1. 서 론

1950년대 말 소비에트 연방의 수학자, S. K. Godunov에 의해 고안된 Godunov 방법은 Richmeyer and Morton (1967)에 의해 처음으로 서방에 알려졌으며, 해의 불연속(discontinuity)이 있는 1차원 Euler 방정식의 수치해법에서 도출되는 Riemann 문제(Riemann

problem, RP)에 대한 반복법(iteration method)으로 소개되었다. 즉, 1차원 쌍곡선형 미분방정식과 불연속 상수인 초기치(initial- value)로 구성되는 RP의 정확해(exact solution)를 구하기 위해 종속 변수들의 위상 공간(phase space)에서 충격파(shock wave) 또는 희유파(rarefaction wave)에 의해 초기 상태(state)와 연결되는 모든 상태의 궤적들이 이루는 교점 중에서 엔트로피 조건에 부합되는 상태를 반복법으로 구하는 것이다(LeVeque, 1990). 따라서 이 방법은 RP에 대해 정확해로 접근하므로 정확 Riemann 해법(Exact Riemann Solver, ERS)으로 불리며, 같은 문제에 대해 HLL 기법(Harten-Lax-van Leer scheme; Harten et al., 1983)과 같은 근사기법에 의하면 근사 Riemann 해법(Approximate Riemann Solver; ARS)으로 분류된다(Toro, 2001).

쌍곡선형 방정식의 일종인 천수방정식(Shallow Water Equations, SWE)에서 RP에 대한 정확해를 구하는 방법 또한 잘 정리되어 있으며, LeVeque (1990; 2002)이나 Toro (2001) 등을 참조할 수 있다. 이에 대한 전형적인 예는 댐 붕괴 문제로서 마찰이 없는, 평평한 바닥에서 수심과 유속에 대한 연속 및 운동량 방정식으로 이루어진 연립 미분방정식과 공간적으로 불연속인 초기치로 구성된다. 즉, SWE에 대한 Riemann 해법(RS)은 마찰이 없는, 평평한 바닥에서 해의 흐름률(flux)을 정확해 또는 근사기법에 의해 구하는 방법이다. 따라서 바닥이 평평하지 않은 경우에는 바닥 경사에 의한 생성항의 도입으로 SWE는 비제차(inhomogeneous) 방정식이 되므로 RS를 직접 적용하는 것이 곤란하다. 이에 대한 실용적인 접근으로 RS에 의한 흐름률의 경사항과 별도로 구한 바닥 경사에 의한 생성항 사이의 선평형성(well-balancedness)이 확보될 수 있도록 생성항을 처리하는 방법이 있다(Toro, 2001; LeVeque, 2002; Hwang, 2013a).

그런데, 계단과 같이 바닥이 불연속인 경우에는 비록 계단의 전과 후에서 바닥이 평평하더라도 불연속에서 바닥 경사가 Dirac 델타 함수의 형태가 되어 생성항의 실용적인 처리로는 접근이 쉽지 않다(Alcrudo and Benkhaldoun, 2001). 또한, 바닥의 불연속으로 인해 충격파와 희유파뿐만 아니라 계단에서 파속이 영인 접촉파(contact wave)가 발생되며, 농도나 접선 방향 유속에 의한 그것과 달리 이 파는 RP의 고유구조(eigenstructure)에 지대한 영향을 끼친다(Rosatti and Begnudelli, 2010). 따라서 불연속 바닥 지형에 대한 Zhou et al. (2002)의 수치기법은, 그 간편함에도 불구하고, 이러한 접촉파의 영향을 고려하기 어려운 면이 있다.

단일 계단에 대한 정확해를 구할 때, 질량 보존과 함께 에너지의 보존을 고려하는 방법(Alcrudo and Benkhaldoun, 2001; Chinnayya et al., 2004; LeFloch and Thanh, 2011)과 그 대신 운동량의 보존을 적용하는 방법(Bernetti et al., 2008; Rosatti and Begnudelli, 2010)이 있다. 그러나 접촉파의 고려를 위해 지배 방정식에 바닥 표고의 시간 변화가 영이라는 자명한(trivial) 식이 추가됨에 따라 지배방정식이 엄밀한 쌍곡선형(strictly hyperbolic)과 멀어지고 그에 따른 다중 해(multiple solution)를 피하기 어려운 단점이 있다(LeVeque, 2002; LeFloch and Thanh, 2011).

횡단 구조물로 인해 바닥이 불연속인 경우, 수리학적 홍수 추적에서는, 실험 또는 경험에 의한 수위-유량 관계로부터 내부 경계(internal boundary)로 처리한다(Cunge et al., 1980; Jun, 1996; Jin and Fread, 1997). 그마저 어려운 경우에는 구조물을 연속 지형으로 간주하여 경사로 완화하게 되는데, 조석에 의한 역류가 발생되는 한강 하류의 신곡수중보가 그 사례이다(Jun et al, 2007). 횡단 구조물인 보를 내부 경계로 처리하는 경우, 월류량의 계산을 위해 유량계수가 미리 결정되어야 하므로 해의 정확도는 수치 기법이 아니라 실험 또는 경험에 의한 자료의 그것에 의존될 것이다. 또한, 내부 경계조건의 부여가 곤란하여 경사로 완화하는 경우에는 수치해가 불안정하지 않을 정도로 완화하는 것이 불가피할 것이므로 실제 지형에 대한 모의와 거리가 멀어질 것이다.

따라서 불연속 지형인 횡단 구조물을 지나는 천수 흐름에 대해 내부 경계조건으로서 단일 계단에 대한 정확해를 부여하는 방법을 고려해볼 수 있다. Hwang (2013b)은 Alcrudo and Benkhaldoun (2001)의 정확해에 대해 초기 흐름 양상(Froude 수)에 따른 일관된 알고리즘을 제시하였다. 또한, Hwang (2013c)은 이를 계단을 지나 마른 바닥으로 진행되는 천수 흐름에 대해 보완하였다. 이 연구에서는 계단을 지나는 천수 흐름에 대해 Hwang (2013b; 2013c)에 따라 구한 정확해를 ARS의 내부 경계조건으로 부여하는 기법에 대해 정확해 및 실험 결과와 비교를 통해 그 적용성을 검토하고자 한다. 이때 적용된 모형은 Hwang and Lee(2011; 2012)에 따른 것으로 ARS에 HLLL(Harten-Lax-van Leer-Linde) 기법, 선형 재구축(linear reconstruction)에 다중경사(multi-slope) MUSCL(Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws)이 적용된 모형이다.

2. 이 론

2.1 단일 계단에 대한 정확해

마찰이 없는, 평평한 바닥에서 1차원 천수 흐름에 대한 지배방정식은 다음과 같다.

 (1a)

여기에서, 아래 첨자 와 는 각각 시간과 공간에 대한 편미분을 의미하고, 보존변수의 벡터, , 방향의 흐름률 벡터, 는 각각 다음과 같다.

(1b)

(1c)

여기에서, 는 수심, 는 방향 유속, 그리고 는 중력가속도이다. Eq. (1)에 다음과 같이 상수로 이루어진 초기조건이 부여되면, 초기치 문제인 RP가 구성된다.

 (2)

여기에서, 과 은 각각 불연속()의 왼쪽()와 오른쪽()에서 상수인 보존변수이다.

Eq. (1)에 대한 고유구조로부터 고유치(eigenvalue)는 다음과 같다.

 (3)

여기에서, 로서 중력파의 속도이며, 부호는 일 때 음, 일 때 양이다. 이러한 고유구조 아래 Riemann 불변량과 Rankine-Hugoniot 도약 조건에 의해 도출되는 단순파(simple wave)를 각각 충격파와 희유파로 부른다(Toro, 2001; LeVeque, 2002). 초기 상태, 로부터 엔트로피 조건에 의해 충격파() 또는 희유파()를 따라 어떤 상태로 연결될 수 있으며, 각각에 의한 단순파의 곡선, 는 다음과 같이 나타낼 수 있다(Alcrudo and Benkhaldoun, 2001).

 (4)

여기에서, 로서 충격파의 속도이고 모든 부호 규칙은 고유치의 그것과 동일하다.

Eqs. (1) and (2)로 이루어진 RP에 대한 정확해는 에 의해 , 에 의해 로부터 연결되는 중간의 어떤 상수상태()이다(LeVeque, 1990). 즉, 위상 공간에서 과 이 모두 만족되는 상태이다. 이를 Alcrudo and Benkhaldoun(2001)에 따라 다음과 같은 파의 도식(wave diagram)으로 나타낸다.

 (5)

그런데, Eq. (4)에서 알 수 있듯이 단순파, 과 의 유형이 해를 찾는 도중에 수심에 따른 엔트로피 조건에 의해 충격파 또는 희유파로 결정되므로 실제로 위상 공간에서 두 곡선의 교점을 구하려면 반복법에 의존할 수밖에 없다.

평평한 바닥에 계단과 같이 불연속이 있는 경우에 대해 다음과 같은 바닥 함수를 생각할 수 있다(Fig. 1 참조).

 (6)

여기에서, 과 은 각각 계단의 왼쪽과 오른쪽에서 표고이다. 그림에서 로서 계단의 높이이고, 와 은 각각 불연속의 직전()과 직후()의 상태이다. 계단의 전과 후에서 바닥은 평평하므로 와 이 결정된다면, Eq. (5)의 도식에 따라 각각에서 정확해를 구하는 것이 가능하다. 즉, 평면에 대한 RP를 계단의 전과 후로 나누어 설정할 수 있다.

불연속의 직전(2)과 직후(3)에 대해 에너지 보존법칙(즉, Bernoulli 방정식)을 적용하면, 총 에너지, 는 다음과 같다.

 (7)

따라서 비 에너지(specific energy)의 정의를 이용하여 다음과 같은 3차 방정식으로 정리할 수 있다(Alcrudo and Benkhaldoun, 2001).

 (8)

여기에서, 이고 로서 비 에너지이며, 부호는 일 때 양, 일 때 음이다. Eq. (8)에 대해 3차 방정식에 대한 해석적 또는 수치적 해법을 적용할 수 있으므로 와 의 연결이 가능하다. Alcrudo and Benkhaldoun(2001)은 이것을 정상 계단 천이(Stationary Step Transition, )로 부르고, Eq. (5)에 더하여 계단을 지나는 천수 흐름에 대해 다음과 같은 파의 도식을 제안하였다.

 (9)

Alcrudo and Benkhaldoun(2001)에 따르면, 이나 가 상류(subcritical flow)가 아닌 경우, 또는 이 각각 또는 로부터 결정될 수 있으므로 또는 을 이용하여 해를 얻을 수 있다. 그러나 과 가 모두 상류인 경우에는 위상 공간에서 단순파()와 접촉파()의 조합을 통해 교점을 찾는다. Fig. 2는 그리고 인 경우에 대해 위상 평면, 에서 해가 결정되는 과정을 보인 것이며, 파의 도식으로 나타내면 다음과 같다.

 (10a)

 (10b)

또는

 (10c)

이로써 단일 계단을 지나는 천수 흐름에서 RP에 대한 정확해의 도출이 Alcrudo and Benkhaldoun(2001)에 의해 가능해졌다. 그런데, 이 정확해는 Eq. (7)과 같이 계단의 전과 후에서 에너지의 손실이 없다는 가정으로부터 시작됨에 유의할 필요가 있다. 실제 문제에서는 바닥 마찰뿐만 아니라 계단에 의한 항력, 그리고 도수(hydraulic jump)의 발생 등에 의해 에너지 손실이 발생될 수 있다(Henderson, 1966). 또한, 계단의 높이나 하류 수심에 따라 Eq. (1)로는 직접 해석이 불가능한 수맥(nappe)이나 재순환 와(recirculation vortex)가 발생되기도 한다(Chanson, 1994; Bukreev and Gusev, 2003). 계단을 지나는 천수 흐름의 수치 해석에서 계단에 의한 흐름 저항에 대해서는 Zhou et al.(2002)을 참조할 수도 있겠으나, 실효성에 대한 논의가 부족한 측면이 있다. 수치 기법으로서 그 밖의 나머지 에너지 손실 요인에 대해서도 깊이 있는 검토는 아직까지 이루어지지 않은 것으로 보인다.

2.2 내부 경계로서 정확해

Eq. (9)의 도식을 통해 단일 계단에 대한 정확해를 도출할 수 있으므로 이를 적용하여 계단에 대한 ERS의 구성이 가능하다(Hwang,2013b; Hwang,2013c). 그러나 매 시간 단계에서 모든 영역에 ERS를 적용하려면 문제의 규모가 조금만 커져도 계산 시간이 비약적으로 증대될 것이다(LeVeque, 2002). 따라서 계단에 대해서만 내부 경계조건으로 정확해를 부여하고, 나머지 영역에서는 ARS를 적용하는 방법이 하나의 대안일 수 있다. 즉, 내부 경계조건으로서 정확해를 이용하는 방법은 계단을 중심으로 계산 영역을 나누어 그 왼쪽 영역에서 오른쪽 경계로 , 나머지 영역의 왼쪽 경계로 을 부여하여 ARS를 적용하는 것이다.

Alcrudo and Benkhaldoun(2001)이 제시한 스무 가지 서로 다른 초기 상태에 대한 정확해를 Hwang(2013b; 2013c)에 따라 도출하여 계단에 대한 ERS (‘Step ERS’), ARS (‘Step ARS’), 그리고 계단을 급경사로 간주하여 계산되는 ARS (‘Slope ARS’)를 비교하였다. Step ERS와 Step ARS는 Hwang and Lee(2011; 2012)의 모형에 Hwang(2013b; 2013c)에 따른 정확해를 내부 경계조건으로 부여한 것이다. 그리고 Slope ARS는 Hwang (2013a)에 따라 발산 형태의 바닥 경사 생성항(Divergence Form for Bed slope source term, DFB)과 부분적으로 잠긴 격자(Partially Submerged Cell, PSC)가 채택된 모형이다.

Alcrudo and Benkhaldoun(2001)이 제안한 문제는 [-10 m, 10 m]의 계산 영역에서 =0에 높이 1 m의 단일 전면 계단(forward-facing step)이 있는 경우이다. 후면 계단(backward- facing step)의 경우에는 전면 계단의 경상(mirror image)으로 간주하여 동일한 해석이 가능하다. 전체 계산 영역을 0.1 m 크기의 격자 400개로 분할하고 상류와 하류의 끝에서 개방 경계조건을 두었다. Slope ARS에서 바닥 경사가 있는 경우, Eq. (1a)의 우변에 그와 관련된 생성항이 추가되며 마찰에 의한 생성항과 함께 전체 생성항, 를 나타내면 다음과 같다.

 (11)

여기에서, 은 Manning의 조도 계수이며, 이 문제에 대해 =0이다.

Alcrudo and Benkhaldoun(2001)이 제시한 스무 가지 서로 다른 문제에 대해 모의한 결과, 수위()와 Froude 수()가 정확해와 대부분 잘 일치하였다. 그 중에서 그 차이가 비교적 큰 세 가지 경우에 대해 모의 조건을 Table 1에 정리하고 그 결과를 Figs. 3~6에 보였다. 표와 그림에 그림 번호 26에 대해서는 왼쪽에서 초기에 바닥이 드러난 경우도 추가하였다(표에서 ‘LD’). 그림에서 ‘Bottom’은 바닥 표고, ‘Initial’은 초기치, ‘Exact’는 정확해를 의미한다. Step ERS와 Step ARS는 계단에서 정확해를 이용하는 점은 동일하며, 평평한 바닥에서 ERS와 ARS의 결과가 상이하기에는 문제가 단순하므로 두 모형의 모의 결과에서 차이는 거의 없다. 또한, 정확해와 잘 일치하여 대부분의 그림에서 정확해와 겹치거나 거의 차이가 없다. 계단이 경사로 고려되는 Slope ARS에 의한 모의 결과는 정확해와 비교에서 셋 중 가장 큰 차이를 보인다. 그것은 주로 Froude 수의 비교에서 나타나며, Alcrudo and Benkhaldoun(2001)의 그림 22번(Fig. 4 참조)을 제외하고는, 모의 수위의 차이는 크지 않다. 세 방법 모두에서 정확해와 불일치가 드러나는 것은, Fig. 5에서 보이듯이, 이중 희유파(double rarefaction waves)가 발생되는 영역이며, 수위보다는 주로 Froude 수의 비교에서 나타남을 알 수 있다. 따라서 이중 희유파 문제를 제외하면, Step ARS에 의한 수위와 유속(즉, Froude 수) 모두에서 정확해와 잘 일치하여 단일 계단에 대한 정확해가 내부 경계조건으로 부여되는 방법의 타당성이 확인된다.

한 가지 특기할 사항은, 계단을 경사로 완화하는 경우, 계산 격자의 바닥 경사각이 84°()를 넘는 급경사임에도 불구하고, Slope ARS의 결과가 정확해와 어느 정도 일치하는 점이다. 이것은, Hwang(2013a)에서 이미 확인된 바 있듯이, 급경사에서도 Slope ARS에서 흐름률의 경사항과 바닥 경사에 의한 생성항의 선평형성이 잘 충족되기 때문이다. 이러한 특성으로부터 흐름의 복잡성 때문에 계산 도중에 계단에 대한 정확해의 도출에 실패할 경우에 대비하여 좋은 대책을 생각할 수 있다. 예를 들어, Eq. (8)에서 다음과 같을 때 근은 하나의 음의 실수와 두 개의 복소수가 되어 물리적 의미가 사라진다(Alcrudo and Benkhaldoun, 2001).

 (12)

즉, 비 에너지가 한계류의 비 에너지보다 작을 때 에 의한 해가 존재하지 않는다. 또한, 반복법의 한계로 해가 발견되지 않거나, 여러 개의 해가 발생될 수 있다(LeFloch and Thanh, 2011). 따라서 Step ARS의 어떤 시간 단계에서 그러한 이유로 내부 경계조건이 부여되기 어려운 경우의 대책은 일시적으로 그것을 해제하여 그 시간 단계에서만 경사로 완화하는 Slope ARS로 문제를 해소한다.

3. 적 용

모형의 검증을 위해 계단을 지나는 천수 흐름에 대한 몇 가지 실험 결과와 비교한다. 앞서 설명한 바와 같이, 천수 흐름이 계단을 오르고 내려가는 경우에서 각각 흐름 저항과 수맥에 의한 에너지 손실의 평가가 아직 미비하다. 따라서 주로 후면 계단(backward- facing step), 즉 낙차를 내려가는 천수 흐름에 대한 실험에서 수맥이 발생되지 않거나 미미한 경우에 대해 내부 경계조건으로 설정되는 Step ARS와 계단이 경사로 완화되는 Step ARS를 세 가지 실험에 대해 적용하고 결과들을 비교한다.

3.1 전면 및 후면 계단에서 댐 붕괴 흐름

Fig. 7은 de Marinis et al.(2009)이 제시한 실험 장면으로 폭 0.4 m, 길이 9 m의 실험 수로에서 바닥에 50 mm의 계단 형상을 두고 전면 계단에서 초기 수위 0.4 m에 대해 실시한 댐 붕괴 실험에 해당한다. 자료의 획득은 카메라로 0.5 s와 0.75 s에 촬영된 영상의 분석을 통해 이루어졌다. 이 결과를 WAF(Weighted Averaged Fluxes) 모형(Toro, 2001)의 결과와 비교하였다. 수치모의에서 계산 영역을 초기 불연속의 상류와 하류로 각각 3 m로 설정하여 5 mm 크기의 계산 격자, 1,200개로 분할하였다. 계단이 없는 평면에서 수행된 실험과 그에 대한 WAF 모형의 결과와 비교를 통해 =0.04로 두었다.

Fig. 8은 초기 수위와 측정 시각을 전면 계단의 경우와 동일하게 두고 후면 계단에서 발생되는 댐 붕괴 흐름에 의한 수위 변화를 보인 것이다. 이것은 Fig. 6에 보인 경우와 경상으로 초기 수위와 계단의 높이만 다른 경우이다. 계단 위에서 희유파에 의한 수위 감소가 나타나고, 계단에서 에 의한 수위의 급강하와 함께 충격파가 발생되나 물이 없는 바닥을 만나 소멸되고 희유파로 진행된다. 시간에 따른 변화는 를 중심으로 두 희유파가 각각 상류와 하류로 진행되면서 결정되는 수위로 나타난다. 이에 대한 파의 도식은 Eq. (10a)에서 인 경우로서 가 로 바뀌어 다음과 같다.

 (13)

먼저, Step ARS와 Slope ARS의 차이는 육안으로 확인하기 어려울 정도로 드러나지 않으며, 정확해와 차이도 물이 없는 바닥과 이루는 전선(front) 근처에서 마찰에 의해 미미하게 나타날 뿐이다. WAF 모형의 결과는 정확해와 다소 차이가 있어 주로 계단과 그 직하류에서 크게 나타난다. 이것은 WAF 모형에서 의 고려가 없기 때문인 것으로 보이나, Slope ARS와 차이는 설명되지 않는다. 그에 따라 계단의 상류에서 희유파의 진행이 다소 느려지나, 하류의 희유파에서는 큰 차이가 없다. 그런데 실험에 의한 실제 댐 붕괴 흐름의 양상에 비해 정확해나 ARS에 의한 수위는 계단의 직전과 직후에서 수위가 과소 추정됨이 그림에서 확인된다. Lauber and Hager(1998)는 평면에서 댐 붕괴 순간에 수로 바닥에서 물 입자의 수평 이동에 의한 ‘초기 파(initial wave)’와 수면의 입자가 중력에 의해 연직으로 낙하됨에 따라 발생되는 ‘동역학 파(dynamic wave)’를 도입하여 초기 댐 붕괴 양상을 설명하였다. 즉, 수문이 개방되는 순간 ‘초기 파’가 바닥에서 먼저 발생되어 전진하고 자유 낙하에 의한 ‘동역학 파’가 따라가면서 중첩되는 것이다. 따라서 댐 붕괴 직후 그림의 정확해에서 물이 서있는 것처럼 보이는 불연속은 실제에서는 나타날 수 없고 연직 방향의 가속도에 의해 수면은, 그림에서 실험 결과와 같이, 비교적 완만한 곡선을 이루게 된다. 그러나 Eq. (1)과 같이 정수압 가정에 따라 수심 방향으로 적분된 1차원 SWE에 대한 수치모의로 그러한 거동이 포착되기에는 한계가 있다.

Fig. 9는 전면 계단에 대한 것이다. 초기 수위의 불연속은 계단의 전면에 있으므로 그 상류로 희유파가 나타나고 계단에서 에 의해 수위가 떨어지면서 발생되는 충격파는 물이 없는 계단 위에서 소멸되고 대신 희유파로 진행된다. 여기까지는 단일 계단에 대한 정확해의 도출이 가능하다. 그런데, 이 희유파가 후면 계단에서 다시 에 의해 수위의 강하와 함께 계단 하류에서 새로운 희유파가 진행하게 된다. 이때, 후면 계단에서 상류로부터 흐름이 계속됨에 따라 매 시각 새로운 불연속이 형성되므로 초기치가 상수인 고전적인 RP에 위배되어 정확해의 도출이 쉽지 않다. 이러한 상황은 후면 계단의 경우(Fig. 8 참조)에도 마찬가지이나 그 경우는 상류의 전면 계단에서 발생된 파의 영향이 하류에 없거나, 있더라도, 그 전에 계산이 종결되기 때문에 정확해의 도출이 가능한 것이다. 따라서 전면 계단의 경우에는 정확해 대신 Step ARS에서 =0인 경우를 그림에 나타내었다.

그림에서 ARS와 WAF의 결과에서 차이는 주로 전면 계단의 상류로 전파되는 희유파에서 나타난다. 전면 계단에서 계단 위 희유파가 후면 계단에 닿기 직전까지 상황은 Fig. 1에서 인 경우와 유사하며, Eq. (13)에 보인 파의 도식과 동일하다. 그러나 해당 구간에서 WAF에 의한 결과는 이와는 전혀 다른 해로 귀결되며, ARS의 결과에 비해 실험 결과와 차이도 크게 나타난다.

3.2 단일 후면 계단에서 댐 붕괴 흐름에 의한 단파의 진행

Bukreev and Gusev(2003)는 Fig. 10과 같이 수조와 낙차가 있는 수로로 이루어진 실험 장치에서 단일 후면 계단 위 수문을 갑자기 개방하여 댐 붕괴 흐름을 발생시켰다. 상류 수심, 의 댐 붕괴 흐름은 계단(=72 mm)을 내려가서 하류에 수심, 로 채워진 웅덩이(pool)에서 도수로 나타나고 그로 인한 단파(bore)가 진행되어 하류 끝의 벽에 반사된다. 수위는 세 측점에서 분해능 0.2 mm의 파고계에 의해 10 Hz로 댐 붕괴 순간부터 수로의 하류 벽에 의한 반사파가 하류 측점, P3에 도달하기 전까지 측정되었다. 수치모의에서 계산 영역을 수조를 제외한 수로 전체를 대상으로 2 mm 크기의 계산 격자, 2,100개로 분할하였으며, 실험에서 조도계수와 관련된 정보가 없어 =0으로 두었다.

Fig. 11은 =2.08이고 =0.44인 경우에 대해 가 15.6(측점, P1), 21.9(측점, P2), 그리고 26.7(측점, P3)인 위치에서 실험, 정확해, 그리고 ARS에 의한 무차원 수심, 를 무차원 시각, ()에 따라 나타낸 것이다. 실험 결과를 살펴보면, 계단에 가까운 측점, P1에서 수위의 요동이 심하고 단파의 진행도 빠르게 나타난다. 이는 수맥의 영향으로 보이나 명확하지는 않다. 이후 하류의 측점, P2와 P3으로 갈수록 요동이 잦아들면서 수위가 다소 낮아지고 첨두의 지속 시간도 길어진다. 또한, 단파의 선단에서 수위의 증가가 급하게 이루어지나 후미에서는 비교적 완만하게 떨어진다.

정확해와 Step ARS의 경우, 도수의 발생이나 단파의 선단이 도달되는 시각이 비교적 정확하게 예측된다. 또한, 수맥의 영향이 큰 것으로 보이는 측점, P1을 제외하면, 단파의 높이도 실험 결과에 대한 적절한 범위로 제시된다. 그러나 모의 결과는 단파가 진행되는 동안 수위 요동을 따라가지 못하며, 감수부(recession)에서 수위가 비교적 완만하게 떨어지는 실험 결과와 다르다. 이는, 앞서 댐 붕괴 초기 양상에 대한 설명에서 밝혔듯이, 정수압 가정에 따른 1차원 SWE에 대한 수치모의의 한계로 보인다. 마찰이 없으므로 Step ARS의 결과는 정확해와 일치하나, Slope ARS의 경우, 단파의 도달 시각은 같으나 비교적 오래 지속된다. 또한, 측점, P2와 P3에서는 실험에서 감지되지 않은, 하류 벽에 의한 반사파가 ARS에 의한 결과에서 나타난다. 이것은 실제의 수맥이나 도수에 의한 에너지 손실이 모의에서 거의 반영되지 않아 실제에 비해 모의에서 단파의 진행이 더 빠르기 때문인 것으로 보이며, 앞으로 이에 대한 모형의 보완이 요구된다.

3.3 후면 계단으로 이루어진 급경사 수로 흐름

Chanson(2003)은 후면 계단으로 이루어진 급경사 수로(chute)에 대해 두 가지 부정류 실험(실험, Series1과 Series2)을 수행하였다. 그 중에서 실험, Series1은 모든 실험 경우에서 수맥이 형성되는 조건이므로 제외하고 실험, Series2에 대한 조건을 Table 2에 정리하였다. 실험, Series2에서 실험 수로는 18개의 수평 계단으로 이루어져 있으며, 계단의 길이()는 첫 번째 계단에서 2.4 m, 나머지 계단에서 1.2 m이고 높이는 모든 계단에서 동일하여 =71.5 mm이다(Fig. 12 참조). 실험 수로의 상류에서 높이 30 mm, 폭 0.5 m의 노즐을 통해 Table 2에 보인 각 실험 경우에 맞추어 유량이 공급되었다. 그에 따른 홍수파의 관측을 위해 초당 25 프레임(frame)의 비디오 카메라를 이용하였는데, 각 계단의 가장자리에 홍수파의 선단이 닿을 때까지 지나간 프레임의 수를 도달 시각으로 환산한 것으로 보인다. 또한, 3, 9, 10, 16, 그리고 17번째 계단을 선정하여 각 계단 내에서 촬영된 모든 프레임에 기록된 그 선단의 위치를 계단 바닥에 50 mm마다 표시한 눈금을 읽어 해당 계단 내에서 홍수파의 도달거리를 측정하였다. 이때, 3과 10번째 계단의 상류 끝 부근에서는 수맥에 의한 연직 유속도 측정되었다. 모든 결과는 동일한 조건에서 3회에 걸쳐 반복하여 측정한 값을 평균한 것이다(Chanson, 2003).

수치모의를 위한 계산 영역을 노즐의 출구로부터 25 m까지의 구간으로 두었으며, 10 mm의 계산 격자, 2,500개로 분할하였다. 비교할 실험이 댐 붕괴 실험과 달리 유량의 공급에 의한 것이므로 수치모의에서 상류의 유입 경계조건을 실험 조건에 맞추는 것이 필요하다. 그런데, 실험에서 정상 상태의 유량은 명시되어 있으나, 상류 끝에서 수위-유량 관계는 제시되지 않았다. 따라서 상류 끝에서 유입 경계조건을 부여하기 위해 1 s까지 선형으로 정상 상태의 유량에 도달하는 단순한 수문곡선을 가정하였다. 하류 끝에는 개방 경계조건으로 두었다. Chanson and Toombes(2002)는 동일 수로에서 정상류 실험을 통해 실험 경우, TL1, TL3, 그리고 TL5에 대해 Darcy의 마찰계수를 추정하여 각각 0.038, 0.0199, 그리고 0.0375로 제시하였다. 이 값들을 상류 노즐의 높이를 수심으로 두고 의 값을 추산해보면, 약 0.009~0.012의 범위에 있다. 그 중에서 수로의 바닥 재질인 목재(dressed timber, joints flush)에 해당하는 0.011을 선정하였다(Henderson, 1966).

Table 3에 각 실험 경우에 대해 Slope ARS와 Step ARS에 의한 홍수파의 무차원 도달시간, ()와 무차원 속도, ()의 RMS(Root Mean Square) 오차를 정리하였다. 여기에서, 이다(Henderson, 1966). 또한, 실험 경우, TL1, TL3, 그리고 TL5에 대해서는 무차원 거리, ()에 대해 와 를 Figs. 13~15에 나타내었다. 먼저, 를 살펴보면, 대체로 실험 결과와 모의 결과는 잘 일치하며, Step ARS와 Slope ARS의 차이는 거의 없다. 공급 유량이 작을 때(실험 경우, TL1과 TL2) 모의 결과는 실험 결과와 약간의 차이를 보이나, 유량이 커질수록 그 오차는 줄어든다(Table 3의 위 행 참조). 모든 실험 경우에 대해 평균한 RMS 오차는 Step ARS와 Slope ARS 모두 0.17 s로 실험에서 사용된 비디오 카메라의 다섯 프레임 이내로 국한된다. 의 경우 상류 경계에 가까운 계단에서 실험 결과와 차이가 드러나며 하류에서는 잘 일치하는 것으로 나타난다. ARS 사이의 차이는, 그림에서 보이듯이, 매우 작으며 RMS 오차에서도 확인된다(Table 3의 중앙 행 참조). 와 , 모두에 대해 Step ARS에 의한 결과가 더 많은 실험 경우에서 실험 결과에 더 가깝다. Table 3의 아래 행에 30 s 동안의 모의에 걸린 실행 시간의 비율도 보였으며, 차이가 거의 없음을 알 수 있다. 그 이유는 Step ARS에서는 각 계단에서 내부 경계조건의 부여를 위해 정확해의 계산 과정이 필요한 반면, Slope ARS에서도 모든 계단에서 내부 경계 대신, Step ARS에서 쓰이지 않는, DFB와 PSC가 도입되기 때문이다.

마지막으로, 개별 계단에서 측정된 홍수파에 대해 비교한다. 3, 9, 10, 16, 그리고 17번째인 각 계단으로 홍수파가 들어온 시각,

로부터 일정 간격의 시간 마다 도달되는 거리에서 산정된 홍수파

의 무차원 속도를 평균한 값, 을 Fig. 16에 보였다. 그림에서

보이듯이, 모든 실험 경우에서 상류 끝에 가장 가까운 세 번째 계단에서 실험 결과와 차이가 비교적 크며, 실험보다 모의에서 그 값이 더 크다. 그 이유는 3과 10번째 계단에서 수맥의 영향이 있기 때문이다(Chanson, 2003). 전술한 바와 같이, 수맥에 의한 에너지 손실이 고려되지 않아 ARS에서 홍수파가 더 빠르게 진행된 것으로 보인다. 10번째 계단의 경우, 무차원 속도의 평균치에서 두드러질 정도의 영향은 나타나지 않는다. Figs. 17 and 18은 각각 실험 결과와 ARS의 결과에서 가장 큰 차이를 보이는 실험 경우, TL3의 3번째 계단(‘TL3-3’)과 비교적 잘 일치하는 실험 경우, TL5의 16번째 계단(‘TL5-16’) 내에서 무차원 도달시간,

()에 대해 계단의 길이로 무차원한 거리,

()와 을 보인 것이다. 을 살펴보면, TL3-3에서 일정

간격의 시간에 홍수파의 도달 거리가 실험에 비해 모의에서 더 길고(Fig. 17의 아래 그림 참조), TL5-16에서는 대체로 더 짧으나 실험 결과와 차이는 더 작다(Fig. 18의 아래 그림 참조). 즉, TL3-3에

서는 실험에 비해 수맥에 대한 고려가 없는 모의에서 홍수파가

더 빠르게 진행되는데, 이는 Fig. 17의 위 그림에서 의 비교로

잘 드러난다. 그러나 Fig. 18의 위 그림에서 보이듯이, TL5-16에서는 모의 결과가 실험 결과와 비교적 잘 일치한다. Fig. 16에서 마지막 열, ‘Mean’에 나타낸 것은 수맥에 의한 영향이 두드러진

3번째 계단을 제외한 각 계단에서 전체 실험 경우에 대해 평균한

을 보인 것이다. 실험과 모의 사이의 그 차이는 크지 않으며,

실험 결과에 대한 상대오차는 Step ARS에서 2.9~6.0%(모든 실험 경우에 대한 평균치의 상대오차는 2.4%), Slope ARS에서 1.2~7.8% (모든 실험 경우에 대한 평균의 상대오차는 4.2%)의 범위에 있었다.

4. 결 론

천수 흐름에 대한 수치모의에서, 횡단 구조물로 인해 바닥이 불연속인 경우, 실험 또는 경험으로부터 수위-유량 관계에 의한 내부 경계로 처리하거나 경사로 완화하는 것이 불가피하였다. 이 연구에서는 계단과 같이 불연속 횡단 구조물을 지나는 천수 흐름에 대해 내부 경계조건으로서 단일 계단에 대한 정확해를 부여하는 방법을 검토하였다. Step ARS는 Hwang and Lee (2011; 2012)의 모형에 Alcrudo and Benkhaldoun (2001)의 정확해가 Hwang(2013b; 2013c)에 따라 내부 경계조건으로 부여되는 모형이며, 함께 비교한 Slope ARS는 Hwang (2013a)에 따라 DFB와 PSC가 채택되어 계단이 경사로 완화되어 해석되는 모형이다. 두 모형을 정확해가 있는 문제와 몇 가지 실험에 적용하여 그 결과를 비교하였으며, 도출된 결론은 다음과 같다.

(1)계단을 지나는 천수 흐름에 대해 정확해를 내부 경계조건으로 부여하는 ARS를 구성하였으며, 정확해와 잘 일치함을 확인하였다. 내부 경계조건의 부여에 실패하는 경우에는 계단을 경사로 완화하여 적용되고 이후 다시 내부 경계조건의 부여가 시도되었다.

(2)계단을 오르고 내려가는 천수 흐름에서 각각 항력과 수맥에 의한 에너지 손실이 아직까지 적절히 평가되지 않아 주로 후면 계단을 내려가는 실험 중에서 수맥이 발생되지 않거나 그 영향이 비교적 작은 경우와 비교를 통해 모형을 검증하였다.

(3)전면과 후면 계단에 대한 댐 붕괴 실험(de Marinis et al., 2009), 하류 웅덩이에서 댐 붕괴 흐름에 의한 단파의 진행 실험(Bukreev and Gusev, 2003), 그리고 후면 계단으로 이루어진 급경사 수로 실험(Chanson, 2003) 등 세 가지 실험에 대해 Step ARS와 Slope ARS를 적용하고 결과를 비교하였다. 두 모형에 의한 결과는 실험 결과와 부합되었으며, 둘 사이의 차이는 크지 않았다.

(4)댐 붕괴 흐름에 의한 단파의 진행 실험(Bukreev and Gusev, 2003)과 후면 계단으로 이루어진 급경사 수로 실험(Chanson, 2003)의 일부 실험 경우에서는 수맥에 의한 영향이 있어 그로 인한 에너지 손실이 고려되지 않은 ARS에서 단파와 홍수파가 실험에 비해 빠르게 진행됨을 확인하였다.

이 연구에서 개발된 모형으로 낙차공(drop)과 같이 불연속 바닥을 수맥의 형성 없이 지나는 천수 흐름에 대해 별도로 수위-유량 관계를 도입하거나 지형을 완화하지 않고 직접 모의가 가능하다. 향후, 계단에 의한 흐름 저항과 수맥에 의한 에너지 손실에 대해 적절히 평가할 수 있도록 보완된다면, 하천에서 보나 옹벽(강변 도로)과 같은 불연속 지형을 넘나드는 천수 흐름에 대한 모의가 가능할 것으로 기대된다.