1. 서 론

원자력 시설의 구조적 파괴는 사람과 주변 환경에 큰 위협이 될 수 있기 때문에, 이 시설의 지진 응답에 대해서는 광범위하게 연구되어 왔다^{(ASCE 1999, 2017)}. 일반적으로 원자력시설에 작용하는 지진지반운동은 수직으로 전파하는 평면 전단파와 압축파로 구성되어 있다고 가정한다. 하지만, 이와 같이 상관 지반운동을 가정하는 것은 보수적인 구조 응답을 초래한다. 특히 관련된 구조물, 계통 및 기기에 대해 유의미하게 보수적인 내진 설계가 고진동수 운동에 대해 도입될 수 있다^{(ASCE 2017)}.

그러나 지진지반운동은 수평 방향으로 변화하기 때문에 비상관성을 가진다는 점에 유의해야 한다^{(ASCE 1999, 2017)}. 지진파가 전파되는 매질의 불규칙적인 이질성과 지반을 가로지르는 지진파의 도달 시간의 차이로 인해 비상관 지반운동이 발생한다. 지진파의 비상관성은 암반 및 토사 부지에 있는 구조물의 지진 응답을 고진동수 영역에서 감소시킬 수 있다. 따라서 고진동수 운동에 대해 보수적일 수 있는 상관 지반운동에 근거한 내진설계가 지반운동의 비상관성을 고려할 때 완화될 수 있다.

상관된 지진지반운동의 가정은 보수적인 결과를 산출하기 때문에, 지진파의 비상관성에 의한 지진응답의 감소를 지반응답스펙트럼에 대한 감소계수로 추정하기도 하였다 ^{(EPRI 1991, 1994; ASCE 1999)}. 그러나, 지진파의 비상관성을 고려한 기초운동 및 지진응답을 추정하기 위해 단순한 감소계수를 적용하는 것은 비상관 지진파의 복잡성으로 인해 원자력 시설의 동적 해석에 허용되지 않고^{(ASCE 2017),} 최근 확률론적 지진 안전성 평가 관련 EPRI 보고서에서는 지진 요구량을 평가하기 위해 단순 감소계수를 사용하는 것을 금지하였다^{(EPRI 2018)}. 대신, 지반-구조물 상호작용 해석 시 비상관 지진파의 특성을 고려할 수 있는 정교한 수치 모델이 권장되고, 전통적인 코드 CLASSI 및 SASSI에서는 비상관 지반운동의 영향을 고려하기도 하였다^{(EPRI 2007; Johnson et al. 2007)}.

추계학적 동적 해석은 지진 등에 의한 불규칙 가진이 동적 시스템에 적용될 때 유용하다. 그러므로, 불규칙진동이론(random vibration theory, RVT)에 기반한 확률론적 부지응답해석 기법이 평균 부지응답을 추정하기 위해 ASCE/SEI 4-16 표준에 규정되어 있다^{(ASCE 2017)}. 응답이력(response history, RH)에 기반한 방법론에서는 설계응답스펙트럼에 부합하는 지반운동 시간이력을 사용하여 부지응답을 계산하지만, RVT 방법론에서는 입력지반운동의 파워스펙트럼밀도(power spectral density, PSD) 함수를 사용하여 부지응답의 PSD 함수를 추계학적 동적 해석에 의해 얻고, 그 응답의 평균 및 백분위수 값을 최고값 계수(peak factor)를 사용하여 추정한다. RH 방법론에서는 설계응답스펙트럼에 부합하는 많은 수의 입력지반운동을 구현하고 각 입력지반운동에 대해 응답을 구해야 하기 때문에 많은 계산이 필요하지만, RVT 방법론에서는 입력지반운동의 구현없이 PSD 함수를 사용하여 1회의 계산만으로도 임의 가진으로 인한 부지응답의 통계적 특성을 충분히 결정할 수 있다. ^{Deng and Ostadan (2008, 2011), Rathje and Ozbey(2006), Nguyen and Lee(2021)}는 RVT 방법론을 기반으로 확률론적 부지응답해석을 수행했다. 또한, RVT 방법론은 상관 지반운동이 작용하는 지반-구조물 상호작용 시스템의 지진응답 계산에도 적용되기도 하였다^{(Deng and Ostadan 2012; Zenter 2018)}.

비상관 지반운동은 상관함수에 기반한 PSD 함수에 의해 표현된다^{(ASCE 2017)}. 그러므로, 비상관 지반운동에 의한 구조물의 응답은 RVT 방법론에 기반한 추계학적 동적 해석에 의해 얻을 수 있다. 이 연구에서는 비상관 지반운동이 작용하는 원자력 시설의 지진응답 해석기법을 RVT 방법론에 기반하여 제안하고자 한다. 기존의 연구에서는 비상관 지반운동의 영향을 고려하기 위해서 RH 방법론을 사용하였고^{(EPRI 2007; Johnson et al. 2007),} RVT 방법론을 사용한 원자력 시설의 지진응답해석은 상관 지반운동에만 국한되어 있었다^{(Deng and Ostadan 2012; Zenter 2018)}. 즉, 이 연구에서 제안하고자 하는 방법론은 기존의 연구와는 차별되는 독창성을 가지고 있다고 판단된다. 단, 이 연구에서 구조물은 강체 기초를 가지고 있다고 가정하고, 비상관 지반운동의 상관함수를 사용하여 6자유도 강체기초운동의 PSD 행렬을 산정한다. 이로부터 구조물의 임의의 층에 설치되는 기기의 유사가속도에 대한 PSD 함수를 도출하고, 불규칙 진동의 최고값 계수를 사용하여 기기의 스펙트럼 가속도, 즉 구조응답스펙트럼(in-structure response spectrum, ISRS)을 추정하고자 한다. 제안된 추계학적 지진응답 해석기법을 예제 원전 구조물에 적용하여 상관 지반운동이 작용할 때의 ISRS를 RH 방법론에 기반한 방법과 비교하여 그 정확성을 검증한다. 또한, 비상관 지반운동이 작용할 때의 ISRS를 추정하여, 고진동수 영역에서 지반운동의 비상관성이 구조물의 ISRS를 감소시키는 것을 확인하고자 한다.

2. 비상관 지진지반운동을 고려한 추계학적 지진응답해석

강체 기초를 가진 구조물에 비상관 지반운동이 작용하는 경우의 추계학적 해석기법을 정식화한다. $N$개의 관측점에서 비상관 지반운동의 PSD 행렬 $[G_{g}(\omega)]$은 다음과 같이 정의된다.

여기서, 행렬 $[G_{g}(\omega)]$의 요소는 $G_{ij}(\omega)=\gamma_{ij}(\omega)\sqrt{G_{ii}(\omega)G_{jj}(\omega)}$이고, $G_{ii}(\omega)$는 $i$번째 관측점의 auto-PSD 함수, $\gamma_{ij}(\omega)$는 $i$번째와 $j$번째 관측점 간의 상관함수이다. 이 연구에서는, ASCE/SEI 4-16 표준의 상관함수를 사용한다^{(ASCE 2017)}.

여기서, $a_{1}=1.0$, $a_{2}=40$, $a_{3}=0.4$, $n_{2}=16.4$이고, $\xi$는 두 관측점 간의 거리(m)이다.

식 (1)의 PSD 행렬을 가진 비상관 지진파가 강체 기초에 입사하면, 기초의 6자유도 강체운동에 대해 다음의 PSD 행렬을 갖는 기초운동이 생성된다^{(EPRI 2007)}.

여기서, $[F]$는 비상관 지반운동을 6자유도 기초강체운동과 연관시키는 $(6×3N)$ 크기의 행렬, $[\alpha]$는 6자유도 기초강체운동을 지반운동과 연관시키는 $(3N×6)$ 크기의 행렬이고, 위첨자 $H$는 Hermitian 행렬을 의미한다.

식 (3)의 PSD 행렬을 가진 강체기초운동에 대한 상부구조물의 응답은 다음과 같이 표현된다.

여기서, $[H(\omega)]$는 6자유도 강체기초운동에 대한 상부구조물 지진응답의 전달함수이다. 기기를 나타내는 단자유도 시스템이 구조물의 임의의 층에 설치될 때, 단자유도 시스템의 유사가속도(pseudo-acceleration)에 대한 PSD 함수는 다음과 같다.

여기서, $\omega_{n}$과 $\xi$는 각각 단자유도 시스템의 고유진동수와 감쇠비이고, $G_{u}(\omega)$는 식 (4)로부터 얻어지는 해당 층의 동적 응답에 대한 PSD 함수이다.

3. 구조응답스펙트럼을 산정하기 위한 최고값 계수

단자유도 시스템 유사가속도의 최고값은 감쇠비 $\xi$에 대한 해당 진동수 $\omega_{n}$에서의 스펙트럼 가속도 또는 ISRS의 세로 좌표를 제공한다. 유사가속도에 대한 PSD 함수는 식 (5)와 같이 주어지고 이로부터 최고값의 통계적 특성을 최고값 계수로 추정할 수 있다. 다양한 종류의 최고값 계수가 제안되었지만, 이 연구에서는 ^{Gasparini and Vanmarcke(1976)}에 의해 제안된 최고값 계수를 사용할 것이다.

임의의 응답에 대한 $p$ 백분위수 응답 $R_{p}$는 다음과 같이 표현된다.

여기서, $\eta_{p}$는 $p$ 백분위수 응답에 대한 최고값 계수이고 $\sigma_{R}$은 고려하는 응답의 표준편차이다. 최고값 계수 $\eta_{p}$에 대하여 다음의 식이 제안되었다^{(Gasparini and Vanmarcke 1976; Zenter 2018)}.

여기서, $\tau$는 고려하는 응답의 등가 정상상태응답 지속시간(equivalent stationary response duration)이다. 표준편차 $\sigma_{R}$은 응답의 PSD 함수 $G(\omega)$를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

위의 식 (6)~(8)은 정상상태응답에 관한 식을 과도응답(transient response)을 고려하여 도출한 근사식이다. 지진응답에 대해 이 식들을 적용할 때는, $\tau$의 정의에 대해 주의를 요한다. ^{Zenter (2018)}에서는 운동의 누적에너지가 총에너지의 5 %에서 95 %에 이르는 시간을 사용하였지만, ^ASCE(2017)에서는 75 %에 이르는 시간을 제안하고 있다. 이 연구에서는 ^{ASCE (2017)}의 정의를 사용할 것이다.

식 (5)에 주어진 단자유도 시스템 유사가속도의 PSD 함수에 대응하는 최고값 계수 $\eta_{p}$와 표준편차 $\sigma_{R}$을 각각 식 (7)과 (8)로부터 얻을 수 있고, 식 (6)을 사용하여 유사가속도의 최고값 또는 스펙트럼 가속도, 즉 대상 구조물의 ISRS를 얻을 수 있다.

4. 적용 예제

이 연구에서는 비상관 지진지반운동이 작용하는 원전 구조물의 지진응답을 RVT 방법론에 근거하여 산정하고자 한다. 이를 위해 상관 지반운동이 작용하는 원전 구조물의 지진응답을 RH 방법론의 결과와 비교하여 그 정확성을 검증하고, 제안된 해석기법을 사용하여 비상관 지반운동이 작용하는 원전 구조물의 지진응답을 계산한다.

Fig. 1은 대상 원전 구조물을 나타낸다. 구조 콘크리트의 탄성계수는 3.368 GPa, 포아송비는 0.2778, 감쇠비는 4 %로 가정한다. 감쇠는 복소수 강성을 사용하여 고려한다. 격납건물과 내부구조물은 빔-스틱 모델을 사용하여 모델링하는데, 각 절점에 집중된 질량과 요소의 단면 계수는 ^{Lee et al. (2016)}에 주어져 있다. 해당 구조물은 반지름 20 m의 강체 원형 기초를 가지고 있다고 가정하고, 지반-구조물 상호작용은 무시한다. 구조해석으로부터 얻은 격납건물과 내부구조물의 고유진동수는 각각 5.26 Hz와 11.95 Hz이다. 입력지반운동으로는 대한전기협회 전력산업기술기준 STB 2.3.2.1에 규정된 PSD 함수(Fig. 2)에 부합하는 지반운동을 사용한다^{(KEA 2020)}.

5. 결 론

이 연구에서는 비상관 지반운동이 작용하는 강체 기초를 가진 원자력 시설의 지진응답 해석기법을 RVT 방법론에 기반하여 제안하였다. 비상관 지반운동의 상관함수를 사용하여 6자유도 강체기초운동의 PSD 행렬을 산정하고, 이로부터 구조물의 임의의 층에 설치되는 기기의 유사가속도에 대한 PSD 함수를 도출하였다. 불규칙 진동의 최고값 계수를 사용하여 기기의 스펙트럼 가속도, 즉 ISRS를 추정하였다. 제안된 RVT 방법론을 예제 원전 구조물에 적용하여 상관 및 비상관 지반운동이 작용할 때의 ISRS를 산정하고, 이를 RH 방법론에 기반한 방법과 비교하여 그 정확성을 검증하였다. 또한, 고진동수 영역에서 지반운동의 비상관성이 구조물의 ISRS를 감소시키는 것을 확인하였다.

이 연구에서 제안된 해석기법을 활용하면, 상관 지반운동으로 인한 고진동수 영역의 보수적인 내진 설계를 지반운동의 비상관성을 영향을 고려하여 완화할 수 있을 것으로 기대된다. 또한, 기존의 RH 방법론은 다수의 비상관 지반운동의 생성이 필요하지만, 이 연구에서 제안한 RVT 방법론에 기반한 해석기법은 지반운동의 비상관성으로 인한 기초입력운동 PSD 함수의 변화만 고려하여 1회의 계산만 수행하면 되므로, 계산 비용을 크게 줄일 수 있는 이점이 있어 그 활용성이 다양하다고 할 수 있다.