1. 서 론

스트럿-타이 모델(이하 STM) 방법은 형상 및 하중 조건이 복잡한 콘크리트 구조부재의 한계상태설계에 유용하다. 그러나 이 방법을 한계상태설계에 사용하기 위해서는 콘크리트 스트럿의 하중전달능력 검토에 필요한 스트럿 유효강도를 정확하게 산정해야 한다. 지금까지 스트럿 유효강도를 결정하기 위해 많은 실험과 해석적 연구가 수행되었으며, 다양한 종류의 스트럿 유효강도 식들이 세계 여러 설계기준서에 채택되었다^{(EC2 2004; FIB 2010; ACI 318 2019; AASHTO 2020)}. 그러나 채택된 스트럿 유효강도 식들은 소수의 특정한 기하학적 형상 및 하중 조건을 갖는 철근콘크리트(이하 RC) 구조부재의 수치해석과 실험 결과에 근거한 것으로, 이를 전단경간 비, 전단철근 비, 프리스트레싱 힘의 크기, 프리스트레싱 강재 비 등의 설계변수에 따라 상이한 구조거동을 보이는 프리스트레스트 콘크리트(이하 PSC) 보의 STM 설계에 이용하는 것은 바람직하지 않다.

이와 같은 문제를 해결하기 위해 ^{Yun (2021)}은 콘크리트 스트럿의 유효강도 결정 시 RC 및 PSC 구조부재의 모든 설계변수의 영향을 수치해석적 기법을 사용하여 체계적이며 합리적으로 고려할 수 있는 방법을 제안하였다. 이 방법은 스트럿 위치의 주응력 상태, 스트럿 축과 압축주응력 축과의 불일치 영향, 콘크리트 강도의 영향, 그리고 철근 및 프리스트레싱 긴강재에 의한 스트럿 수직축 방향의 구속 효과 등을 고려하여 스트럿 유효강도를 일관적이며 정확하게 결정할 수 있다. 그러나 이 방법은 한 하중조건에 대해서도 다수의 반복적인 평면고체 및 평면트러스 유한요소해석을 수행해야하고 유한요소해석 결과를 활용하는 복잡한 추가적인 계산과정을 필요로 하는 단점을 가지고 있으므로, 이 방법을 위한 전용프로그램을 개발하여 활용하지 않는다면 이 방법의 적용이 쉽지 않다. 따라서 현 연구에서는 ^{Yun (2021)}의 수치해석적 기법을 이용하여 다양한 설계변수의 조합을 갖는 모든 PSC 보를 STM 방법으로 실용적이며 효과적으로 해석/설계할 수 있는 스트럿 유효강도 식을 개발하였다. 이 연구에서 개발, 제안한 스트럿의 유효강도 식과 설계기준서의 유효강도 식들을 파괴실험이 수행된 47개 PSC 보의 STM 해석에 적용하여 이들의 파괴강도를 예측하였으며, 예측한 파괴강도 결과의 비교분석을 통해 이 연구에서 제안한 스트럿 유효강도 식의 타당성을 검증하였다.

2. PSC 보의 스트럿-타이 모델 및 스트럿 유효강도

2.1 스트럿-타이 모델

RC 및 PSC 보의 설계는 일반적으로 Fig. 1(a)의 지지점과 하중점을 콘크리트 스트럿으로 잇는 아치 메커니즘 STM 및 Fig. 1(b)의 수직 철근의 배치를 고려한 트러스 메커니즘 STM과 같은 정정 트러스 구조(이하 정정)의 STM을 이용하여 수행한다^{(CSA 2014; ACI 318 2019; AASHTO 2020)}. 이러한 정정STM의 스트럿과 타이는 이들의 강성에 무관한 단면력을 가지며, 이들의 단면력은 일반적으로 절점에서의 힘 평형조건을 적용하여 결정한다.

^{FIB (2010)}는 RC 및 PSC 보의 설계를 위해 전단지간-모멘트 팔길이 비 $a/z$가 0.5보다 작거나 같을 경우 Fig. 1(a) Type A의 아치 메커니즘 모델을, $a/z$가 $2+N_{sd}/2P$보다 크거나 같을 경우 Fig. 1(b) Type B의 트러스 메커니즘 모델을, 그리고 $a/z$가 0.5보다 크고 $2+N_{sd}/2P$보다 작을 경우 Fig. 1(c) Type C의 아치 및 트러스 메커니즘 모델을 합친 복합 메커니즘 모델을 제안하였다. Type C의 복합 메커니즘 모델은 부정정 트러스 구조(이하 부정정)이므로, FIB는 외부하중 중 트러스 메커니즘이 부담하는 하중의 크기에 대한 기준, 즉 식 (1)과 같은 부정정 STM의 하중분배율을 제시하여 힘 평형조건을 적용하여 스트럿과 타이의 단면력을 구할 수 있도록 하였다.

(1)

$\alpha(\%)=\dfrac{F_{D}}{P}\times 100=\dfrac{2a/z-1}{3+N_{sd}/P}\times 100$

여기서, $P$, $F_{D}$, $N_{sd}$는 각각 보에 작용하는 수직하중, 수직타이의 단면력, 보에 작용하는 축력을 나타낸다.

^{Chae and Yun (2015)}은 PSC 보의 전단경간비가 $0.4(2+N_{sd}/$$P)\le a/d\le 1.4(1+N_{sd}/P)$인 PSC 보의 강도해석, 전단설계 및 설계 시의 휨파괴 검토 등을 위하여 Fig. 1(a)의 아치 메커니즘 모델과 Fig. 1(c)의 복합 메커니즘 모델을 제안하였다. 이들이 제안한 Fig. 1(c)의 모델은 PSC 보에 작용하는 축력의 크기에 따라 적용범위가 달라진다. 예를 들어, Fig. 1(c)의 모델은 축력에 대한 수직하중의 비 $N_{sd}/P$가 1.5 및 3일 때 전단경간비의 범위가 각각 $1.4\le a/d$$\le 3.5$ 및 $2.0\le a/d\le 5.6$인 PSC 보에 적용한다. $N_{sd}/P$가 1.5이며 $a/d <1.4$인 보, $N_{sd}/P$가 3이며 $a/d <2.0$인 보의 해석 및 설계는 Fig. 1(a)의 모델을 사용한다. 이들은 ^{FIB (2010)}의 방법과 같이 힘 평형조건을 사용하여 스트럿과 타이의 단면력을 산정한 후 현행 설계기준을 적용할 수 있도록 부정정 STM의 하중분배율 $\alpha$(=$F_{D}/$$P\times 100$, % 단위)를 다음 식으로 제시하였다.

(2)

$\begin{cases} \alpha(\%)=\beta(a/d-\eta)^{2}+\gamma\;\;\;\;\;\;\;\;{for}\;\;\;\;\;\;\;\;{a}/{d}\le\eta &\\ \alpha(\%)=\gamma\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{for}\;\;\;\;\;\;\;\;{a}/{d}>\eta & \end{cases}$

여기서, $\beta$, $\eta$, 그리고 $\gamma$는 식 (3)과 같이 축력의 크기에 따라 달라지는 하중분배율을 고려하기 위한 변수이다.

(3a)

$\begin{cases} \beta =-50+16N_{sd}/P \\ \eta =2.3+0.6N_{sd}/P\;\;\;\;{for}\;\;\;\;{N}_{{sd}}/{P}\le 1.5&\\ \gamma =115-10N_{sd}/P& \end{cases}$

(3b)

$\begin{cases} \beta =-24+4N_{sd}/P&\\ \eta =2.4+0.9N_{sd}/P\;\;\;\;{for}\;\;\;\;{N}_{{sd}}/{P}>1.5 \\ \gamma =140-20{N}_{{sd}}/{P}& \end{cases}$

이 연구에서는 PSC 보의 STM으로 PSC 보의 전단경간비가 $0.4(2+N_{sd}/P)$ 이하인 경우 Fig. 1(a)의 아치 메커니즘의 정정 모델을, 전단경간비의 범위가 $0.4(2+N_{sd}/P)\le a/d$$\le 1.4(+$$N_{sd}/P)$인 경우 Fig. 1(c)의 복합 메커니즘의 부정정 모델을 취하였다. 이는 ^{Chae and Yun (2015)}에 의해 이들 두 종류의 STM이 PSC 보의 전 범위에 걸쳐 가장 적합한 모델로 판명되었기 때문이다.

Fig. 1 Strut-and-tie models for PSC beams

3. 스트럿 유효강도 식의 제안

이 논문 2.3절의 수치해석적 기법은 2차원 스트럿 유효강도를 기타의 여러 방법에 비해 더 정확하게 결정할 수 있는 것으로 판명되었으나^{(Yun 2021),} 반복적인 평면고체 및 평면트러스 유한요소해석 과정과 유한요소해석 결과를 활용하는 복잡한 수치계산 과정으로 인해 이 기법의 실무적용이 매우 어렵다. 이 연구에서는 2.3절의 수치해석적 기법을 주요 설계변수의 수많은 조합을 갖는 PSC 보에 적용하여 Fig. 1(c)의 복합 메커니즘 부정정 STM의 스트럿 유효강도 값을 결정하였다. 또한 결정한 유효강도 값의 효율적 실무적용을 위해 스트럿 유효강도 식을 주요 설계변수의 함수로 개발, 제안하였다.

스트럿 유효강도 식의 개발을 위해 사용한 Fig. 2 PSC 보 부정정 STM의 주요 설계변수인 전단경간 비 $a/d$, 프리스트레스 강재량 비 $A_{ps,\: prov.}/A_{ps,\: req.}$, 전단철근 비 $A_{v,\: prov.}/A_{v,\: req.}$ 등의 범위는 각각 1.0~4.0, 0.6~1.0, 0.0~1.0이다. 여기서, $A_{ps,\: req.}$(=$(P\times a/z)/f_{ps}$, $z=0.9d$)는 수직하중 $P$가 작용할 때 필요한 프리스트레스 강재량을 의미하며, $A_{v,\: req.}$(=$P/f_{y}$)은 트러스 메커니즘이 모든 전단력을 부담할 때 필요한 전단철근량을 뜻한다. Fig. 2의 PSC 보의 단면은 AASHTO I-Beam Type II이며, 프리스트레스 강재(이하 PS강재)의 물성치는 ASTM A416 Standard Specification에서 제시하고 있는 Grade 1860($f_{py}=1,\: 680$ MPa, $f_{pu}=1,\: 860$ MPa)의 것을 적용하였다.

상기의 세 가지 설계변수 조합을 갖는 PSC 보 부정정 STM의 스트럿 유효강도계수 $\nu_{s}$(=$f_{cs}/f_{ck}$, $f_{cs}$=스트럿 유효강도)를 구하였으며, 그 결과의 일부는 Fig. 3과 같다. 이 연구에서 각 설계조건의 조합에 대해 구한 스트럿 유효강도계수를 종합하여 제안한 스트럿 유효강도계수 식은 다음과 같다.

여기서, 계수 $\beta$ ($\beta_{C}$, $\beta_{E}$, $\beta_{F}$) 및 $\gamma$ ($\gamma_{C}$, $\gamma_{E}$, $\gamma_{F}$)는 다음과 같다. 아래 식에서 $\kappa_{p}$ 및 $\kappa_{v}$는 각각 PS강재량 비 $A_{ps,\: prov.}/A_{ps,\: req.}$ 및 전단철근 비 $A_{v,\: prov.}/A_{v,\: req.}$이다.

Fig. 2 PSC beam strut-and-tie model for deciding effective strength of concrete strut

Fig. 3 Effective strength coefficient of inclined concrete struts $\nu_{s}$ ($A_{ps,\: prov.}/A_{ps,\: req}=0.6$)

4. 타당성 검증

현행 여러 설계기준서의 스트럿의 유효강도 식과 이 연구에서 제시한 유효강도 식의 타당성을 검토하기 위해 ^{Kaufman and Ramirez (1988), Tan and Mansur (1992), Shahawy and Batchelor (1996),} 그리고 ^{Saqan and Frosch (2009)} 등에 의해 파괴실험이 수행된 시험체 중, 축력에 대한 수직하중의 비 $N_{sd}/P$가 3 미만이며 Fig. 1(c)의 부정정 STM과 식 (2)의 하중분배율을 적용할 수 있는 $0.4(2+N_{sd}/P)$$\le a/d\le$$1.4(1+N_{sd}/P)$ 범위의 전단경간비를 갖는 47개 PSC 보를 선정하였으며, 이들 보의 파괴강도를 STM 방법을 이용하여 예측하였다. 선정한 PSC 보는 양 끝단에 프리스트레스 힘을 받는 상태에서 수직하중을 재하하는 방식으로 실험되었다. 이들 보의 개략적 제원은 Table 1과 같으며, 상세정보는 각 참고문헌에 있다.

PSC 보의 파괴강도 예측 시, 스트럿 유효강도는 이 논문의 2장에서 소개한 모든 현행 설계기준서의 스트럿의 유효강도 식 및 이 연구에서 제시한 식 (10)으로부터 구하였으며, 절점영역의 유효강도는 스트럿 유효강도 값에 따른 파괴강도 예측결과의 차이를 살펴보기 위해 ^{ACI 318 (2019)}의 제안식 만을 사용하여 구하였다. PSC 보의 파괴강도 예측과정은 ^{Shahawy and Batchelor (1996)}의 시험체 중 Fig. 4와 같은 형상 및 강재 배치 상세를 갖는 B1-00-RN을 예로 들어 소개하였다. 이 시험체의 콘크리트의 압축강도는 51.4 MPa이며, 전단철근의 항복강도는 413.7 MPa이며, PS강재의 항복강도는 1,674.8 MPa이다. 이 시험체에 작용하는 프리스트레싱 하중 $N_{sd}$는 1,646.3 kN이며, 파괴 시의 수직하중 $P$는 1,089.8 kN이다.

PSC 보의 파괴강도는 다음의 단계에 따라 예측하였다. 첫째, ^{Chae and Yun (2015)}의 기준에 근거하여 STM을 선정한 후 각 스트럿과 타이의 위치를 정한다. B1-00-RN의 축력에 대한 수직하중의 비 $N_{sd}/P$가 1.51이므로 전단경간비가 $a/d <1.40$($=0.4($$2+N_{sd}/P)$)일 때는 아치 메커니즘 정정 모델을, 전단경간비가 $1.40\le a/d\le 3.51$($=1.4($$1+N_{sd}/P)$)일 때는 복합 메커니즘 부정정 모델을 사용해야 한다. B1-00-RN의 전단경간비는 $a/d=1.52$이므로, 이 보의 파괴강도 예측을 위해 Fig. 5(a)와 같은 부정정 STM을 선정하였다. 선정한 모델의 하단 수평타이는 B1-00-RN의 하단 PS강재 단면도심과 같게 위치시켰으며, 상단 수평스트럿 S1은 상단 슬래브 두께의 중심에 위치시켰다. 둘째, 식 (2) 및 식 (3)을 사용하여 부정정 STM의 하중분배율을 산정한다. 산정한 하중분배율은 다음과 같다.

여기서,

셋째, ACI-ASCE 445^{(2002, 2010)}의 방법으로 B1-00- RN의 형상, 하중판 및 지지판 크기, 하중분배율, PS강재 배치상세 등을 참고하여 절점영역 수직경계면의 최대단면폭을 결정한다. 또한 철근 및 PS강재의 배치상세를 고려하여 철근 및 PS강재 타이의 단면적을 결정한다. 상단 수평스트럿의 최대단면폭을 슬래브 두께인 203 mm로, 하단 수평타이의 최대단면폭을 하단에서 PS강재 단면도심까지의 거리 두 배인 227 mm로 결정하였다. 경사스트럿 S5의 최대단면폭은 스트럿 양단의 두 절점영역 수직경계면의 폭 중 작은 값으로 결정하였다. PS강재 및 철근 타이의 최대단면적은 이들 타이 위치에 배치된 PS강재 및 철근의 단면적으로 취하였다.

결정한 최대단면폭(적)은 Fig. 5(b)와 같다. 넷째, 모든 스트럿, 타 이, 절점영역의 유효강도를 결정한다. 스트럿 유효강도는 2장의 스트럿 유효강도 식과 식 (10)으로부터 결정하였다. 하단 수평 PS강재 타이의 유효강도는 PS강재의 항복강도로 취하였다. 절점영역의 유효강도는 ^{ACI 318 (2019)}의 것을 사용하였으며, 파괴강도 예측 시 하중 지속효과계수 0.85는 제외하였다. 절점영역의 유효강도를 각 설계기준서의 것을 사용하지 않고 ACI 318의 것만 사용한 이유는 절점영역 유효강도 값의 차이로부터 발생하는 파괴강도 예측결과의 변동을 최소화하여 스트럿 유효강도 값의 차이가 파괴강도 예측결과에 미치는 영향을 잘 분석하기 위함이다. 다섯째, 외부하중에 대한 스트럿 및 타이의 단면력을 하중분배율 및 절점에서의 힘 평형조건을 적용하여 결정한다. 또한 결정한 단면력을 스트럿 및 타이\의 유효강도로 나누어 그들의 필요단면적을 결정하고, 필요단면적 및 최대단면적을 비교하여 파괴강도를 결정한다. PSC 보의 파괴강도는 복합 메커니즘 부정정 STM에 프리스트레스 힘을 가한 후 스트럿 또는 타이가 파괴되어 STM이 불안정해질 때까지 수직하중을 가하는 이른바 단계별 해석법을 사용하여 결정하였다. Table 2는 B1-00-RN의 단계별 파괴강도 예측과정을 보인 것이다.

부정정 STM의 첫 파괴는 Fig. 6(a) 및 Table 2(b)와 같이 스트럿 S5가 취할 수 있는 최대단면력 상태(실험파괴하중의 83.9 %인 914.3 kN)에서 발생하였다. 첫 파괴 후 스트럿 S5 이외의 트러스 메커니즘을 구성하는 나머지 스트럿과 타이가 여분의 하중전달성능을 가지고 있으므로 외부하중을 추가로 지점으로 전달할 수 있다. 따라서 추가로 외부하중을 작용시킨 결과, STM의 두 번째 파괴는 Fig. 6(b) 및 Table 2(c)와 같이 스트럿 S4가 취할 수 있는 최대단면력 상태(실험파괴하중의 89.2 %인 971.5 kN)에서 발생하였다. 두 번째 파괴 후 STM은 불안정 구조가 되었으며, 더 이상의 외부하중을 받을 수 없다. 부정정 STM이 받을 수 971.5 kN의 최대하중 상태에서 절점영역 강도를 검토하였다. Fig. 6(c) 및 Table 2(d)에서 볼 수 있듯이 모든 절점영역은 안전한 것으로 나타났다. 따라서 B1-00-RN의 파괴강도는 실험파괴하중의 89.2 %로 결정하였다. 이와 동일한 절차에 따라 나머지 시험체의 파괴강도도 예측하였다.

파괴실험이 수행된 PSC 보의 파괴강도를 현행 설계기준서^{(EC2 2004; FIB 2010; ACI 318 2019; AASHTO 2020)}의 스트럿 유효강도 식을 이용하여 예측하였으며, 그 결과는 Table 3 및 Fig. 7과 같다. EC2 및 FIB의 스트럿 유효강도 식에 의한 PSC 보의 파괴강도는 실험파괴하중의 177 % 및 214 %로 예측되었으며, 표준편차는 0.288 및 0.339로 나타났다. ACI 318의 스트럿 유효강도 식에 의한 파괴강도는 실험파괴하중의 143 %로 예측되었으며, 표준편차는 0.215로 나타났다. AASHTO의 스트럿 유효강도 식에 의한 파괴강도는 실험파괴하중의 232 %로 예측되었으며, 표준편차는 0.678로 나타났다. 이 연구에서 제안한 스트럿 유효강도 식 (10)에 파괴강도는 실험파괴하중의 119 %로 예측되었으며, 표준편차는 0.206으로 나타났다. 분석결과로부터 알 수 있듯이, PSC 보의 파괴강도는 설계기준서의 스트럿 유효강도 식을 이용할 경우 모두 매우 보수적으로 예측되었다. 이에 반해 이 연구의 스트럿 유효강도 식에 의해서는 PSC 보의 파괴강도가 평균적으로 양호하게 예측되었다. 이 결과는 현 연구의 스트럿 유효강도 식이 PSC 보의 거동 및 파괴강도에 미치는 여러 요인의 영향을 잘 반영하기 때문인 것으로 판단된다. Table 4는 스트럿 유효강도 값의 변화에 따라 예측한 PSC 보의 파괴강도를 전간경간비 $a/d$, 콘크리트 강도 $f_{ck}$, 축력에 대한 수직하중의 비 $N_{sd}/P$ 등으로 분류한 것으로, 이 연구의 스트럿 유효강도 식은 PSC 보 주요 설계변수들의 모든 범위에서 좀 더 정확하게 적용될 수 있음을 알 수 있다.

Fig. 4 Test setup and details of beam B1-00-RN (Shahawy and Batchelor 1996)

Fig. 5 Strut-and-tie model and provided widths (areas) of beam B1-00-RN

Fig. 6 Procedure of strength prediction of beam B1-00-RN by using an indeterminate strut-and-tie model

Fig. 7 Comparison of ultimate strength of PSC beams

5. 결 론

현행 설계기준서의 스트럿 유효강도 식들은 제한적인 2차원 콘크리트 구조부재의 실험과 해석에 근거하여 제시된 것으로, 이들 식을 전단경간비, 프리스트레싱 힘의 크기, 프리스트레싱 강재비, 전단철근비 등의 주요 설계변수에 따라 상이한 파괴거동을 보이는 PSC 보의 해석과 설계에 적용하는 것은 바람직하지 않다. 이 문제를 해결하기 위해서 수치해석적 기법을 근거로 하는 2차원 스트럿 유효강도 결정방법이 기존 연구에서 제안되었다. 그러나 이 방법은 한 하중조건에 대해서도 수차례의 반복적인 평면고체 및 평면트러스 유한요소해석을 수행해야하며 또한 유한요소해석 결과를 응용하는 복잡한 추가적 계산과정을 필요로 하기에 실무적용이 쉽지 않다. 따라서 이 연구에서는 기존에 제안된 수치해석적 기법을 활용하여 PSC 보의 STM 해석/설계를 정확하고 실용적으로 할 수 있는 콘크리트 스트럿 유효강도 식을 상기의 세 가지 주요 설계변수들의 영향을 고려하여 개발하였다.

이 연구의 스트럿 유효강도 식과 현행 설계기준서의 유효강도 식들을 이용하여 파괴실험이 수행된 47개 PSC 보의 파괴강도를 STM 방법으로 예측하였다. EC2, FIB, ACI 318, AASHTO의 유효강도 식들에 의한 PSC 보의 실험강도/예측강도 비와 표준편차의 범위는 1.43~2.32와 0.215~0.678였다. 이 연구의 제안식에 의한 강도 비 및 표준편차는 1.19 및 0.206으로 나타났다. 이 연구의 스트럿 유효강도 식은 PSC 보의 주요 설계변수의 변화와 무관하게 PSC 보의 파괴강도를 현행 세계 설계기준서의 것에 비해 더 일관성 있고 양호하게 예측하였다. 따라서 이 연구의 스트럿 휴효강도 식은 PSC 보의 STM 해석/설계 시 그 결과의 신뢰성을 보다 증대시킬 것으로 사료된다.