2.1 유체-고체 계면에서 전파되는 탄성파동의 특성

Fig. 1과 같이 유체-고체의 이차원 반 무한체 공간(joint-half space)에서 계면에 입사된 파동($F$)은 경계 조건에 따라 반사파($F'$)와 굴절파($P$파, $S$파)가 형성된다. 이때, 고체로 굴절된 P파($\Phi$), S파($Η$)와 유체 내에 전달되는 음파($P$)는 식(1)~(3)과 같이 파동 방정식으로 전개된다.

여기서, $\Phi$와 $Η$는 각각 P파와 S파의 입자 속도이며 $P$는 유체의 압력을 나타낸다. 또한 $B,\: D,\: F,\: F'$은 파동의 진폭, $\omega$는 각주파수를 의미하며, $\alpha ,\:\beta ,\:\gamma ,\:\xi$는 파수(wave number)로써 다음 식(4)~(7)과 같이 표현될 수 있다. 즉, $\xi$는 계면에서 $x$축으로 전달되는 파동의 파수이다.

이때, $C_{L}$과 $C_{T}$는 고체에서의 P파와 S파의 속도, $C_{Fluid}$는 유체에서 음파의 속도, $C$는 계면에서 $x$축으로 전달되는 파동의 속도이다. 식(7)의 $C$가 누설표면파의 속도가 되기 위해서는 추가적인 조건을 만족하여야 한다. 고체에서의 파동 속도를 의미하는 $C_{L}$과 $C_{T}$는 재료의 밀도, 푸아송비 및 탄성계수로 정의된다.

유체-고체에서 형성되는 누설파를 확인하기 위하여, 경계면($y=0$)의 물리적 연속성(continuity) 조건을 다음식 (8)~(10)과 같이 적용할 수 있다. 1) 유체의 변위와 고체의 변위가 동일하며, 2) 유체에서의 압력은 고체에서의 축응력과 같으며, 3) 유체에서는 전단응력이 발생하지 않는다.

명시된 세 가지 적합조건을 식(1)~(3)에 대입하면 식(11)과 같은 특성 방정식(characteristic equation)을 구할 수 있다. 이때, 정의된 행렬 M(식(12))은 자명한 해(trivial solution)가 되지 않기 위해 역행렬이 존재하지 않아야 하는 식(13)의 조건을 만족해야 한다(^{Viktorov 1967; Achenbach 2012; Graff 2012}). 표면파가 흘러갈 수 있는 조건은 $\alpha ,\:\beta$가 음수의 허수이고 $\gamma$가 양수의 허수를 갖을 때이며, 유체에서 반사되는 파동 $P$는 사라지고 표면파가 흘러가는 조건을 만족하게 된다. 특히 $\xi$가 허수를 갖을 때 계면에서 전달되는 파동이 유체로 발산하는 누설파의 성질을 띄게 된다. 위와 같은 파수의 조건은 실험적으로 입사각의 조절로 만족시킬 수 있다.

식(13)의 조건에서 비점성 유체인 공기의 물리적 상수($\rho =1.2$ kg/m3, $C_{Fluid}=343$ m/s)를 대입하고 고체의 경우 콘크리트의 밀도($\rho =2,\:400$ kg/m3)와 푸아송비($\nu =0.2$)를 적용시킨 결과가 다음 Fig. 2와 같다. 콘크리트의 탄성계수가 1~50 GPa로 증가할 때, 식(13)을 만족시키는 $\xi$를 도출할 수 있으며, 두 가지 다른 해(solution)를 가짐을 확인할 수 있다. 첫째로 콘크리트의 탄성계수가 변화함에도 불구하고 약 900 m-1의 파수에서 한점으로 수렴하는 근의 경우 공기의 속도와 유사한 Scholte파의 발생조건을 의미한다. Scholte파는 음파의 속도와 유사하면서도 그 진폭이 매우 작아 실제 계측이 어려운 것으로 알려져 있다(^{Graff 2012}). 두 번째로 약 110~820 m-1의 범위를 갖는 근의 경우 탄성 계수가 증가함에 따라 변화하는 누설 표면파의 발생 조건을 나타낸다. 따라서, 본 연구에서 사용되는 주파수인 50 kHz($\omega =3.14\times 10^{5}$ rad/s)를 기반으로 도출된 파수($\xi$)를 식(7)에 대입하여 누설 표면파의 속도($C_{LR}$)를 도출할 수 있다.

2.2 표면파와 누설 표면파의 관계

공기-콘크리트 계면에서 발생하는 표면파와 누설 표면파의 속도를 탄성계수가 증가함에 따라 비교한 결과를 Fig. 3에 나타냈다. 표면파의 속도($C_{R}$)는 매질의 재료적 상수에 따라 식(14)로 정의된다.

Fig. 3에서 확인이 가능하듯, 표면파와 누설 표면파의 속도는 거의 유사하며 탄성계수가 증가함에 따라 변화하는 파동의 거동 또한 유사함을 확인할 수 있다. 표면파와 누설 표면파의 속도 차이를 Fig. 4와 같이 계산한 결과, 공기-콘크리트 조건에서 표면파와 누설 표면파의 오차는 0.2 % 미만이다. 즉, 공기 중으로 누설되는 누설 표면파의 속도를 계측하여 탄성계수로 변환이 가능함을 알 수 있다. 이론식의 해석 결과 누설 표면파와 탄성계수의 상관관계는 다음 식(15)로 정의 내릴 수 있다.

여기서, $E_{d}$는 (동)탄성계수이며 단위는 GPa이다.

3.1 관입 저항침 시험

실험체의 모양과 크기가 관입 저항침 시험에 미치는 영향을 확인하기 위하여 총 세 가지 종류의 서로 다른 몰드를 준비하였으며, 실험체의 사진을 Fig. 5에 나타냈다. 관입 저항침 시험의 표준 규격인 지름 150 mm, 높이 150 mm의 실린더 실험체 이외에 세 변의 크기가 50 mm인 큐빅 몰드와 500 mm(가로)×300 mm(세로)×100 mm(높이)의 빔 실험체를 추가로 준비하였다. 모든 시험체에 대한 시험은 ^{ASTM C 403(2016)}에 따라 수행되었다. 측정 간격의 경우 실린더와 큐빅 실험체는 모르타르 배합 후 약 2시간 이내에, 빔 실험체는 초결 이후 측정이 시작되며 30분 간격으로 관입 저항 수치를 확인하였다.

3.2 표면파와 누설 표면파 비교 실험

Fig. 6은 표면파와 누설 표면파의 비교 실험을 위한 실험 구성도이다. 실험은 모르타르 실험체에서 발생되는 표면파와 누설된 표면파를 계측하기 위해 50 kHz의 중심 주파수를 가진하는 Senscomp, PID-615089를 사용하였다. 표면파는 접촉식의 가속도계(PCB, 352C15)를 표면에 부착하여 측정하였으며, 누설 표면파는 자체적으로 개발한 비접촉식 MEMS array를 사용하였다. 개발된 MEMS array(Knowles Acoustics, SPU0410LR5H-QB)는 8개의 센서가 5 mm의 일정한 간격으로 나열되어 있으며, 내장된 증폭회로를 통하여 50 kHz의 주파수에서 가장 높은 46 dB의 민감도를 갖도록 설계하였다(^{Hong and Choi 2021}). 계측된 신호는 Signal conditioner(PCB, 482C)에 의해 100배 증폭되어 Digitizer(NI USB-6366)를 통해 수집된다. 신호의 시간 분해능을 확보하기 위하여 계측에 사용된 샘플링 주파수는 2 MHz이며, 한 신호당 총 2,000개의 데이터를 계측하게 설정하였다. 센서의 위치는 가진원으로부터 200 mm이며, 센서와 가진원은 실험체 표면으로부터 10 mm와 20 mm의 높이에 위치하였다. 가진원은 표면파가 발생할 수 있는 조건을 만족시키도록 입사각 5°를 사용하였다. 신호는 처음 물을 혼합한 뒤 30분 이내로 총 24시간동안 모니터링 하였다. 신호의 계측은 미리 구성된 프로그램을 통하여 5분 간격으로 자동으로 계측된다.

3.3 누설 표면파 계측을 통한 시멘트계 재료의 탄성계수 예측 실험

누설 표면파는 일정한 간격으로 나열된 센서를 따라 신호를 계측하기 때문에 신호의 공간 및 시간 정보를 알 수 있다. 신호의 공간 및 시간 정보는 측정 시간대의 파동의 전파속도로의 변환이 가능하다(^{Hong and Choi 2021}). 유효 신호를 추출하기 위하여 적용된 Bandpass filter는 가진 주파수 대역만 추출하기 위하여 45 kHz~60 kHz의 대역폭으로 필터링 하였으며, Windowing을 통해 노이즈를 제거하여 분석을 진행하였다. 속도 분석에 사용된 시편은 총 4개로 시멘트 페이스트, 모르타르 및 콘크리트로 구성되어 있다(Table 1).

4.1 관입 저항침 시험 결과

실험체의 모양과 크기에 따른 관입 저항침 실험 결과를 Fig. 7에 나타냈으며, 초결 및 종결 시간은 Table 2에 요약하였다. 초결의 경우 큐빅 실험체가, 종결의 경우 빔 실험체가 약 220분과 360분으로 가장 빠르게 나타났다. 이때 초결은 실험체별로 최대 50분 종결은 최대 40분의 편차 확인이 가능하였다. 실험 결과, 동일한 재료를 동일한 수행자가 수행하였음에도 불구하고 관입 저항 수치에 차이가 존재한다. 이는 각각 다른 몰드의 경계조건이 압력을 받는 매질에 영향을 미치기 때문으로 사료된다. 추가적으로 몰드 내 잔여 공간에 따라서 이전 수행된 관입 저항침 흔적이 이후 수행될 실험결과에 미치는 영향도 무시할 수 없다. 이와 같이 샘플을 채취하는 방식으로는 굳지 않은 시멘트계 재료의 초기 거동의 일관적으로 파악하기에 어려움이 있다.

4.2 표면파와 누설 표면파 비교 실험 결과

Fig. 8은 A실험체에 대해서 재령별로 측정된 신호의 진폭을 색으로 표현한 그림(B-scan)으로 40 kHz의 고역필터(high pass filter)를 사용하여 저주파 잡음을 제거한 결과이다. x축은 가진기와 계측기 사이에서 음파가 도달한 시간(µs)을 y축은 재령(min)을 각각 의미한다. 진폭의 색이 밝게 표현된 부분이 신호가 계측됨을 나타내며 약 7시간 이전에는 계측되지 않다가 그 이후 표면파가 전달될 수 있는 조건을 만족함에 따라 신호 계측이 시작된다. 이 계측 시작 시점이 비접촉 초음파를 통하여 정의할 수 있는 응결이다. 누설표면파의 계측 시작 시점은 신호의 누적 에너지가 24시간 양생 후 에너지를 기준으로 5 % 이상 높아지는 시점으로 규정하였다(^{Hong et al. 2020}). 가속도계를 통해 측정한 표면파(Fig. 8(a))와 MEMS array를 통해 측정한 누설 표면파 결과(Fig. 8(b))를 비교하였을 때, 이론적 분석과 동일하게 동시에 계측이 시작됨을 확인할 수 있다. MEMS array를 통해 측정된 나머지 센서에서도 동일한 계측 시간을 확인할 수 있었으며, 결과는 부록에 나타냈다.

표면파와 누설 표면파의 계측은 프로그램에 따라서 자동으로 계측되기 때문에 초기 시멘트계 재료의 응결을 확인하기 위하여 수행자가 장기간 대기할 필요가 없다. 또한 관입 저항침 실험 중 핀에 대한 선택과 같은 수행자의 주관적 판단도 배제할 수 있기에 보다 일관된 결과를 얻을 수 있다. 더 나아가 누설 표면파의 경우, 비접촉 방식으로 계측되기 때문에 샘플을 채취하지 않고 타설된 재료에 직접 적용이 가능하다. 추가적으로 콘크리트 표면 상태에 영향을 미칠 수 있는 블리딩과 같은 조건을 변수로 추가하여 비접촉 계측에 대한 추후 연구를 진행하고자 한다.

4.3 누설 표면파 계측을 통한 시멘트계 재료의 탄성계수 예측 실험 결과

계측된 누설 표면파의 속도를 통하여 식(15)를 기반으로 도출된 탄성계수를 Fig. 9에 나타내었다. Fig. 9(a)는 서로 다른 배합의 4가지 실험체로부터 도출된 결과이며, 배합 및 수화반응 조건에 따라 누설 표면파의 계측 시점 및 속도 양상이 다름을 알 수 있다. 특히, 3종 시멘트를 사용한 콘크리트 시편(E)의 경우 응결 시작이 300분으로 다른 시편에 비하여 매우 빠르게 도출되었다. 각 시편의 응결 시작은 다르지만 Fig. 9(b)에 나타내었듯 누설 표면파의 측정이 시작된 시점에서의 탄성계수는 모든 시편에서 5~8 GPa 정도로 수렴하였다. 상응하는 누설 표면파의 속도는 속도는 800~1,100 m/s이다. 이는 서로 다른 배합 및 수화반응 조건으로 인해 탄성계수가 발현되는 양상은 다르지만 누설 표면파 계측으로 정의된 응결은 일정한 탄성계수의 범주를 갖는다는 것을 알 수 있다. 이로써 기존의 관입 저항침 시험이 응결 시점에서의 정량적인 기계적 특성을 제공하는 것이 어려운 것과 달리 누설 표면파의 계측은 일관된 탄성계수로 정의될 수 있다.