (4)과 같이 나타낼 수 있다.

: 피크시와 잔류 변형시의 곡률 감소량

따라서, 잔류 변형률()은 식 (5)과 같이 나타낼 수 있다.

식 (5)를 잔류 변형률 산정 기본식으로 하고, 이 식에 사용되는 여러 수치(, , )에 적절한 값을 대입함으로써 임의의 에 대한 잔류 변형률을 계산할 수 있다. 다음 절에서는 해석을 통하여 여러 수치를 구한다.

4. 잔류 변형률 산정 기본식의 여러 수치 결정

이 절에서 분할 요소 해석법을 이용하여 Fig. 3에 나타낸 PSC 보부재에 대해 하중-변형 해석을 실시하여 식 (5)의 여러 수치를 결정한다. 또한 해석을 실시할 때 각 파라미터 및 그 범위를 Table 1에 나타내고, 그 중 =0.5,=65%, =0.2, =1/50을 기준조건으로 파라미터의 조합을 사용하였다.

4.1 해석 개요

4.1.1 해석 가정과 조건

이 논문에서 이용하는 ‘분할 요소 해석법’은, Fig. 3에서처럼 부재를 축방향으로 분할하고 분할된 요소(이후, ‘블록’이라고 칭함)를 단면 깊이 방향으로 다시 분할한다. 분할된 각 요소의 재료 특성으로부터 부재 강성 매트릭스를 유도한다. 그리고, 부재 단부에 작용하는 힘에 대해 각 분할 요소간의 힘의 균형 및 변형의 적합 조건이 만족되도록 해석을 실시한다.⁷⁾ 축방향의 분할폭은 0.5, 단면 깊이 방향의 분할수는 100으로 하였다. 각 블록내의 콘크리트 및 철근에 대해서는 평면 유지의 법칙을 가정하고, PC 강재와 콘크리트 사이에는 Morita 모델의 부착-미끄러짐 관계를 고려하였다¹⁰⁾(Fig. 4(d) 참조).

4.1.2 해석 대상 부재 및 재료 특성

해석 대상으로 한 부재는 Fig. 3에 나타냈듯이 =200×500(mm), 전단 경간=2500(mm)의 PC 캔틸레버보이다(파라미터는 Table 1 참조). PC강재는 단면 깊이 방향으로 중심축에서 대칭으로 아래쪽과 위쪽에 2개 배치하였다. PC강재 종류(이형 PC강봉, PC 강연선, 원형 PC 강봉)의 차이에 의한 PC강재-콘크리트간의 부착 강도의 차이가 잔류 변형량에 미치는 영향을 고려하기 위해 문헌 8), 10)를 참고로 각각의 PC 강재 종류의 부착 항복 응력도()를 10, 3, 1(MPa)로 설정하였다.

4.1.3 재료 이력 모델

콘크리트의 응력-변형률 이력은 Watanabe 모델⁷⁾을 사용하였다. 보통 철근은 Ramberg-Osgood 식에 근거해 바우싱거 효과를 고려한 이력 모델³⁾을 사용하였고, PC강재는 Menegotto-Pinto 식에 근거하는 이력모델⁴⁾을 이용하였다. 분할 요소 해석법에 있어서의 각 재료 이력 모델의 개요를 Fig. 4에 나타내었다.

4.2 잔류 변형률 산정 기본식의 여러 수치 검토

4.2.1 등가 소성 힌지 길이

등가 소성 힌지 길이에 대해서는 다양한 연구가 이루어지고 있지만, 그 산정법에 대해서는 정해진 산출 방법이 없다. 따라서, ｢부재각을 위험 단면으로부터 0.2～0.5정도의 측정 구간에서의 평균 곡률로 나누어 등가 소성 힌지 길이를 산출하고 있다｣는 기존의 연구 결과 5), 11)을 참고하여, 이 논문에서는 ｢부재각｣을 분할 요소 해석법으로부터 산출한 ｢위험 단면 위치에서의 블록(블럭폭=0.5)의 곡률｣로 나눈 값으로 구하였다. 이와 같이 구한 등가 소성 힌지 길이(, )는 당연히 해석 파라미터에 의해 변한다. 그래서, (a) 프리스트레싱 계수(), PC강재 종류, PC강재 배치 위치() 및 피크시 부재각()이 바뀌는 경우, (b) PC강재 계수()가 바뀌는 경우, (c) 초기 프리스트레스력()가 바뀌는 경우, 이 3가지에 대하여 해석을 실시하고, 피크시 및 잔류 변형시의 등가 소성 힌지 길이(, )를 검토하였다. 해석 결과를 Fig. 5와 6에 나타낸다.

1) 피크시 등가 소성 힌지 길이()

①Fig. 5(a)는 , PC강재 종류, 및 가 변화할 때의 를 조사한 그림이다. Fig. 5(a)로부터 피크시 등가 소성 힌지 길이()는 부착 강도가 큰 강재 종류일수록 큰 값을 나타내고 있지만(Fig. 5(a)의 (A)참조), 와 의 영향은 거의 받지 않고 있다(Fig. 5(a)의 (B-1)과 (B-2)참조). 한편, 에는 많은 영향을 받아서 가 커질수록 는 감소한다(Fig. 5(a)의 (C)참조).

②Fig. 5(b)는 이 변화할 때의 를 조사한 그림이다. =1/50 이후에서는 어느 PC강재 종류에 대해도, 피크시 등가 소성 힌지 길이()는 에 의한 영향은 거의 없다.

③Fig. 5(c)는 가 변화할 때의 를 조사한 그림이다. Fig. 5(c)로부터, 원형 PC강봉 이외의 PC강재 종류(PC 강연선, 이형 PC강봉)에서는 가 커지면 는 작아지는 경향이 있고, 부착 강도가 큰 이형 PC강봉이 약간 큰 편이다.

이상의 ①～③으로부터, 는 피크시 부재각(), PC강재 종류, 초기 프리스트레스력()의 영향을 받고 있으며 이 변수들을 함수화하면 된다. 함수화의 구체적인 방법을 검토하기 위하여 Fig. 6에 각 PC강재 종류별= 0.4, 0.5, 0.65의 경우에 대하여, 가1/30까지 한쪽 방향에 증가하는 경우의 해석 결과()를 나타낸다. Fig. 6에 의하면, 가 증가하면 는 서서히 감소하면서 일정한 값으로 점근하는 것을 알 수 있다. 따라서, 를의 증가에 대해서 일정한 값으로 점근 하는 함수(에 반비례 하는 형상, 즉, →∞일때 →0.42)로 하고, 해석값에 대해서 최소제곱법을 이용해 계수를 결정하고 식 (6)과 같이 산정하였다. Fig. 6에 식 (6)으로 계산한 값을 선으로 표현해보면 의 추이를 잘 파악하고 있다.

2)잔류 변형시 등가 소성 힌지 길이()

Fig. 7에 해석을 통한 잔류 변형시 등가 소성 힌지 길이()의 결과를 나타내었다. Fig. 7에 의하면, 은 , PC강재 종류, , , , 의 변화와 관계없이 많은 경우가 대략 0.5정도의 값으로 나타나고 있다. 다만, 가 1/100이고 가 비교적 큰 경우와 같은 제한된 조건에서는 1.0를 넘는 경우가 발생하는 것을 알 수 있다.이 1.0를 넘는 경우는 아래와 같은 이유로써 그 결과는 무시할 수 있다고 생각되어서 는 조건에 관계없이 공통적으로 0.5로 한다(식(7)).¹¹⁾

이유) 이 1.0를 넘는 조건은 주로 피크시 변형량이 적으면서 가 큰 경우, 즉 잔류 변형이 매우 작은 경우에 해당된다. 이 경우, 위험 단면 위치에서의 잔류 변형시 곡률()도 작은 값이 되고, (=)는 이 값을 분모로서 계산하기 때문에, 결과적으로 1.0를 넘는 큰 값이 되는 경향을 보인다. 하지만, 잔류 변형량의 매우 작은 영역인 관계로 을 0.5로 작게 평가하여도 절대적인 오차는 작으며 계산의 정밀도에 미치는 영향도 적다고 생각된다.

4.2.2 곡률감소량()

피크시부터 잔류 변형시에 발생하는 위험 단면 위치에서의 곡률 감소량()의 값을 검토한다. 잔류 변형시는 위험단면 위치에서의 모멘트가 0이 되는 시점이라고 정의되고, 모멘트는 PC강재에 의한 우력 모멘트와 인장측 보통 철근에 의한 우력 모멘트의 합이다. 따라서, 두개의 우력 모멘트의 값을 더한 값이 0이 되는 시점이 잔류 변형시라고 정의될 수 있다. Fig. 8에는 가로축을 ｢피크시부터의 곡률 감소량()｣, 세로축을 ｢PC강재에 의해 발휘되는 모멘트() 및 보통 철근에 의해 발휘되는 모멘트()｣를 표시한다. 또한, PC강재가 피크시 발휘하는 모멘트()로 표시하고 최대값을 100%로 정한다. Fig. 8에서 부재의 피크시부터 제하를 하는 경우 그 곡률 감소량()와 각 시점에서 강재에 의해 발휘되는 휨모멘트의 추이를 나타낸다. PC강재, 보통 철근 각각 대해서 곡선과 곡선으로 표현한다. 곡선의 부호는 표현 및 이해를 용이하게 하기 위하여 Fig. 8에서 정과 부 방향을 PC강재와 반대 방향(즉 아래쪽 방향을 정)에 표현하고 있다. 따라서, 곡선과 곡선의 교점에서는 양쪽의 절대값이 거의 정과 부가 같기 때문에 그 점에서 단면의 발휘하는 모멘트가 거의 0이 되고, 그 점에서의 가 피크시에서 잔류 변형시까지의 단면 곡률 감소량()이 된다. 가 클수록 피크시에서 잔류 변형시 까지의 곡률 복원량이 크기 때문에 일반적으로 잔류 변형률은 작아진다. Fig. 8에서는 프리스트레싱 계수() 및 PC강재 배치 위치()가 변하는 경우의 관계에 대하여 나타내고 있다. Fig. 8로부터 다음을 알 수 있다.

①Fig. 8에서 PC강재에 의해 발휘하는 모멘트()는의 증가에 대해여 선형적으로 감소한다. 한편, 보통 철근에 의해 발휘하는 모멘트()는 의 크기에 따라 경향이 다른 곡선으로 나타난다. 이 두 곡선의 추이의 차이는, 제하시의 PC강재와 보통 철근의 응력－변형률 관계로부터 설명된다. Fig. 9에 이형PC강봉의 예를 들어서, 해석시의 강재의 응력－변형률 관계의 추이를 나타낸다. PC강재는 제하 시작시(Fig. 9의 ●)부터 잔류 변형시(Fig. 9의 ■)까지의 범위에서 변형은 인장의 범위 내에 머물고 탄성 영역이 길기 때문에 선형적 거동을 한다. 이에 비해, 보통 철근은 제하 시작시의 변형은 인장의 범위에 있지만 이후 압축 변형을 받게 되고 바우싱거 효과에 의해 Fig. 9에 나타나듯이 비선형 거동을 하게 된다. 이런 현상으로 부터 PC강재에 의해 발휘되는 모멘트는 곡률의 감소에 따라 직선으로 나타나고, 보통 철근은 감소 정도가 서서히 저하하는 곡선이 된다.

②프리스트레싱 계수()의 대소에 의한 차이를 보면(Fig. 8(a)-(A) 참조), 가 큰 단면에서는 보통 철근량이 적고, 보통 철근에 의해 발휘되는 모멘트()의 절대값이 작아진다. 따라서 곡선과의 교점은이 클수록 는 큰 값으로 나타난다.

③PC강재 배치 위치()가 작을수록, 에 대한 는 감소하지만 완만하게 되면서 과의 교점인 는 커진다(Fig. 8(a)-(B) 참조). 이것은 이 작아질수록 즉, PC강재 배치 위치가 단면 중앙에 가까워지는 만큼 제하시의 단면 곡률의 감소에 수반하는 PC강재의 변형 감소량이 작아지고 PC강재에 의해 발현되는 모멘트의 감소량도 작아지기 때문이다.

이상 ①～③을 정리하면, 곡선과 곡선은 , PC강재종류, 의 영향을 강하게 받고 있는 것을 알 수 있다. 따라서 , 양 곡선의 교점인 을 이들 요인의 함수로 하고, 해석값에 대해서 최소제곱법을 이용해 계수를 결정하고 식 (8)과 같이 산정하였다.

Fig. 10에 식 (8)에 의한 값을 표시했다. 식 (8)에 의한 라인은-의 추이를 잘 파악하고 있다.

4.2.2 기존 실험 결과와 비교

Fig. 11에 계산값과 기존 실험 결과^12-16)의 잔류 변형율 (REr)의 비교를, 피크 부재각 (Rp)가 1/50과 1/30의 경우에 나타내었다. Fig. 10으로부터 부착강도가 약한 원형PC강재의 경우, 실험 결과와 다소 오차가 있으나(이 큰 범위에서는 계산값이 실험값을 과대평가, 작은 범위에서는 과소평가), 비교적 잘 일치하고 있다.

5. 결    론

이 연구에서는 PSC 보부재를 대상으로 성능 기반 내진설계의 목표설정에 필요한 사용성과 복원성에 대한 명확하면서 단순명료한 방안을 모색하고자 하였다. 이 연구의 결과를 요약하면 다음과 같다.

1)잔류 변형률의 정의를 바탕으로 등가 소성 힌지 길이법을 이용하여 잔류 변형률 산정에 필요한 기본식을 유도하였다.

2)분할 요소 해석법을 이용하여 각종 파라미터가 잔류 변형률에 미치는 영향을 검토하고, 그 결과를 이용하여 기본식에 사용되는 여러 수치(, , )에 대하여 적절한 값을 부여하였다.

3)기존 실험 결과와 계산값과의 비교를 통하여 기본식의 정확도를 확인하였다.

앞으로의 과제로서는 곡률 감소량()에 대한 연구를 진행하여 원형 PC강재의 정확도를 높이고 기본식을 보다 간략화 할 필요가 있다고 사료된다.