1. 서 론

일반적으로 프리스트레스트 콘크리트의 긴장재(tendon)는 복부 또는 플랜지 내부의 덕트(duct)에 설치되며, 외부 긴장(external prestressing)에서는 Fig. 1과 같이 콘크리트 단면의 외부에 설치된 방향변환블록(deviation saddle)의 덕트에 지지되는 긴장재를 설치하는 공법을 사용한다. 외부긴장에 의한 긴장력의 도입은 경제적이고 시공기간의 단축 및 유지보수가 용이한 이점이 있으나, 긴장재의 각도변화에 의한 큰 힘이 집중적으로 작용하는 방향변환블록의 설계에 세심한 주의가 요구된다(Beaupre et al. 1990). 그러나 방향변환블록에 대한 설계규정은 도로교설계기준(Korea Road Association 2010)에서 허용 방향변환력과 보강철근의 간격제한 이외에는 외국의 설계기준에도 거의 언급되지 않는 실정이다(Kim et al. 2014).

방향변환블록의 설계는 긴장재의 각도변화에 대한 블록의 크기를 결정하고, 방향변환력(deviation force)에 대해 방향변환블록이 거더(girder) 단면에 고정되도록 보강철근을 설계하는 것이다. 현재 실무에 적용되는 방향변환블록의 크기는 원형배치 덕트의 최소 반경을 긴장재의 단위에 따라 2.5∼5.0 m로 하는 제안(VSL 1992)으로부터 결정된다. 그러나 방향변환 각도가 크면 원형배치 덕트에는 길이 방향으로 일정하지 않은 방향변환력의 분포를 보이며, 등분포 방향변환력의 가정으로 설계되는 방향변환블록은 과소 설계될 수 있다(Kim et al. 2015).

현재까지는 제작의 편의로 방향변환블록에 원형배치 덕트가 사용되었으나, 최근 3D 프린팅 기술의 개발로 보다 복잡한 형태의 덕트 제작이 가능하게 되었다. 이 논문은 각도 변화가 큰 방향변환블록의 크기와 등분포 방향변환력이 작용되는 덕트의 설계에 관한 것이다. 이 연구에서는 방향변환블록의 원형배치 덕트에 작용하는 방향변환력의 분포를 분석하고, 덕트에 등분포 방향변환력을 발생시키는 최적배치 설계식을 유도하였다. 또한 계산 및 제작이 복잡한 최적배치 덕트와 유사한 효과를 보이는 타원배치 덕트의 설계식을 제안하였다.

2. 곡선배치 덕트에 대한 방향변환력의 유도

포스트텐셔닝(post-tensioning)공법에서 긴장재는 일반적으로 포물선의 덕트에 설치되며, 긴장재의 각도변화가 매우 작기 때문에 긴장력에 의한 연직력은 포물선의 이차미분으로부터 등분포하는 것으로 가정된다. 또한 긴장재의 곡률과 파상마찰에 대한 손실에는 각각 일차미분의 변화와 수평거리를 근사적으로 적용된다. 그러나 상대적으로 각도 변화가 큰 방향변환블록의 곡률마찰 계산에는 실제 접선각도의 변화가 적용되어야 한다.

2.1 기존 원형배치 덕트의 설계

기존의 원형배치 덕트에서는 방향변환력이 등분포하는 것으로 가정한 반경 R_o로부터 길이 L_o가 설계된다. Fig. 2의 방향변환블록의 원형배치 덕트에서 당김단부(pulling end)의 긴장력과 각도가 P_o과 𝜃_o이고 밀림단부(pulled end)의 긴장력과 각도가 P_e와 𝜃_e이면 연직방향의 방향변환력 P_y는 다음과 같이 계산된다.

$$P_y=P_o\sin\theta_o+P_e\sin\theta_e$$

(1)

위 식의 방향변환력 P_y는 Fig. 2와 같이 방향변환블록을 거더 단면에서 분리시키는 힘이다.

도로교설계기준(국토해양부 2010)에서는 단면적과 항복응력이 각각 A_sb와 f_y인 정착 스터럽(stirrup)의 허용인장력 0.5nA_sbf_y을 초과하지 않도록 규정하고 있으며, 다음과 같이 n개 이상의 스터럽이 사용된다.

$$n\geq\frac{P_o\sin\theta_o+P_e\sin\theta_e}{0.5A_{sb}f_y}$$

(2)

식 (2)에 요구되는 원형배치 덕트의 반경 R_o은 보강철근의 직경 d_sb와 도로교설계기준(국토해양부 2010)의 보강철근 순간격 40 mm 및 피복두께 cover와 방향변환블록의 길이 L_o에 대해 다음을 만족하도록 설계된다.

$$\begin{array}{l}R_o=\frac{L_o}{\sin\theta_o+\sin\theta_e}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\geq\frac{n(d_{sb}+40mm)+(2cover-40mm)}{\sin\theta_o+\sin\theta_e}\end{array}$$

(3)

2.2 마찰에 의한 긴장력의 변화와 방향변환력

Fig. 3(a)의 구간 ds의 접선각도 변화 d𝜃에 대한 법선력은 sin(d𝜃/2)≃d𝜃/2와 dPsin(d𝜃/2)≃0을 적용하여 다음과 같이 계산될 수 있으며,

$$Pd\theta\simeq P\sin\frac{d\theta}2+(P-dP)\sin\frac{d\theta}2$$

(4)

위의 식으로부터 마찰에 의한 긴장력의 변화 dP는 곡률마찰계수 𝜇와 파상마찰계수 𝜅로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$dP=-P(\mu d\theta+\kappa ds)$$

(5)

당김단부에서 긴장력 P₀에 대해 임의의 위치에서 긴장력 P는 다음과 같다.

$$\begin{array}{l}\int_{P_o}^P\frac{dP}P=\ln\frac P{P_o}=-\left(\mu\int_{\theta_o}^\theta d\theta+\kappa\int_0^sds\right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=-(\mu\Delta\theta+\kappa\Delta s)\end{array}$$

(6)

위의 식에서 $\Delta \theta =\left|\theta -{\theta }_o\right|$와 𝛥s는 각각 고려하는 구간에서 방향변환블록의 길이 방향에 대한 접선각도의 변화와 호(arc)의 길이이다. 식 (6)으로부터 임의 위치에서 마찰손실에 의한 긴장력은 다음의 식으로 계산된다.

$$P=P_oe^{-(\mu\Delta\theta+\kappa\Delta s)}$$

(7)

현재의 설계기준(Korea Concrete Institute 2012, Korea Road Association 2016)에서는 마찰손실에 의한 긴장력의 계산에 ACI Committee 343(1988)에서 제안한 식 (7)을 적용하고 있다. 그러나 방향변환블록은 길이가 1m 이내로 짧고 상대적으로 큰 각도 변화가 적용되기 때문에 파상마찰 계수는 적용되지 않으며(VSL, 1992), 𝛥𝜃는 접선각도 𝜃=tan^-1(dy/dx)로부터 계산되어야 한다. Fig. 3(b)의 곡률반경 방향으로 긴장력에 의한 콘크리트의 단위길이에 대한 법선력 q_n과 전단력 q_t는 ds=𝜌d𝜃와 dP≃P[1-e^-𝜇d𝜃]로부터 각각 다음과 같고,

$$q_n=P\frac{d\theta}{ds}=\frac P\rho,\;q_t=\frac{dP}{ds}\simeq\mu q_n$$

(8)

식 (8)에서 곡률반경 𝜌는 dy/dx=tan𝜃로부터 다음과 같이 계산된다.

$$\frac{d\theta}{dx}=\frac d{dx}\left(\tan^{-1}\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d^2y/dx^2}{1+(dy/dx)^2}$$

(9a)

$$\begin{array}{l}\frac1\rho=\frac{d\theta}{ds}=\frac{d\theta}{\sqrt{dx^2+dy^2}}=\frac{d\theta}{dx}\frac1{\sqrt{1+(dy/dx)^2}}\\\;\;\;\;\;=\frac{d^2y/dx^2}{\lbrack1+(dy/dx)^2\rbrack^{3/2}}\end{array}$$

(9b)

Fig. 3(b)의 접선각도 𝜃의 단면에 작용하는 법선력 q_n과 전단력 q_t에 대한 x와 y 축으로 작용하는 단위길이 축력 q_x와 q_y 및 전단력 q_xy는 텐서(tensor) 변환 식을 적용하면 다음과 같이 된다.

$$\begin{bmatrix}q_x\\q_y\\q_{xy}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin^2\theta&\cos^2\theta&-2\sin\theta\cos\theta\\\cos^2\theta&\sin^2\theta&2\sin\theta\cos\theta\\\sin\theta\cos\theta&-\sin\theta\cos\theta&\sin^2\theta-\cos^2\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_n\\0\\q_t\end{bmatrix}$$

(10)

식 (10)로부터 단위길이 방향변환력 q_y는 식 (7)의 긴장력 P와 식 (8)의 법선력 q_n에 대해 다음과 같다.

$$q_y=\frac{P_oe^{-\mu(\theta-\theta_o)}}\rho\left[\cos\theta+2\mu\sin\theta\right]\cos\theta$$

(11)

2.3 원형배치 덕트의 방향변환력

Fig. 2(b)와 같이 반경이 R_o인 원형배치 덕트의 법선력은 식 (7)과 (8)로부터 다음과 나타낼 수 있다.

$$q_n(\theta)=\frac P{R_o}=\frac{P_oe^{\mu\theta_o}}{R_o}\cdot e^{-\mu\theta}=q_o\cdot e^{-\mu\theta}$$

(12)

위의 식에서 $q_o=P_o{e}^{\mu {\theta }_o}/R_o$는 접선각도 𝜃=0°인 덕트 하단부에서 법선력이며, q_o에 대한 단위길이 방향변환력의 비 ${\overline{q}}_y$는 식 (11)로부터 다음과 같다.

$${\overline q}_y=q_y/q_o=e^{-\mu\theta}(\cos\theta+2\mu\sin\theta)\cos\theta$$

(13)

설계기준에서 제안하는 곡률마찰계수 𝜇는 일반적으로 0.05≤𝜇≤0.30의 범위이며, 식 (13)에 의한 원형배치 덕트의 접선각도에 대한 단위길이 방향변환력 q_y는 접선각도 𝜃에 대해 Fig. 4와 같이 분포한다. 덕트의 양쪽 단부의 각도 변화가 10° 이내로 작으면 단위길이 방향변환력은 약 10 %의 차이로 큰 영향을 주지 않으나, 덕트 양쪽 단부에서 접선각도 변화가 커지면 긴장재의 접선각도에 따른 단위길이 방향변환력의 부등분포는 커진다. 특히 음의 각도로 나타낸 당김단부 접선각도가 양의 각도인 밀림단부보다 크면 방향변환력의 편심으로 방향변환블록의 설계에 심각한 영향을 줄 수 있다. 곡률마찰계수 𝜇가 클수록 방향변환력의 부등분포에 더 큰 영향을 미친다.

식 (13)에서 최대 방향변환력은 dq_y/d𝜃=0에서 발생하며, 곡률마찰계수 𝜇에 따른 최대 방향변환력의 비는 다음과 같다.

$$\begin{array}{l}\mu=0.12;\;\;{\overline q}_y(3.361^\circ)=1.0035\\\mu=0.30;\;\;{\overline q}_y(8.756^\circ)=1.0193\end{array}$$

최대 방향변환력이 발생하는 접선각도는 곡률마찰계수가 클수록 커지며, 이는 식 (8)에서 단위길이 전단력 q_t의 영향 때문이다. 접선각도 𝜃=0°에서 최대 방향변환력을 가정하면 위의 값보다 최대 2 % 작은 ${\overline{q}}_{ymax}\simeq 1.0$과 단면적 A_sb와 간격 s인 정착 스터럽의 단위길이 허용 방향변환력 q_a=0.5A_sbf_y/s그리고 q₀=q_a로부터 원형덕트의 최소 반경은 R_o는 식 (12)로부터 다음과 같이 설계될 수 있다.

$$R_o=\frac{P_oe^{\mu\theta_o}}{q_a}$$

(14)

설계조건을 만족하는 식 (14)의 반경을 적용하면 원형배치 덕트의 단위길이 방향변환력의 분포 q_y는 식 (13)에 q_o=q_y를 적용하여 계산된다.

3. 방향변환블록 덕트의 배치식 유도

방향변환블록의 최대 방향변환력은 접선각도 𝜃=0°부근에서 발생하며, 𝜃=0°에서 방향변환력이 허용 방향변환력과 같은 q_y=q_a의 조건에 대한 곡률반경 R_o로부터 등분포 방향변환력에 대한 덕트와 타원배치 덕트를 설계할 수 있다. 방향변환력이 등분포하는 최적배치 덕트는 식 (11)의 방향변환력 q_y가 허용 방향변환력 q_a와 같은 경우에 대한 식 (9b)의 곡률반경 𝜌로부터 설계되며, 방향변환블록의 크기를 설계할 수 있다. 타원배치 덕트의 장·단축 반경 a와 b는 𝜃=0°에서 q_y=q_a를 만족하는 곡률반경과 타원의 곡률반경 R_o=a²/b로부터 설계된다.

3.1 등분포 방향변환력에 대한 최적배치 덕트의 설계식

원형배치 덕트에 대한 식 (12)의 q_o를 식 (11)에 적용하면 등분포 방향변환력이 작용하는 방향변환블록의 단위길이 방향변환력 q_y의 설계조건식은 다음과 같이 된다.

$$q_y(\theta)=\frac{q_oR_o}\rho e^{-\mu\theta}(\cos\theta+2\mu\sin\theta)\cos\theta=q_a$$

(15)

위의 식에 원형배치 덕트에 대한 q_o=q_a를 적용하면 등분포 방향변환력이 작용하는 덕트의 곡률반경 𝜌는 식 (14)의 R_o에 대해 다음을 만족하여야 한다.

$$\rho(\theta)=R_oe^{-\mu\theta}(\cos\theta+2\mu\sin\theta)\cos\theta$$

(16)

위의 조건을 만족하는 덕트의 좌표는 Fig. 3의 ds=𝜌d𝜃로부터 다음과 같이 계산될 수 있다.

$$\begin{array}{l}x=\int_0^s\cos\theta\cdot ds=\int_{\theta_o}^\theta(\rho\cos\theta)d\theta\\\;\;=R_o\lbrack FX(\theta)-FX(\theta_o)\rbrack\end{array}$$

(17a)

$$\begin{array}{l}y=\int_0^s\sin\theta\cdot ds=\int_{\theta_o}^\theta(\rho\sin\theta)d\theta\\\;\;=R_o\lbrack FX(\theta)-FX(\theta_o)\rbrack\end{array}$$

(17b)

위의 식에서 각 기호는 다음과 같다.

$$\begin{array}{l}FX(\theta)=\frac{e^{-\mu\theta}}{9+\mu^2}\{\frac2{1+\mu^2}\left[3F_2(\theta)-\mu(3+\mu^2)F_1(\theta)\right]\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+F_4(\theta)+2\mu F_3(\theta)\}\end{array}$$

(17c)

$$\begin{array}{l}FX(\theta)=\frac{e^{-\mu\theta}}{9+\mu^2}\{\frac{3+\mu^2}{1+\mu^2}\left[F_1(\theta)-2\mu F_2F_2(\theta)\right]\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+F_3(\theta)+2\mu F_4(\theta)\}\end{array}$$

(17d)

$$F_1(\theta)=\cos\theta+\mu\sin\theta$$

(17e)

$$F_2(\theta)=\sin\theta+\mu\cos\theta$$

(17f)

$$F_3(\theta)=\sin^2\theta(3\cos\theta+\mu\sin\theta)$$

(17g)

$$F_4(\theta)=\cos^2\theta(3\sin\theta-\mu\cos\theta)$$

(17h)

3.2 타원배치 덕트의 설계식

Fig. 5의 좌표계에서 장축반경(semi-major axis)과 단축반경(semi-minor axis)이 각각 a와 b인 타원의 식은 다음과 같으며,

$$\left(\frac xa\right)^2+\left(\frac yb\right)^2=1\;\;\;\text{또는   y=±}\frac ba\sqrt{a^2-x^2}$$

(18)

타원의 일차와 이차 미분은 각각 다음과 같다.

$$\begin{array}{l}\frac{dy}{dx}=\tan\theta=\mp\left(\frac ba\right)\frac x{\sqrt{a^2-x^2}}\\\;\;\;\;\;\;\;=\mp\left(\frac ba\right)\frac{\sqrt{b^2-y^2}}y\end{array}$$

(19)

$$\left|\frac{d^2y}{dx^2}\right|=\frac{ab}{(a^2-x^2)^{3/2}}=\frac{b^4}{a^2}\left|\frac1{y^3}\right|$$

(20)

식 (19)로부터 접선 각도 𝜃에 대한 좌표 x와 y는 각각 다음과 같이 계산되며,

$$x\left(\theta\right)=\pm\frac{a^2}b\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+(a/b)^2\tan^2\theta}}$$

(21a)

$$y\left(\theta\right)=\pm\frac b{\sqrt{1+(a/b)^2\tan^2\theta}}$$

(21b)

이차 미분의 법선 식 (20)은 식 (21b)로부터 다음과 같이 접선각도 로 나타낼 수 있다.

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac b{a^2}\left[1+\left(\frac ab\right)^2\tan^2\theta\right]^{3/2}$$

(22)

식 (19)와 식 (22)를 식 (9b)에 적용하면 접선각도 𝜃에서 타원의 곡률반경 𝜌는 다음과 같이 된다.

$$\begin{array}{l}\rho(\theta)=\frac{\left[1+(y')^2\right]^{3/2}}{\left|y''\right|}\\\;\;\;\;\;\;\;=R_o\cdot\left[\frac{1+\tan^2\theta}{1+(a/b)^2\tan^2\theta}\right]^{3/2}\end{array}$$

(23)

위의 식에서 R_o=a²/b는 Fig. 5의 접선각도 𝜃=0°에서 타원에 접하는 원의 반경이며, 접선각도 𝜃=0°에서 단위길이 허용 방향변환력 q_a를 만족하는 원형배치 덕트에 대한 식 (14)로부터 결정될 수 있다. 방향변환블록의 설계에서 임의 기준점의 접선각도 𝜃_b에서 허용 방향변환력을 만족하는 곡률반경 R_b는 식 (16)으로부터 다음과 같다.

$$R_b=R_o\cdot e^{-\mu\theta b}(\cos\theta_b+2\mu\sin\theta_b)\cos\theta_b$$

(24)

타원의 곡률반경에 대한 식 (23)에 𝜃_b에 대한 R_b의 계산에 (a/b)²=R_o/b를 적용하면 접선각도 𝜃=0°와 𝜃_b에서 허용 방향변환력을 만족하는 타원의 단축반경과 장축반경은 각각 다음과 같이 결정된다.

$$b=R_o\cdot\frac{(R_b/R_o)^{2/3}\tan^2\theta_b}{1+\tan^2\theta_b-(R_b/R_o)^{2/3}}$$

(25a)

$$a=\sqrt{R_ob}$$

(25b)

타원의 최적 b의 설계에 임의 접선각도 𝜃_b±30°를 적용한 다음의 근사식을 적용할 수 있으며,

$$\theta_b=-30^\circ;\;\;\;\;b=R_o(0.542-0.61\mu)$$

(26a)

$$\theta_b=30^\circ;\;\;\;\;b=R_o(0.542+0.56\mu)$$

(26b)

Fig. 6은 식 (25a)와 (26)에 의한 계산결과를 보여준다.

3.3 최적배치 덕트 및 타원배치 덕트의 효과

Fig. 7은 식 (21)로 설계된 타원배치 덕트의 당김단부와 밀림단부 사이의 길이 L과 높이 H를 원형배치 덕트에 대한 길이 L_o와 높이 H_o와 비교한 것이다. Fig. 7에서 원형배치 덕트의 크기는 식 (14)의 반경 R_o에 당김 각도 𝜃_o과 밀림 각도 𝜃_e에 요구되는 수평 길이 L_o와 당김단부와 밀림단부의 높이 차이 H_o이다. 타원배치 덕트의 길이와 높이는 식 (14)의 R_o에 대한 식 (25)의 장·단반경이 적용된 강김 각도 𝜃_o과 밀림 각도 𝜃_e에 요구되는 식 (21)로부터 계산되었다.

Fig. 7의 아래 그림에서는 식 (23)의 타원에 대한 곡률반경에 대한 식 (11)의 단위길이 방향변환력과 원형배치 덕트에 대한 식 (13)의 단위길이 방향변환력의 분포를 비교하였다. Fig. 7(a)와 같이 당김단부의 접선각도가 크고 밀림단부의 접선각도가 작으면 타원배치 덕트의 방향변환력이 당김단부 부근을 제외하고 거의 일정한 값을 보였으며, 이로 인해 원형배치 덕트보다 길이가 25 % 이상 감소하였다. Fig. 7(b)와 같이 당김단부의 접선각도가 작고 밀림단부의 접선각도가 크면 덕트의 길이는 약 10 % 감소하였다. Fig. 7의 계산에는 마찰계수 𝜇=0.25이다. 최적배치 덕트의 길이와 높이는 식 (14)의 R_o와 𝜃_e가 적용된 식 (17a)와 (17b)로부터 각각 계산되며, 최적배치 덕트의 크기는 타원배치 덕트와 거의 같은 값을 보였다.

Figs. 8과 9는 밀림단부 접선각도가 𝜃_e=0°로 고정된 상태에서 당김단부 접선각도 𝜃_o의 변화 그리고 당김단부 접선각도가 𝜃_o=0°로 고정된 상태에서 밀림단부 접선각도 𝜃_e의 변화에 대한 방향변환블록의 종방향 길이 L과 덕트의 높이차 H의 감소효과이며, 원형배치 덕트에 대한 최적배치 덕트와 타원배치 덕트의 길이 및 높이의 비율을 보여준다. 당김단부의 접선각도 𝜃_o이 크면 접선각도와 곡률마찰계수 𝜇가 클수록 방향변환블록의 길이 및 높이가 크게 감소하였다. 반면에 밀림단부의 접선각도 𝜃_e가 큰 경우에는 곡률마찰계수가 작을수록 길이와 높이의 큰 감소를 보였으며, 길이보다는 높이에 대해 감소율이 켰다. 당김단부와 밀림단부의 접선각도가 30°보다 작으면 최적 및 타원배치 덕트의 길이 및 높이 감소율은 유사하였다. 𝜃_e=10~15° 부근에서 𝜇=0.30에 대한 최적배치 덕트의 약 3 % 크기 증가는 원형배치 덕트의 크기가 𝜃=0°에서 q_o=q_a가 적용된 식 (14)의 반경 R_o으로부터 약 2 % 과소 설계되었기 때문이다.

Fig. 10은 타원배치 덕트와 원형배치 덕트의 접선각도와 곡률마찰계수에 대한 방향변환력의 분포이다. 타원배치 덕트의 방향변환력은 𝜃_b=±30°에서 식 (25)의 장·단축 반경 a와 b가 적용된 식 (23)의 곡률반경 𝜌에 대한 식 (11)로부터 계산되었으며, 원형배치 덕트의 방향변환력은 식 (13)으로 계산되었다. Fig. 10에서 최적배치 덕트의 방향변환력의 분포는 q_a로 일정한 값이며, 원형배치 덕트에 대한 방향변환력의 분포는 Fig. 4와 같다. 타원배치 덕트의 방향변환력의 분포는 임의 기준 접선각도 𝜃_b의 범위에서 비교적 등분포하였다. 타원배치 덕트의 곡률반경 계산에 적용된 식 (23)의 곡률반경 R_o는 𝜃=0°에서 원형배치 덕트와 같이 허용 방향변환력 q_a에 대한 식 (14)로부터 결정되고, 이로 인해 최대 방향변환력의 접선각도에서 허용 방향변환력보다 약 4 % 큰 최대 방향변환력이 계산되었다. 타원배치 덕트는 최대 약 4 % 과소 설계될 수 있는 것으로 판단된다.

4. 결 론

방향변환블록 덕트의 배치 설계를 위한 이 연구에서는 방향변환블록의 길이방향 방향변환력 분포의 계산식과 등분포 방향변환력이 작용하는 최적배치 덕트의 계산식을 유도하였다. 또한 최적배치 덕트와 유사한 효과를 보이는 타원배치 덕트를 설계하기 위한 식을 유도하였다. 이 연구에서 제안된 덕트의 최적 및 타원 배치식에 대한 해석결과는 다음과 같다.

1) 원형배치 덕트에서 접선각도의 변화가 ±10° 이내로 작으면 방향변환력은 약 10%의 차이로 부등분포하며, 접선각도가 증가하면 부등분포의 정도가 크게 증가하였다. 최대 방향변환력은 곡률마찰계수 𝜇=0.30에 대해 접선각도 𝜃=8.8°에서 발생되었고, 𝜃=0°의 값보다 약 2% 큰 값이었다.

2) 최적배치 덕트와 타원배치 덕트의 모양은 접선각도 𝜃=±-30°의 범위에서 큰 차이가 없었으며, 타원배치 덕트의 단축반경 b의 계산에 적용된 식 (26)은 이론식 식 (25a)와 차이 없어 단순 식으로 사용될 수 있다. 𝜃_out=30°에서 최적 및 타원배치 덕트에 대한 크기 효과는 원형배치 덕트보다 약 20%의 길이와 약 30%의 높이 감소를 보였다.

3) 타원배치 덕트의 방향변환력 분포 q_y는 접선각도 𝜃=±30° 사이에서 등분포와 유사한 분포를 보였으며, 접선각도 𝜃가 이보다 증가하면 방향변환력은 급격히 감소한다.

4) 원형배치 덕트의 반경 R_o가 𝜃=0°에서 최대 방향변환력의 가정 q_o=q_a으로부터 2% 이내로 과소 설계되었기 때문에 최적배치 덕트의 크기는 원형배치 덕트보다 최대 3% 크게 계산될 수 있다. 원형배치 덕트와 같이 접선각도 𝜃=0°에서 최대 방향변환력이 가정된 타원배치 덕트의 방향변환력은 허용 방향변환력보다 최대 4% 크게 계산된다.