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  1. 안동대학교 토목공학과 조교수 ()


멀티-스케일 접근 방법, 고차항 판이론, 고유진동, 유한요소 해석
Multi-scale approach, Higher-order plate theory, Free vibration, Finite element analysis

  • 1. 서 론

  • 2. 기본 이론 및 접근 방법

  •   2.1 미시역학적 접근 방법

  •   2.2 거시역학적 접근 방법

  • 3. 수치 해석 예제

  •   3.1 프로그램 검증

  •   3.2 화이버 함침비율에 따른 강성 변화

  •   3.3 화이버 함침비율-적층배열 변화에 따른 고유진동수 변화

  •   3.4 화이버 함침비율-L/h 비율 영향에 따른 고유진동수 변화

  •   3.5 모드 형상

  • 4. 요약 및 결론

1. 서 론

복합소재는 성분이나 형태가 다른 두 종류 이상의 소재가 거시적으로 조합되어 효과적인 기능을 갖는 재료로서 구성 소재들 사이에 거시적으로 경계면을 갖는 것을 특징으로 한다. 복합소재는 중량 대비 강도 등이 우수하여 항공, 자동차 및 선박 분야 등의 정밀구조에 대하여 주로 사용되었다. 최근 복합소재의 역학적인 장점을 건설구조 분야에도 도입하여 활용하고자 국내외적으로 다양한 연구개발을

수행하였다. 그러나 기존의 콘크리트와 같은 건설재료에 비하여 경제성 면에서 단점이 부각되어 보다 적극적인 개발이 미진한 실정이다. 정밀 기계부품에 적용하는 고가의 복합소재를 대형 건설구조분야에 적용하기 위해서는 경제적인 소재조합 기술이 필요하다. 구조물에 요구되는 성능을 만족시킬 수 있도록 효율적으로 재료를 조합한다면 고가의 복합소재를 건설 분야에 경제적으로 활용할 수 있을 것이다.

효율적인 복합소재의 적용을 위해서는 복합소재를 구성하는 재료의 상호관계를 미시역학적으로 규명하는 것이 필요하다. 복합소재는 모재(Matrix)와 화이버(Fiber)의 조합으로 구성되며, 이 재료들의 적절한 상호 조합은 거시역학적으로 강성 및 강도에 크게 영향을 주게 된다. 복합소재의 미시역학적인 목적은 화이버와 모재의 각각의 물성과 상대적인 비율로부터 조합된 재료의 물성, 강성 및 강도 등을 추정하는 것이다. 특히, 모재에 함침되는 화이버의 비율은 조합된 재료의 탄성계수 등에 중요한 영향을 미친다. 또한 고가의 화이버를 효율적으로 함침한다면 복합소재의 경제성을 확보하는 데 크게 기여할 수 있을 것이다. 복합소재에 대한 멀티스케일 접근 방법을 적용한 다양한 연구가 진행되었다. Ji et al. (2004)는 LS-DYNA 프로그램을 사용하여 DNS (Direct Numerical Simulation) 멀티스케일 모델링에 의하여 복합재료 평판의 충격해석을 수행하였다. Jin et al. (2010)은 멀티스케일 접근방법에 의한 복합재 압력용기의 수명예측을 제시하였다. 최근, Zuo et al. (2013)은 최대 고유진동수 추출을 위하여 BESO (Bi-directional Evolutionary Structural Optimization) 알고리즘을 적용하여 복합재료 및 1차원 Beam-type 구조의 멀티스케일 설계를 수행하였다.

그러나, 기존 연구들은 주로 항공 및 기계분야에 대한 적용을 목표로 하며, 미세한 화이버 자체를 유한요소 모델링하는 방법을 주로 적용하였다. 대형 건설구조물에 대한 복합소재의 미시역학적인 관점은 화이버 각각에 대한 모델링보다는 화이버의 적절한 함침량을 결정하여 경제적인 거시역학적 설계로 연계하는 것이라고 할 수 있다. 또한, 기존의 연구들은 미시역학적으로는 상세한 모델링을 시도하였으나, 거시역학적 해석으로 1차전단변형 판이론(First-order Shear Deformation Theory, FSDT)가 적용된 상용프로그램을 적용하였다(Kruijf et al., 2007; Goupee and Vel, 2007). 그러나, 대형 건설구조물에 적용하기 위한 멀티스케일 접근방법은 미시적으로는 화이버의 함침비율을 기준으로 강성을 추정하고, 거시역학적으로는 보다 정밀한 해석을 통하여 전체 거동을 상세 규명할 필요가 있으며, 이에 관한 기존 연구는 미미한 실정이다. 따라서 본 연구에서는 고차전단변형 판이론(Higher-order Shear Deformation Theory, HSDT)에 기반한 멀티스케일 고유진동 해석 프로그램을 개발하였으며, 수치해석 예제를 통하여 미시역학 기반의 화이버의 함침비율에 따른 강성 추정으로부터 거시적 동적 특성에 비치는 영향을 적층배열 및 길이-두께 비 등의 매개변수에 대하여 분석하도록 한다.

2. 기본 이론 및 접근 방법

2.1 미시역학적 접근 방법

본 연구에서는 미시역학적으로 화이버의 함침비율에 따른 탄성물성치의 추정 방법을 기술하고, 가장 효율적인 접근 방법을 결정한다. 또한 추정된 물성치로부터 거시적 진동 해석을 위하여 HSDT 기반된 접근 방법을 요약 기술하며, 두 접근 방법을 연계한 멀티스케일 해석에 대하여 정식화하기로 한다. 복합소재에 대한 미시역학적인 접근 방법의 목적은 복합소재를 구성하는 모재와 화이버의 각 탄성 물성값의 조합 비율로부터 합성된 복합소재의 탄성계수, 강성 또는 강도를 추정하는 것이다. 예를 들면, 복합소재의 탄성 물성치는 화이버와 모재의 물성치와 화이버와 모재의 상대적인 체적비율로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

PICEE61.gif (1)

PICF037.gif

Fig. 1. Representative Volume Element Loaded in the 1-Direction

여기서, PICF067.gif은 등방성 화이버 및 모재의 탄성계수, PICF087.gif는 등방성 화이버 및 모재의 프와송비, 그리고 PICF0C7.gif은 전체 복합소재의 체적에 대한 화이버 및 모재 체적의 비율을 각각 의미한다. 재료 역학적 접근 방법에서 가장 중요한 가정 사항은 Fig. 1과 같이 일방향 화이버 보강된 복합소재의 화이버 방향으로의 변형률은 모재에서의 화이버의 변형률과 같다는 것이다. 변형률이 같지 않다는 것은 화이버와 모재사이에 균열이 발생하였음을 의미한다. 이러한 가정에 의하여, 모재와 화이버가 거시적으로 합성된 복합소재 1방향 탄성계수인 PICF0D7.gif은 혼합법칙(rule of mixtures)에 의하여 모재와 화이버 탄성계수(PICF0E8.gif, PICF118.gif)의 선형적 관계로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

PICF138.gif (2)

거시적 복합소재의 프아송비 PICF158.gif도 유사한 식으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

PICF179.gif (3)

한편, 거시적으로 합성된 복합소재에 대한 2방향 탄성계수 PICF17A.gif와 전단탄성 계수 PICF18A.gif는 다음과 같은 비선형적 관계이며, 화이버보다는 모재에 지배적인 특성을 보인다.

PICF1AB.gif, PICF1CB.gif     (4)

Eq. (4)는 화이버가 모재에 일정한 간격으로 정렬되어 있다는 가정 하에 유도된 것이다. 그러나 실제로는 화이버는 모재에서 불규칙하게 정렬되어 있다. 이러한 불규칙성을 고려하여 화이버 함침비율에 따라 비선형 관계를 보이는 PICF1DB.gifPICF1FC.gif의 값은 탄성론적 관점으로 정확해를 통하여 다음과 같이 산정할 수 있다(Jones, 1998).

PICF25A.gif  (5)

    PICF346.gif

    PICF460.gif   

PICF51D.gif

     PICF656.gif        (6)

여기서, PICF676.gif, PICF6B6.gif, PICF6D6.gif,

PICF706.gif이며, PICF717.gif는 Fig. 2와 같은 화이버 정렬상태에

PICF756.gif

PICF7B5.gif

(a) PICF7C5.gif

(b) PICF7D6.gif

Fig. 2. Extremes of Fiber Contiguity

따라 결정되는 계수이다.

그러나 Eqs. (5) and (6)은 수식이 다소 복잡하여 적용하기에 다소 난해하다. 따라서 Halpin and Tsai (1969)는 사용하기 적합한 다음과 같은 근사식을 제안하였다.

PICF825.gif  (7)

여기서,

PICF911.gif (8)

Eqs. (7) and (8)에서 PICF912.gifPICF922.gif은 거시적 복합소재의 재료 물성 및 모재의 물성을 각각 의미하며, 복합소재 물성 PICF923.gif, PICF934.gif, 및 PICF944.gif은 Eq. (7)의 비선형 관계로 표현된다. 예를 들면, PICF955.gif를 예측하는 경우, Eqs. (7) and (8)을 조합하여 정리하면 다음과 같은 계산식을 도출할 수 있다.

PICF9F2.gif (9)

PICFA22.gifPICFA52.gif도 Eq. (9)로부터 PICFA63.gifPICFA83.gif 대신 각각 대입하면 동일한 식으로 계산이 가능하다. 한편, Hewitt and Malherbe (1970)은 PICFAA3.gif가 0.5 이상이고, 사각형 배열을 갖는 원형 화이버 배열의 경우에는 Eq. (8)은 실제값보다 작은 값을 갖는다는 것을 밝히고 PICFAB4.gif에 대하여 보정된 다음과 같은 식을 제안하였다.

PICFAD4.gif, PICFAF4.gif    (10)

본 연구에서는 PICFB05.gifPICFB16.gif은 일반적으로 혼합법칙에 대하여 실제 실험결과와 비교하여 정확한 결과를 보이는 것으로 알려져 있으므로 Eqs. (2) and (3)을 적용하기로 한다. 한편, PICFB26.gifPICFB37.gif는 혼합법칙을 만족하지 않고, Eqs. (5) and (6)의 정확해는 실용적으로 적용하기에는 복합하므로 정확해에 의한 비선형 관계를 만족하면서 실용적으로 적용하기 편리한 Eq. (7)을 적용하여 해석하기로 한다.

2.2 거시역학적 접근 방법

전술한 바와 같이 본 연구의 특징은 2.1절의 미시역학적 접근 방법으로 산정한 복합소재 물성값을 입력값으로 하여 HSDT에 기반한 거시 동역학적 접근방법을 적용한 것이다. 건설용 복합소재 구조는 거시역학적으로 보다 정밀한 해석이 요구된다. HSDT는 Fig. 3과 같이 변형 전 판에서 중립면의 수직관계는 변형 후에도 수직한다는 고전적 판이론(Classical Plate Thery, CLPT)과 FSDT의 기본가정과는 달리 변형 후에 중립면의 횡 방향 변위의 비선형성까지 고려하게 되며 실구조물과 같이 구조물의 상․하면에 전단 응력이 0으로 나타나게 된다. 복합소재 적층판에 대한 비선형 HSDT에 의한 변위는 다음과 같은 관계로 표현할 수 있으며 상세한 정식화 과정은 참고문헌을 참조하기로 한다(Lee and Chang, 2010; Lee and Wooh, 2004).

PICFB67.jpg

Fig. 3. Higher-Order Shear Deformation Theory

PICFC52.gif       

             PICFC92.gif

PICFD3E.gif

             PICFD8E.gif

PICFE3A.gif (11)

여기서 PICFE5B.gifPICFE6B.gif은 전단변형의 3차항을 나타내는 변수로서 0으로 놓으면 Eq. (11)은 FSDT의 가정식과 동일하게 된다. 본 연구에서는 요소당 4절점을 갖는 HSDT에 기반된 유한요소 해석을 위하여 판의 중립면에서의 PICFE8C.gif 그리고 PICFE8D.gif방향으로의 변위(PICFECC.gif,PICFEDD.gif,PICFEED.gif)와 변위각(PICFEFE.gif,PICFEFF.gif), 그리고 회전각(PICFF10.gif,PICFF11.gif)이 고려된 요소의 절점 당 7개의 자유도를 갖는 Nonconforming 요소가 사용되었으며 다음 식으로 표시할 수 있다.

PICFFEC.gif

PIC2C.gif (12)

여기서, PIC7B.gif는 4×4 크기를 갖는 Identity 행렬, PIC9B.gif는 Lagrangian 보간함수, PICBB.gif,PICBC.gif, 그리고 PICCD.gif는 Hermite 보간함수, PICDE.gif의 1차 및 2차 미분을 각각 의미한다. 수치적분의 용이함을 위하여 전체좌표계(PICEE.gif)에서의 강성행렬은 -1.0부터 1.0까지의 일정한 범위로 변환된 새로운 국부좌표계(PICEF.gif)에서의 강성행렬 PIC11F.gif로 재구성하게 되며 다음의 식으로 요약하여 나타낼 수 있다(Bathe, 1996).

PIC1CC.gif (13)

Eq. (13)에서 PIC1EC.gif는 13×13의 크기를 갖는 전체좌표계의 강성행렬을, PIC21C.gif는 13×28의 크기를 갖는 변환된 국부좌표계의 변형률-변위 관계 행렬을, 그리고 PIC21D.gif는 Jacobian 변환행렬을 각각 의미하며, PIC24D.gif는 다음과 같이 표현할 수 있다.

PIC2AC.gif (14)

여기서, PIC2CC.gif는 단면력과 변형률의 관계를 나타내는 강성을 의미한다. PIC2EC.gif는 적층판의 강성과 두께의 관계를 나타내며 PIC2ED.gifPIC31D.gif는 두께에 대하여 3차 이상의 비선형 고차항 효과를 나타낸다. 미시역학으로부터 계산되는 최종값은 화이버 함침비율(PIC31E.gif)에 따른 PIC32F.gif, PIC34F.gif, PIC350.gif, PIC361.gif 등 이며, 이 값들을 거시역학 해석을 위한 입력값으로 그대로 대입하기 때문에 Eq. (14)는 일반 거시역학 해석에서 사용하는 식과 동일한 형태를 갖게 된다. 만약, 미시역학적으로 화이버와 모재의 함침비율이 변화되는 경우 PIC381.gif, PIC392.gif, PIC3B2.gif, PIC3E2.gif은 Eq. (7)에서 재계산되어 거시역학 해석의 입력값으로 반복적으로 대입되는 알고리즘을 갖는다(Fig. 4 참조).

비선형 HSDT를 적용한 평판에서의 관성행렬 {S}와 가속도 벡터 {A}는 Eq. (15)와 같이 나타낼 수 있다. Eq. (10)에서 Nonconforming 요소의 PIC402.gif와 관련된 3개의 절점당 가속도 PIC422.gifPIC433.gif, PIC453.gif=PIC493.gif, 그리고 PIC4A3.gif=PIC4B4.gif이다.

PIC570.gif

Fig. 4. A Flow Chart of Micro- and Macro-Mechanics of Free Vibrating Composite Structures

PIC5A0.gif =

   PICC87.gif (15)

여기서, 

PICD14.gif,PICD44.gif

PICD84.gif, PICE11.gif이며 적층판의 관성을 의미한다. 또한, m은 전체 적층수이다. 유사한 방법으로 국부좌표계(PICE32.gif,PICE42.gif)에서의 평판 요소에서의 질량행렬 PICE82.gif은 다음과 같은 관계로 표시된다(Lee et al., 2007).

PIC1132.gif (16)

여기서, PIC1181.gif는 Lagrangian과 Hermite 형상함수의 조합행렬이다. 고유 진동 해석을 수행하기 위하여 앞서 구성한 국부 강성행렬과 질량행렬을 이용하여 전체 시스템 행렬시스템의 강성행렬 [K]와 질량행렬 [M]을 구성한 후 고유치 문제로 계산한다.

본 연구에서는 전술한 복합소재 구조에 대한 미시적ㆍ거시적 접근 방법을 조합하여 멀티-스케일 고유진동해석을 위한 해석 프로그램 코드를 개발하였다. 개발한 프로그램은 Fortan 언어를 사용하였으며. 전술한 바와 같이 2.1절의 미시적 접근 방법에 의하여 화이버 함침비율 변화에 따른 최적의 복합재료 물성(PIC11D1.gif, PIC12AC.gif, PIC12DC.gif, PIC130C.gif)을 산정한 후에, 이를 대입하여 HSDT 기반 거시적 고유진동 해석을 수행하였다. Fig. 4는 개발한 멀티-스케일 해석 프로그램의 흐름도를 보여준다.

3. 수치 해석 예제

3.1 프로그램 검증

개발한 프로그램을 검증하기 위하여 Table 1과 같은 물성을 갖는 복합소재 구조에 대하여 고유진동해석을 실시하였다. Table 2는 단순지지된 크로스-플라이 복합소재 적층판의 무차원화된 고유진동을 비교한 것이다. 재료 1을 사용하였으며 L/h는 1000과 10에 대하여 HSDT와 FSDT를 적용한 결과를 FSDT를 적용한 기존 연구 문헌과 비교하였다. 표로부터 본 연구에서 개발한 프로그램에 의한 결과는 기존 문헌과 잘 일치하고 있음을 관찰할 수 있다. Table 3은 HSDT과 FSDT를 사용한 다른 문헌 결과를 HSDT를 사용한 본 해석프로그램 결과와 무차원 비교하였으며, 잘 일치하고 있음을 알 수 있다. Tables 2 and 3는 FSDT와 HSDT에 대한 해석 결과의 차이는 작게 나타났으나, HSDT 및 FSDT는 판의 길이-두께비, 하중 및 경계조건 및 기하학적 형상 등에 따라 값의 차이가 크게 발생할 수 있다(Lee and Wooh, 2004). 따라서 본 연구에서는 가장 정밀한 판 해석 이론으로 알려진 HSDT에 기반한 고유진동 해석을 수행하기로 한다.

3.2 화이버 함침비율에 따른 강성 변화

Table 1. Mechanical and Physical Properties of the Materials Used in this Study

Material

Source

E1

E2

ν12

G12

G23

G13

PIC136B.gif

I

Singha and Daripa (2007)

4000.0

100.0

0.25

0.5E2

0.6E2

0.5E2

1.0

II

Kumar and Shrivastava (2005)

130.0

10.0

0.35

5.0

3.3

5.0

1,500.0

Note that the properties of materials I is normalized by E2. And the units of E1, E2, G12, G23, and G13 of material II are GPa and that of ρ is kg/m3, respectively.

Table 2. Normalized Natural Frequencies of Simply Supported Plates  (PIC14C4.gif, [90/0/90/0/90], Material I).

L/h

Source

Mode

 I

II

III

IV

V

L/h=1000

Singha and Daripa (2007) [FSDT]

Wang (1997) [FSDT]

Present study [FSDT]

Present study [HSDT]

1.9140

1.9141

1.9099

1.9079

3.9741

3.9742

3.9687

3.9605

6.6541

6.6567

6.6593

6.5883

7.6528

7.6564

7.5915

7.5763

8.1492

8.1511

8.1870

8.1046

 L/h=10

Singha and Daripa (2007) [FSDT]

Wang (1997) [FSDT]

Present study [FSDT]

Present study [HSDT]

1.5700

1.5699

1.5699

1.5701

3.0386

3.0371

3.0369

2.9034

3.7422

3.7324

3.7297

3.7813

4.576

4.5664

4.5631

4.6212

5.1667

5.1469

5.1466

6.2438

Table 3. Normalized Natural Frequencies of Simply Supported Square Plates (PIC160D.gif, PIC16BA.gif, PIC1B10.gif, Material II)

Source

Mode

 I

II

III

IV

Kumar and Shrivastava (2005) [FSDT]

Kumar and Shrivastava (2005) [HSDT]

Present study [HSDT]

13.590

13.714

13.592

29.113

29.503

29.003

37.792

38.309

37.665

53.934

54.852

53.607

수치해석 예제는 건설 분야에 주로 사용되는 Glass fiber가 Epoxy에 함침된 GFRP (Glass Fiber Reinforced Polymer) 판 구조 대하여 수행하였다. 화이버와 모재의 재료 물성은 PIC1F57.gif=3.45 GPa, PIC1F67.gif=85.3GPa, PIC1F88.gif=35.5GPa, PIC1F98.gif=1.26GPa, PIC1FB8.gif=0.35, PIC1FD9.gif=0.20이며, PIC2028.gif이다. Table 4는 화이버 함침비율 변화에 따른 단순지지된 비대칭 크로스-플라이 적층 판의 강성값의 변화를 비교한 것이다. 표에서 보는 바와 같이 비대칭 적층 형태이므로 면내-면외 연계강성 [B]가 0이 아닌 값을 갖게 되며, 연계강성의 고차항 [E]도 값을 갖게 되어 거시적 동적 특성에 영향을 주게 된다. 또한, 화이버의 함침량이 증가함에 따라 전체적인 강성값은 비례되어 증가되는 경향을 보이나, PIC2058.gif인 경우에는 [PIC2078.gif], [PIC2098.gif] 등의 값이 매우 크게 증가함을 관찰할 수 있다. 이는 화이버의 함량이 0.6 이상으로 증가함에 따라, PIC20B8.gifPIC20E8.gif가 비선형적으로 기하급수적인 증가를 보이는 특성 때문이다. 또한, HSDT의 고차항에 해당하는 PIC2137.gif, PIC21A6.gif, PIC2205.gif, PIC2244.gif, 및 PIC2284.gif도 발생되어 동적 특성에 복합적인 영향을 줄 수 있음을 유의해야 한다.

3.3화이버 함침비율-적층배열 변화에 따른 고유진동수 변화

Table 4. Stiffness Matrices of Simply Supported Anti-Symmetric Laminated Composite Plates for Different Fiber-Volume Fractions (L/h=10, [0/90/0/90])

Fiber-volume Fraction (%)

 Stiffness

10

20

40

60

80

[A] 

PIC22E2.gif

0.841E+09 

0.131E+10

0.232E+10

0.346E+10

0.500E+10

PIC2303.gif

0.156E+09

0.187E+09

0.271E+09

0.404E+09

0.678E+09

PIC2332.gif

0.163E+09

0.209E+09

0.339E+09

0.570E+09

0.110E+10

[B] 

PIC2353.gif

-0.468E+07

-0.910E+07

-0.172E+08

-0.237E+08

-0.256E+08

PIC2383.gif

0.468E+07

0.910E+07

0.172E+08

0.237E+08

0.256E+08

[D] 

PIC23B2.gif

0.700E+06

0.109E+07

0.193E+07

0.288E+07

0.416E+07

PIC23D3.gif

0.130E+06

0.156E+06

0.225E+06

0.336E+06

0.564E+06

PIC2412.gif

0.136E+06

0.174E+06

0.282E+06

0.475E+06

0.916E+06

[E] 

PIC2471.gif

-0.102E+05

-0.199E+05

-0.377E+05

-0.520E+05

-0.560E+05

PIC24B0.gif

0.102E+05

0.199E+05

0.377E+05

0.520E+05

0.560E+05

[F] 

PIC24F0.gif

0.105E+04

0.164E+04

0.289E+04

0.432E+04

0.624E+04

PIC252F.gif

0.195E+03

0.234E+03

0.338E+03

0.505E+03

0.847E+03

PIC255F.gif

0.204E+03

0.261E+03

0.423E+03

0.712E+03

0.137E+04

[H] 

PIC258F.gif

0.187E+01

0.293E+01

0.517E+01

0.771E+01

0.111E+02

PIC260D.gif

0.348E+00

0.418E+00

0.605E+00

0.902E+00

0.151E+01

PIC264D.gif

0.364E+00

0.466E+00

0.756E+00

0.127E+01

0.245E+01

[PIC265D.gif

PIC267E.gif

0.193E+09 

0.246E+09

0.398E+09

0.666E+09

0.127E+10

[PIC268E.gif

PIC26BE.gif

0.160E+06

0.205E+06

0.331E+06

0.555E+06

0.105E+07

[PIC26CF.gif

PIC26FF.gif

0.241E+03

0.308E+03

0.497E+03

0.832E+03

0.158E+04

Table 5. Natural Frequencies (Hz) of Simply Supported Symmetric Laminated Composite Plates for Different Fiber-Volume Fractions and Layup Sequences (L/h=100)

Fiber-volume Fraction (%)

 Layup Sequence

Mode 

10

20

40

60

80

[0]

I

II

III

IV

 236.934

513.286

703.500

932.766

285.250

584.643

888.697

1112.886

372.012

742.883

1183.328

1413.755

460.572

946.565

1437.876

1802.136

578.000

1274.264

1700.614

2277.248

[0/90/0]

I

II

III

IV

236.945

521.616

697.700

932.816

285.270

598.866

879.821

1120.807

372.042

764.110

1170.719

1456.649

460.601

969.536

1423.477

1810.552

578.017

1292.635

1687.358

2277.387

[0/90]2S

I

II

III

IV

236.949

541.017

683.105

933.334

285.281

631.455

857.466

1122.369

372.061

812.383

1138.950

1463.058

460.618

1022.168

1387.321

1812.691

578.026

1335.563

1654.246

2277.600

[0/90/0]2S

I

II

III

IV

236.959

569.471

660.030

933.666

285.302

678.293

822.007

1123.626

372.096

881.094

1088.507

1464.914

460.652

1097.798

1330.009

1814.348

578.045

1398.774

1602.068

2278.335

[0/90]4S

I

II

III

IV

236.971

598.786

634.048

933.967

285.327

725.763

781.469

1124.815

372.135

950.175

1030.472

1467.277

460.691

1174.477

1264.481

1816.348

578.068

1464.193

1543.482

2278.952

Table 5는 3.2절과 동일한 화이버와 모재를 갖는 단순지지된 대칭적층판에 대하여 화이버 함침비율과 적층배열을 변화시킨 경우에 대한 고유진동수를 비교한 것이다. 표에서 보는 바와 같이, PIC274E.gifPIC274F.gif를 사용한 경우, 적층 배열 및 개수변화가 고유진동수에 미치는 영향은 미미한 것으로 나타났다. 반면, 화이버 함침비율의 증가에 따라 고유진동수는 60%까지는 거의 선형으로 증가하다가 60%이상부터는 증가의 비율이 다소 감소함을 알 수 있다. 미시역학적으로 PIC275F.gif의 증가는 탄성론적으로 PIC2780.gifPIC2790.gif의 기하급수적 증가를 유발하여, 거시적 동적특성에도 유사한 영향을 줄 것으로 예상할 수 있으나, 대칭 적층의 경우는 PIC27C0.gif, PIC27E0.gif의 값이 0이 되어 고유진동수의 변화 폭이 적음으로 분석된다.

한편, Table 6과+ 같은 비대칭 적층의 경우는 적층 개수에 따라서 고유진동수는 증가하는 경향을 보이고 있으나, [0/90]3n 이상부터는 수렴하는 것을 관찰할 수 있다. 화이버 함침비율 증가에 따라 고유진동수는 대칭적층보다 증가의 폭이 5~10%정도 크게 나타났다. 표 5~6으로부터, 대칭적층과 비대칭 적층은 크로스-플라이 경우 3n이상의 적층배열부터는 거의 동일한 동적특성을 보이게 되며, PIC288E.gif의 증가에 따라 고유진동수는 선형 증가하는 특성을 보임을 알 수 있다. 이러한 특성은 실용적 관점에서 건설용 재료로서 구조적 성능을 만족하는 적절한 화이버의 비율을 결정하여 경제성을 확보하면서, 적층배열 최적 설계로 고유진동수를 조절하여 공진현상의 방지를 가능하도록 한다.

Table 6. Natural Frequencies (Hz) of Simply Supported Anti-Symmetric Laminated Composite Plates for Different Fiber-Volume Fractions and Layup Sequences (L/h=100)

Fiber Volume Fraction (%)

Layup Sequence

Mode 

10

20

40

60

80

[0/90]

I

II

III

IV

222.826

573.309

578.155

879.465

 257.867

 671.020

 676.700

1018.510

330.019

863.525

870.841

1303.951

417.917

1089.189

1098.409

1650.842

550.735

1417.103

1429.079

2173.935

[0/90]2n

I

II

III

IV

233.537

604.410

609.500

920.937

278.760

732.352

738.518

1099.550

362.134

958.487

966.556

1428.636

450.4472

1185.813

1195.798

1777.085

571.402

1478.738

1491.200

2254.009

[0/90]3n

I

II

III

IV

235.463

609.960

615.092

928.359

282.449

743.076

749.321

1113.783

367.757

974.930

983.120

1450.340

456.201

1202.732

1212.842

1799.296

575.138

1489.806

1502.350

2268.429

[0/90]4n

I

II

III

IV

236.132

611.888

617.033

930.938

283.728

746.786

753.058

1118.711

369.704

980.608

988.840

1457.843

458.196

1208.587

1218.739

1806.989

576.439

1493.655

1506.227

2273.446

Table 7. Natural Frequencies (Hz) of Simply Supported Symmetric Laminated Composite Plates for Different Fiber-Volume Fractions and L/h Ratios ([0/90]2S)

Fiber Volume Fraction (%)

L/h

Mode 

10

20

40

60

80

5

I

II

III

IV

4154.333

6513.569

8435.502

10003.672

4914.559

7365.816

9607.134

11935.433

6362.607

9378.592

12287.942

15501.452

7964.720

12166.502

15645.154

19430.045

10209.347

16892.536

20910.796

24653.927

10

I

II

III

IV

2285.522

5006.849

6194.885

6677.977

2732.627

5778.731

7446.401

7583.753

3555.639

7418.513

9474.005

9983.018

4417.165

9374.863

12253.883

12383.446

5578.752

12349.005

15003.306

17413.553

20

I

II

III

IV

1175.426

2658.531

3343.098

4590.504

1410.493

3079.195

4143.139

5715.961

1838.461

3959.030

5495.077

7595.706

2278.043

4987.420

6707.598

9184.605

2863.253

6531.012

8046.082

11179.083

50

I

II

III

IV

474.142

1083.698

1370.480

1884.850

569.662

1257.482

1705.857

2265.868

742.894

1617.640

2265.485

2957.285

919.814

2035.690

2760.349

3661.446

1154.479

2660.546

3292.989

4567.509

100

I

II

III

IV

237.376

543.463

687.829

943.773

285.281

631.455

857.466

1122.369

372.061

812.383

1138.950

1463.058

460.618

1022.168

1387.321

1812.691

578.026

1335.563

1654.246

2277.600

PIC286E.jpg

Fig. 5. First Natural Frequencies (Hz) of Simply Supported Anti-Symmetric Laminated Composite Plates for Different Fiber-Volume Fractions and L/h Ratios ([0/90]2n)

3.4 화이버 함침비율-L/h 비율 영향에 따른 고유진동수 변화

Table 7은 화이버 함침비율 증가와 L/h의 변화에 따른 대칭 적층된 복합소재 판구조의 고유진동수를 비교한 것이다. 표에서 보는 바와 같이 L/h와 PIC289F.gif의 변화는 고유진동수에 큰 영향을 미치고 있음을 알 수 있다. 특히 L/h가 작을 수록 PIC28AF.gif의 변화에 따른 고유진동수 변화의 폭은 크게 나타났으며, L/h가 증가함에 따라 고유진동수의 변화는 감소하여 L/h=100의 경우에는 차이가 크게 감소함을 관찰할 수 있다. 이러한 경향은 Fig. 5와 같은 비대칭 적층의 경우에도 유사한 경향을 보였다. 이는 판의 두께가 얇아짐에 따라 고유진동수에 대한 화이버의 영향은 점차 감소하기 때문이다. 반면, 판의 두께가 두꺼울수록 화이버의 함침량에 따라 고유진동수는 크게 변화하고 있음을 알 수 있다.

PIC291E.GIF

Mode I

PIC293E.GIF

Mode II

PIC294F.GIF

Mode III

PIC296F.GIF

Mode IV

(a) PIC2980.gif

PIC29BF.GIF

Mode I

PIC29DF.GIF

Mode II

PIC2A0F.GIF

Mode III

PIC2A2F.GIF

Mode IV

(b) PIC2A40.gif

PIC2A60.GIF

Mode I

PIC2A81.GIF

Mode II

PIC2AB0.GIF

Mode III

PIC2AE0.GIF

Mode IV

(c) PIC2AF1.gif

Fig. 6. Mode Shapes of Simply Supported Symmetric Laminated Composite Plates for Different Fiber-Volume Fractions and Layup Sequences ([0/90]2S, L/h=100)

3.5 모드 형상

Fig. 6은 대칭 적층된 판구조에 대하여 PIC2B11.gif의 변화에 따른 모드형상을 비교한 것이다. 동일한 적층배열에 대하여 화이버 함침비율 변화에 따른 모드형상은 Mode IV를 제외하고는 유사한 경향을 보임을 알 수 있다. 모드형상은 첫 번째 형상이 지배적이므로 화이버 함침비율의 변화가 모드 형상에 미치는 영향은 미미하다고 할 수 있다. 반면 비대칭 적층인 Fig. 7의 경우는 대칭적층과 비교하였을 때, 두 번째 모드형상부터 상이함을 알 수 있다. 이는 전술한 바와 같이, 비대칭 적층에서 발생하는 강성값 PIC2B70.gif의 영향으로 고유진동수 뿐만 아니라 모드형상에도 변화를 주고 있다. 따라서, 동일한 크로스-플라이 적층배열이라도 중립축을 중심으로 대칭과 비대칭 적층배열은 복합소재 판구조의 거시적 동적 특성에 큰 영향을 준다는 것에 유의해야 한다.

PIC2BA0.GIF

Mode I

PIC2BC0.GIF

Mode II

PIC2BE0.GIF

Mode III

PIC2C10.GIF

Mode IV

(a) PIC2C21.gif

PIC2C51.GIF

Mode I

PIC2C81.GIF

Mode II

PIC2CB0.GIF

Mode III

PIC2CE0.GIF

Mode IV

(b) PIC2CF1.gif

PIC2D11.GIF

Mode I

PIC2D41.GIF

Mode II

PIC2D71.GIF

Mode III

PIC2D91.GIF

Mode IV

(c) PIC2DC1.gif

Fig. 7. Mode Shapes of Simply Supported Anti-Symmetric Laminated Composite Plates for Different Fiber-Volume Fractions and Layup Sequences ([0/90]2n, L/h=100)

4. 요약 및 결론

본 연구에서는 건설용 복합소재의 경제적 적용을 위한 목적으로 복합소재를 구성하는 재료의 상호관계가 고유진동에 미치는 영향을 멀티-스케일 해석 접근으로 규명하였다. 미시역학적으로는 화이버와 모재의 재료 물성을 각각 고려하고, 조합비율에 대한 효율적인 관계식을 적용하였으며, 거시역학적으로는 HSDT 기반된 정밀해석으로 동적특성을 분석하였다. 본 해석을 위하여 개발한 프로그램 코드는 기존 문헌과 잘 일치하였다. HSDT 기반한 수치해석 예제로부터 다음과 같은 결론을 도출하였다.

(1)화이버의 함침량이 증가함에 따라 전체적인 강성값은 비례되어 증가되는 경향을 보이나, PIC2E01.gif인 경우에는 [PIC2E30.gif], [PIC2E41.gif] 등의 값이 매우 크게 증가한다. 이는 화이버의 함량이 크게 증가함에 따라, PIC2E42.gifPIC2E53.gif가 비선형적으로 기하급수적인 증가를 보이는 특성 때문이다.

(2)HSDT의 고차항에 해당하는 강성값 PIC2E83.gif, PIC2EC2.gif, PIC2F11.gif, PIC2F60.gif, 및 PIC2FA0.gif도 화이버의 함침량 등에 따라 발생되어 동적 특성에 복합적인 영향을 줄 수 있음을 유의해야 한다.

(3)PIC2FA1.gifPIC2FB1.gif의 화이버 보강각도를 사용한 경우, 적층 배열 및 개수변화가 고유진동수에 미치는 영향은 미미하다. 반면, 화이버 함침비율의 증가에 따라 고유진동수는 60%까지는 거의 선형으로 증가하다가 60%이상부터는 증가의 비율이 다소 감소한다. 이는 미시역학적으로 PIC2FC2.gif의 증가는 탄성론적으로 PIC2FE2.gifPIC2FF3.gif의 기하급수적 증가를 유발하여, 거시적 동적특성에도 유사한 영향을 미치지만, 대칭 적층의 경우는 PIC3042.gif, PIC3082.gif의 값이 0이 되어 고유진동수의 변화 폭이 적기 때문이다.

(4)L/h와 PIC30A2.gif의 변화는 고유진동수에 큰 영향을 미친다. 이는 판의 두께가 얇아짐에 따라 고유진동수에 대한 화이버의 영향은 점차 감소하기 때문이다. 반면, 판의 두께가 두꺼울수록 화이버의 함침량에 따라 고유진동수는 크게 변화한다.

(5)동일한 적층배열의 경우 화이버 함침비율의 변화가 모드 형상에 미치는 영향은 미미한 반면, 대칭과 비대칭 적층배열에 대하여, 두 번째 모드형상부터 서로 상이하게 나타났다. 따라서, 동일한 크로스-플라이 적층배열이라도 중립축을 중심으로 대칭과 비대칭 적층배열은 복합소재 판구조의 거시적 동적 특성에 큰 영향을 준다는 것에 유의해야 한다.

본 연구의 결과로부터 미시적인 관점에서의 화이버와 모재의 최적 조합으로 거시적 동적특성을 조절하여 동적 구조성능을 만족시키는 것이 가능하다는 것을 확인할 수 있었다. 또한, 최적 조합에 의하여 경제성을 확보하면서 구조적 성능을 만족하는 건설용 복합소재 구조 설계에 대한 가이드라인을 제시할 수 있을 것으로 기대된다. 그러나, 향후 더욱 다양한 매개변수에 대한 상세 분석이 필요하며, 실제 재료실험을 통한 경제적인 미시적 재료 조합 설계로부터 최적 조합에 대한 상세 연구가 지속적으로 필요할 것으로 판단된다.

Acknowledgements

본 연구는 국토해양부 건설기술연구사업 연구비 지원(과제번호: 12CCTI-B063597-01, 10MW급 강재 및 3MW급 복합 합성구조 풍력발전타워 설계기술 개발)과 2012년도 교육과학기술부의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사업임(No. 2012R1A1A1014722).

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