2.2.1 전기저항토모그래피(ERT)의 정해석

ERT 정해석(forward problem) 단계에서는 물체에 전류를 주입하고 그에 따른 전압 데이터를 획득한다. 본 연구에서는 다양한 전극 모델 중에서도 분극 효과와 접촉 임피던스를 모두 고려할 수 있는 완전 전극 모델(complete electrode model, CEM)을 사용하였다^{(Cheney et al. 1999)}. CEM의 도메인 영역 $Ω$는 전기 전위 $u$와 전도도 분포 $\sigma$의 관계가 일반화된 라플라스(laplace) 방정식인 식 (1)로 표현된다. 이 방정식은 전기장 내에서의 전위 분포를 나타내는 기본적인 지배방정식이다.

여기서, $\overline{r}$은 도메인 내에서 좌표이다^{(Jeon et al 2021)}. CEM의 경계 조건은 식 (2)부터 식 (5)까지 주어진다.

여기서, $z_{l}$은 전극과 물체 사이의 표면저항, $n$은 단위 법선 벡터, $U_{l}$은 $l$번째 전극에서의 전위, $e_{l}$은 $l$번째 전극의 위치, $L$은 전극의 수, $Γ$은 영역 $Ω$의 경계면이다^{(Jeon et al 2021)}.

좀 더 자세하게는 식 (2)는 전극이 부착되지 않은 경계에서는 전류의 흐름이 없음을 나타낸다. 식 (3)은 각 전극을 통과하는 총 전류($I_{l}$)가 해당 $l$번째 전극에서의 전류 밀도를 적분한 값과 같음을 의미한다. 식 (4)는 전극과 콘크리트 사이의 표면저항으로 인해 전위의 강하가 발생함을 설명한다. 마지막으로 식 (5)는 전류가 키르히호프의 전류 법칙을 만족해야 하며, 전위의 기준 레벨이 변하지 않음을 나타낸다.

본 연구에서는 이러한 정해석 수식들을 풀기 위해 유한요소법(finite element method, FEM)을 사용하였으며 프로그램으로 EIDORS라는 매틀랩 오픈소스 안에 포함된 FEM을 사용하였다. Fig. 1은 본 연구에 사용된 FEM mesh를 보여준다. 정확도를 높이기 위해 전극 근처에는 상대적으로 더 많은 요소를 배치하고, 영역의 중심부로 갈수록 요소의 개수를 줄였다. 이는 전극 주변 영역이 높은 전류 밀도를 가지며 중요한 측정 지점이 되기 때문에, FEM 모델에서 해당 부분에 더 많은 요소를 생성하는 것이 정확도 향상에 도움이 된다는 선행 연구 결과에 따른 것이다^{(Fung et al. 2010)}. 이렇게 정해석을 통해 얻어진 전압 데이터는 다음 단계인 역해석에서 자코비안(jacobian) 행렬을 추정하는 데 사용된다.

Fig. 1 Finite element method (FEM) mesh for the forward problem

2.2.2. 전기저항토모그래피(ERT)의 역해석과 이미지 생성

ERT는 물체 경계면에서 측정한 전기 전위 데이터를 바탕으로 물체 내부의 전도도 분포를 추정하는 역해석 과정을 포함한다^{(Yoon et al. 2024)}. 이러한 이미지 재구성의 역해석을 위한 주요 공식은 식 (6)과 같다.

여기서, {$∆σ$}는 전도도 변화 벡터, [$J$]는 자코비안 행렬, [$R$]은 정규화 행렬, $λ$는 정규화 하이퍼파라미터, $\{V\}_{\exp}$와 $\{V\}_{ref}$는 각각 샘플에서 측정한 실험 전압과 기준 전압을 의미한다.

식 (6)에서 자코비안 행렬 [$J$]는 정해석 모델을 통해 계산된다. 이 행렬은 전도도 변화에 따른 전압 변화율을 나타내는 행렬로, ERT 이미지 재구성에 있어 핵심적인 역할을 한다. 한편, 기준 전압 벡터 $\{V\}_{ref}$는 초기 변화가 없는 상태의 콘크리트 시편에서 측정한 전압 데이터를 사용하거나^{(Smyl 2020)}, 다른 주파수의 교류 전류를 인가하여 획득한 데이터를 활용할 수 있다^{(Jeon et al. 2021)}. 이러한 기준 데이터는 콘크리트에 ERT를 적용 시 전극 설치 및 전극 재료에 대한 민감도가 높아 콘크리트 ERT 측정 시 필수적이다.

본 연구에서는 콘크리트 시편에 전극을 부착하고 전류를 인가하여 전압 데이터를 획득하였다. 획득한 전압 데이터는 MATLAB으로 가져와 전처리 과정을 거쳤다. EIDORS는 원래 의료용 영상 촬영을 위해 개발된 오픈 소스 MATLAB 기반 소프트웨어 패키지이므로^{(Vauhkonen et al. 2001)}, 시멘트 기반 물질에 적용하기 위해 스크립트를 수정하였다. 이미지 재구성 알고리즘의 선택에 있어서, TV(Total Variation) 알고리즘이 널리 활용되고 있으나, 본 연구에서는 라플라스 행렬을 정규화 행렬로 적용한 가우스-뉴턴(GN) 알고리즘을 사용하였다. ^{Sarode et al. (2013)} 연구에 따르면, GN 알고리즘은 TV 알고리즘과 유사한 수준의 오차율을 보이면서도 계산 효율성과 알고리즘의 직관성 측면에서 장점이 있는 것으로 나타났다. 이러한 이점을 고려하여, 본 연구에서는 GN 알고리즘을 이미지 재구성 기법으로 채택하였다.

2.3.1 샘플 재료

본 연구에 사용된 시멘트는 국내 S사에서 생산된 1종 포틀랜드 시멘트이다. 잔골재로는 국내 ㈜주문진 규사의 표준사와 국내 E사의 미세 철강 슬래그 골재(FSSA)를 사용하였다. FSSA는 전기 아크로를 통해 생성된 철강 슬래그를 미분쇄한 것으로, 시멘트 모르타르의 전기 전도성 향상을 위해 활용되었다^{(Kim et al. 2021)}. FSSA는 Fe 함량이 높아 전기 전도도가 우수하므로, 시멘트 모르타르 매트릭스의 전도성을 증진하게 시켜 전압 측정의 정확도를 향상하는 역할을 하였다.

2.3.2 샘플 제작

모르타르 배합에는 물-시멘트 비(w/c) 0.2를 적용하였으며, 폴리카본산계 고성능 감수제(Superplasticizer, SP)를 사용하여 초기 유동성을 확보하였다. 시멘트, 실리카흄, 실리카 파우더, 표준사 및 FSSA 등의 분체를 5분간 건비빔한 후, 혼합수와 SP를 투입하고 5분간 추가 혼합을 진행하였다. 모르타르를 몰드에 타설한 후 콘크리트 진동 테이블을 사용하여 다짐하였으며, 23 °C, 상대습도 99 % 조건의 항온항습실에서 48시간 동안 초기 양생하였다. 탈형 후에는 90 °C 온수에서 3일간 촉진 양생하였으며, 실험 직전까지 상온의 항온항습실에서 보관하였다.

2.3.3 전극 부착 및 전압 측정

ERT 측정을 위해 원기둥꼴 모르타르 시편의 측면에 폭 5 mm의 구리 테이프 전극을 등 간격으로 16개 부착하였다. 전극과 시편 표면 사이의 밀착성 향상을 위해 실버 페이스트를 도포하였는데, 이는 거친 모르타르 표면으로 인한 접촉 불량 및 표면저항 편차를 완화하기 위함이다^{(Jeon et al. 2022)}. 기존에는 구리 전극과 황산구리 용액을 적신 스펀지를 활용한 사례가 있으나^{(Karhunen et al. 2010)}, 본 연구에서는 접착제 타입의 실버 페이스트를 도입하여 전극-시편 간 접촉 특성을 개선하고자 하였다. 전극이 부착된 시편은 비전도성 테이프로 덮어 전극 이외 영역으로의 전류 흐름을 차단하였다.

전기 전위 측정을 위한 실험 구성은 Fig. 2와 같다. 독일 Sciospec Scientific Instruments의 EIT16 측정 시스템을 사용하여 ERT 측정을 수행하였으며, 각 채널은 시편에 부착된 구리 전극에 순차적으로 연결되었다. 획득한 전위 데이터는 역해석 이미지 재구성과 비선형 회귀를 위하여 사용되었다. 1번 전극에서 9번 전극으로 1.0 mA의 전류를 인가한 후, 전류 인가 전극을 시계방향으로 순차 이동시키며 모든 전극에 대해 동일한 과정을 반복하였다. 각 전류 인가 단계에서는 인접한 전극 쌍 사이의 전압을 계측하였다. 반대 방향 전류 인가 기법은 전류가 시편 전체에 고르게 분포하도록 하여 민감도를 개선할 수 있다^{(Kim et al. 2022)}. 이미지 재구성에는 1 kHz와 50 kHz의 두 주파수에서 획득한 전압 데이터를 활용하였다^{(Jeon et al. 2021)}.

Fig. 2 Measurement configuration of the electrical resistance tomography (ERT) apparatus used for collecting electric voltage data

3.1.1 비선형 회귀에서 초깃값과 최종 수렴 값

실험에서는 전기저항토모그래피 장비를 사용하여 샘플의 인접 전극 간 전위차를 측정하였다. 이 측정된 데이터와 시뮬레이션 데이터를 비선형 회귀법을 적용하기 위하여 먼저 16개의 전극이 같은 전기표면저항 값을 갖는다는 가정에서 비선형 회귀와 시뮬레이션을 수행하였다. 실험에서 측정된 인접 전극 간 전위차와 FEM 시뮬레이션의 전위차 데이터를 적합 시키기 위한 비선형 회귀를 수행하기 위해 초기 표면저항과 전기 전도도의 초깃값을 각각 0.05 mΩ･m² 및 4 mS･m^-1로 설정하였다. Fig. 3(a)는 이러한 초깃값으로 설정된 Newton-Raphson 방법을 이용한 비선형 회귀 이전 초기 설정을 보여주고 있다. 두 개의 값은 비선형 회귀의 과정에서 점진적으로 조정되며, 최종 수렴 값은 초깃값보다 낮았으며 비선형 적합에서 발산되지 않고 최종값으로 수렴되었다. Fig. 3(a)에서 시작하여 비선형 회귀 과정을 거친 최종 표면저항은 0.0223 mΩ･m²였으며, 최종 전기 전도도는 2.0675 mS･m^-1로 수렴되었다. Fig. 3(b) 결과는 비선형 회귀로 최종적으로 수렴된 실험 전위차와 시뮬레이션 전위차를 그래프로 보여준다. 여기서, 16개 전극이 하나의 세트 결과로 총 16번의 다른 전극의 쌍을 설정하여 전류를 흐르게 함에 따라 측정 인덱스는 256개로 주어진다.

Fig. 3(b)의 데이터 맞춤 결과를 살펴본바, 데이터 분석 과정에서 전류의 유입과 유출이 있는 전극에 대한 데이터 맞춤이 주로 이루어졌음을 확인할 수 있었다. 이러한 현상으로 인해 다른 전극들에서는 측정된 데이터와 시뮬레이션 결과 간에 상당한 차이가 나타났다. 이는 전류의 흐름이 있는 전극에 우선하여 비선형 회귀가 수렴하려는 경향이 있어서, 나머지 전극들의 측정과 시뮬레이션 간의 차이가 무시되는 경향이 있다고 판단된다.

따라서 이러한 결과는 비선형 회귀 과정에서 좀 더 자유도를 향상하게 시킬 필요성을 제기하며, 특히 전류의 흐름이 있는 전극들에 상당한 영향을 미치는 표면저항에 대한 자유도를 높여야 함을 시사한다.

Fig. 3 Simulated versus measured potential difference

3.1.2 초깃값을 최종 수렵 값보다 낮거나 높게 설정할 경우

Fig. 4(a)는 비선형 회기 과정에서 초기 표면저항을 0.05 Ω/cm²로 전기 전도도가 4 μS/cm로 설정된 첫 번째 iteration 진행 상황을 보여준다. 초깃값들이 표면저항의 최종 수렴 값인 0.0223 Ω/cm² 및 전기 전도도의 2.0675 μS/cm에 비하여 상당히 높게 설정되었다. 그러나 Fig. 4(a)에서 나타나듯이, 첫 번째 단계에서는 최종값에 가까워지도록 현저한 감소세를 보여주고 있다. 구체적으로, 첫 번째 스텝에서 표면저항은 0.05 Ω/cm²에서 0.0204 Ω/cm²로 변경되었으며, 전기 전도도는 4 μS/cm에서 2.0675 μS/cm로 변경되었다.

Fig. 4 First step of Newton–Raphson’s interaction with two different initial values

하지만 초깃값이 최종 수렴 값의 두 배 이상일 때 비선형 회귀 과정에서 수렴하는 대신 발산함을 관찰하였다. 이 관찰은 표면저항과 전기 전도도를 결정하기 위해 비선형 회귀와 뉴턴 방법을 사용할 때 초깃값은 최종값보다 낮게 설정하는 것이 안정성을 보장하는 것에 더 나은 선택인 것을 시사한다.

Fig. 4(b)는 초기 표면저항이 0.01 Ω/cm²로 설정되었고, 전기 전도도가 1 μS/cm로 시작된 시나리오의 첫 번째 iteration 결과를 보여주고 있다. 채택된 초깃값들은 표면저항의 최종 수렴 값인 0.0223 Ω/cm² 및 전기 전도도의 2.0675 μS/cm보다 작게 설정되었다. 이는 이전에 논의된 것과는 반대로 초깃값이 최종값보다 낮게 설정되는 경우를 보여주고 있다.

최종값보다 초깃값이 낮게 설정되면, 초깃값에서 표면저항이 첫 번째 단계부터 빠르게 0.0223 Ω/cm²로 수렴되는 것이 명확해지며, 전기 전도도는 2.0675 μS/cm의 최종값으로 근접하여 수렴함을 알 수 있다. 또한 값들이 파동 형태로 변화하는 것이 아니라 일정한 방향으로 변하면서 안정적으로 변하는 것을 확인하였다. 실험 데이터로부터 표면저항과 전기 전도도를 추정하기 위해 비선형 회귀와 Newton-Raphson 방법을 결합하여 사용할 때, 초기 예측값이 예상 최종값보다 낮게 설정되는 것이 안정된 수렴을 보장한다는 것으로 추론할 수 있다.

3.1.3 측정과 시뮬레이션 오차 분석

Fig. 5는 전류 주입 시 근접한 전극 사이의 전기 전위차이를 나타내는 전압 분포를 보여주고 있다. Fig. 5(a)는 전극 1에서 전극 9로 전류가 주입되는 상황을 보여주며, Fig. 5(b)는 전극 5에서 전극 13으로 전류가 흐르는 상황을 보여준다.

Fig. 5 Electric potential differences according to selections of current injection

Fig. 5에서 실험 측정 결과와 시뮬레이션 결과를 비교해 보면, 비선형 회귀의 iteration 과정시 전류가 주입되는 전극을 우선시하여 시뮬레이션 값과 근접하도록 세심하게 데이터 맞춤 과정이 조정하는 경향이 있다. 그러나 이러한 경향은 종종 더 중요한 다른 전극에서 측정된 값과 시뮬레이션 값 간의 데이터 맞춤이 더 중요해지는 경우를 간과하는 결과를 낳을 수 있다. 이 현상은 표면저항이 모든 전극에 대해 일정한 값을 유지할 때, 수렴 경향이 전류 주입 및 유출에 관여하는 전극과 일치하도록 기울게 되어, 다른 전극에서의 데이터 맞춤을 부주의하게 만드는 경향이 있음을 시사한다. 이러한 관찰은 전류 흐름에 직접적으로 관여하는 전극에만 초점을 맞추는 것의 잠재적인 한계를 인지할 수 있게 한다.

측정 및 시뮬레이션 데이터를 비교 분석하여 데이터 맞춤 결과를 더 잘 나타내기 위해 히스토그램 및 분위수-분위수 (quantile- quantile, Q-Q) 그래프를 사용하였다. 이에 관한 결과는 Fig. 6(b)에서 보여주고 있다. Fig. 6(a)의 히스토그램은 측정 및 시뮬레이션 데이터 간의 오차가 이중 모드 정규분포를 나타내는 것을 보여준다. 이 이중 모드 정규분포는 뚜렷한 두 개의 정규분포를 시사한다.

Fig. 6 Analysis of residuals between measurement and simulation

이 이중 모드 정규분포는 전류 유입 및 유출과 관련된 전극의 데이터를 우선하여 데이터 맞춤하는 것을 선호함을 의미하며, 이로 인해 다른 전극에서 측정값과 비교하여 시뮬레이션 값이 과대 평가되는 결과를 초래하였다. 구체적으로, 음의 전기 전위차에 대해서는 시뮬레이션 값이 측정값보다 음의 방향으로 과대 평가되며, 양의 전기 전위차에 대해서는 시뮬레이션 값이 측정값보다 양의 방향으로 과대평가하였다.

또한, Fig. 6(b)에서 보여주고 있는 Q-Q 그래프는 측정 및 시뮬레이션 오차가 정규분포를 잘 따르는지를 평가한다. Q-Q 그래프에서 관측되는 ‘S’ 모양 패턴은 중심 영역에서도 완벽한 정규분포에서의 이탈을 시사한다. 이러한 이탈은 모든 전극에서 같은 표면저항 값을 부과함으로써 전기저항토모그래피(ERT) 결정 과정의 부정확성을 악화시킬 수 있다는 것을 의미한다.

3.2.1 비선형 회귀에서 수렴과정

모든 16개의 전극에 대한 표면저항 값은 각각 다른 값을 가지도록 개별적으로 설정되었으며, 초기 예측값은 Newton-Raphson 방법의 활용을 용이하게 하기 위해 3.1에서 논의한 것과 마찬가지로 예상 최종 수렴 값보다 낮게 균일하게 설정하였다.

Fig. 7에서 보여주듯이 지정된 표면저항 값과는 관계없이 빠른 수렴이 관찰되었다. 특히, 표면저항 값이 서로 다른 값으로 설정되어도 초깃값이 최종 수렴 값보다 작게 설정되면, 표면저항이 모든 전극에서 일정한 값으로 유지되는 경우와 유사하게 안정적인 수렴이 이루어졌다.

Fig. 7 Nonlinear regression process with individual contact impedance values for electrodes

또한, 개별 표면저항 값과 동일 표면저항 값의 데이터세트 간의 비교 분석 결과, 주목할 만한 차이점이 드러났다. 구체적으로, 개별 표면저항 값의 데이터세트는 동일 표면저항의 데이터보다 측정 및 시뮬레이션 데이터 데이터 맞춤에서 더 우수한 일치를 보여주었다. 이러한 차이는 개별 표면저항 값의 데이터에서 전기 표면저항의 변동성 때문에 발생하며, 이로 인해 시뮬레이션 데이터의 음의 최댓값과 양의 최댓값이 자유롭게 변동될 수 있게 되었다. 결과적으로, 이러한 향상된 자유도는 측정 및 시뮬레이션 데이터 간의 더 정밀한 데이터 맞춤을 가능하게 하며, 결과적으로 전극에서 하나의 표면 전기저항값으로 설정하는 시나리오에서 관찰되는 제약된 행동과는 대조적이다.

Fig. 8은 표면저항을 여러 값으로 설정하여 달성된 최종 수렴을 보여준다. 모든 전극에 대해 표면저항이 일정한 값을 유지하는 경우와는 달리, 시뮬레이션 결과는 전류 유입 및 유출이 발생하는 최대 절댓값 위치에서 관찰될 때 더 큰 변동성을 보여준다. 이러한 변동성은 시뮬레이션이 측정 및 시뮬레이션 값 사이에 더 정확한 일치를 데이터 근사에서 끌어내고 있음을 시사한다.

Fig. 8 Final convergence of the nonlinear regression process with individual contact impedance values for electrodes

3.2.2 최종 수렴된 전극의 개별 표면저항

Table 1은 모든 16개의 전극에 대한 최종 수렴에서 얻은 표면저항 값을 보여준다. 특히, 분석 결과, 각 전극의 측정값과 평균값 사이의 차이가 10 % 내로 나타났음을 확인할 수 있다.

또한, 이 연구 결과는 전기저항토모그래피에서 정확한 시뮬레이션에 라플라스 방정식을 활용하는 효과를 강조하였다. 이러한 맥락에서, 각 전극의 개별 표면저항의 향상된 자유도가 중요한 것으로 드러나며, 시뮬레이션 정확도를 향상하게 시킬 가능성을 제시한다. 흥미로운 점은 각 전극의 설치 조건이 일관되게 유지된다면, 표면저항의 적합 값이 10 % 이내의 만족스러운 정밀도로 도출될 수 있다는 것이다.