1. 서 론

통행분포 예측은 4단계로 이루어지는 수요예측 과정 중, 두 번째 단계에서 이루어지는 것으로 예측의 결과는 장래 O-D표로 정리된다. 실무에서 대부분의 통행분포 예측은 성장인자모형 또는 중력모형에 의해서 행해지고 있으며, 중력모형은 장기 목표연도에서도 정확도 높은 예측결과를 기대할 수 있는 모형으로 인지되고 있다.

중력모형은 출발 죤의 유출통행량, 도착 죤의 유입통행량 그리고 두 죤간의 마찰인자(거리, 소요시간 등의 교통저항 요소) 등 3개의 변수가 적용된다. 통상 기준연도의 O-D표로부터 상수와 계수들을 결정하고, 수요예측 첫 번째 단계인 통행발생 예측에서의 예측결과(장래 죤 유출통행량, 유입통행량)를 적용하여 통행분포량 예측을 행한다. 마찰인자는 기준연도에서 산출된 마찰인자 값을 장래 목표연도에도 동일하다고 가정하고 적용하는 경우가 많다.

중력모형은 많고 복잡한 원인들에 의하여 행해지고 있는 두 죤 간의 통행분포를 단지 3개의 변수에 의하여 예측한다는 점에서 예측치에 대한 신뢰성에 의문을 가지지만, 구축된 예측모형의 설명력()이 낮지 않고 F 통계량의 유의성이 인정될 경우, 큰 우려없이 적용하고 있다. 이와같은 모형 적용시의 불안감을 해소하고, 예측 정확도를 향상시키기 위하여 개선 중력모형에 관한 연구들은 지속적으로 진행되어 왔다.

중력모형의 연구는 모형구조는 고정을 해 두고, 모형의 계수를 정확도 높고 효율적으로 산정할 수 있는 방안의 연구가 주류를 이루었다. 주된 연구를 보면, 국외에서는 Goncalves et al.(2001), Giles et al.(1981), Å. Hallefjord et al.(1986)등에 의한 연구를 들 수 있으며, 국내에서는 윤성순(1993), 김형진(1996), 임성빈 등(1996)등에 의한 연구를 들 수 있다.

정확도 높은 중력모형을 개발하기 위해서는 새로운 변수의 도입을 강구할 수 있으며, 새로운 변수도입에 따라 모형 재현성의 향상, 즉 잔차가 감소될 경우, 성공적인 개발로 평가할 수 있다. 즉, 유출, 유입 통행량을 제외하고, 죤간 통행분포량에 상관이 높은 변수가 도입되어야 개선 중력모형의 구축이 성공하는 것이다.

중력모형에 도입하기 위한 새로운 변수를 발견하는 것도 쉽지 않으며, 새로운 변수를 발견하였다 하여도, 그 변수가 모형의 설명력을 충분히 높이지 못한다면 결코 바람직한 중력모형 개선으로 인정할 수가 없게 된다.

새로운 변수를 도입하지 않고 정확도를 높일 수 있는 중력모형은 잔차의 특성을 분석하여 잔차를 감소시킬 수 있는 방법을 개발함으로써 가능하다. 중력모형에서 잔차를 이용한 개선 중력모형을 개발한 연구가 유영근(2006)에 의해 행해진 적이 있으나, 그 연구의 결과에서 보다 더 안정적이고, 높은 예측 정확도를 얻을 수 있는 개선 중력모형 개발에 본 연구의 목적을 두었다.

2. 중력모형의 구조

중력모형은 “두 죤간의 통행분포량은 출발 죤의 유출통행량, 그리고 도착 죤의 유입통행량에 비례하고, 두 죤간 마찰인자에 반비례한다”라는 개념을 기본으로 하는 모형으로, 예측 정확도를 높이기 위하여 지역 통행특성에 적합한 상수()와 계수값(, , )을 산정, 적용한다. 기본 중력모형은 식 (1)과 같고, 장래 예측은 장래 예측된 변수를 적용하는 것으로 식 (2)와 같다.   

 (1)

 : 존에서 존으로의 재현 통행분포량

  : 존의 현재 유출 통행량

  : 존의 현재 유입 통행량

  : , 간 현재 마찰인자

 : 계수

 (2)

 : 존에서 존으로의 장래 예측 통행분포량

  : 존의 장래 유출 통행량

  : 존의 장래 유입 통행량

 : , 간 장래 마찰인자

상수 및 계수는 통상적으로 기준연도 변수를 적용하는 식 (1)을 대수선형(Log-linear)변환후 회귀모형(최소자승법)으로 산정한다.

3. 잔차적용 중력모형

3.1 기존 연구

잔차는 실측(조사)된 통행분포량과 중력모형에 의해 예측된 통행분포량간의 차가 되는 것으로, 존 에서 로의 실측 통행분포량을 라고 하면, 다음의 관계가 성립한다.

  (3)

 : 존에서 존으로의 실측 통행분포량

 : 존에서 존으로의 재현 통행분포량

 : 잔차

잔차를 적용하는 중력모형은 기존 연구(유영근, 2006)에서 제안된 것으로 잔차 부가 개선 중력모형이며, 식 (4)와 같다.

 (4)

STEP 1

Calculate basic gravity model's parameters from base year O-D().

⇩

STEP 2

Calculate derived O-D() of base year.

⇩

STEP 3

Calculate derived O-D's accordance rate().

⇩

STEP 4

Estimate target year O-D().

⇩

STEP 5

Estimate target year O-D() by advanced gravity model using accordance rate.

Fig. 1. Advanced Gravity Modelling Process

잔차를 중력모형에 더하는 방법이 높은 예측 정확도를 가지기 위한 조건은 기존 연구에서 규명된 바와 같이, 기준연도의 잔차와 목표연도의 잔차간에 상관이 있을 경우이다. 잔차간 상관이 있는 것은 잔차에 잠복변수가 존재할 확률이 높은 것으로 이는 토지이용변화에 따른 유출, 유입통행량의 변화, 그리고 죤간 마찰인자 등에 관계없이 기준연도에서 목표연도까지 일정수준으로 유지되는 통행이 존재함에 의한 것으로 판단된다.

3.2 재현 정확도 비율 적용 중력모형

잔차를 적용한 기존연구는 중력모형을 구축하고, 구축된 모형으로부터 기준연도 변수를 적용하여 재현된 값과 실측 통행분포량 간의 차를 잔차로 하여 장래 예측된 값에 더하여 예측 정확도를 향상 시킨 방법이었다.

본 연구에서는 중력모형의 계수 추정단계에서 잔차를 도출하여 적용하는 방법을 연구하였다. 식 (1)의 중력모형을 대수선형으로 변환(식 (5))하고, 잔차를 부가(식 (6))한 후, 로그를 제거하면 식 (7)과 같이 된다. 

 (5)

 (6)

 (7)

결국, 잔차 는 식 (8)로 부터 산출한다.

  (8)

실측 O-D값을 중력모형에서의 재현 O-D값으로 나눈 값이 죤 간의 잔차가 된다. 이때 잔차는 중력모형에서 재현되는 O-D값에 대한 실측 O-D값의 비율이 되는데, 이를 본 연구에서는 재현 일치비율로 칭한다.

장래 죤간 통행분포량의 예측은 중력모형에 의한 예측모형(식 (2))에 식 (8)로부터 산출된 재현 일치비율 를 곱함으로써 가능하다.

 

   (9)

재현 일치비율을 적용한 개선 중력모형의 구축과정은 Figure 1과 같다.

4. 사례분석

4.1 사례지역과 O-D표

Table 2. Statistics of Base Year O-D
Statistics.	1988			1992
	Observed O-D	Estimated O-D	Residuals	Observed O-D	Estimated O-D	Residuals
arithmetic Mean	49940.48	48033.74	1906.736	48553.48	46300.38	2253.1
Standard Error	3410.29	2922.588	2332.801	3578.94	3545.382	2905.481
Medium Value	45484	41118.58	2221.109	48009.5	40410.53	3603.967
Standard Deviation	22101.21	18940.53	15118.28	23194.18	22976.7	18829.67
Variance	4.88E+08	3.59E+08	2.29E+08	5.38E+08	5.28E+08	3.55E+08
Max. Value	14611	25039.48	-26304.8	16518	24748.61	-46722.1
Min. Value	100335	106338.8	38113.71	83454	118057.1	42223.55
Sum	2097500	2017417	80082.9	2039246	1944616	94630.19

Fig. 2. Correlation between Observed O-D and Estimated O-D by Gravity Model (1988)

Fig. 3. Correlation between Observed O-D and Estimated O-D by Gravity Model (1992)

Table 1. Gravity Model Parameters
Base Year
1988	1.1912×10-5	0.753	0.973	0.443	55.7%
1992	2.39×10-10	1.224	1.339	0.769	51.3%

사례분석은 기존 잔차를 중력모형에 추가하여 예측 정확도를 높인 연구(유영근, 2006)와의 예측 정확도 결과 비교를 위하여 동일한 지역의 O-D표를 적용하였다. 적용한 O-D표는 대구시를 대상으로 사람통행실태조사 결과를 전수화한 O-D표로 1988년, 1992년, 2004년 3개 연도의 O-D표이며, 1988년을 기준연도로 하고 1992년과 2004년을 목표연도로 하여 대죤 규모로 통행분포 예측을 행하였다. 그리고 다시 1992년을 기준연도로 하고 2004년을 목표연도로 하여 O-D값을 예측하였고, 예측된 O-D값을 실측된 O-D값과 비교통계량을 적용하여 유용성을 검정하였다.

4.2 기본 중력모형 구축과 잔차분석

중력모형 구축은 1988년 O-D표와 1992년 O-D표로 구축하였으며, 마찰인자는 두 죤간 실거리로 하였고, Table 1에서 나타내었다. 설명력은 1988년을 기준으로 구축한 모형이 55.7%, 1992년을 기준으로 구축한 모형은 51.3%로 분석되었다.

실측 O-D값과 중력모형에 의한 재현된 O-D값 간의 상관을 나타낸 것이 Figure 2, Figure 3이다.

두 개 기준연도의 실측 O-D량과 중력모형에 의한 재현 O-D값, 그리고 이 양자의 차인 잔차의 기술통계량을 나타낸 것이 Table 2이다. 1988년 O-D값에서는 중력모형에서 재현된 죤간 평균통행량이 48,034통행, 실측 O-D값의 죤간 평균이 49,941통행으로 1,907통행 정도의 평균 잔차가 분석되었으며, 1992년에는 실측 O-D값의 평균이 48,553통행, 중력모형에 의한 재현 O-D값이 46,300통행 정도로 평균 2,253통행 정도의 잔차가 분석되었다.

1988년 실측 O-D값의 표준편차는 22,101, 중력모형에서의 재현 O-D값 표준편차는 18,941, 잔차의 표준편차는 15,118로 분석되었다. 1992년은 실측 O-D값의 표준편차가 23,194, 중력모형에서 재현된 O-D값의 표준편차는 22,977, 그리고 잔차에서의 표준편차는 18,830으로 분석되었다.

Table 3. Correlation Coefficient of Residual and Model Derived O-D's Accordance Rate (1988)
	Standardized Observed O-D	Standardized Residual	Derived O-D's Accordance Rate
Standardized Observed O-D	1.000	0.536	0.587
Standardized Residual	0.536	1.000	0.953
Derived O-D's Accordance Rate	0.587	0.953	1.000
Table 4. Correlation Coefficient of Residual and Model Derived O-D's Accordance Rate(1992)
	Standardized Observed O-D	Standardized Residual	Derived O-D's Accordance Rate
Standardized Observed O-D	1.000	0.417	0.627
Standardized Residual	0.417	1.000	0.929
Derived O-D's Accordance Rate	0.627	0.929	1.000

Figure 4와 Figure 5에서는 잔차와 실측 O-D값 간의 상관을 나타내었다.

Fig. 4. Correlation of Residual and Observed O-D (1988)

Fig. 5. Correlation of Residual and Observed O-D (1992)

잔차와 실측 O-D값 간의 상관분석에서 1988년 상관계수()는 0.536, 1992년의 상관계수()는 0.417로 분석되었다. 두개 연도에서 중위권 정도의 상관이 있는 것으로 분석되었기 때문에 중력모형에 잔차를 적용할 경우 예측 정확도를 높일 수 있는 것으로 판단된다.

1988년의 표준화 잔차와 표준화 재현 일치비율간의 상관계수는 Table 3에서 나타내었고, 1992년은 Table 4에서 나타내었다.

1988년과 1992년 모두 표준화 잔차와 표준화 재현 일치비율의 상관은 0.953과 0.927로 매우 높게 분석되었다. 1988년에는 실측 O-D값에 대한 표준화 잔차 및 표준화 재현 일치비율의 상관성은 높지 않았으며, 표준화 잔차가 미소하게 높은 것으로 분석되었고, 1992년에는 표준화 재현 일치비율이 표준화 잔차에 비하여 비교적 크게 높은 것으로 분석되었다.

표준화 잔차와 표준화 재현 정확도 비율 상관계수 분석결과에서 판단할 때, 1988년을 기준연도로 하여 예측된 목표연도에 잔차를 더하여 예측한 O-D값과 재현 일치비율을 적용하여 예측한 O-D값 간에는 큰 차이가 없을 것으로 판단된다. 그러나 1992년을 기준연도로 하여 예측하는 경우는 재현 일치비율을 중력모형 예측 O-D값에 적용하여 예측한 O-D값의 정확도가 잔차를 더하여 예측한 O-D값 보다 상당히 높을 것으로 기대된다.

4.3 예측방법별 정확도 비교

1) 비교 방법

재현 일치비율을 적용한 개선 중력모형의 예측 정확도가 타 예측모형에 비하여 어느 정도 수준의 예측결과를 도출하는지 보기 위하여 비교 통계량을 이용하여 검정하였다.

예측모형은 기본 중력모형, 잔차를 더한 개선 중력모형, 그리고 본 연구에서 개발한 재현 일치비율을 적용한 개선 중력모형 등 3개로 하였다. 그리고 1988년을 기준연도로하여 1992년과 2004년 두 개 목표연도에 대하여 예측하였고 비교를 행한 후, 다시 1992년을 기준연도로 하고 2004년 목표연도에 대해 통행분포량을 예측하고, 결과를 비교하였다.

Figure 6에서 예측모형별 정확도 비교 진행과정을 나타내었다.

Fig. 6. Estimation Accuracy Comparision Process
Table 5. Comparision statistics (Target Year: 1992, Base Year: 1988)
Gravity Model	PRMSE	PSD	Theil's Inequality Coefficient	Correlation Coefficient (r)
Basic Gravity Model	6.313	919.724	0.158	0.709
Residual Added Gravity Model	4.647	872.187	0.146	0.785
Gravity Model Using Derived O-D Accordance Rate	4.410	908.239	0.150	0.785

2) 비교 통계량

모형별 예측 정확도 비교를 위한 비교 통계량은 결과 비교시 많이 이용하고 있는 상관계수, PRMSE(백분 평균제곱근 측정), PSD(백분 표준편차 측정), Theil의 부등계수 등으로 하였으며, 식 (10)∼식 (13)에서 나타내었다. 비교통계량에서 PRMSE, PSD, Theil의 부등계수는 값이 낮을수록 예측 정확도가 높은 것이고, 상관계수(r)는 값이 클수록 예측 정확도가 높은 것이다.

상관계수()= (10)

  : 죤 수

 : 실측 통행분포량

 : 실측 통행분포량의 평균

 : 모형에서의 예측 통행분포량

 : 모형에서의 예측 통행분포량의 평균

 (11)

 (12)

의 부등계수()=

  (13)

3) 예측정확도 비교

① 1988년 기준연도 1992년 목표연도

1988연도를 기준연도로 하고 1992년도를 목표연도로하여 예측한 결과는 Figure 7∼Figure 9에서 상관도로 나타내었고, Table 5에서 통계량 분석결과를 나타내었다.

Fig. 7. Correlation between Estimated O-D by Basic Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 1992, Base Year: 1988)

Fig. 8. Correlation between Estimated O-D by Residual Added Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 1992, Base Year: 1988)

Fig. 9. Correlation between Estimated O-D by Derived O-D Accordance Rate Used Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 1992, Base Year: 1988)

Fig. 10. Correlation between Estimated O-D by Basic Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 2004, Base Year: 1988)

Fig. 11. Correlation between Estimated O-D by Residual Added Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 2004, Base Year: 1988)

Fig. 12. Correlation between Estimated O-D by Derived O-D Accordance Rate Used Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 2004, Base Year: 1988)

예측된 O-D값을 실측 O-D값과 비교한 결과, 잔차 부가 개선 중력모형과 재현 일치비율 적용 개선 중력모형은 각 비교 통계량별로 약간의 차이는 있으나, 정확도에서 비슷한 결과가 산출되었다. 그러나, 기본 중력모형 보다는 전체 비교 통계량에서 높은 예측 정확도가 있는 것으로 분석되었다.

② 1988년 기준연도 2004년 목표연도

Fig. 13. Correlation between Estimated O-D by Basic Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 2004, Base Year: 1992)

Fig. 14. Correlation between Estimated O-D by Residual Added Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 2004, Base Year: 1992)

Fig. 15. Correlation between Estimated O-D by Derived O-D Accordance Rate Used Gravity Model and Observed O-D (Target Year: 2004, Base Year: 1992)

1988년을 기준연도로 하고 2004년을 목표연도로 하여 행한 예측 O-D값과 실측 O-D값의 상관도는 Figure 10∼Figure 12에 나타내었고, 통계량의 분석결과는 Table 6에서 나타내었다.

기본 중력모형과 잔차 부가 개선 중력모형의 2004년 예측 정확도는 1992년 예측결과에 비해 떨어진 것으로 분석되었다. 그러나 재현 일치비율 적용 개선 중력모형의 예측결과는 1992년 예측결과에 비해 떨어지지 않는 것으로 분석되었으며, 기본 중력모형과 잔차 부가 개선 중력모형의 결과와는 명확한 차가 있는 것으로 분석되었다.

③ 1992년 기준연도 2004년 목표연도

Table 6. Comparision statistics (Target Year: 2004, Base Year: 1988)
Gravity Model	PRMSE	PSD	Theil's Inequality Coefficient	Correlation Coefficient (r)
Basic Gravity Model	6.482	1146.932	0.185	0.638
Residual Added Gravity Model	4.852	1062.284	0.167	0.766
Gravity Model Using Derived O-D Accordance Rate	4.344	1041.969	0.162	0.796

1992년을 기준연도, 2004년을 목표연도로 해서 예측모형별 예측 O-D값과 실측 O-D값 간의 상관도는 Figure 13∼Figure 15에서 나타내었고, 통계량 분석결과는 Table 7에서 나타내었다.

1992년을 기준연도로 하여 2004년을 예측한 경우에서는 모형별로 예측결과가 확연한 차이가 있는 것으로 분석되었다.

잔차 부가 개선 중력모형도 기본 중력모형의 결과에 비하여 상당히 좋은 예측 정확도를 보이나, 재현 일치비율 적용 개선 중력모형의 예측결과에 비해서는 낮은 것으로 분석되었다.

재현 일치비율 적용 개선 중력모형의 예측결과는 상관계수(r)가 0.935로 아주 높으며, PRMSE, PSD, Theil의 부등계수 등 타 비교통계량의 분석결과에서도 타 모형의 예측결과에 비하여 확연히 우수한 것으로 분석되었다.  

5. 결 론

교통계획에서 장래 통행분포량의 예측은 아주 중요한 것으로, 정확도 높은 예측결과 도출을 위한 연구들이 지속적으로 진행되고 있다. 우수한 예측모형은 정확도 높은 예측결과의 산출을 기본으로 하지만, 단순한 모형구조, 적용하는 변수의 소수화 등도 상당히 중요한 요소가 된다.

중력모형은 통행분포 예측에서 우수한 예측모형으로 인식되어 실무에서 많이 적용하고 있으나, 마찰인자의 선택과 산정 등에서 어려운 점이 있다. 그리고 복잡한 원인에 기인하는 죤 간의 통행분포량이 단지 3개의 변수를 적용하여 예측함에 따라 예측 정확도에 대한 불안감이 상존해 있다.

Table 7. Comparision statistics(Target Year: 2004, Base Year: 1992)
Gravity Model	PRMSE	PSD	Theil's Inequality Coefficient	Correlation Coefficient (r)
Basic Gravity Model	101.971	53.97	0.448	0.601
Residual Added Gravity Model	13.124	31.791	0.257	0.888
Gravity Model Using Derived O-D Accordance Rate	10.877	22.831	0.190	0.935

이전의 연구에서 중력모형에 적용하는 3개 변수 외에 통행분포값에 영향을 주는 잠복변수의 존재를 검정하였고, 잠복변수의 값을 포함하는 잔차를 중력모형식에 부가시켜 예측 정확도를 높인 개선 중력모형이 개발된 바 있다.

본 연구에서는 중력모형의 계수 추정과정에서 잔차를 적용하였고, 이 잔차가 실측 통행분포량을 중력모형에서의 재현 값으로 나눈 값(재현 일치비율)임을 밝혔다. 재현 일치비율을 중력모형에 적용하여 통행분포량을 산출한 결과, 기본 중력모형, 잔차 부가 개선 중력모형 등에 비하여 상당히 높은 예측 정확도를 가지는 것으로 분석되었다.

향후, 도시권 내부에서의 통행분포 예측만이 아닌 도시간 통행분포 예측 등에서도 재현 일치비율 적용 개선 중력모형의 유용성을 검증할 계획이다.