2.1 비선형 해석 절차

일반적으로 RC 보의 휨 연성은 하중-변위 거동에서 최대 내력의 변위($\Delta_{n}$)를 항복시점의 변위($\Delta_{y}$)로 나눈 값인 변위 연성비($\mu_{\Delta}$)의 개념으로 평가한다(Park and Paulay 1975)⁽¹³⁾. RC 보의 하중-변위 거동은 Yang et al.(2014a)에 의해 제시된 단면분할법 기반의 2차원 비선형 해석을 이용하여 평가하였다(Fig. 1). 2차원 비선형 해석절차(2-dimensional nonlinear analysis; 2-D NLA)를 요약하면 다음과 같다. 1) 보는 길이방향으로 $n$개의 절점으로 분할한다; 2) 위험단면에서는 임의의 콘크리트 압축연단 변형률($\epsilon_{c}(i,\: 1)_{n}$)을 증분하며, $\epsilon_{c}(i,\: 1)_{n}$에서의 중립축 깊이($c(i,\: 1)$)를 가정한다; 3) 가정된 $c(i,\: 1)$에 대해 단면의 각 위치에서 변형률은 직선 비례식으로부터 산정하고, 그때의 응력은 각 재료의 응력-변형률 관계로부터 결정된다; 4) 위험단면에서 $c(i,\: 1)$는 단면에서 힘의 평형조건으로부터 결정된다; 5) 위험단면에서 결정된 $c(i,\: 1)$에 대해 산정된 모멘트($M(i,\: 1)$)로부터 각 단면 $j$에서의 외력 모멘트 $M_{E}(i,\: j)$는 보 길이에 따른 모멘트 분포로부터 산정된다; 6) 각 단면 $j$에서의 중립축 깊이($c(i,\: j)$)와 압축연단 변형률($\epsilon_{c}(i,\: j)$)은 단면에 작용하는 응력들로부터 산정된 힘들의 평형조건과 모멘트 평형조건($M_{I}(i,\: j)$=$M_{E}(i,\: j)$)으로부터 결정된다; 7) 각 단면 $j$에서 결정된 중립축 깊이($c(i,\: j)$)와 $\epsilon_{c}(i,\: j)$에 대해 곡률($\phi(i,\: j)$)을 산정한다; 8) 보 길이를 따라 산정된 곡률 분포로부터 모멘트 면적법 원리를 이용하여 보 경간 중앙에서 처짐을 구한다; 9) $i$ 단계에서 하중은 $M(i,\: 1)$으로부터 산정한다. 콘크리트의 압축 응력-변형률 관계는 $w_{c}$ 및 콘크리트 압축강도($f_{ck}$)를 고려한 Yang et al.(2014b)의 모델을 이용하였다. 콘크리트의 인장 응력-변형률 관계는 최대 인장응력까지만 직선으로 가정하였으며, 최대 인장응력 도달 후에는 콘크리트 인장저항성을 무시하였다. 철근의 응력-변형률 관계는 경화특성을 고려한 Wang(1977)의 모델을 이용하였다.

Fig. 1. Distribution of strains and stresses in 2-D NLA

Fig. 2. Comparison of measured load-deflection curves and predictions by 2-D NLA

2.2 기존 연구와 비교 및 분석

Fig. 2에는 기존 실험결과(Jang et al. 2008; Sin et al. 2011; Bernardo et al. 2016)^(3,6,17)와 2차원 비선형 해석으로 산정된 하중-변위 관계를 비교하였다. 2차원 비선형 해석의 신뢰성을 평가하기 위해 기존 연구의 하중-변위 관계들은 주철근 비($\rho_{s}$), $w_{c}$ 및 $f_{ck}$ 등 다양한 변수조건을 갖는 실험체들로 선정하였다. 예측된 하중-변위 관계는 기존 실험결과의 항복 및 최대 내력 구간을 전체적으로 잘 예측하였다. 특히 2차원 비선형 해석은 하중-변위 관계에서의 $\rho_{s}$ 및 $w_{c}$의 영향을 잘 반영하였다. 즉, 2차원 비선형 해석을 통해 예측된 하중-변위 관계는 $\rho_{s}$, $w_{c}$ 및 $f_{ck}$에 관계없이 기존 실험결과들을 전체적으로 합리적으로 평가할 수 있다고 판단된다.

Fig. 3에는 2차원 비선형 해석에서 얻은 보의 하중-변위 관계로부터 결정된 $\mu_{\Delta}$ 값과 기존 실험결과(Shin 1988; Ahmad and Barker 1991; Lee 1997; Oh et al. 1998; Park and Kim 1999; Maghsoudi and Bengar 2006; Byon et al. 2010; Shafigfh et al. 2011; Sin et al. 2011; Carmo et al. 2013; Bernardo et al. 2016)^{(2-5,10-12,14-17)}를 비교하였다. 기존 실험에서 LWAC 보는 팽창점토를 활용한 인공경량골재를 사용하였으며, NWC 보에서는 주로 화강암 골재를 사용하였다. 기존 연구의 단순보들은 모두 휨에 의해 그 거동이 지배되었다. 기존 실험에서 주요 변수들은 NWC에서 $\rho_{s}$가 0.003~0.042, 압축철근 비($\rho_{s}'$)가 0~0.014, $w_{c}$가 2,107~2,432 kg/m3, 전단경간비($a/d_{s}$)가 2.8~6.4의 범위를 가지며, LWAC에서는 $\rho_{s}$가 0.001~0.034, $\rho_{s}'$가 0~0.017, $w_{c}$가 1,651~2,070 kg/m3 및 $a/d_{s}$가 2.9~6.7의 범위를 갖는다. 실험결과로부터 얻은 $\mu_{\Delta}$ 값들과 2차원 비선형 해석결과로부터 얻은 값들의 비의 평균($\gamma_{m}$) 및 표준편차($\gamma_{s}$)는 각각 NWC 보에서 1.05와 0.13이며, LWAC 보에서는 1.02와 0.15이다. 이들 값으로부터 2차원 비선형 해석은 다양한 설계조건($w_{c}$, $\rho_{s}$ 및 $f_{ck}$ 등)을 갖는 RC 보의 $\mu_{\Delta}$ 평가에 적절하게 이용될 수 있다고 평가된다.

Fig. 3. Comparison of experimental results $\mu_{\Delta}$ and predic-tions by 2-D NLA

3.1 최대 주철근 비($bold\rho_{s,\:\max}$)

KCI 2017(2017)에서는 항복강도 400 MPa 이상의 철근을 사용한 보에서 $\rho_{s,\:\max}$를 $\epsilon_{cu}$가 0.003에 도달할 때 최외단 인장 주철근의 변형률 값($\epsilon_{s}$)의 최소 값이 재료 항복 변형률($\epsilon_{y}$)의 2배가 되도록 제한하고 있다. Fig. 4에는 $\rho_{s,\:\max}$를 갖는 RC 보의 최대 내력상태에서의 응력 및 변형률 분포를 나타내었다. 이때의 압축연단 및 인장연단의 변형률과 중립축 깊이($c_{n}$)의 관계는 다음과 같이 비례식으로 정리될 수 있다.

Fig. 4. Distribution of strains and stresses at ultimate state of RC beams

여기서, $c_{n}$은 중립축의 깊이를, $d$는 단면의 유효깊이를 나타낸다. 최대 주철근 비($\rho_{s,\:\max}$)를 갖는 RC 보의 $c_{n}$은 식(1)을 통해 다음과 같이 정리될 수 있다.

또한 $c_{n}$은 힘의 평형조건을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $A_{s}$는 주철근의 단면적을, $A_{s}^{'}$는 압축철근의 단면적을, $f_{y}$는 주철근의 항복강도를, $f_{s}^{'}$는 압축철근의 응력을, $\beta_{1}$은 콘크리트 등가응력 블록의 깊이 계수를, $b_{w}$는 단면의 폭을 나타낸다. 결과적으로 식(2) 및 식(3)은 다음과 같이 재정리될 수 있다.

식(4)의 $A_{s}$는 KCI 2017(2017)을 이용하여 $\epsilon_{c}$가 0.003에 도달할 때 $\epsilon_{s}$가 $\epsilon_{y}$의 2배 이상이 되도록 하는 조건으로부터 유도되었다. 따라서 식(4)의 $A_{s}$를 통해 산정된 $\rho_{s}$는 RC 보의 취성파괴를 방지하기 위한 $\rho_{s,\:\max}$로 간주할 수 있다.

3.2 변수별 영향평가

Fig. 5에는 2차원 비선형해석에 이용된 Yang et al.(2014b)의 응력-변형률 모델을 나타내었다. 예측된 응력-변형률 관계는 $w_{c}$의 영향을 평가하기 위해 동일한 $f_{ck}$를 갖는 전경량 콘크리트(all-lightweight aggregate concrete, ALWAC), 모래경량 콘크리트(sand-lightweight aggregate concrete, SLWAC) 및 NWC를 비교하였다. 이때 적용된 $w_{c}$는 ALWAC, SLWAC 및 NWC에서 각각 1,400 kg/m3, 1,700 kg/m3 및 2,300 kg/m3이다. ALWAC 및 SLWAC의 초기강성은 NWC보다 낮았다. 또한, $f_{ck}$ 이후 응력-변형률 관계는 급격한 응력 저하가 발생하였으며, ALWAC 및 SLWAC가 NWC보다 현저하게 감소하였다. 즉, Yang et al.(2014b)의 응력-변형률 관계는 $w_{c}$가 감소할수록 초기 기울기는 낮고 최대 응력 이후 응력 감소 기울기는 더 급격한 취성적인 경향을 보인다.

Fig. 5. Strain-stress relationships of unconfined concrete from analysis (Yang et al. 2014b)

Fig. 6에는 2차원 비선형 해석에 의해 예측된 RC 보의 하중-변위 관계로부터 결정된 $\mu_{\Delta}$에 대한 주요 변수들의 영향을 나타내었다. 선정된 주요 변수들은 $\rho_{s}$가 0.003 ~ 0.024, $\rho_{s}'$가 0~0.003, $w_{c}$가 1,400~2,300 kg/m3 및 $f_{ck}$가 20~100 MPa의 범위에 있다. 변위 연성비($\mu_{\Delta}$)는 LWAC의 영향을 평가하기 위해 동일한 변수범위를 갖는 ALWAC, SLWAC 및 NWC로 비교하였다. NWC 및 ALWAC 보의 $\mu_{\Delta}$는 $\rho_{s}$가 약 24.5 % 감소할 때 각각 1.38배 및 1.35배 증가하였다. 주철근 비($\rho_{s}$)가 0.024일 때, ALWAC 및 SLWAC 보의 $\mu_{\Delta}$는 NWC 보에 비해 각각 5 % 및 14 % 낮았다. 압축철근비($\rho_{s}^{'}$)가 3배 증가할 때 $\rho_{s,\:\max}$ 영역의 $\mu_{\Delta}$는 $w_{c}$에 관계없이 약 1.13배 증가하였으며, $\mu_{\Delta}$에 대한 $\rho_{s}^{'}$의 영향은 미미하였다. 최대 주철근 비($\rho_{s,\:\max}$)를 갖는 NWC 보는 $f_{ck}$가 20 MPa에서 40 MPa로 증가할 때 $\mu_{\Delta}$는 약 1.01배 증가하였다. 반면, LWAC 보는 $f_{ck}$가 20 MPa에서 40 MPa로 증가할 때, $\mu_{\Delta}$가 감소하였는데, 그 감소의 정도는 SLWAC 및 ALWAC에서 각각 2 % 및 3 % 이내였다. 최대 주철근 비($\rho_{s,\:\max}$)를 갖는 RC 보의 $\mu_{\Delta}$에 대한 $f_{ck}$의 영향은 미미하였다. 즉, RC 보의 $\mu_{\Delta}$는 $\rho_{s}^{'}$ 및 $f_{ck}$보다 $\rho_{s}$에 의한 영향이 현저하다. 한편, 동일 변수 조건에서 ALWAC 보의 $\mu_{\Delta}$ 값은 SLWAC 보 및 NWC 보에 비해 낮았다. 즉, RC 보의 $\mu_{\Delta}$는 $w_{c}$의 감소와 함께 감소하였다.

3.3 최대 주철근 비를 갖는 보의 하중-변위 관계

Fig. 7에는 2.1절의 2차원 비선형 해석을 통해 예측된 $\rho_{s,\:\max}$를 갖는 NWC 및 LWAC 보의 $\rho_{s}$에 따른 하중-변위 관계 및 $\mu_{\Delta}$를 나타내었다. ALWAC 및 SLWAC의 하중-변위 관계의 최대 내력 이전까지의 거동은 NWC 보와 유사한 경향을 보였다. ALWAC 및 SLWAC 보는 최대 내력 이후 NWC 보보다 하중이 급격히 감소하는 취성적인 거동을 보였으며, 특히 ALWAC 보가 SLWAC 보에 비해 취성적인 경향이 더 현저하였다. 최대 주철근 비($\rho_{s,\:\max}$) 영역의 SLWAC 및 ALWAC 보는 예측된 $\mu_{\Delta}$값이 NWC 보에 비해 각각 8 % 및 17 % 낮았다. 결과적으로 KCI 2017(2017)의 $\rho_{s,\:\max}$는 LWAC 보의 연성을 NWC 보와 동등한 수준으로 발휘하기 위해서 설계기준에서 제시하는 값을 낮출 필요가 있음을 의미한다.

3.4 최대 주철근 비 보정계수 모델제시

이전 절에서 파악된 바와 같이 RC 보는 $\rho_{s}$가 증가하거나 $w_{c}$가 감소할 때에 그 연성이 저하한다. 따라서 LWAC 보에서 식(4)에 나타낸 최대 주철근 량은 NWC 보와 동등한 연성확보를 위해서 감소 될 필요가 있다. 즉, NWC 보의 최대 주철근 비에서 보정계수($\chi$)를 고려하면 LWAC 보의 $\rho_{s,\:\max}$는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 7. Load-deflection relationship of different beams with $\rho_{s,\:\max}$

여기서, $(\rho_{s})_{LWAC}$는 LWAC 보의 $\mu_{\Delta}$가 $\rho_{s,\:\max}$를 갖는 NWC 보의 $\mu_{\Delta}$와 동등한 수준으로 확보할 때의 $\rho_{s}$를, $(\rho_{s,\:\max})_{NWC}$는 KCI 2017(2017)에 의해 산정된 $\rho_{s,\:\max}$를 의미한다. Fig. 8에는 $\chi$에 대한 $w_{c}/w_{0}$ 및 $f_{ck}/f_{co}$의 영향을 나타내었는데, 여기서 $w_{0}$ 및 $f_{c0}$는 콘크리트의 단위용적중량 및 압축강도의 참고 값으로 각각 2,300 kg/m3 및 10 MPa를 의미한다. 식(5)에서 $\chi$ 값의 산정과정은 다음과 같다; 1) KCI 2017(2017)에서 제시된 $\rho_{s,\:\max}$로 설계된 NWC 보의 $\mu_{\Delta}$는 2차원 비선형 해석에서 예측된 하중-변위 관계로부터 산정한다; 2) NWC 보와 동일한 상세를 갖는 LWAC 보의 $\mu_{\Delta}$를 같은 방식에 의해 정한다; 3) LWAC 보의 $\mu_{\Delta}$가 NWC 보의 $\mu_{\Delta}$와 동등한 값을 가질 때까지 LWAC 보에서 주철근 양을 감소시킨다; 4) 최종적으로 결정된 $\rho_{s}$에 대해 식(5)를 이용하여 $\chi$를 계산한다.

위의 절차로부터 산정된 $\chi$는 다양한 변수 범위에서 주요변수들의 영향을 평가하였다. 이때 변수연구에서 적용된 주요 변수들은 $\rho_{s}$가 0.007~0.038, $\rho_{s}^{'}$가 0~0.003, $f_{y}$가 400~500 MPa, $w_{c}$가 1,400~2,300 kg/m3 및 $f_{ck}$가 20~60 MPa 범위에 있다. LWAC 보에서 $\chi$ 값은 $w_{c}/w_{0}$가 26 % 감소할 때, 약 17 % 감소하였다(Fig. 8(a)). 반면, $\chi$ 값은 $f_{ck}/f_{c0}$가 2배 증가할 때, 약 5 %로 감소하였다(Fig. 8(b)). 즉, $\chi$ 값은 $w_{c}/w_{0}$에 의해 중요한 영향을 받지만 $f_{ck}/f_{c0}$에 의한 영향은 미미하였다. 따라서 $\chi$ 값을 $w_{c}/w_{0}$의 함수로만 제시한다면 다음과 같다(Fig. 8(a)).

식(6)에서 제시된 $\chi$ 값은 $w_{c}$가 2,300 kg/m3에서 1,400 kg/m3 및 1,700 kg/m3으로 감소할 때 각각 29 % 및 19 % 감소된다. 즉, $w_{c}$가 감소할수록 보정계수 값은 감소한다. 이는 LWAC 보의 $\mu_{\Delta}$가 NWC 보와 동등한 수준으로 있기 위해서는 $w_{c}$가 감소함에 따라 최대 주철근 양은 낮게 있어야 함을 잘 반영하고 있다.

Fig. 8. Estimation of compensation factor ($\chi$)