2.1 D-영역의 유한요소 및 경계면 절점의 판별

콘크리트 구조물 또는 구조 부재는 일반적으로 Fig. 1과 같이 단면의 변형률이 선형으로 분포되어 평면 보존의 법칙이 적용되는 B-영역과 그렇지 않은 D-영역으로 구분한다. D-영역은 기하학적 형태의 급격한 변화 또는 집중하중으로 인해 응력 흐름이 불규칙하고 교란되어 스트럿-타이 모델을 활용하여 설계하는 것이 일반적이다. 스트럿-타이 모델은 D-영역의 탄성응력 흐름을 바탕으로 선정하며, 탄성응력 흐름은 일반적으로 유한요소해석법을 사용하여 결정한다. 유한요소해석법의 적용을 위해서는 D-영역의 하중 및 경계 조건을 명확하게 결정해야 하며, 하중 및 경계 조건은 독립적인 D-영역의 경우 쉽게 결정할 수 있으나, 구조물에 종속된 D-영역일 경우는 그 결정이 어렵다.

전체 구조물의 일부인 D-영역을 분리하기 위하여 D-영역 내부의 유한요소와 D-영역 경계면의 절점을 정의해야 한다. Fig. 2는 이 연구의 D-영역을 판별하는 방법을 소개한 것으로, 과정은 다음과 같다. 즉, 선택 영역의 네 점($P_1$~$P_4$)을 정의하고, 이 점의 좌표를 사용하여 반 시계 방향으로 4개의 영역 벡터($V_1$~$V_4$)를 정의한다. $P_1$은 마우스를 처음 눌렀을 때 계산된 좌표이고, $P_3$는 마우스로 영역 크기를 조절하며 결정되는 좌표이다. $P_2$와 $P_4$는 $P_1$과 $P_3$의 높이 및 너비 차이에 따라 계산되는 좌표이다.

그후, 각 영역 벡터의 시작 절점과 영역 중심점 C가 이루는 벡터 $\vec{O}$를 정의하여 외적 $\vec{V} \times \vec{O}$를 수행하고, 영역 벡터의 시작 절점과 유한요소의 각 4개의 절점($N_1$~$N_4$)이 이루는 벡터 $\vec{M}$을 정의하여 외적 $\vec{V} \times \vec{M}$을 수행한다. 이때, 전역 좌표계에서 외적 $\vec{V} \times \vec{O}$는 항상 0보다 크기 때문에, 절점마다 수행한 외적 $\vec{V} \times \vec{M}$이 양수인 경우, 두 값을 곱한 결과가 항상 양수이므로 해당 절점이 영역 내부에 있다고 판단한다. 최종적으로 4개의 절점 모두가 내부에 있다고 판단되면 해당 요소를 영역 내부 요소로 판별한다. 또한, Fig. 3과 같이 전체 구조물 유한요소 모델에서 D-영역 유한요소의 절점이 공유하고 있는 유한요소의 수($n_o$)와 재정의한 D-영역 유한요소의 절점이 공유하고 있는 유한요소의 수($n_s$)가 다를 경우 그 절점을 경계면 절점이라 판단하고, 이 절점으로 이루어지는 유한요소를 경계면 유한요소로 판별한다.

Fig. 2 Example of identifying finite elements in a D-region

Fig. 3 Example of identifying interface nodes in a D-region boundary

2.2 D-영역 유한요소의 세분화 및 경계면 절점하중의 산정

D-영역의 유한요소 크기를 줄일수록 실제 구조물의 거동에 더 가까운 결과를 제공하며, D-영역의 경계면에 작용하는 복잡한 응력을 경계면의 절점하중으로 더 정밀하게 산정할 수 있다. 이 연구에서는 오픈소스 메시 생성기인 Gmsh(a three-dimensional finite element mesh ge-nerator with built-in pre- and post-processing facilities, ^{Geuzaine and Remacle 2024)}를 그래픽 프로그램과 연동시켜 D-영역의 유한요소 크기를 개선하였다. Gmsh는 편의성과 정밀성을 동시에 충족하며, 다양한 학문 및 산업 분야에서 널리 활용되고 있다.

세분화 과정을 거친 후, 새롭게 추가된 경계면 유한요소들의 외곽 절점에 작용하는 응력을 세분화 이전의 경계면 절점응력을 이용하여 Fig. 4와 같이 선형보간법으로 산정한다. Fig. 4에서 $S_A$ 및 $S_B$는 세분화 이전의 요소 응력으로부터 추정된 절점응력, 즉 평면 고체요소의 수평방향 응력 $\sigma_x$, 수직방향 응력 $\sigma_y$, 전단응력 $\tau_{xy}$를 말한다. Fig. 5는 절점 응력으로부터 D-영역 경계면 유한요소의 절점하중을 산정하는 예시를 도식화한 것이다. 즉, 경계면 절점의 하중은 D-영역 경계면 면적(A)과 경계면의 기울어진 각($\theta$)으로부터 결정하는 수평면적($A_h$)과 수직면적($A_v$)을 경계면에 있는 절점 수(n)로 나눈 수평, 수직 방향 미소면적($dA_h, dA_v$)과 경계면에 위치한 유한요소의 절점($n_2, n_3$)의 응력을 곱하여 산정한다. 여기서, 수평방향 절점하중은 수평방향 응력($\sigma_x$) 및 수직방향 미소면적($dA_v$)을 곱한 값과 전단응력($\tau_{xy}$) 및 수평방향 미소면적($dA_h$)을 곱한 값을 합하여 결정하고, 수직방향 절점하중($F_y$)은 수직방향 응력($\sigma_y$) 및 수평방향 미소면적($dA_h$)을 곱한 값과 전단응력($\tau_{xy}$) 및 수직방향 미소면적($dA_v$)을 곱한 값을 합하여 결정한다.

Fig. 4 Example of determining interface nodal stress at a D-region boundary

Fig. 5 Example of calculating interface nodal forces in the D-region boundary

2.3 D-영역의 하중 및 변위 경계 조건의 결정

D-영역 유한요소모델의 세분화 과정 후, 2.2절의 방법으로 산정한 경계면 절점하중을 기존 절점에 부여된 하중과 합산함으로써 D-영역의 초기 하중조건을 결정한다. 여기서 기존 절점이란 세분화 이전 유한요소 모델의 절점을 의미한다. 이 연구에서는 벌칙기법(penalty method)의 개념을 착안하여 기존 절점과 분리한 D-영역 절점과의 변위 차이를 허용 범위 내로 최소화시켜 D-영역의 경계 조건 및 최종 하중조건을 결정하는 방법을 개발 및 적용하였다. 벌칙기법은 수치적 구조 해석 시 각종 구속 조건을 처리하는 기법으로, 일반적으로 최적화 문제에서 제약조건을 위반하는 경우 목적함수에 벌칙 항을 추가하여 해가 제약조건을 만족하도록 유도한다. 이 연구에서는 이러한 개념을 이용해 D-영역 경계면의 절점 변위 일치를 제약조건으로 가정하고, 반복 단계마다 변위 불일치라는 제약조건 위반에 대한 벌칙으로 추가적인 절점하중과 스프링 강성을 벌칙 항으로 추가함으로써 변위 일치라는 특정 제약조건을 만족시키고자 하였다. 즉, 단위 강성(1 N/mm)을 갖는 수평 및 수직의 스프링을 D-영역 경계면 절점에 부여하여 반복적인 구조해석을 통해 스프링 강과 절점하중을 변화시켜 분리 전 경계면 절점 변위로 근사시키는 방법으로, 그 과정은 다음과 같다.

단계 1: 반복 단계 횟수 및 변위의 허용 평균수렴비의 차이(이하 허용수렴비)를 결정하고, 초기의 하중 및 경계 조건을 사용하여 2차원 D-영역에 대한 선형탄성 유한요소해석을 수행한다. 경계면 절점의 수평 및 수직 방향의 초기 변위를 구한다. 여기서 반복 단계 횟수 및 허용수렴비의 경우 그래픽 프로그램을 통해 사용자가 임의로 설정할 수 있다. 단계 2: D-영역 각 경계면 절점의 수평 및 수직 방향의 발생 변위와 분리 이전의 기존 절점의 절점 변위의 비를 정의한다. 단계 3: 각 방향의 변위 비가 0보다 크면 이전 단계의 스프링 강성 값을 변위 비로 곱하여 수정하고, 0보다 작다면 기존 절점 변위에서 발생 변위를 뺀 값에 이전 단계 스프링 강성을 곱하여 절점 하중으로 추가한다. 단계 4: 수정한 하중조건 및 스프링 경계조건을 갖는 D-영역에 대해 유한요소해석을 수행하여 각 방향 별 경계면 절점 변위를 구하고, 이 변위를 분리 이전의 기존 절점 변위와 비교한다.

단계 5: 분리 전 및 후의 동일한 위치에서의 각 방향 별 경계면 절점 변위가 허용수렴비 내로 들어온다면 반복단계를 중단하고, 그렇지 않은 경우 단계 2로 돌아간다.

이 연구는 D-영역 분리를 위해 반복 해석 방법을 사용하였다. 하지만, 이는 선형탄성 해석에 기반한 한계가 있기에 콘크리트와 철근의 비선형적 재료 특성을 반영하기 어렵다. 만약, 철근의 영향을 재료 비선형 해석 시 고려하지 않고, 전체 구조물에 대해 비 보강 콘크리트의 재료 비선형 해석을 수행한다면, 그 결과에 근거하여 분리한 D-영역의 하중 및 경계조건의 결정이 가능하다.

2.4 D-영역의 스트럿-타이 모델 설계

스트럿-타이 모델 설계는 일반적으로 다음과 같은 절차를 따른다. 단계 1: 콘크리트 구조 부재에서 D-영역을 분리하고, 기하학적 형상, 하중 및 지지조건과 같이 설계를 위한 초기 설계조건을 결정한다. 단계 2: 분리한 D-영역 내부의 응력 흐름 및 실무에서의 철근 배치 패턴을 반영하여 스트럿-타이 모델을 선정한다. 단계 3: 구조해석을 통해 스트럿과 타이의 필요 단면적을 계산한다. 이때, 스트럿과 타이의 필요 단면적은 유효강도 범위 내에서 결정해야 하며, 최대 허용단면적을 초과할 경우, 초기 설계조건을 수정하여 단계 2로 되돌아간다. 단계 4: 절점영역의 강도를 검토한다. 절점영역의 강도를 만족하지 않는 경우 철근 타이의 정착방법과 지압판의 크기를 변경하여 재검토하거나 초기 설계조건을 수정하여 단계 2로 되돌아간다. 단계 5: 철근 타이의 유효강도를 고려하여 필요 철근량을 산정하고, 설계 상세와 최소 철근 요구 조건을 검토한다.

이렇듯, 스트럿-타이 모델 설계는 반복적인 설계 및 검토 과정이 필요하며, 힘의 전달경로에 대한 이해와 복잡한 설계조건을 다루는 능력과 경험을 설계자로부터 요구한다. 특히, 단계 1에서 초기 하중 및 지지 조건에 따라 D-영역 내부의 응력 흐름이 달라지므로, 탄성응력 경로법^{(Schlaich et al. 1984)}에 근거한 스트럿-타이 모델의 형상 결정에 직접적인 영향을 준다. 이 연구에서 제안하는 D-영역 분리 기법은 변위 일치 조건을 만족하는 최적의 초기 하중 및 지지 조건을 결정하여, 분리 전 D-영역의 응력을 더욱 정확하게 추정하고, 이를 통해 결정한 스트럿-타이 모델의 형상에 대한 신뢰도를 높일 수 있다. 수치해석적 방법^{(Yun 2021)}으로 스트럿의 유효강도를 결정할 때 스트럿 인근 유한요소의 응력이 중요한 영향을 미친다. 일반적으로 유한요소의 응력은 구조해석을 통해 얻은 절점 변위로부터 산정되기 때문에, 변위일치 조건을 만족시키는 이 연구의 D-영역 분리 기법으로 초기 하중 및 지지 조건을 결정하면 분리 전 D-영역의 응력을 근사하게 추정할 수 있다. 또한, D-영역 유한요소의 세분화와 수치해석적 방법을 접목하면 스트럿의 유효강도를 더욱 정밀하게 산정할 수 있다.

2.5 D-영역 분리를 위한 그래픽 프로그램

Fig. 6은 이 연구를 위해 개발한 프로그램의 인터페이스를 나타내며, 다양한 기능의 메뉴를 포함하고 있는 프로그램 메뉴 창, 절점이나 요소의 정보를 출력하는 정보 창, 작업 영역 창, 출력 옵션 창, 프로세스 출력 창 등으로 이루어져 있다. 해당 프로그램은 콘크리트 구조물의 스트럿-타이 모델 설계 및 해석을 지원하는 전후처리 프로그램으로, 특히 전체 구조 모델에서 D-영역을 효과적으로 분리하는 과정을 핵심 기능으로 삼아 응력의 시각화와 분석을 극대화한다. 또한, 분리한 D-영역의 데이터를 분석함으로써 구조물의 상세한 거동을 정확히 파악할 수 있으며, 직관적인 그래픽 인터페이스를 통해 설계자가 최적의 설계를 수행할 수 있도록 돕는다. 이러한 접근법은 기하학적 불연속성이 있는 구조 부위에서 특히 유용하며, 설계 효율성을 향상시킨다.

Fig. 6 Graphical program interface

3.1 구조부재 및 D-영역의 유한요소모델

구조해석 프로그램 SAP2000^{(CSI 2023)}을 이용하여 전체 구조부재에 대한 유한요소해석 결과와 이 연구의 프로그램을 이용하여 분리한 D-영역에 대한 유한요소해석 결과를 비교하였다. 이를 통하여 2.3절에서 제안한 분리한 영역에 대한 하중 및 경계 조건 결정 방법의 적합성을 검증하였다. 검증에 사용한 구조부재는 ^Daniel(2022)에 의해 파괴실험이 수행된 3개의 동일한 크기의 개구부를 갖는 보 시험체이다. Fig. 7은 평면고체요소를 사용하여 SAP-2000으로부터 생성한 전체 구조부재에 대한 유한요소모델과 지점부 영역 및 개구부를 갖는 중앙부를 D-영역으로 정의하여 2.1절에서 소개한 D-영역 분리 기법에 따라 생성한 D-영역 유한요소모델을 나타낸다. 이때, 세분화 이후 요소의 크기 차이로 인해, 응력 분포가 상이할 수 있기에, 명확한 응력 비교를 위해 개구부를 갖는 중앙부의 경우는 기존 요소 크기를 작게 설정하고 세분화 과정을 거치지 않았다. 또한, D-영역 유한요소모델의 세분화 이전의 모든 절점에 2.2~2.3절의 방법에 따라 결정한 하중 및 경계 조건을 부여하였다.

Fig. 7 Finite element models of a beam specimen and D-regions

3.2 D-영역의 절점 변위 비교

보 구조부재 및 분리한 D-영역에 대한 선형 탄성 유한요소해석을 수행한 후, 기존 보 구조부재에서 발생한 절점 변위와 D-영역의 절점에서 발생한 절점 변위를 비교하였다. Fig. 8은 D-영역에 대한 하중 및 경계 조건의 보정 단계별 경계면 절점 변위의 평균 수렴비를 나타낸 것이다. 지점부 및 개구부를 갖는 중앙부 모두 4번째 반복 단계에서 허용수렴비가 3 % 이내로 수렴했다. 기존 경계조건이 부여된 지점부와는 달리 중앙에 위치한 개구부 영역의 경우, 첫 반복 단계에서 단위 강성을 갖는 스프링 경계 조건만 부여된다. 따라서, 초기발생 변위가 크게 발생하므로 최종 수렴비가 다소 차이가 나지만, 두 모델 모두 최종 수렴 단계에서 기존 절점 변위와의 차이는 최소화되었다. 이는 이 연구의 분리 기법이 경계 조건의 유무와 상관없이 기존 발생한 변위를 상당히 근사적으로 추정할 수 있음을 나타내며, 분리 전 2차원 D-영역 경계면의 구속 상태를 스프링 경계 조건으로 묘사할 수 있음을 뜻한다. 이 연구에서는 변위 추정 경향을 파악하기 위해서 변위가 크게 발생한 D-영역 경계면 절점의 변위를 수렴 단계별로 파악해보았다. Fig. 9는 지점부의 경계면 절점(S1~S7) 변위를 수렴 단계별로 도식화한 것이며, Fig. 10은 개구부를 갖는 중앙부 경계면 절점(M1~M7) 변위를 수렴 단계별로 도식화한 것이다. 두 유한요소모델 모두 일정한 비율로 변위가 수렴했으며, 이는 해당 분리 기법의 안정적인 수렴성을 잘 나타낸 것이다.

Fig. 8 Average convergence ratio of interface nodal displacements at a D-region boundary

Fig. 9 Convergency history of nodal displacements at the D-region boundary in the support zone

Fig. 10 Convergency history of nodal displacements at the D-region boundary in the mid-span

3.3 D-영역의 응력 비교

Figs. 11~14는 보 구조부재 전체를 SAP2000으로 해석한 응력 분포 결과와 이 연구의 프로그램으로 D-영역을 분리한 후 해석한 응력 분포 결과를 보인 것이다. 두 모델 모두 유사한 응력분포를 나타내고 있지만, Figs. 11~12의 일부에서 응력 분포가 다른 이유는 모델링 시 채택한 유한요소의 크기가 서로 다르기 때문이다. Fig. 13 및 14와 같이 유한요소의 크기가 같을 경우, 응력분포와 최대 및 최소 응력이 상당히 유사하다는 것을 확인할 수 있다. 이는, D-영역 분리 전 및 후의 동일 절점의 변위를 근사시키면 스트럿-타이 모델 설계 시 필요한 응력 분포 또한 매우 유사하게 구현할 수 있다는 것을 보여준다.

Fig. 11 Comparison of $\sigma_x$ distribution in the support zone

Fig. 12 Comparison of $\tau_{xy}$ distribution in the support zone

Fig. 13 Comparison of $\sigma_x$ distribution in the mid-span

Fig. 14 Comparison of $\tau_{xy}$ distribution in the mid-span