2.1.1 모델링

슬럼프 플로 시험에 대한 VoF 시뮬레이션은, 밑지름 200 mm, 윗지름 100 mm, 높이 300 mm의 고유동 콘크리트를 단일 유체(single fluid)로 가정하여 자중(중력가속도 9.81 m/s²)에 의한 흐름을 모사하였다. 해석은 상용 유한요소해석 프로그램인 ABAQUS 6.14-2를 사용하였다. 오일러리안 요소(Eulerian element)에서의 유체의 부피분율 임계점을 0.5로 가정하였고, 요소의 평균 크기는 8~10 mm로 시멘트 기반 재료의 CFD 해석에 적합한 크기로 설정하였다(Kim et al. 2015)⁽⁶⁾. 효율적인 시뮬레이션을 위해 Fig. 1과 같이 44,840개의 오일러리안 요소로 3차원 1/4 대칭모델을 구성하였고, 하부 평판에서 모든 방향으로의 속도를 구속하여 경계조건을 설정하였다. 시간증분(time increment)은 0.03 s로 설정하여 30 s 동안의 흐름을 시뮬레이션하였다.

Fig. 1. Snapshots and volume fraction contours of the VoF simulation of the slump flow

2.1.2 재료상수

콘크리트의 밀도는 2,400 kg/m³으로 가정하였다. 빙햄모델은, 콘크리트의 레올로지 특성을 식 (1)과 같은 전단응력($\tau$)-전단변형률속도($\dot\gamma$)의 관계로 표현한다.

여기서, $\tau_{y}$는 항복응력이고, $\eta_{p}$는 소성점도이다. 입력된 재료상수는 고유동 콘크리트의 슬럼프 플로 범위에 적합하도록, 각각 $\tau_{y}$=10~100 Pa, $\eta_{p}$=50~450 Pa･s 범위로 총 46개의 조합을 구성하였다. 시뮬레이션 결과는 흐름이 멈추는 시점에서의 콘크리트의 지름(단일 유체의 슬럼프 플로, $D_{s}$)과 콘크리트가 지름 500 mm에 도달하는 시간($T_{50}$)으로 기록하였다. 이전 연구 사례를 토대로 슬럼프 플로에 적합한 정지속도는 2.5 mm/s 미만으로 설정하였다(Tregger et al. 2008)⁽²²⁾. 추가로 콘크리트의 표면장력에 의한 효과는 점성에 의한 효과보다 매우 작으므로 이 해석에서는 고려하지 않았다.

2.1.3 회귀분석

앞서 설명한 슬럼프 플로에 대한 VoF 시뮬레이션 결과를 일반화하기 위해, 재료상수($\tau_{y}$, $\eta_{p}$)와 해석결과($D_{s}$, $T_{50}$)의 상관관계를 가장 높은 상관도($R^{2}$)를 보이는 모델함수를 이용하여 회귀분석하였다. Fig. 2는 소성점도와 $T_{50}$의 상관관계를 보여준다. 이때, 각 점은 해석결과를, 실선은 그 추세선을 의미하며, 추세선의 선형비례관계는 식 (2)와 같이 표현된다.

여기서, 비례상수는 $a=k_{1}\exp(\tau_{y}/k_{2})$ 함수식으로 항복응력의 지수함수로 산정하였을 때 가장 높은 상관도를 보였다. Fig. 3는 소성점도와 $D_{s}$의 로그함수 관계를 보여주며, 같은 소성점도를 가진 샘플에서 항복응력이 증가함에 따라 $D_{s}$가 감소하는 경향을 보인다.

여기서, 로그함수의 상수를 $b=-k_{4}\tau_{y}+k_{5}$와 $c=-k_{6}\tau_{y}+k_{7}$꼴의 항복응력과 선형관계로 표현하였을 때 높은 상관도를 보였다. Table 1에서 상관관계식 (2)와 (3)에서 사용하는 매개변수의 값을 정리하였다.

Fig. 2. Relation between the plastic viscosity and $T_{50}$

Fig. 3. Relation between the plastic viscosity and $D_{s}$

2.1.4 굵은 골재의 영향에 대한 보정

상기된 시뮬레이션 결과에 대한 상관관계식은 콘크리트를 단일 유체로 가정한 해석결과로, 굵은 골재의 영향을 고려하지 않아 실제 콘크리트의 유동을 표현하는 데 한계가 있다. 고유동 콘크리트 배합에서는 상대적으로 약한 정도의 재료분리가 발생하여, 얇은 층류로 유동 시 배합의 표면에서 굵은 골재가 돌출되는 현상이 나타난다.

이를 고려하기 위해, 고유동 콘크리트의 재료분리 정도(degree of segregation)를 정의하였다. 일반적으로 재료분리의 정도는 슬럼프 플로가 큰 배합에서 증가한다(Tregger et al. 2012)⁽²³⁾. 단일 유체의 슬럼프 플로($D_{s}$ in milimeter)를 기준값으로 시그모이드 함수의 형태로 재료분리 정도를 정의하면 다음 식 (4)와 같다.

여기서, $\theta$=0은 재료분리가 없음을 의미하고, $\theta$=1은 완전한 재료분리가 일어나 굵은 골재 최대 치수에 해당하는 입자가 단일 유체로 가정할 수 있는 모르타르로부터 분리됨을 의미한다.

이러한 재료분리 현상은 굵은 골재에 대한 모르타르의 상대적인 유동을 발생시켜, 고유동 콘크리트의 슬럼프 플로를 증가시킨다. 식 (5)는 굵은 골재의 영향을 고려한 슬럼프 플로($D_{f}$)로서, 시뮬레이션으로 구한 단일 유체의 슬럼프 플로($D_{s}$)에 굵은 골재의 재료분리 영향을 고려하여 계산한다(Shin et al. 2017)⁽²⁰⁾.

이때, $d_{\max}$는 굵은 골재의 최대 크기, $\phi$는 굵은 골재의 배합 내 부피분율, $V_{0}$는 슬럼프 플로의 부피 5.5×106 mm³이다.

2.2.1 상관관계

단일 유체의 항복응력와 소성점도는 식 (2)와 (3)을 연립한 역함수를 구성하여, 단일 유체의 슬럼프 플로 $D_{s}$와 $T_{50}$으로 계산할 수 있다.

여기서, 단일 유체의 슬럼프 플로 $D_{s}$와 $T_{50}$은 각각 mm와 s 단위로 입력하여 계산한다.

현장에서 측정하는 슬럼프 플로는 굵은 골재의 영향을 고려한 슬럼프 플로($D_{f}$)이므로, 식 (4)와 (5)에 따른 재료분리 정도를 고려해야 한다. 최종적으로 항복응력과 소성점도는 비선형 최적화(nonlinear optimization) 과정을 통해 수치적으로 계산할 수 있다(Shin et al. 2017)⁽²⁰⁾.

Fig. 4. Correlation between the yield stress and the slump flow of concrete ($T_{50}$=3 s, $d_{\max}$=25 mm, and $\phi$=0.35): The nonlinear optimization to get the correlation can be approximated using the bilinear equation, of which breaking point is located at 600 mm. The breaking point moves down with a higher $T_{50}$.

The value of each $p_{i}$ needs to be corrected as ±0.5 % when the volume fraction of coarse aggregates ($\phi$) is changed by ±0.01 based on $\phi$=0.35.

Fig. 5. Linear relationship between $T_{50}$ and ($T_{50}- T_{40}$)

상대적으로 복잡한 비선형 최적화 과정은 항복응력에 대한 선형근사(linear approximation)를 통해 단순화시킬 수 있다. 예를 들어, Fig. 4에서 붉은 실선은 굵은 골재의 영향을 고려한 슬럼프 플로($D_{f}$)와 항복응력($\tau_{y}$)의 관계로, $T_{50}$=3 s, $d_{\max}$=25 mm, $\phi$=0.35에 대하여 도시하였다. 항복응력에 대한 선형근사는 $D_{f}$=600 mm 지점을 기준으로 $D_{f}$=500 mm과 $D_{f}$=700 mm 지점을 양 끝점으로 하는 이선형함수(bilinear function)로 가능하였다. 이는 식 (8)과 같이 나타내며, Fig. 4에서 검은 파선으로 도시하였다.

이때 항복응력의 단위는 Pa로 나타내며, 슬럼프 플로 $D_{f}$와 $T_{50}$의 단위는 각각 mm와 s로 입력한다.

식 (8)에서, 골재 크기에 따른 영향은 보정상수($p_{0,\:}p_{1,\:}p_{2}$)로 반영하였고 Table 2에 그 값을 정리하였다. 굵은 골재의 크기에 따른 변화뿐만 아니라, 굵은 골재 부피분율에 의한 물성변화를 고려하기 위해서, 굵은 골재의 부피분율이 0.35에서 0.01씩 증가(감소)할 때, 각 보정상수값($p_{i}$)를 0.5 %씩 증가(감소)시킨다. 사용 가능한 슬럼프 플로 범위(500 mm< $D_{f}$<700 mm, 1 s<$T_{50}$<15 s)에서 선형근사식은 비선형 최적화 과정으로 구한 항복응력 대비 절대오차는 10 Pa을 넘지 않는다.

한편, 소성점도에 대한 굵은 골재의 영향은 항복응력에 반영되어 식 (7)에 입력되고 $T_{50}$에서 굵은 골재의 재료분리는 무시할 수 있으므로, 단일 유체에 대한 소성점도 상관관계식을 그대로 이용할 수 있다. 선형근사 모델을 이용한 소성점도의 산정 오차는 항복응력 산정 오차에서 기인하므로, $T_{50}$에 대한 선형근사 오차는 10 % 미만이다.

2.2.2 흐름속도와의 상관관계

슬럼프 플로 길이 측정과는 달리 $T_{50}$의 측정은 시험자에 따른 오차를 가지고 있으므로, 콘크리트가 지름 400 mm에 도달하는 시간($T_{40}$)을 추가로 측정하여, 시험 오차를 줄일 수 있다. 또한, 슬럼프 플로 시험 시 $T_{40}$까지의 콘크리트 거동은 전단흐름 보다는 중력에 의한 자유낙하에 영향을 상대적으로 많이 받게 된다. 이를 모델에 반영하기 위해 $T_{40}$과 $T_{50}$의 차이를 이용한 100 mm 구간의 흐름시간(흐름속도)을 측정값으로 사용할 수 있다. 모든 경우의 해석에서, Fig. 5와 같이 $T_{50}$과 ($T_{50}- T_{40}$)은 항복응력과 소성점도에 관계없이 선형 비례관계를 보였다.

3.2.1 ICAR

각 배합의 슬럼프 플로($D_{f}$), $T_{50}$, 굵은 골재 최대크기($d_{\max}$)를 입력값으로 식 (7)과 (8)을 이용해 소성점도와 항복응력을 평가할 수 있다. 이를 ICAR 레오미터로 측정한 항복응력과 기존 모델식 기존 모델식 (10)으로 계산한 항복응력과 비교하면 Fig. 6과 같다. 슬럼프 플로가 증가할수록 항복응력이 감소하는 경향성은 제안된 모델뿐만 아니라, 기존 모델(Roussel and Coussot 2005)⁽¹⁹⁾, ICAR 측정값에서도 동일하게 확인할 수 있다. 특히, 제안된 모델의 산정값은 레올로지 이론에 근거한 기존 모델과 비슷한 범위에 분포하였다. 제안된 모델을 이용하면, 비슷한 슬럼프 플로를 갖는 배합(그래프상의 인근 점)의 항복응력이 크게는 50 Pa 이상 차이가 나타날 수 있음을 확인 할 수 있다. 이는 $T_{50}$의 차이가 항복응력이 미치는 영향으로, 기존 모델에서는 고려할 수 없었다. 한편, ICAR 레오미터 측정한 항복응력은 두 모델을 이용한 산정값보다 낮았으며, 측정된 63개의 배합 중 44개 배합을 항복응력이 0 Pa인 뉴턴유체(Newtonian fluid)로 평가하였다. 이러한 낮은 측정값의 원인은, ICAR 레오미터의 측정 범위의 한계에서 기인한 실험오차로 볼 수 있다.

Fig. 6. Comparison of the estimated yield stress with ICAR measurements: The yield stress of ICAR measurements is overall 52 % less than that obtained by the proposed estimation

Fig. 7. Comparison of the estimated plastic viscosity with ICAR measurements: The plastic viscosity of ICAR measurements is overall 48 % less than that obtained by the proposed estimation

Fig. 7에서는 소성점도에 대한 측정값과 제안된 모델의 산정값을 비교하였다. 모든 산정값과 측정값에서 동일하게, $T_{50}$이 증가함에 따라 소성점도가 증가함을 확인할 수 있다. 여기서, 기존 모델(Koehler et al. 2010)⁽⁹⁾은 뒤집어진 슬럼프콘을 이용한 $T_{50,\:inverted}$ 값을 기준으로 구성되었으므로, 상대적으로 낮게 측정되는 $T_{50}$을 사용하여 산정한 소성점도가 다른 결과에 비해 낮게 분포하였다. 하지만, 시험방법의 차이를 고려하더라도 소성점도 추정의 오차가 최대 약 8배로 매우 크다. 이는 일반적으로 콘크리트 레오미터의 종류에 따른 측정값의 편차가 매우 크기 때문이다.

3.2.2 BML

BML 레오미터 측정값의 경우 ICAR 레오미터 측정값과 동일한 경향성을 갖는다. 하지만, ICAR 측정값에 비해항복응력은 상대적으로 낮게(57 %), 소성점도는 상대적으로 높게(133 %) 측정된다(Hočevar et al. 2013)⁽⁵⁾. Fig. 8과 Fig. 9는 BML 레오미터 측정값과 제안된 모델을 이용한 산정값을 비교한 것으로, 앞서 ICAR 레오미터 측정값과 같이 $D_{f}$-항복응력과 $T_{50}$-소성점도의 경향성을 동일하게 보여주고 있다.

Fig. 8. Comparison of the estimated yield stress with BML measurements: The yield stress of BML measurements is overall 13 % greater than that obtained by the proposed estimation

Fig. 9. Comparison of the estimated plastic viscosity with BML measurements: The plastic viscosity of BML measurements is overall 59 % less than that obtained by the proposed estimation