2.2.1 실험 방법

열전도도는 물질의 열 확산 성질을 나타내는 지표 중 하나로 제조업계에서의 폴리머 사출 성형, 건설 및 우주･항공업계에서의 단열, 및 반도체업계에서의 부품 방열 등 여러 분야에서 널리 적용되므로 이를 정확히 산정하는 것은 중요하다. 열전도도를 측정하기 위해 수행하는 열분석은 정상상태(steady-state) 분석 및 일시적(transient) 분석으로 구분할 수 있다. 정상상태 분석은 일정한 온도가 유지되는 열 균형 상태에서 시스템 내부의 열 분포를 파악하는 것을 목적으로 하지만 일시적 분석은 가열이나 냉각으로 인해 시간에 따라 물질의 온도가 어떻게 달라지는지 파악하고자 실시한다. 평판열류계법은 일시적 분석 방법의 일종으로 전기 저항체 성격을 띠는 온도센서를 열전도도를 구하고자 하는 두 개의 같은 재질의 시편 사이에 끼워 밀착 고정하고 여기에 전류를 인가해 열을 가한 후 시간에 따른 시편 표면에서의 온도변화를 측정함으로써 열전도도를 구하는 방법이다(Fig. 2).

평판열류계 실험법의 이론적인 근간은 외부 열원을 고려한 열 방정식에 있다^{(ISO 2008; ISO 2017)}. 열 방정식은 일시적이고 국부적인 열 공급으로 인한 물질의 내부에서의 시간에 따른 온도변화가 공간의 함수인 온도 장(temperature field)을 라플라스 연산자로 편미분 한 값에 비례함을 나타내는데, 외부 열원이 있는 경우 이 식에 열원의 강도를 나타내는 항($Q/\rho c$)이 추가된다(식 (1)). 외부 열원을 고려한 열 방정식의 해는 열 방정식의 기본 해(fundamental solution)와 외부 열원의 강도를 나타내는 항($Q/\rho c$)을 합성(convolution)함으로써 구할 수 있으며(식 (2)), 여기에 프로브(온도센서)의 형상적 특징 및 열적 특성을 적용하면 프로브의 출력에 따른 시편에서의 온도 증가분 사이의 관계를 도출할 수 있다(식 (3)).

where, $\alpha$ : thermal diffusivity

$T$ : temperature

$Q$ : amount of heat released per unit time per unit volume

$\rho$ : density

$c$ : specific heat

$t$ : time

where, $T$ : temperature

$\vec{r}$ : position in the specimen

$t$ : time

$T_{0}$ : initial temperature

$V^{'}$ : volume of heat source

$Q$ : amount of heat released per unit time per unit volume

$\vec{\xi}$ : position in the source

$t'$ : source time (the source is turned on at $t'=0$)

$\rho$ : density

$c$ : specific heat

$\alpha$ : thermal diffusivity

식 (3)은 본 연구에서 우리가 열전도도를 구하기 위해 사용한 식으로 얇은 디스크 형상의 프로브를 열원(hot disk transient plane source)으로 사용할 때 프로브의 출력($P_{0}$) 및 시편 표면에서의 온도 증가분($\triangle T_{s}$)의 관계를 나타낸다^{(He 2005)}. 여기서 $\tau$는 특정시간비율(characteristic time ratio)로 시편의 크기 및 열확산도($\alpha$)에 따라 달라진다(식 (4)).

where, $\Delta T_{s}$ : increase in the temperature of the specimen surface

$\tau$ : characteristic time ratio

$P_{0}$ : power output of the probe

$r$ : radius of the outermost ring source

$\lambda$ : thermal conductivity

$m$ : number of concentric ring sources

$\sigma$ : integration variable

$l$ : dummy variable

$k$ : dummy variable

$I_{0}$ : modified Bessel function

where, $\tau$ : characteristic time ratio

$\alpha$ : thermal diffusivity

$t$ : time

$r$ : radius of the outermost ring source

편의를 위해, 식 (3)의 뒷부분을 무차원 특정시간함수(식 (5))를 정의한 후 치환하고 열전도도($\lambda$)와 온도 증가분($\triangle T_{s}$)의 자리를 바꾸면 우변에 있는 실험 데이터($P_{0}$, $\triangle T_{s}$)를 이용해 좌변에 있는 열전도도를 산정할 수 있음을 알 수 있다(식 (6), ^{ISO 2008)}. 여기서 구해지는 열전도도는 실험에 기반하므로 측정된 열전도도($\lambda_{mea}$, measured thermal conductivity)라고 명명했다.

where, $D$ : dimensionless specific time function

$m$ : number of concentric ring sources

$\tau$ : characteristic time ratio

$\sigma$ : integration variable

$l$ : dummy variable

$k$ : dummy variable

$I_{0}$ : modified Bessel function

where, $\lambda_{mea}$ : measured thermal conductivity

$P_{0}$ : power output of the probe

$r$ : radius of the outermost ring source

$\Delta T_{s}$ : increase in the temperature of the specimen surface

$D$ : dimensionless specific time function

한편, 열의 전도 및 확산 이론에 따른 열전도도($\lambda$)와 열확산도($\alpha$)의 관계는 식 (7)과 같다. 여기서 구한 열전도도는 이론에 기반하므로 계산된 열전도도($\lambda_{cal}$, calculated thermal conductivity)라고 명명했다.

where, $\lambda_{cal}$ : calculated thermal conductivity

$\rho$ : density

$c$ : specific heat

$\alpha$ : thermal diffusivity

식 (8)은 최소제곱법(least square method)을 이용한 온도 증분($\Delta T_{s}$)과 특정시간함수($D$)의 관계에 대한 선형회귀 모델의 결정계수($R^{2}$)를 구하는 식이다. $R^{2}$은 0에서 1 사이의 값을 가지는데 1에 가까울수록 모델이 데이터를 잘 예측하는 것이다. 따라서 $R^{2}$은 $\Delta T_{s}/D$의 정확도를 나타내는 척도이다.

where, $R^{2}$ : coefficient of determination

$\Delta T_{s}$ : increase in the temperature of the specimen surface

$\hat{\Delta T_{s}}$ : predicted $\Delta T_{s}$

$\overline{\Delta T_{s}}$ : average of $\Delta T_{s}$

2.2.2 실험 결과

총 8개의 시편을 이용해 평판열류계 실험을 시행했다(Table 2). 산화 그래핀의 함량은 0~0.24 %였고 측정온도는 23~100 °C였다. 각 시편 당 3회씩 측정이 이뤄졌다. 국제표준^{(ISO 2008; ISO 2017)}에 따라 열전도도를 산출하는 Hot Disk 社의 TPS 2500 S를 사용했다(Fig. 3(a)). Fig. 3(b)는 시험 중인 나노콘크리트 시편을 보여주고 있다.

Table 2는 프로브의 출력($P_{0}$) 및 시편의 온도 증가분과 무차원 특정 시간 함수($\Delta T_{s}/D$) 등 주요 실험 데이터와 식 (6)과 식 (7)을 이용해 산정된 열전도도($\lambda_{mea}$, $\lambda_{cal}$)를 보여주고 있다. 비열($c$)은 별도의 시차주사열량계 실험을 통해 구한 값을 사용했다.

Fig. 4는 식 (5)를 도시한 것으로 특정시간함수($D$)와 특정시간비율($\tau$)의 관계를 나타낸다. 식 (5)에 포함된 수열의 합 및 이에 대한 적분 등 복잡한 연산에 따른 시간과 비용을 절감하기 위해 $\tau$가 0~1인 범위 내 9개의 위치에서 $D$를 계산한 후 이 값에 가장 근접한 3차 포물선(best-fit curve)을 찾아 사용했다.

Figs. 5~7은 산화 그래핀을 2 % 혼입한 시편(GO-2)을 이용해 100 °C에서 실험해 얻은 데이터 및 분석 과정을 보여준다. Fig. 5는 실험으로 얻은 원시 데이터를 그대로 도시한 것으로 시간($t$)과 온도 증분($\Delta T_{s}$)의 관계를 보여준다. 실험이 진행된 약 10~15초 동안 시편의 온도가 2.3 °C에서 3.2 °C로 약 0.9 °C 올라갔음을 보여주고 있다. Fig. 6은 이 온도 증분 데이터를 특정시간비율($\tau$)에 대응해 도시한 것이다(식 (4)). Fig. 7은 온도증분($\Delta T_{s}$)을 특정시간함수($D$)에 대응해 도시한 것으로 $\Delta T_{s}$와 $D$가 선형 비례 관계에 있음을 보여준다. 여기서 이 그래프의 기울기가 바로 열전도도($\lambda_{mea}$) 산정에 필요한 $\Delta T_{s}/D$값이 된다(식 (6), Table 2). 주목해야 할 사실은 특정시간비율($\tau$)은 열확산도($\alpha$)의 함수이므로(식 (4)) $\alpha$에 따라 $\tau$가 달라지고, 특정시감함수($D$)는 $\tau$의 함수이므로(식 (5)) $\tau$에 따라 $D$가 달라지므로, 결국 Fig. 7에 도시된 $\Delta T_{s}-D$ 플롯의 모양(즉, $\Delta T_{s}/D$값)은 $\alpha$에 어떤 값을 입력하느냐에 따라 달라진다는 점이다. 그러므로 측정된 열전도도($\lambda_{mea}$)는 실험 장치를 조작하는 자가 입력하는 열확산도($\alpha$)에 좌우된다.

따라서 본 연구에서 $\alpha$에 따라 달라지는 실험치($\lambda_{mea}$)를 검증하기 위해 계산치($\lambda_{cal}$)를 이용했다. 먼저 임의의 $\alpha$를 적용해 $\lambda_{mea}$와 $\lambda_{cal}$을 식 (6)과 식 (7)에 따라 각기 산정한 후 두 값을 비교하고 시산법(trial and error method)을 이용해 이 두 값의 차이가 무시할 정도로 작아지는 $\alpha$를 찾았다(Table 2).

Fig. 8은 이러한 과정을 통해 찾은 $\alpha$를 이용해 산정한 각 시편의 열전도도를 도시한 것으로 측정치($\lambda_{mea}$)와 계산치($\lambda_{cal}$)가 거의 같음을 보여주고 있다. Fig. 9는 열확산도($\alpha$)를 열전도도($\lambda_{mea}\approx\lambda_{cal}$)에 대응해 도시한 것으로 열확산도와 열전도도가 선형비례 관계에 있음을 보여주고 있다. 열확산도($\alpha$)는 0.5~1.0 mm²/s 범위에 있었으며 열전도도는 1.1~2.4 W/m°C 범위에 있었다(Table 2). 산화 그래핀이 혼입된 시편(GO-1, GO-2, GO-3)의 열전도도는 1.1~1.8 W/m°C 수준으로 일반 콘크리트 시편(GO-0)의 열전도도인 2.3~2.4 W/m°C에 비해 낮아지는 경향을 보였다. 또한, 열확산도도 탄소나노소재를 첨가한 시편(GO-1, GO-2, GO-3)의 경우 0.5~0.7 mm²/s 정도를 보여 약 0.9 mm²/s를 보인 일반 시편(GO-0)에 비해 낮았다. 따라서 산화 그래핀 혼입으로 콘크리트의 열전도 및 열확산 특성이 달라지는 것을 확인할 수 있었다.

Figs. 10~11은 산화 그래핀 혼입량에 따른 열전도도 및 열확산도의 변화를 보여주고 있다. 산화 그래핀 혼입량이 증가함에 따라 열전도도와 열확산도가 작아지는 경향을 보였다. 따라서 산화 그래핀 혼입량과 열전도도 및 열확산도가 반비례함을 확인했다.