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  1. 기대학교 건축공학과 교수 (Professor, Department of Architectural Engineering, Kyonggi University, Suwon 16227, Rep. of Korea)
  2. 경기대학교 건축공학과 조교수 (Assistant Professor, Department of Architectural Engineering, Kyonggi University, Suwon 16227, Rep. of Korea)
  3. 경기대학교 일반대학원 건축공학과 석사과정 (Graduate Student, Department of Architectural Engineering, Kyonggi University, Suwon 16227, Rep. of Korea)



보, 곡률 연성비, 변위 연성비, 경량골재 콘크리트
beams, curvature ductility ratio, displacement ductility ratio, lightweight aggregate concrete

1. 서 론

철근 콘크리트(reinforced concrete, RC) 보의 소성회전능력은 일반적으로 주철근의 항복시점부터 최대내력까지의 변형 정도를 나타내는 곡률 연성비 또는 변위 연성비로 평가된다(Lee 2013)(8). 여러 연구자(Ahmad and Barker 1991; Han et al. 2001)(1,5)는 다양한 변수범위에서 RC 보의 연성을 실험적으로 평가하고 있지만, 곡률 또는 변위 연성비를 예측할 수 있는 설계모델에 관한 연구는 여전히 미미하다. 특히 몇몇 연구자(Pam et al. 2001a, 2001b; Arslan and Cihanli 2010)(2,10,11)는 곡률 연성비의 모델을 제안하고 있는데, 대부분 보통 콘크리트(normal-weight concrete, NWC) 보의 실험결과에 기반하고 있어 경량골재 콘크리트(lightweight aggregate concrete, LWAC) 보의 연성을 예측하는 데 다소 한계가 있다(Yang et al. 2020b)(19).

경량골재 콘크리트(LWAC)는 골재 자체의 낮은 강도로 인해 관통파괴 되기 때문에 최대 내력 이후 부재의 내력저하는 NWC보다 LWAC에서 더 급격하다(Yang and Mun 2009)(17). 따라서 동일한 주철근 비에서 LWAC 보의 소성회전능력은 일반적으로 NWC 보보다 낮다(Bernardo et al. 2016)(3). Yang et al.(2020a)(20)은 LWAC 보의 연성은 NWC 보보다 평균 7.6 % 낮으며, 그 낮음의 정도가 주철근 지수가 낮을수록 증가함을 보고하였다. Sin et al.(2011)(16)은 LWAC 보의 연성은 단위용적중량이 19 % 감소함에 따라 약 9 % 감소함을 보였다. 이와 같이 LWAC 보의 소성회전능력은 NWC 보보다 낮을 가능성이 높으므로 RC 보의 곡률 또는 변위 연성비의 모델에서 이에 대한 고려가 필요하다.

이 연구의 목적은 LWAC 보에서 소성회전능력에 대한 합리적인 모델을 제시하는 것이다. 소성회전능력 모델은 곡률(μϕ) 및 변위(μΔ) 연성비의 개념으로 평가하였다. μϕμΔ에 대한 기본 방정식은 위험단면에서 변형률 적합조건 및 힘의 평형조건과 보 길이에 따라 이상화된 곡률 분포(Park and Paulay 1975)(12)로부터 유도되었다. 유도된 μϕμΔ의 모델은 RC 보의 연성에 중요한 함수들의 변수연구를 통하여 단순화하였다. 최종적으로 제시된 단순모델은 기존 연구자들의 120개의 실험결과(Shin 1988; Ahmad and Barker 1991; Park and Kim 1999; Han et al. 2001; Maghsoudi and Bengar 2006; Jung et al. 2007; Sin et al. 2011; Carmo et al. 2013; Bernardo et al. 2016; Im et al. 2020; Yang et al. 2020b)(1,3-7,9,13,15,16,19)와의 비교를 통하여 그 정확도를 평가하였다.

2. 기존 모델의 분석

철근 콘크리트(RC) 보 단면의 소성회전능력은 일반적으로 곡률 연성비(μϕ) 또는 변위 연성비(μΔ)로 다음과 같이 평가될 수 있다(Park and Paulay 1975)(12).

(1)
μϕ=ϕnϕy

(2)
μΔ=ΔnΔy

여기서, ϕnϕy는 각각 최대내력 및 항복시점의 곡률을, ΔnΔy는 최대내력 및 항복시점의 변위를 의미한다. 이장에서는 식(1) 및 (2)에 대한 기존 제안모델(Pam et al. 2001a, 2001b; Arslan and Cihanli 2010; Yang et al. 2020a)(2,10,11,20)들이 LWAC 보의 소성회전능력을 예측하는데 설계식으로서의 한계를 중점적으로 분석하였다.

2.1 곡률 연성비

Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11)은 비선형 해석을 이용하여 NWC 보에서 콘크리트 압축강도(fck)와 주철근비(ρs)에 따른 균형철근비(ρb)를 산정하였으며, 이로부터 RC 보의 μϕ를 다음과 같이 제안하였다.

(3a)
μϕ=9.5(fck)0.3(ρsρb)0.75 for ρs=0

(3b)
μϕ=10.7(fck)0.45(ρsρsρb)1.25(1+95.2(fck)1.1(ρsρs)3) for ρs>0

여기서, ρs는 압축철근비를 의미한다. 식(3)에서 나타낸 바와 같이 Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11)의 모델은 fckρs/ρb로 RC 보의 연성을 평가하고 있다. 따라서 이 모델은 NWC 보보다 낮게 평가되는 LWAC 보의 소성회전능력을 고려할 수 있는 함수를 포함하고 있지 않다.

Arslan and Cihanli(2010)(2)은 50 MPa 이상의 fck를 갖는 NWC 보에서의 μϕ를 다음과 같이 제안하였다.

(4)
μϕ=40(ρsρb)1.18(fck)0.17(fy)0.42

여기서, fy는 주철근의 항복강도를 의미한다. 식(4)에 나타낸 바와 같이 Arslan and Cihanli(2010)(2)의 모델은 fck, ρs/ρbfy의 함수를 포함하고 있는데, Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11)에 의해 제시된 식(3)과 비슷한 형태를 가지고 있다. Arslan and Cihanli(2010)(2)의 모델도 NWC 보보다 낮게 평가되는 LWAC 보의 소성회전능력을 반영할 수 있는 함수를 포함하고 있지 않다. 이와 같이 Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11) 및 Arslan and Cihanli (2010)(2)의 모델들은 NWC 보의 실험결과에 기반하여 제시하고 있어 LWAC 보의 소성회전능력을 과대평가할 가능성이 높다.

2.2 변위 연성비

Yang et al.(2020a)(20)은 구축된 데이터베이스의 분석을 통하여 LWAC 보의 μΔ가 NWC 보보다 낮게 있음을 강조하였다. 또한 2경간 LWAC 보의 μΔ는 실험결과의 회귀분석으로부터 주철근 지수(ωs=ρsfy/fck)의 함수로 다음과 같이 평가될 수 있음을 보였다.

(5)
μΔ=6.09Exp[9.963ωs]

식(5)에서 나타낸 바와 같이 Yang et al.(2020a)(20)의 모델도 ωs의 함수로 제시되고 있기 때문에 Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11) 및 Arslan and Cihanli(2010)(2)의 모델에서 적용된 동일한 함수를 포함하고 있다. 하지만, Yang et al.(2020a)(20)의 모델은 제한적인 변수범위를 갖는 12개의 2경간 LWAC 보 실험결과에 기반하여 제시되었다. 특히, 이 모델도 NWC 보보다 낮게 평가되는 LWAC 보의 소성회전능력을 반영할 수 있는 함수를 포함하고 있지 않다.

3. 곡률 및 변위 연성비 모델

3.1 기본 방정식

T형 단순보의 항복상태와 최내내력 시점에서 중립축 깊이는 대부분 플랜지 내(Yang et al. 2020b)(19)에 있다. 또한 연속보의 경우 소성힌지는 플랜지의 인장저항이 무시되는 장방형 단면의 부모멘트 영역에서 우선 형성된다. 따라서 이 연구에서는 플랜지를 무시한 장방형 보의 단면에서 μϕμΔ의 기본 방정식을 유도하였다. 식(1)ϕnϕy는 위험단면에서 구성 재료들의 변형률 및 중립축 깊이로부터 다음과 같이 정리할 수 있다(Park and Paulay 1975)(12).

(6)
μϕ=ϵcu/cnϵsy/(dscy)

여기서, cycn은 각각 항복상태 및 최대내력상태에서의 중립축 깊이를, ϵsyϵcu는 각각 항복상태에서 주철근의 항복변형률과 최대내력상태에서의 콘크리트 압축연단 극한변형률을, ds는 주철근의 깊이를 의미한다. Fig. 1에는 항복 및 최대내력 시점에서 장방형 보단면의 각 구성 재료들의 변형률과 응력분포를 나타내었다. 항복상태에서는 주철근의 변형률이 항복에 도달하기 직전의 상태이므로 압축존의 콘크리트의 응력이 탄성상태에 있을 가능성이 높다(Yang et al. 2014)(18). 따라서 압축존의 콘크리트의 응력을 단면 깊이에 따라 선형 분포한다는 가정과 함께 힘의 평형조건으로부터 cy는 다음과 같이 정리할 수 있다.

Fig. 1. Distribution of stresses and strains at different states

../../Resources/kci/JKCI.2021.33.1.031/fig1.png

(7a)
cy=[B1±B214A1C12A1]

(7b)
A1=0.5Ecϵsybw

(7c)
B1=AsEsϵsy+Asfy

(7d)
C1=AsEsϵsydAsfyds

여기서, bw는 보의 폭을, EcEs는 각각 콘크리트와 철근의 탄성계수를, Asd는 각각 압축철근의 단면적 및 깊이를, As는 주철근의 단면적을 의미한다. 식(6)에서 cn은 최대내력 상태에서 각 구성 재료들의 변형률 분포 및 힘의 평형조건으로부터 다음과 같이 정리할 수 있다.

(8a)
cn=[B2±B224A2C22A2]

(8b)
A2=0.85fckβ1bw

(8c)
B2=AsEsϵcuAsfy

(8d)
C2=AsEsϵcud

여기서, β1는 등가응력블록의 깊이계수를 의미한다. 이에 따라 식(6)~(8)로부터 RC 보의 μϕ를 계산할 수 있다. 한편, 식(2)에서 ΔyΔn은 보 길이에 따라 이상화된 곡률분포(Fig. 2)와 등가소성힌지길이(Lp)를 모멘트 면적법을 이용하여 다음과 같이 산정할 수 있다.

(9a)
Δy=12ϕy(a23+A3as+A23)

(9b)
Δn=ϕy(L22412B3)+ϕn12B3

(9c)
A3=0.5Las

(9d)
B3=L2p+0.5LPA+A2

식(9)에서 Lp는 다음의 식에서 제시하고 있는 Priestley and Park(1987)(14)의 모델을 이용하였다.

(10)
Lp=0.08as+0.022dbfy

여기서, as는 전단경간을, db는 주철근의 직경을 의미한다. 이에 따라 식(2), (9) 및 (10)으로부터 RC 보의 μΔ를 계산할 수 있다. 결과적으로 μϕμΔcycn에 직접적으로 결정되기 때문에 콘크리트와 철근의 역학적 특성에 현저한 영향을 받음을 알 수 있다(Lee 2013; Yang et al. 2014)(8,18). 따라서 응력-변형률 관계에서 NWC보다 최대응력 이후 취성적인 경향을 β1(Yang et al. 2013)(21)에 반영한다면, LWAC 보의 연성은 NWC 보보다 낮게 평가될 가능성이 높다(Yang et al. 2020a)(20).

Fig. 2. Distribution of curvature along beam length

../../Resources/kci/JKCI.2021.33.1.031/fig2.png

3.2 주요 변수영향 평가

Fig. 3에는 RC 보의 동일한 단면상세에서 콘크리트의 단위용적중량(ρc)에 따른 μϕμΔ를 나타내었다. 적용된 변수범위는 ωs가 0.125~0.25, ρc가 1,400~2,300 kg/m3이었으며, fckfy는 24 MPa와 400 MPa로, 압축철근 지수(ωs)와 as/ds는 각각 0 및 4로 고정하였다. 철근 콘크리트(RC) 보의 μϕμΔρc가 39 % 감소할 때 각각 47 % 및 28 % 감소하였다. 또한, 그 감소 기울기는 ωs가 감소함에 따라 더 현저하였다. 단위용적중량(ρc)이 1,400 kg/m3인 RC 보의 μϕμΔωs가 0.125일 때 0.25로 증가할 때 각각 47 % 및 76 % 감소하였다. 이는 ωs의 감소가 압축존을 키워 RC 보의 연성에 미치는 콘크리트의 역학적 특성의 영향이 더욱 커졌기 때문이다. 따라서 LWAC 보의 μϕμΔ의 모델은 NWC보다 낮은 역학적 특성의 영향을 고려하는 ρc의 함수를 반드시 고려하여야 한다.

3.3 모델의 단순화

3.1절에서 제시된 바와 같이 μϕμΔ식(6)~(10)로부터 산정하여야 하므로 그 계산과정이 매우 복잡하다. 따라서 이 모델들은 단순식으로 일반화되었는데, 변수연구에서 얻어진 결과인 ωs가 증가하거나 ρc가 감소함에 따라 감소하는 연성의 영향을 반영하였다. 적용된 변수범위는 ωs가 0.03~0.5, ωs가 0~0.005, ρc가 1,400~2,300 kg/m3이다. μϕμΔ는 주요 영향 변수인 ωsρc를 함수로 선정하였으며, 각각 반비례와 비례 관계로 조합하였다. 결과적으로 단순식은 이들의 주요영향 변수들을 반복적으로 조합하면서 상관계수가 가장 높은 때로 산정하였으며, 그 식은 다음과 같다(Fig. 4).

Fig. 3. Effect of different parameters on plastic rotation capacity

../../Resources/kci/JKCI.2021.33.1.031/fig3.png

(11)
μϕ=0.43[ω0.7s(1+ωs)7(ρoρc)0.6]1.5

(12)
μΔ=0.62[ω0.7s(1+ωs)3(ρoρc)0.5(asds)0.1]1.3

여기서, ρo는 단위용적중량의 참고값(2,300 kg/m3)을 의미한다. 결과적으로 LWAC 보의 μϕμΔ식 (11)(12)에 제시된 바와 같이 ρc의 함수를 포함함으로서 NWC 보와 LWAC의 보의 연성을 합리적으로 예측할 수 있다.

4. 제시된 모델과 실험결과와의 비교

4.1 데이터베이스 구축

제시된 μϕμΔ는 설계식으로의 신뢰성을 검증하기 위해서 휨으로 지배된 RC 보의 실험결과들(Shin 1988; Ahmad and Barker 1991; Park and Kim 1999; Han et al. 2001; Maghsoudi and Bengar 2006; Jung et al. 2007; Sin et al. 2011; Carmo et al. 2013; Bernardo et al. 2016; Im et al., 2020; Yang et al. 2020b)(1,3-7,9,13,15,16,19)을 데이터베이스화 하였는데, μϕ에 대한 실험결과가 매우 미미하였다. 따라서 이장에서 제시된 데이터베이스는 μΔ에 대한 실험결과만을 가지고 제안모델의 신뢰성을 평가하였다. 데이터베이스화된 실험결과들은 ρs가 0.002~0.077, ρs가 0~0.017, ρc가 1,578 kg/m3~2,400 kg/m3, 전단경간-깊이비(as/ds)가 2.9~6.7 및 fck가 20~115 MPa의 범위에 있었다. Fig. 5에 나타낸 바와 같이 LWAC 보에서는 ρs가 0.01~0.02, fck는 40~60 MPa, as/ds가 2.5~4의 범위가 대부분이었다. 또한, NWC에서는 ρs가 0.003~0.02, fck는 20~40 MPa, as/ds가 4~5.5의 범위가 대부분이었다.

Fig. 4. Generalization of ductility ratio

../../Resources/kci/JKCI.2021.33.1.031/fig4.png

Fig. 5. Frequency of flexure-governed beams

../../Resources/kci/JKCI.2021.33.1.031/fig5.png

4.2 실험결과와의 비교

이전의 절에서 구축된 실험결과와 제시된 모델들과의 비교를 위해서 Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11)과 Arslan and Cihanli(2010)(2)의 모델들은 식(10)식(9)를 대입한 후 식(2)를 이용하여 μΔ로 환산하였다. Fig. 6에는 기존 모델 및 이 연구에서 제시된 모델에 의한 예측값과 실험값의 비들의 평균(γm) 및 표준편차(γs)를 나타내었다. Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11)의 모델은 μΔ를 불안전측으로 예측하였는데, 그 불안전측의 정도는 ρc가 감소함에 따라 증가하였다. 결과적으로 실험결과와의 비교에서 Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11)의 모델의 γm는 LWAC 보에서 0.42로서 NWC 보보다 약 27 % 낮았다. Arslan and Cihanli (2010)(2)의 모델도 Pam et al.(2001a, 2001b)(10,11)의 모델과 비슷한 경향을 나타내었다. 실험결과와의 비교에서 Arslan and Cihanli (2010)(2)의 모델의 γm는 LWAC 보와 NWC 보에서 각각 0.77 및 0.79이었다. 반면, Yang et al.(2020a)(20)의 모델은 대부분의 실험결과를 안전측으로 예측하였는데, 그 안전측의 정도가 NWC 보에서 현저하게 높았다. 실험결과와의 비교에서 Yang et al.(2020a)(20)의 모델의 γm은 LWAC 보와 NWC 보에서 각각 2.14 및 2.16이었다. 이와 같이 기존 제안모델들은 fck와 철근비에 관련된 함수(ρs, ρbρs)만을 포함하고 있어 콘크리트의 종류에 따라 변화되는 RC 보의 연성을 고려하지 못하고 있다. 이에 반해, 제안모델은 ρc와 철근비에 관련된 함수에 관계없이 γmγs가 각각 0.98 및 0.20으로서 RC 보의 μΔ를 대체로 잘 예측하였다. 이때 LWAC 보에서 γmγs는 각각 0.94 및 0.20이었으며, NWC 보에서는 각각 1.02 및 0.20이었다. 따라서 RC 보의 μΔρc의 함수의 반영으로 LWAC 보에서 낮게 평가되는 연성을 잘 예측할 수 있다.

Fig. 6. Comparison of test results for μΔ with predicted values

../../Resources/kci/JKCI.2021.33.1.031/fig6_1.png

../../Resources/kci/JKCI.2021.33.1.031/fig6_2.png

5. 결 론

이 연구에서는 경량골재 콘크리트(LWAC) 보의 곡률(μϕ) 및 변위 연성비(μΔ)를 합리적으로 평가하기 위한 모델을 제시하였다. 철근 콘크리트(RC) 보의 μϕ에 대한 실험 데이터는 매우 부족하므로 제안 모델의 검증은 μΔ에 한정하였다. 콘크리트 단위용적중량을 고려한 μϕμΔ의 모델제시로부터 다음과 같은 결론을 얻었다.

1) 위험단면의 변형률 적합조건 및 힘의 평형조건과 보의 길이에 따라 이상화된 곡률분포로부터 유도된 μϕμΔ는 단위용적중량(ρc)이 39 % 감소할 때 각각 평균 47 % 및 28 % 감소하였는데, 그 감소 기울기는 주철근 지수(ωs)가 감소함에 따라 더욱 현저하였다.

2) 유도된 μΔ는 변수연구를 기반으로 ωs, 압축철근 지수(ωs), ρc 및 전단경간-깊이 비(a/ds)의 함수를 갖는 단순모델로 일반화하였다.

3) Pam et al.과 Arslan and Cihanli의 모델은 μΔ를 불안전측으로 예측하였는데, 그 불안전측의 정도는 ρc가 감소함에 따라 증가하였다. 반면 Yang et al.의 모델은 μΔ를 안전측으로 예측하였지만, 그 안전측의 정도가 보통 콘크리트 보에서 2.14이었다.

4) 제시된 μΔ의 모델은 ρc와 철근비에 관련된 함수에 관계없이 실험결과를 잘 예측하였는데, 실험결과 대비 예측값의 비의 평균과 표준편차가 각각 0.98 및 0.20이었다.

5) 제시된 μΔ의 모델은 ρc의 함수를 반영함으로써 LWAC 보에서 낮게 평가되는 소성회전 능력을 합리적으로 예측할 수 있다.

감사의 글

이 연구는 2017년도 정부(미래창조과학부)의 재원으로 한국연구재단(과제번호: No. 2017R1A2B3008463) 지원에 의하여 수행된 중견연구사업과 2018년도 정부(교육부)의 재원으로 한국연구재단의 기본연구지원사업(과제번호: No. 2018R1D1A1B07050275)의 연구비 지원으로 수행되었으며, 이에 감사드립니다.

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