2.1 취약도 개념

취약도는 조건부 파괴 확률로 정의되며, 구조물, 계통 및 요소(structure, system and component, SSC)의 내진 성능을 평가하기 위해 사용되는 개념이다. 이때 성능은 단일 값이 아니라 확률 분포로 표현되는데, 이는 1) 여러 변수에 내재된 불확실성을 반영하고; 2) 여러 입력 운동 수준에서 파괴 확률을 산정하기 위함이다.

원자력 분야에서는 취약도 해석을 위해 안전계수 방법(safety-factor method)이 널리 사용되고 있다. ^{Kennedy et al. (1980)}는 세 가지 변수, 중앙 성능값(median capacity, $A_{m}$), 무작위 변동성(aleatory variability, $\beta_{R}$), 불확실 변동성(epistemic variability, $\beta_{U}$)을 통해 취약도 곡선을 작성하는 방법을 제시하였다. 각 변동성 변수를 대수정규분포로 가정하고, 취약도 곡선은 이중대수정규분포모델(double lognormal distribution model)을 따르는 것으로 가정한다. 이에 따라 취약도($P_{F}^{'}$)는 아래 식과 같이 표현될 수 있다.

여기서, $a$=지반 파라미터, $\Phi^{-1}$=정규 역누적 분포 함수, $Q=$$P[P_{F}<P_{F}^{'}| a]$로 정의되는 신뢰도(confidence).

변수에 의한 지진 응답 변동성을 계산하는 방법은 두 가지가 알려져 있다. 하나는 결정론적 지진 응답 해석(deterministic seismic response analysis)이며 다른 하나는 확률론적 지진 응답 해석(probabilistic seismic response analysis)이다^{(Grant et al. 2018)}. 전자의 경우 전통적 구조 해석 절차를 따라 실무자에 친숙하며, 각 변수의 영향력을 확인할 수 있다는 장점이 있다. 하지만 후자가 더 엄격한 확률론적 방법이며, 고려하는 변수의 개수가 늘어날수록 결정론적 방법에 비해 계산 소요 시간이 짧다.

2.2 근사 이차 모멘트 절차

EPRI 보고서^{(Grant et al. 2018)}에서는 전 절의 세 가지 변수 계산을 위해 근사 이차 모멘트 절차(approximate second moment procedure)를 실용적인 방법으로서 권장한다. 중앙 성능값은 중앙 안전계수($SF_{m}$), 기준 지진(reference earthquake, RE)의 최대지반가속도($PGA_{RE}$)로 아래와 같이 계산된다.

여기서, 중앙 안전계수는 요구 및 성능에 관련된 랜덤 변수로 나누어서 아래와 같이 표현할 수 있다.

이때 $F_{S}$=탄성 강도계수(elastic strength factor), $F_{\mu}$=비탄성에너지 흡수계수(inelastic energy absorption factor), $F_{RS}$=구조물 응답계수(structure response factor), $F_{ER}$=기기 응답계수(equipment response factor). $F_{RS},\: F_{ER}$의 경우에는 구조물 및 기기의 응답에 영향을 끼치는 여러 변수들에 대한 계수의 곱으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, 구조물 및 기기 응답계수는 감쇠비($F_{\delta}$), 모델의 진동수($F_{f}$), 모델링($F_{M}$), 모드 조합($F_{MC}$), 그리고 지진 성분 조합($F_{ECC}$)에 의해 영향을 받는 예시이며, 각 계수의 아래 첨자는 구조물(s)과 기기(e)를 의미한다. 이 외에도 구조물 및 기기 응답에 관련된 인자는 추가적으로 포함될 수 있다.

무작위성 및 불확실성에 대한 변동성은 대수표준편차로 계산되는데 각각의 변수들에 대한 대수표준편차는 SRSS (square root of sum of square)를 통해 결합된다.

여기서, $\beta_{i}$=i번째 변수의 무작위성 또는 불확실성에 대한 대수표준편차, $\beta$=모든 변수의 무작위성 또는 불확실성에 대한 대수표준편차이다.

2.3 확률론적 지진 응답 해석

확률론적 지진 응답 해석을 위해 몬테 카를로 방법(monte carlo simulation, MCS)을 사용할 수 있으나, 그와 유사한 라틴 하이퍼큐브 샘플링(LHS)이 권장되고 있다^{(ASCE 2017; Grant et al. 2018)}. LHS는 계층화 추출법(stratified random sampling)으로 모집단이 따르는 확률분포를 표본의 개수만큼 동일한 확률 구간으로 나누어 각 구획에서 표본을 추출한다. 동일 확률 구간에서 샘플링하기 때문에 MCS에 비해 적은 수의 표본을 사용하면서도 비슷한 정확도로 결과를 얻을 수 있다는 것이 LHS의 장점이다^{(Eggers et al. 2011)}. ^{ASCE/SEI 4-16(2017)}에서는 MCS에 대해 200개, LHS에 대해 30개 샘플을 사용하는 것을 권장한다.

추출할 표본의 개수($N$)가 주어지면 고려할 모든 변수에 대해서 동일한 개수만큼 표본을 추출한다. 랜덤 변수가 대수정규분포를 따르는 것을 가정하면 아래 식을 통해 샘플링을 할 수 있다.

여기서, $x_{i}$=표본, $x_{m}$=모집단의 중앙값, $\beta$=모집단의 대수표준편차, $rnd_{i}$=0과 1 사이의 임의의 실수이다.

랜덤 변수 별로 $N$개의 표본이 얻어지면, 각각을 임의로 일대일 대응하여 $N$개의 해석 모델을 작성할 수 있다. 즉, i번째 해석 모델은 각 랜덤 변수에서 추출한 $N$개의 표본 중 i번째 표본들로 구성되어 있다.

해석 결과인 $N$개의 지진 응답은 지반 및 구조물 관련 변수의 무작위성 및 불확실성이 포함되어 있다. 모든 변수들이 대수정규분포를 따르는 것으로 가정하였으므로, 응답 또한 대수정규분포를 따르는 것으로 볼 수 있다. 따라서 응답 $N$개를 바탕으로 중앙값 및 대수정규분포 통계치를 간단히 예측할 수 있다.

3.1 입력 지진 운동

3.2 부지 응답 해석

본 연구에서는 지반에 의한 지진파의 증폭 효과를 고려하기 위해 부지응답해석을 수행하였다. 전 절에서 언급한 최대지반가속도는 암반 노두 거동(rock outcrop motion)을 기준으로 정의되었다. 실제 구조물 기초에 입력되는 지진파는 지반과 암반을 통해 전파되며 크기와 주파수 성분이 변화한다.

부지 응답 해석에는 1차원 파전달이론 기반의 방법이 널리 사용된다. 이 방법은 반무한 수평의 지층으로 구성된 1차원 지반 column을 가정하며, 연직 방향으로 전파되는 응답만을 계산한다. 등가 선형 해석 방법(equivalent-linear analysis method)으로 불리며, 평가 방법의 타당성이 검증되어 온 바, 다수의 프로그램에서 이를 사용하고 있다. 여기서는 그 중 상용 소프트웨어 Strata^{(Kottke and Rathje 2008)}로 부지 응답 해석을 수행하였다.

원전 부지의 포괄 지반 프로파일 9개 중 가장 단단한 조건을 선정하였다^{(KEPCO and KHNP 2010)}. 해당 지반은 두 개 층의 암반으로 구성되어 있으며 각각의 값은 Table 1에 나타냈다. 지반 프로파일에 대해 지반의 전단파 속도, 전단강성, 감쇠비의 변동성을 고려하기 위해 LHS로 샘플링하였다. 이때 전단파 속도의 통계적 분포는 ^Toro(1995), 다른 두 변수의 경우 ^{Darendeli(2001)}의 모델을 사용하였다. 변수 별로 30개의 표본을 추출 후 전 절의 시간이력에 대해 부지 응답 해석한 결과는 Fig. 1에 나타내었다. Fig. 1(a)는 부지 응답 해석 전 NUREG/CR-0098^{(Newmark and Hall 1978)} 중앙 스펙트럼에 매칭된 입력 운동의 감쇠비 5 % 응답 스펙트럼이다. 세 방향(수평과 수직)에 대해서 도시하였으며 파선으로 중앙 응답스펙트럼을 표시하였다. Fig. 1(b)는 부지 응답 해석 후의 결과이며 개별 응답 스펙트럼 간에 큰 편차가 발생하는 것을 확인하였다. 그러나 중앙 응답스펙트럼의 경우 부지 응답 해석 전과 비교적 비슷한 스펙트럼 형상을 보였다.

Fig. 1 Target spectrum matched records: (a) before site response analysis; (b) after site response analysis

3.3 대상 구조물 모델링

3.3.2 구조물 유한요소모델

모델링에는 상용 유한요소해석 소프트웨어인 Ansys 2020 R2^{(ANSYS Inc. 2020)}를 사용하였다. 벽체와 슬래브는 쉘요소로, 기둥은 선요소로 모델링하였다. 탄성-선형 해석을 수행하여 철근과 철근부착은 모델링에서 고려하지 않았다. 콘크리트 재료 물성에서도 비선형 응력-변형률 곡선을 지정하지 않고, 탄성계수로만 정의하였다. 이때 탄성계수는 압축강도 40 MPa을 바탕으로 ^{ACI 318-19(2019)} 식에 따라 계산하였다. 콘크리트의 포아송비는 ^{ASCE/SEI 4-16(2017)}에서 제안하는 0.17을 사용하였다.

구조물의 강성은 ^{ASCE/SEI 4-16(2017)}에 따라 적용하였다. 철근콘크리트에 균열이 발생한 경우를 가정하여 쉘요소의 면내 유효 휨강성과 전단강성은 50 %, 축강성은 100 %를 적용하였다. 면외 응답을 받는 경우에는 휨강성은 50 %, 전단강성은 100 %를 사용하였다. 압축력을 받는 기둥은 균열 발생 여부에 관계없이 휨 강성은 70 %, 전단 강성과 축 강성은 100 %를 적용하였다.

구조물 감쇠비의 경우 ^{ASCE/SEI 4-16(2017)}에서 균열이 발생한 경우에 7 %를 제시하고 있다. 한편, Regulatory Guide 1.61 ^{(U.S. NRC 2007)}에서는 운전기준지진(operating-basis earthquake, OBE)에서는 4 %, SSE에서 7 %를 제시한다. 특별히 FRS 작성 시에는 OBE 기준을 감쇠비를 사용하거나, 그 이상 값을 사용할 시에는 SSE 기준값을 상한으로 하되 기술적 근거 제출을 요구할 것을 명시한다. 본 연구에서는 입력운동 PGA가 0.6 g인 것을 감안하여, 구조물에 상당 수준 균열이 발생한 것을 가정하고 7 %를 적용하였다.

안전 관련 원전 구조물의 경우 지반-구조물 상호작용(soil- structure interaction, SSI) 해석을 수행해야 하지만, 앞서 언급하였듯이 암반에 가까운 지반 프로파일을 사용하였기에 본 논문에서는 SSI 해석 대신, 고정 기초 해석으로 수행하였다. 따라서 해석 모델의 기초면을 고정단 경계조건으로 지정하였다.

메쉬 크기는 쉘요소의 경우 3 m로, 선요소는 2 m로 모델링하였다. ^{KEPCO & KHNP 2013}의 보고서에서 1.52 m, 3.66 m의 메쉬 크기로 모델링한 보조 건물의 고유 진동수, 정적 변위, 층응답스펙트럼 비교하였는데 양측의 결과가 충분히 비슷한 것으로 나타났다. Fig. 2에는 생성된 FEM을 나타내었고, Table 2에는 고유치 해석 결과 중 1차 모드 및 질량 참여비가 큰 모드 일부의 데이터를 요약하였다.

위에서 작성된 모델은 중앙값 모델(median-centered model)로서 랜덤 변수의 중앙값이 사용되었으므로, 구조물의 변동성을 고려하기 위해서 LHS를 통해 30개의 모델을 작성하였다. 전 절과 비슷하게 구조물의 강성 및 감쇠비의 확률 분포에서 표본을 추출하였다. 과거 취약도 평가를 바탕으로 강성과 감쇠비의 변동계수(coefficient of variance, COV)는 0.30과 0.35으로 알려져 있다^{(Grant et al. 2018)}. 식 (8)을 통해 변동계수로부터 대수표준편차를 계산하였다.

Fig. 2 Finite element model of nuclear power plant structure

Table 2 Modal frequencies of structure model

Mode	Frequency (Hz)	Mass participation (%)
		X-trn	Y-trn	Z-trn	X-rot	Y-rot	Z-rot
1$^{1)}$	2.95	-$^{2)}$	-	-	-	-	-
2	4.02	1.48	57.45	-	11.35	-	15.66
4	4.27	41.02	1.61	-	-	6.91	19.96
5	4.74	17.71	-	-	-	2.43	8.31
6	4.90	2.24	4.08	-	-	-	11.70
32	10.01	-	-	16.38	11.56	5.35	-
42	11.48	-	-	16.44	17.30	22.03	-

Note: $^{1)}$1st mode is a local out-of-plane mode; $^{2)}$Mass participation lesser than 1 % were neglected

(8)

$\beta =\sqrt{\ln(1+COV^{2})}$

중앙값이 1이고 식 (8)로부터 계산된 대수표준편차, 0.29, 0.34를 따르는 대수정규분포에서 추출한 강성, 감쇠비 표본 쌍을 유한요소모델의 재료 모델 상에 반영하여, 구조물 변동성을 고려한 모델 30개를 작성하였다.

5.1 기기 응답 해석

5.1.3 앵커 지진 요구 산정

가장 취약한 앵커에 가해지는 지진 요구 산정은 다음과 같다. 먼저 FRS, 기기 고유 진동수와 질량으로 세 방향 지진력을 산정한다. 이 때 기기의 고유 진동수 변동성을 4장과 같은 방법으로 고려하며, 기기 질량의 경우 변동성이 없는 것으로 가정한다. 이어서 구조 해석을 수행하여 각 방향 지진력에 의해 앵커에 작용하는 최대 전단력과 인장력을 계산한다. 전단력은 수평방향 힘을 앵커의 개수로 나눈 값으로 모든 앵커에 같은 크기로 작용한다. 인장력의 경우 수직방향 힘에 의해서는 앵커의 개수로 나눈 값이 작용한다(Fig. 6(a) $T_{v}$). 수평방향 지진력이 유발하는 모멘트에 의해서는 앵커에 압축력 및 인장력이 발생한다(Fig. 6(a) $C_{long}$, $C_{tran}$, $T_{long}$, $T_{tran}$). 전단력의 경우에는 모든 앵커에서 값이 동일하다. 인장력의 경우 최외각에 위치한 앵커가 세 방향의 지진력에 의한 인장력이 중첩되므로 이를 조합하여야한다. 세 방향에서 최대 응답이 동시에 나타날 확률은 낮으므로 EPRI 보고서^{(Grant et al. 2018)}에서는 지진 성분 조합 방법으로 100-40-40 방법과 SRSS 방법을 허용하고 있다. 여기서는 중앙값에 가까운 것으로 알려진 후자를 사용하였다^{(ASCE/SEI 4-16, 2017)}.

Fig. 6 Location of the highest-stressed bolt and its dimensions

5.2 기기 성능 산정

기기의 내진 성능 산정 시에도 재료 및 강도 식이 가지고 있는 변동성을 고려하여야 한다. EPRI 보고서^{(Grant et al. 2018)}에 성능 계산에 LHS가 적용된 사례는 없다. 본 연구에서는 일관성 있게 변수들의 변동성을 고려하고자 확률론적 지진 응답 해석과 같이 LHS 방법을 사용하였다.

앵커는 A307 M36 헤드볼트를 사용하였으며, 균열이 발생하지 않은 콘크리트에 현장타설된 조건을 가정하였다. 매입 깊이는 Fig. 6(b)에 나타난 바와 같이 300 mm이다.

5.3 취약도 곡선

전 절에서 산정한 30쌍의 지진 응답과 내진 성능으로 탄성 성능 계수를 계산하였다. 이 때 인장-전단 상호작용을 고려하기 위해 ^{Eligehausen et al.(2006)}의 제안식을 사용하였다.

여기서, $V ,\: P$는 요구 전단력 및 인장력이며, $V_{u},\: P_{u}$는 전단강도 및 인장강도이다. $\zeta$는 강재 파괴의 경우 2를 사용하며, 콘크리트 파괴의 경우 1.5를 사용한다.

탄성 성능 계수에 각 변수의 계수와 최대지반가속도 0.6 g를 곱하여 중앙 성능값을 계산하였으며, 그 분포로부터 대수표준편차를 예측하였다. LHS 적용 시에는 변동성이 무작위성과 불확실성으로 구분되지 않고, 합성된 형태($\beta_{C}$)로 고려되므로 취약도 곡선 작성 시 식 (1) 대신에 식 (14)를 사용한다. 위치 별 중앙 성능값의 분포 및 두 가지 파괴 모드에 대한 취약도 곡선을 Fig. 7, Fig. 8에 나타내었다.

Fig. 7 Histograms and fitted lognormal distribution functions of median capacity, $A_{m}$

Fig. 8에서 50 % 파괴 확률에 해당하는 중앙 성능값의 변동성은 지진 요구 값에서 기인한다. 이는 앵커의 내진 성능은 위치에 상관없이 동일하게 적용하였기 때문이다. 6개소에서 변동계수는 볼트 파괴, 콘크리트 파괴에 대해 각각 0.15, 0.14였으며, 위치 간 차이는 최대 54 %, 49 %(QA-H vs. QC-H)까지 발생하였다(여기서부터 값을 볼트 파괴, 콘크리트 파괴 순으로 제시). 같은 사분면(Fig. 3) 내에서 두 위치간 차이는 QA, QC, QD 순으로 15 %, 22 %; 9 %, 4 %; 1 %, 1 %로 나타났다. QA에서는 특히 차이가 두드러졌는데 그 이유는 수직방향 FRS 때문이다. 기기의 수직방향 고유진동수는 강체 운동을 가정할 수 있을 정도로 높은데 QA-H의 경우 영주기가속도(zero-period acceleration, ZPA)가 1.58 g로 다른 위치보다 145~251 % 컸다. 이는 곧 앵커에 작용하는 인장력 증가로 이어지며, 결과적으로 가장 작은 중앙 성능값(0.54 g, 0.67 g)을 나타냈다.

원자력 분야에서 통상 내진 성능의 지표로 사용하는 고신뢰도 저파괴확률(high confidence of low probability of failure, HCLPF) 성능도 비교해보았다. HCLPF는 식 (15)로 계산되는데, 대수표준편차가 포함되어 있다. 중앙 성능값, 대수표준편차, 그리고 HCLPF는 Table 3에 정리하였다.

Fig. 8 Fragility curves of: (a) steel bolt failure and (b) concrete breakout failure

중앙 성능값 뿐만 아니라 대수표준편차 역시 위치에 따라서 변동성을 가지게 되는데 이는 취약도곡선의 기울기를 통해 확인이 가능하다. QD의 경우 중앙 성능값(QD-H1: 0.79 g, 0.96 g; QD-H2: 0.78 g, 0.95 g)과 대수표준편차(QD-H1: 0.34, 0.39; QD-H2: 0.33, 0.39) 모두 차이가 3 % 미만으로 곡선이 거의 겹쳐졌다. QA에서는 중앙 성능값(QA-H: 0.54 g, 0.67 g; QD-V: 0.64 g, 0.82 g)에 차이가 발생하였고, 변동성(QA-H: 0.47, 0.50; QA-V: 0.40, 0.42)은 비슷하여 곡선이 거의 평행하였다. 한편 QC의 경우 QC-V의 대수표준편차(0.42, 0.44)가 더 커서, 즉 취약도 곡선의 기울기가 완만하여서 중앙 성능값은 QC-H 대비 9 %, 4 % 작았으나, HCLPF 성능값은 30 %, 21 % 더 작았다.