1. 서 론

지구온난화에 따른 기후변화는 전 지구적으로 인류, 생태환경에 영향을 미치고 있으며 최근 기후변화에 따른 자연재해로 인한 인적, 물적 피해규모와 빈도는 증가하고 있는 추세이다. IPCC 4차 보고서에 따르면 대기 중 CO₂의 농도가 1970년 280ppm에서 2005년 389ppm으로 증가 하였으며 현재 화석연료에 의존하는 에너지 소비형태가 지속된다면 지구 평균기온은 최대 6.6℃증가하며 해수면은 59cm 증가한다고 전망하였다. 전 지구적 기후변화가 다양하고 급속하게 진행되고 있어 세계 각 국에서는 기후변화의 영향을 최소화하기 위해 다양한 각도에서 기후변화의 예측과 분석에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있다. 특히 강우 특성의 변화는 기후변화의 지역적 영향에 있어 중요한 요인으로 인식되고 있다. 그러나 강우변동은 시간적으로 분에서 수개월 단위를 가지고 있으며 공간적으로는 수백 미터에서 수천 킬로미터의 변동 범위를 가지고 있어 그 변동성이 매우 크다(Austin and Houze, 1972). 이러한 강우의 특성을 반영하기 위해 점 과정(point process)를 이용한 강우모형에 대한 많은 연구가 수행되었다(Rodriguez- Iturbe, 1986; Rodriguez-Iturbe et al., 1987; Entekhabi et al., 1989; Islam et al., 1990; Cowpertwait, 1991; Velghe et al., 1994; Cowpertwait et al., 1996). 일반적으로 강우모의를 위해 물리학적, 추계학적 모형을 이용하고 있으며 추계학적 모형을 이용할 경우 적은 수의 입력변수를 사용하여 다양한 시간 스케일을 가지는 강우를 생성 할 수 있으며 강우의 통계특성을 반영 할 수 있다. 또한 장기강우자료를 이용하여 강우의 시간적 변화 특성을 표현 할 수 있는 장점을 가지고 있어 저수지, 홍수, 배수시설 설계 등에 이용되고 있다.

추계학적 강우모형은 수문학분야에서 오랫동안 활발하게 수행된 연구주제로 점 강우의 시간분포를 모의하기 위해 점 과정이론을 기본으로 한 여러 모형이 제시되었다. NSRPM (Neyman-Scott Rectangular Pulse Model)과 BLRPM (Bartlett-Lewis Rectangular Pulse Model)은 점 과정을 기본으로 한 추계학적 강우생성 모형이다. NSRPM과 BLRPM은 강우세포를 통한 강우생성으로 다양한 시간스케일을 가지는 관측된 강우의 통계특성을 보존 할 수 있는 군집모형으로 적합성이 뛰어난 것으로 평가받고 있다. 그러나 두 모형 모두 시간스케일이 큰 비강우기간에 대해 과대 추정하는 경향을 보인다. 이러한 문제를 해결하기 위해 Rodriguez-Iturbe et al. (1988)는 매개변수를 추가한 수정된 B-L모형을 제시하였으며 Entekhabi et al. (1989)는 수정된 N-S 모형을 제시하였다. Coperwait et al. (1996)는 강우 및 비강우기간의 변화확률을 고려한 매개변수 추정수식을 제시하였으며 강우 및 비강우기간 변화확률을 고려하여 생성한 강우의 적합성이 더 높음을 보였다.

Burlando and Rosso (1991)는 NSRPM과 BLRPM을 적합성을 평가하여 NSRPM이 BLRPM과 수정된 BLRPM보다 더 현실적인 강우생성에 적합하다고 분석하였다. 수정된 모형이 무강우분포는 잘 모의하지만 매개변수 추정과정에서 복잡해진 수식으로 고차 통계량을 잘 모의하지 못하며 BLRPM, 수정된 BLRPM모형은 매개변수 추정에 사용되는 모멘트에 따라 결과가 매우 민감하게 반응하였다(Velghe et al., 1994). 그러나 점 과정이론을 기본으로 한 강우생성 모형은 극치강우의 전체적인 특성을 반영하기에는 한계가 있으며 모형의 구축과 사용을 위해 복잡한 수식의 계산과 매개변수 추정과정에서 개입되는 주관성 때문에 추계학적 강우모형에서 점 과정이론 사용의 한계를 지적하였다(Burlando and Rosso, 1996). 국내에서도 점과정 강우생성에 관한 연구가 활발히 이루어지고 있다. Shin et al. (2011)은 강우세포의 지속시간 분포를 수정한 수정된 NSRPM을 제시하였으며 Kum et al. (2001)은 유전자 알고리즘과 비선형계획법을 통한 매개변수 추정을 비교하여 유전자 알고리즘이 더 높은 정확도를 가진다고 하였다. 직접적인 매개변수 추정기법이 모멘트법을 이용한 매개변수 추정 보다 더 높은 정확도를 보였으며 NSRPM을 기반으로 한 다른 모형의 매개변수도 추정가능하다(Shin et al., 2008; Shin et al., 2011; Jeong, 2009). Kim et al. (1998)은 NSRPM을 이용한 4대강 11개 지점에 대한 강우를 모의하였다.

NSRPM을 구축하기 위한 매개변수의 추정은 일반적으로 DFP (Davidon-Fletcher-Powell)기법과 유전자 알고리즘을 이용하고 있다. 본 연구에서는 Nelder-Mead 기법을 이용한 NSRPM 매개변수 추정과 유전자 알고리즘, DFP 기법을 이용한 매개변수 추정의 정확도를 비교 분석하였다.

2. 추계학적 강수모형과 매개변수 추정

2.1 NSRPM (Neyman-Scott Rectangular Pulse Model)

Rodriguez-Iturbe et al. (1986)은 수문학적 활용을 위한 점 강우생성에서 RPM (Rectangular Pulse Model)이 반영하지 못하는 강우의 군집특성을 고려하기 위해 Neyman-Scott과정을 추가한 NSRPM을 제시하였다. NSRPM은 수문학 분야에서 널리 이용되고 있으며 RPM에서 반영하기 힘들었던 강우의 군집특성을 잘 반영하는 것으로 평가받고 있다. NSRPM은 5개의 독립적인 확률분포로 이루어져 있으며 구축과정은 다음과 같다(Fig. 1).

강우사상이 시작하는 시간적 간격은 매개변수 λ를 가지는 지수분포를 따르며 각 강우사상이 가지는 세포의 개수는 기하함수와 지수함수를 이용하여 결정한다. 본 연구에서는 기하함수를 이용하여 강우세포의 개수를 정하였으며 매개변수 μ를 가진다. 강우세포의 위치는 매개변수 β를 가지는 지수함수를 따르며 각 강우세포의 지속시간, 강우강도는 매개변수 η, ξ를 가지는 지수함수를 따른다.

Rodriguez-Iturbe et al. (1987)은 NSRPM의 강우의 지속시간 τ시간 강우량의 평균과 분산 및 공분산을 다음과 같이 제시하였다(Eqs. (1)-(3)).

 (1)

 (2)

  (3)

2.2 NSRPM 매개변수 추정

NSRPM의 매개변수를 추정하기 위하여 본 연구에서의 목적함수는 Cowpertwait et al. (1996)의 연구에 사용된 목적함수를 이용하였다(Eq. (4)). 관측된 평균, 분산, 상관계수 제곱오차의 최소화를 통하여 매개변수를 추정하였다.

 (4)

본 연구에 사용된 매개변수의 범위는 다음과 같다(Table 1). 매개변수 추정을 위해 비제약 비선형 최적화기법 중 널리 쓰이고 있는 DFP 기법과 유전자 알고리즘과 본 연구에서 사용된 Nelder- Mead 기법을 이용하였다. DFP 기법, 유전자 알고리즘을 이용하여 추정된 매개변수와 Nelder-Mead 기법을 이용하여 추정된 매개변수의 정확도를 비교하기 위해서 지속시간 1시간 강우의 평균, 분산, lag 1시간 자기상관계수, 지속시간 6시간 분산, 자기상관계수를 이용하여 총 5개의 항으로 이루어진 목적함수를 구성하였다.

2.3 DFP (Davidon-Fletcher-Powell) 기법

비제약 비선형 문제를 해결하기 위한 최적화 기법으로 DFP 기법이 널리 쓰이고 있으며 수치해석적인 기법으로 다차원 미분가능한 함수의 최소화 기법으로 이용되고 있다. DFP 기법은 가우스-뉴턴법의 종류로서 헤시안(Hessian) 역행렬의 근사행렬을 이용하여 현제의 추정값에서 곡률조건을 만족하는 해를 찾는 기법이다. 그러나 매 회 계산에서 헤시안 행렬의 계산이 필요하며 처음에 주어진 초기값에 민감한 단점을 가지고 있다. 또한 실제적인 최적화 문제는 연속-이산변수들이 혼합되어있고 미분이 가능하지 않는 경우가 있어 이러한 문제 해결에는 사용하지 못하며 국소 최소해 선택하는 경우가 높은 단점을 가지고 있다.

2.4 유전자 알고리즘(Genetic Algorithm, GA)

다윈의 자연진화 이론을 기본으로 한 기법 EA (Evolutionary Algorithm)의 종류이며 경험적인 기법으로 해를 탐색하는 최적화 기법이다. 유전자 알고리즘은 선택(selection)-교배(crossover)-돌연변이(mutation) 순의 연산과정을 거쳐 최적화 문제를 해결한다. 초기 부모집단을 무작위로 형성하고 선택-교배-돌연변이 연산을 거쳐 부모세대보다 높은 적합도를 가지는 자식세대가 다시 부모세대와 교체되면서 최적해를 결정한다. 부모세대의 각 개체들은 적합도의 크기에 따라 교배횟수가 차등 허용되어 적합도가 높은 개체는 교배횟수가 많아지며 적합도가 낮은 개체는 교배횟수가 줄어들어 도태하게 된다. 부모세대의 적합도는 다음과 같이 정해진다(Eq. (5)).

 (5)

여기서 는 i번째 개체가 선택될 확률, 는 i번째 개체의 적합도, 는 모집단의 평균 적합도이다.

유전자 알고리즘은 단일점에서 해를 탐색하는 것이 아니라 일반적으로 변수의 2-4배의 부모세대를 형성하기 때문에 국소 최소점에서 수렴될 위험성이 적으며 목적함수의 도함수가 아닌 함수 값만을 사용하기 때문에 적용성이 뛰어난 것으로 평가받고 있다. 그러나 부모세대의 개체수가 많으면 연산에 필요한 시간이 많이 소요되는 단점이 있다.

2.5 Nelder-Mead 기법

Nelder-Mead 기법은 목적함수에 대한 미분을 이용하지 않고 다차원의 제약이 없는 최적화 문제를 해결하는 직접적인 기법으로 잘 알려져 있다. 현실문제에서 최적화문제를 해결하기 위한 목적함수는 비선형의 형태가 대부분이고, 비평활함수 또는 미분이 존재하지 않는 경우가 많다. 따라서 Nelder-Mead 기법은 이러한 목적함수에 대한 미분을 요구하지 않기 때문에 함수 값이 불확실한 경우, 불연속 함수, 미분이 존재하지 않는 경우에 대한 최적화의 문제를 해결하기 위해 널리 이용된다.

함수 를 목적함수, 을 일반적인 심플렉스를 형성하는 점들이라고 하면 는 에서 얻어진 의 함수 값 중 가장 큰 함수 값, 는 에서 얻어진

의 함수 값 중 가장 작은 함수 값이라고 한다면 목적함수의

가장 큰 값을 갖도록 하는 을 제외한 모든 점의 중심

을 계산할 수 있다. 이러한 정의를 토대로 아래의 단계들을 통해 수행되며 Fig. 2는 Nelder-Mead 기법의 흐름도 나타낸 것이다.

2.5.1 반사(Reflection)

(1)반사된 점(reflected point) 을 계산한다.여기서, 은 양의 상수이며 반사 계수(reflection coefficient)라고 부른다.

(2)만약 이면 를 로 대체한 새로운 심플렉스를 얻고 중심을 다시 설정하는 알고리즘을 다시 수행한다.

2.5.2 확장(Expansion)

(1)만약 반사된 점(reflected point)이 현재까지 중 가장 좋은 점이라면 즉, 확장된 점(expanded point) 를 계산한다. 여기서, 이며 확장 계수(expansion coefficient)라고 부른다.

(2)(a)만약 이면 를 로 대체하고 알고리즘을 다시 수행한다.

   (b)만약 이면 를 로 대체하고 알고리즘을 다시 수행한다.

2.5.3 축소(Contraction)

(1)만약 모든 에 대하여 이면 축소된 점(contracted point) 를 계산한다. 여기서, 은 축소 계수(contraction coefficient)라고 부른다.

(2)만약 이면 을 로 대체하고 알고리즘을 다시 수행한다.

Nelder-Mead 기법의 장점은 목적함수의 미분을 요구하지 않을 뿐더러 순차적인 탐색절차를 따르며 다른 최적화 기법들에 비해 계산속도가 매우 빠르기 때문에 시간과 비용적인 측면에서도 매우 효율적이다(Nelder and Mead, 1965).

3. 적 용

3.1 대상지점

강우의 변동은 시․공간적으로 상이한 특성을 보이기 때문에 하나의 지점을 이용한 NSRPM 매개변수 추정의 정확도 판단은 한계가 있다. 따라서 기상청에서 운영하고 있는 전국 지상기상 관측소 중 30년 이상의 장기자료를 보유하고 있는 59개의 지점에 대하여 1972-2011년 동안의 시간단위 강우자료를 이용하여 각 기법별로 매개변수를 추정하고 정확도를 분석 하였다.

3.2 매개변수 추정 및 정확도 분석

지속시간 1시간 강우의 평균, 분산, 공분산과 지속시간 6시간 강우의 분산, 공분산을 이용하여 평균, 분산, 자기상관계수로 구성된 목적함수를 생성하여 NSRPM 매개변수를 추정하였다. 낙동강유역의 20개 지점에 대하여 DFP 기법, 유전자 알고리즘, Nelder- Mead 기법을 이용하여 추정한 매개변수는 다음과 같다(Table 2).

추정된 매개변수를 이용하여 지속시간 1시간, 6시간, 12시간, 24시간별 강우통계를 계산하였다. 계산된 강우통계 특성은 지속시간이 짧을수록 정확도가 우수했으며 평균, 분산의 정확도가 공분산, 상관계수보다 높은 정확도를 보였다. 한강 일부 지점과 낙동강 일부 지점에 대하여 추정된 매개변수를 이용하여 강우의 특성을 재생산 한 결과는 다음과 같다(Table 3).

Table 3에서 M, V, C는 각각 평균, 분산, 공분산을 나타내며 괄호안의 숫자는 지속시간을 의미한다. 관측된 강우 통계량과 각 기법별로 추정된 강우 통계량의 정확도를 분석하기 위해서 절대오차를 이용하였다(Eq. (6)).

 (6)

DFP 기법을 이용한 NSRPM 매개변수 추정오차는 서울 8.5%, 부산 10%, 대구 60%, 목포 35%으로 평균 약 70%의 오차를 보였으며 지속시간별 강우의 평균의 오차는 약 2%로 비교적 정확도가 높았지만 분산, 공분산에서의 오차가 50-100%으로 평균의 정확도에 낮은 결과를 보였다. 유전자 알고리즘을 이용한 NSRPM 매개변수 추정오차는 서울 14%, 부산 11%, 대구 8%, 목포 약 15%로 59개 지점에 대한 평균 오차는 약 9%으로 나타났다. 유전자 알고리즘 또한 지속시간별 강우 평균의 오차가 약 2%로 다른 통계특성에 비해 가장 높은 정확도를 보였으나 분산오차 7%, 공분산오차 10-40%로 DFP로 추정한 강우통계량에 비해 높은 정확도를 보였다. Nelder-Mead 기법을 이용한 매개변수 추정오차는 서울 8%, 부산 5%, 대구 5.5%, 목포 9%으로 전국 59개 지점 평균 약 6% 오차를 보였으며 지속시간별 강우의 평균, 분산, 공분산 전체에서 오차범위 0.5-15%사이로 높은 정확도를 보였다. DFP 기법, 유전자 알고리즘, Nelder-Mead 기법을 이용하여 NSRPM의 매개변수 추정과 관측 강우통계량의 오차를 비교한 결과 DFP 기법 약 70%, 유전자 알고리즘 약 9%, Nelder-Mead 기법 약 6% 오차를 가졌으며 Nelder-Mead 기법을 이용한 매개변수 추정이 가장 높은 정확도와 전반적인 강우 통계특성 대해서 안정적인 정확도를 보였다(Table 4).또한 가장 많은 지점에서 Nelder-Mead 기법을 이용한 매개변수 추정이 다른 기법보다 높게 나타났다(Fig. 3).

Nelder-Mead 기법은 지속시간 24시간 분산에서는 유전자 알고리즘과 같은 24개의 지점으로 나타났으나 지속시간 1시간 강우평균에서 59지점 중 41개의 지점에서 가장 높은 정확도를 보였으며 지속시간별 강우 통계에서도 25-41개의 지점에서 가장 높은 정확도를 보여 약 전체 50%의 지점을 차지하였다. DFP 기법은 약 5-10개의 지점에서 가장 높은 정확도를 보여 본 연구에서 사용된 기법 중에서 가장 적은 지점수를 가졌으며 유전자 알고리즘은 약 10-20개의 지점에서 높은 정확도를 보였다.

서울지점에 대하여 여름철 강우의 월별 관측 강우특성과 추정된 강우특성은 다음과 같다(Table 5). 월별 강우특성의 오차는 앞서 지점별 오차와 같이 절대오차를 이용하였다. 여름철 6-8월의 월별 강우특성 오차에서 Nelder-Mead를 이용한 모의가 가장 작았다. 특히 6, 7월 오차의 평균이 DFP, GA기법을 이용한 경우 약 10-15%의 오차를 보인반면 Nelder-Mead를 이용한 경우에는 약 5-8%의 오차를 보였으며 분산 및 공분산 모의가 우수하였다. 8월 강우특성의 오차는 연구에 이용된 기법 모두다 약 15-20%의 오차를 보였으며 기법별 특성은 뚜렷하게 나타나지 않았다(Table 6).

3.3 건조, 습윤기간 및 극치강우의 재현성 평가

서울지점을 대상으로 본 연구에서 이용된 기법들을 통한 생성된 강우와 관측된 강우의 건조, 습윤 기간의 지속시간분포별로 비교 분석하였다. 습윤 지속시간분포 비교분석에서 Nelder-Mead를 이용한 모의가 다른 기법에 비해 관측과 가장 비슷한 분포를 보였으며 DFP를 이용한 모의도 이와 비슷한 분포형태를 보였으나 GA를 이용한 모의에서는 관측과 다소 상이한 분포형태를 보였다. 건조 지속시간분포 비교분석에서도 위와 비슷하게 나타는 것을 확인할 수 있었다(Fig. 4).

관측된 강우의 극치값 모의의 비교분석을 위한 누적 극치강우분포에서 Nelder-Mead를 이용한 모의가 다른 기법에 비해 지속시간 1시간 및 24시간의 극치강우분포와 비슷한 분포를 가졌다. 앞서 비교한 건조, 습윤 기간의 지속시간분포결과와 동일한 결과를 가져왔다(Fig. 5).

4. 결 론

최근 지구온난화로 인한 기후변화에 적응대책을 위한 노력이 대두되고 있다. 특히 강우는 시․공간적인 변동이 매우 크며 기상인자들 간의 상관관계 또한 복잡하고 다양하게 연결되어있어 강우분포 특성을 파악하고 실생활에 적용하기에는 한계가 있다. 본 연구에서는 강우생성 모형으로 수문학 분야에서 널리 쓰이고 있는 NSRPM의 매개변수를 비선형 계획법인 DFP 기법, 직접적인 탐색기법인 유전자알고리즘과 Nelder-Mead 기법을 이용하여 추정하고 각 기법의 정확도 및 적합성을 비교하였다. DFP 기법은 비제약 비선형 최적화기법으로 널리 쓰이며 다차원 미분가능한 함수의 최소화 기법으로 이용된다. DFP 기법을 이용한 매개변수 추정은 빠른 연산이 가능하다는 장점이 있으나 주어진 초기값에 민감하며 역헤시안 행렬의 계산이 필요하며 국소해를 찾는 경향이 있다. 유전자 알고리즘은 다윈의 진화이론은 기본으로 한 직접적인 탐색기법으로 목점함수의 도함수를 이용하지 않고 함수값 자체를 이용하기 때문에 실제적인 문제에서 미분가능하지 않는 문제를 해결 할 수 있으며 변수의 2-4배의 부모세대를 형성하기 때문에 국소해에 수렴될 가능성이 적다. 그러나 연산에 많은 시간이 소요되는 단점이 있다. Nelder-Mead 기법은 목적함수의 미분이 필요하지 않아 현실적인 문제에 적용성이 뛰어나며 순차적 탐색절차를 통해 계산속도가 빠르기 때문에 효율적인 최적화 기법으로 평가받고 있다.

DFP 기법을 이용한 강우통계 특성 오차범위는 10-70%으로 연구에 사용된 기법 중에서 가장 큰 오차를 보였다. 특히 강우 통계특성 중 분산, 공분산에서의 오차는 평균에서의 오차보다 매우 크게 나타나 통계 특성에 따른 오차의 편차가 매우 심하게 나타났다. 유전자 알고리즘을 이용하였을 때의 오차범위는 5-40%으로 나타났으며 강우 평균의 정확도는 높으나 분산, 공분산에서의 정확도는 상대적으로 낮은 결과를 보여 편차가 존재하였지만 DFP 기법 보다 편차의 정도는 낮게 나타났다. Nelder-Mead 기법을 이용한 강우 통계특성 오차의 범위는 1-15%으로 나타났으며 강우 평균, 분산, 공분산에서의 오차 또한 다른 두개의 기법보다 편차가 낮은 결과를 보였다.

Nelder-Mead 기법을 이용한 매개변수 추정이 지속시간 24시간의 공분산을 제외한 강우특성에서 전국 59개의 지점 중 약 50%인 20-40개의 지점에서 가장 높은 정확도를 보였으며 지속시간 24시간 공분산의 지점 수는 24개로 유전자 알고리즘과 동일 수를 가졌다. 유전자 알고리즘은 59개의 지점 중 10-20개의 지점에서 가장 높은 정확도를 보였으며 DFP 기법은 5-10개 지점에서만 가장 높은 정확도를 보였으며 서울지점을 대상으로 한 여름철(6-8월)월별 정확도 분석에서도 가장 높은 정확도를 보였다.

관측 및 모의된 강우의 건조, 습윤 지속시간분포의 분석결과 DFP과 Nelder-Mead 기법을 이용하여 모의하였을 때의 지속시간분포의 형태가 관측된 시간분포와 적합하게 나타났으며 그 중 Nelder-Mead를 사용했을 때에 가장 잘 적합하였다. 지속시간별 극치강우량의 누적분포의 평가에서도 건조, 습윤 지속시간의 분석결과와 비슷하게 나타나는 것을 확인 할 수 있었다.

본 연구결과 세 가지 기법 중 Nelder-Mead 기법을 이용한 NSRPM 매개변수 추정이 전반적으로 강우의 통계적 특성을 가장 근접하게 추정한 것으로 나타났으며 대상 지점의 약 50%에서 가장 높은 적합성을 보였다. 또한 건조, 습윤기간 및 극치 강우량의 재현성에서도 연구에서 사용된 추정기법 중 가장 우수하였다. 분석 결과를 바탕으로 NSRPM 매개변수 추정에 있어서 Nelder-Mead 기법은 다양한 분포의 강우 특성을 잘 반영할 수 있는 매개변수 추정이 가능하다고 판단된다. 또한 개선된 매개변수의 추정은 추계학적 강우모형을 통한 관측된 강우특성을 보다 잘 반영한 강우생성을 가능하게 할 것으로 판단되며 모의 강우의 수문학적 적용에 있어 적합성을 개선할 것으로 판단된다.