1. 서 론

최근 들어 초고층 건물 및 장대 교량의 건설이 증가함에 따라 대형 상부구조물의 하중을 충분히 지지하기 위한 대심도 대단면 현장타설말뚝의 사용이 확대되고 있다. 직사각형 단면의 현장타설말뚝을 지칭하는 barrette 말뚝은 원형 단면의 현장타설말뚝에 비해 비표면적이 커서 더 큰 주면마찰력을 구현할 수 있는 장점이 있으며, 직사각형의 단면특성을 적절히 이용함으로써 말뚝의 수평방향 저항력을 향상시킬 수 있다(^{Ng and Lei, 2003}). Fig. 1은 직사각형 형상비 $\alpha$에 따른 원형말뚝에 대한 barrette 말뚝의 윤변비 $m$ 변화를 나타내며, 이를 통해 동일한 면적의 원형 말뚝보다 직사각형 말뚝의 윤변비가 최소 12.8 % 더 큰 것을 알 수 있다. 이와 같이 동일한 단면적의 원형말뚝에 비해 윤변비가 더 큰 직사각형의 barrette 말뚝은 표면적이 증가함으로써 더 큰 주면마찰력과 수평저항력을 확보할 수 있다.

이러한 barrette 말뚝은 지하연속벽(diaphragm wall)이 시공되는 건설사업의 하부기초로 주로 선정되는데, 이는 두 지반구조물을 시공하는 장비와 절차가 같아 별도 공법의 고려가 필요하지 않기 때문으로 높은 시공성과 경제성을 기대할 수 있다. 이와 같은 이유로 barrette 말뚝의 시공사례는 최근 다수 보고되고 있으며, 그 예로 말레이시아 쿠알라룸푸르의 페트로나스 트윈 타워(Petronas Twin Towers)와 스위스 취리히 연방공대 연구센터 빌딩의 적용사례를 들 수 있다(^{Baker et al., 1994}; ^{Rabaiotti and Malecki, 2018}).

이러한 점에 비추어 barrette 말뚝의 적용성에 관한 정적 거동 특성에 관한 다양한 연구가 수행되었다. ^{Ho and Lim(1998)}은 싱가포르 충적토에 시공된 barrette 말뚝의 압축재하시험을 수행하고, 최대단위주면마찰력과 표준관입저항치의 연관성을 분석하였다. ^{Fellenius et al.(1999)}은 잔류토에서 수행한 barrette 말뚝의 오스터버그셀(Osterberg-cell) 시험결과를 이용하여 주면마찰력을 정량화하였다. ^{Hamza and Ibrahim(2000)}은 barrette 말뚝의 지지성능에 관한 주면 그라우팅(grouting) 효과를 평가하였다. ^{Ng et al.(2000)}은 풍화암에 설치된 barrette 말뚝의 압축재하 시험결과로 부터 시간변화에 따른 지반-말뚝 경계면의 접촉압력 및 간극수압 변화 특성을 보고하였다. ^Zhang(2003)은 barrette 말뚝의 수평재하시험을 수행하고 하중재하 방향에 따른 수평거동을 특성화하였다. ^{Basu et al.(2008)}는 다층지반 속에 매립된 barrette 말뚝의 침하 예측모델을 제안하고 말뚝두부의 처짐과 말뚝의 축력에 대한 수치해를 제시하였다. ^{Cheng et al.(2012)}은 개단형 barrette 말뚝에 대한 수치해석 연구를 통해 패색효과가 수직 및 수평거동에 미치는 영향을 분석하였다. ^{Choi et al.(2014)}은 연속체 기반 해석을 통해 수평재하말뚝의 두부처짐과 최대 휨모멘트를 산정할 수 있는 설계식을 제안하였다. ^Hirai(2014; ²⁰¹⁵⁾는 비균질 지반에 설치된 barrette 말뚝거동에 대한 Winkler지반 해석모델을 제안하고 말뚝의 단면형상비에 따른 수직 및 수평 거동 특성을 평가하였다. ^{Zhang et al.(2018)}은 지반을 통해 전달되는 S파에 의한 barrette 말뚝의 운동학적 거동을 분석하였다. ^{Ukritchon and Keawsawasvong (2018)}은 한계해석법을 이용하여 복합하중을 받는 barrette 말뚝의 비배수 수평 지지력을 연구하였다.

외부 가진력의 진동수와 말뚝지지 구조물의 고유진동수가 일치할 때 공진현상이 발생하여 말뚝과 상부구조물에 심한 손상을 초래할 수 있다. 따라서, 지진, 기계진동, 바람과 같은 동적 하중을 받는 말뚝지지 구조물의 설계 시 말뚝의 자유진동에 대한 올바른 이해는 매우 중요하다. 그동안 말뚝의 자유진동에 관한 다양한 연구가 수행되었다. ^{Prakash and Chandrasekaran(1977)}은 탄성지반으로 지지된 말뚝에 관한 기본진동수(fundamental frequency)의 수치해를 산정하였다. ^{Ragab and Aggour(1986)}은 축방향 압축하중을 받는 말뚝의 자유진동 특성을 분석하였고, ^{Valsangkar and Pradhanang(1988)}은 두 변수지반(two-parameter soil)에 부분매립된 말뚝의 고유진동수에 대한 닫힌해를 산정하였다. ^{Halabe and Jain(1996)}은 자유진동하는 말뚝의 특성방정식을 유도하고 말뚝의 고유진동수와 모드형태를 연구하였다. ^{Hu et al.(2008)}은 지반의 비선형성을 고려한 말뚝의 고유진동수 예측모델을 제안하였고, ^{Yesilce and Catal(2008)}은 다층지반 속에 매립된 말뚝의 자유진동 특성을 평가하였다. ^{Yan and Chen(2012)}과 ^{Al-Gahtani and Mukhtar(2014)}는 각각 반사선행렬법(reverberation-ray matrix method)과 무요소법(meshless method)을 적용하여 수직재하말뚝에 대한 고유진동수의 수치해를 산정하였다. 최근에 ^{Ma et al.(2018)}은 지반의 전단특성이 말뚝의 자유진동에 미치는 영향을 분석하였다. 이상에서 고찰한 말뚝의 자유진동에 관한 연구는 모두 원형단면 말뚝을 대상으로 하였고 직사각형 단면을 갖는 barrette 말뚝의 자유진동에 관한 연구는 이루어지지 않았다. 한편, 실무에서 직사각형 단면의 말뚝은 등가면적의 원형단면 말뚝으로 전환하여 해석하는 것이 일반적이나, 이러한 가정은 말뚝의 수평거동에서 두 단면의 휨강성의 차이로 수평거동에 큰 차이를 발생시키므로(^{Poulos et al., 2019}), 말뚝 단면의 정확한 수식화는 말뚝해석 시 매우 중요하게 고려하여야 할 연구내용이다.

이 논문은 비균질 지반에 설치된 수직하중을 받는 직사각형 barrette 말뚝에 대한 수평방향 자유진동에 관한 연구이다. 이를 위해 지반-말뚝 시스템의 자유진동을 지배하는 미분방정식과 경계조건을 유도한다. 이 미분방정식을 수치방법으로 풀어서 산출한 고유진동수를 유한요소 범용 프로그램의 결과와 비교하여 제안된 해석모델의 타당성을 검증하고, 지반과 말뚝의 무차원 변수들이 말뚝의 고유진동수와 진동형에 미치는 영향을 분석한다.

2. 해석모델의 정립

2.1 지반-말뚝 시스템

Fig. 2(a)는 수직압축하중 $P$가 작용하는 지반 속에 매립된 길이 $l$의 barrette 말뚝과 지점조건을 나타낸다. 자유진동하는 말뚝은 진폭에 의한 수평방향 처짐을 진동형(mode shape)으로 표현(점선으로 표시)하고, 말뚝양단은 자유(free), 회전(hinged), 고정(clamped)으로 지지된다. 말뚝 단면은 폭 $d$와 높이 $h$인 직사각형 단면을 가지며, 단면형상비 $\alpha$는 다음과 같이 정의된다.

Eq. (1)을 이용하여 말뚝단면의 둘레 $u$, 단면적 $A$, 단면2차모멘트 $I$를 다음과 같이 구한다.

Fig. 2(b)는 축방향 압축하중을 받는 말뚝의 주면에 발생하는 단위주면마찰력(unit skin-friction resistance)을 나타내며, 말뚝두부와 말뚝선단에서의 단위주면마찰력은 각각 $f_a$와 $f_b$이다. 말뚝의 마찰형상비 $\zeta$는 Eq. (5)와 같이 정의한다.

말뚝중앙( $x=l/2$)에서 단위주면마찰력 $f_e$는 다음과 같다.

Eqs. (5) and (6)을 이용하면 깊이 $x$에서 단위주면마찰력 $f$를 다음과 같이 구할 수 있다.

Fig. 2(c)는 수평지반반력계수(coefficient of horizontal subgrade reaction)의 분포도를 나타낸다. 말뚝두부와 말뚝선단에서 수평지반반력계수는 각각 $k_a$와 $k_b$이며, 말뚝 깊이에 따라 선형적으로 증가한다. 반력형상비 $\kappa$는 Eq. (8)과 같이 정의한다.

말뚝중앙 $(x=l/2)$에서 반력형상비 $k_e$는 다음과 같다.

Eqs. (8) and (9)를 이용하면 깊이 $x$에서 수평지반반력계수 $k$를 다음과 같이 구할 수 있다.

2.2 동적 지배방정식

Fig. 2(d)는 자유진동하는 말뚝의 미소요소에 작용하는 힘들을 나타낸다. 이 요소에는 동적 합응력 $N$, $V$, $M$, 축방향 마찰력 $F_f$, 수평방향 지반반력 $R_k$ 및 수평방향 관성력 $F_I$가 작용한다. $F_f$는 $P$의 방향과 반대 방향으로, $R_k$ 및 $F_I$는 처짐 $y$와 반대 방향으로 작용한다. 이 미소요소의 자유물체도에 $\sum F_x=0$, $\sum F_y=0$, $\sum M=0$의 동적 평형방정식을 적용하면 다음 식과 같이 정리된다.

Eq. (13)을 미분한 식에 Eqs. (11) and (12)를 대입하고 정리하면 다음의 미분방정식을 얻는다.

위의 Eq. (14)에서 말뚝에 발생하는 힘 $M$, $N$, $F_f$, $R_k$, $F_I$를 깊이 $x$ 및 처짐 $y$의 함수로 나타내면 다음 식들과 같다.

여기서, $E$는 말뚝의 탄성계수이고 $\rho$는 말뚝의 단위체적당 질량이다. ${\omega }_i$는 $i$번째 모드번호의 고유각진동수이다.

Eq. (14)에 Eqs. (15), (16), (17), (18), (19)를 대입하여 정리하면 다음과 같은 말뚝의 자유진동에 관한 미분방정식을 얻을 수 있다.

Eq. (20)을 무차원 미분방정식으로 유도하기 위하여 다음의 무차원 변수를 도입한다.

여기서, $(\xi ,\eta )$는 무차원 직교좌표, $s$는 세장비, $s$는 지반강성비, $\beta$는 마찰저항비, $p$는 압축계수, $C_i$는 무차원 고유진동수이다. 또한, Eqs. (24) and (25)의 $\lambda$는 Eq. (28)로 정의되는 특성장(characteristic length)으로, 지반과 말뚝의 상대강성을 의미한다(^{Prakash and Sharma, 1990}).

Eq. (20)에 Eqs. (21), (22), (23), (24), (25), (26), (27), (28)을 대입하여 정리하면 다음과 같은 barrette 말뚝의 자유진동을 지배하는 무차원 미분방정식을 유도할 수 있다.

2.3 경계조건

Eq. (29)의 무차원 미분방정식에 대한 경계조건은 다음과 같다. 자유지점( $x=0$ 및 $x=l$)에서 휨모멘트 $M=0$, 전단력 $V=0$이므로 다음의 경계조건이 유도된다. 이에 필요한 $M$ 및 $V$에 관한 식은 Eqs. (15) and Eq(13)에 정의되어 있다.

회전지점( $x=0$ 및 $x=l$)에서 처짐 $y=0$, 휨모멘트 $M=0$이므로 그 경계조건은 다음과 같다.

고정지점( $x=0$ 및 $x=l$)에서 처짐 $y=0$, 회전각 $dy/dx=0$이므로 그 경계조건은 다음과 같다.

위와 같이 barrette 말뚝의 수평방향 자유진동을 지배하는 미분방정식과 경계조건을 유도하였다. 이를 말뚝-지반조건에 대한 입력변수와 함께 수치해석방법으로 풀면 미분방정식의 고유치인 고유진동수 $C_i(i=1,2,3,\cdots )$와 진동형 $(\xi ,\eta {)}_i$을 얻을 수 있다.

3. 수치방법 및 검증

유도된 지배방정식의 해를 구하는데 필요한 입력변수는 단면형상비 $\alpha$, 마찰형상비 $\zeta$, 반력형상비 $\kappa$, 세장비 $s$, 지반강성비 $\epsilon$, 마찰저항비 $\beta$, 압축계수 $p$이다. 위에서 유도한 미분방정식 Eq. (29) 식을 수치방법으로 푸는 요지는 미분방정식의 초기조건식 및 경계조건식 Eqs. (30), (31), (32), (33), (34), (35) 식을 만족하는 미분방정식의 고유치인 무차원 고유진동수 $C_i$를 찾는 문제로 귀결된다. 이를 위하여, 미분방정식의 수치적분은 Runge-Kutta method를 이용하여 직접 적분하였고, 미분방정식의 고유치는 $C_i$는 행렬값 탐사법(determinant search technique)과 비선형방정식의 수치해법인 Regula- Falsi method를 이용하여 계산하였다(^{Gillat and Subramaniam, 2013}). 말뚝의 진동형 $(\xi , \eta {)}_i$는 미분방정식의 수치적분 결과로 산정된다. 이와 같은 지반-말뚝 시스템의 고유치 문제에 대한 수치해석방법은 ^{Lee and Jeong(2016)}에서 그 타당성이 입증되었다.

수치방법의 효율성을 평가하기 위해 수렴해석을 수행하였다. 수렴해석의 정도는 Runge-Kutta method에서 단계길이(step size) $∆\xi$의 영향을 받으므로 말뚝길이의 분할개수 $n_d$ ( $=1/∆\xi$)에 대한 $C_i$의 변화를 통해 수렴성을 확인할 수 있다. 해석에 적용한 값은 회전-회전, $\alpha =0.5$, $\zeta =1.5$, $\kappa =1.5$, $s=50$, $\epsilon =5$, $\beta =0.01$, $p=0.5$로 해석결과를 Fig. 3에 나타내었다. 이 그림과 같이, $n_d$의 증가에 따른 $C_{i=1,2,3,4}$의 변화는 매우 작으며, 모드번호와 상관없이 $C_i$ 값은 $n_d=30-100$ 범위에서 유효숫자 4자리의 정도로 수렴하였다. 이에 근거하여 이후 수치해 산정에는 $n_d=50$을 적용하였다.

수치방법의 해를 검증하기 위해서는 가능하면 문헌해와 비교하는 것이 바람직하지만 그렇지 못한 경우에는 유한요소해와 비교하는 것이 일반적이며(^{Maciejewska et al., 2017}), 이 연구에서는 이 논문에서 산정한 무차원 고유각진동수 $C_i$와 유한요소 프로그램 ^ADINA(2017)의 결과를 비교하였다. 해석에 이용한 말뚝제원은 barrette 말뚝에 관한 기존 연구사례(^{Zhang, 2003}; ^{Hong et al., 2019}; ^{Poulos et al., 2019})에서 채택하였다. 지반조건은 연약지반에 해당하는 수평지반반력계수(^{Prakash and Sharma, 1990})를 적용하였고 이는 말뚝두부에서 말뚝선단까지 선형 감소하는 것으로 가정하였다(^{Heelis et al., 2004}). 지반-말뚝의 물성값은 다음과 같다.

- 하중 및 지점조건: $P=15$MN, 자유-자유, 회전-회전, 고정-고정

- 말뚝 기하적 형상: $d=2.8$ m, $h=1$ m ( $A=2.8$ m²), $l=18$m

- 말뚝 물성: $E=24$ GPa, $\rho =2400$kg/m³

- 지반 물성: $k_a=80$kN/m³, $k_b=150$kN/m³

위의 입력 값으로부터 계산되는 무차원 입력변수는 $\alpha =0.357$, $\kappa =1.88$, $s=62.4$, $\epsilon =2.08$ ( $\lambda =8.66$m), $p=0.0258$이다. 여기서, ADINA의 적용상 단위주면마찰력 $f$는 고려하지 않았다( $\beta =0$). 이 연구에서 산정된 $C_i$는 Eq. (27)을 이용하면 ${\omega }_i=$ $16.33C_i$ rad/s로 계산된다. 이 연구와 ADINA에서 계산된 ${\omega }_{i=1,2,3,4}$를 Table 1에 정리하였다. 이 표에서 보는 바와 같이 본 연구와 ADINA의 ${\omega }_i$는 매우 근사한 것을 확인할 수 있으며 두 고유진동수 사이의 평균 오차율은 2.88 %로 나타났다.

4. 수치결과 및 토의

이 절에서는 무차원 고유진동수 $C_i$에 대한 변수연구 결과를 나타내고 이를 분석하였다. 변수연구에 사용한 입력값은 다음과 같다: $\alpha =0.5$, $\kappa =1.5$, $\zeta =1.5$, $s=50$, $\epsilon =5$, $\beta =0.01$, $p=0.5$. 이들 값은 지반공학에서 적용 가능한 범위 내에 존재하며, 산정된 고유진동수는 실무에서 가장 중요하게 이용하는 $i=1$의 1차 모드 고유진동수, 즉 기본진동수(fundamental frequency) $C_1$만을 수치해석 결과로 나타내었다(^{Carpinteri et al., 2014}).

Table 2는 $C_1$에 대한 말뚝의 지점조건의 영향을 나타낸다. $C_1$은 자유-자유 말뚝에서 최소이고 고정-고정 말뚝에서 최대인 것을 확인할 수 있으며, 이들은 각각 말뚝의 고유진동수에 대한 하한치와 상한치에 해당한다. 고유진동수의 상한치인 고정-고정의 고유진동수는 하한치인 자유-자유보다 1.75 (6.020/3.438)배로 크다. 이로부터 말뚝단부의 구속정도가 클수록 고유진동수가 증가하는 사실을 알 수 있으며, 이후 변수연구에서는 자유-자유, 회전-회전, 고정-고정의 세 지점조건을 적용하여 그 영향성을 평가하였다.

Fig. 4는 $C_1$에 대한 단면형상비 $\alpha$의 영향을 나타낸다. $\alpha$가 감소할수록 $C_1$은 감소하며, $\alpha$가 한계형상비 ${\alpha }_{cr}$보다 작게 되면 작용하중 $p=0.5$에서 $C_1=0$이 된다. 이는 말뚝의 단면강성이 작아짐에 따라 말뚝의 고유진동수는 감소하고, 단면강성이 ■로 표시한 임계값(critical value)에 도달하면 동적 상태의 말뚝은 주어진 수직하중에서 정적 상태가 되어 좌굴하는 것을 의미한다. 예로서 ${\alpha }_{cr}=0.181$인 자유-자유 말뚝은 $p=0.5$에 의하여 $C_1=0$이 되고 말뚝은 좌굴 된다. 따라서 이 경우 ${\alpha }_{cr}=0.181$ 보다 큰 강성이 확보되어야 해당 말뚝은 좌굴로부터 안전하다.

Fig. 5는 $C_1$에 대한 마찰형상비 $\zeta$의 영향을 나타낸다. 여기서 주면마찰력비는 $0<\zeta <2$의 값을 가지며 $\zeta =1$은 깊이 방향으로 주면마찰력이 일정한 경우이다. 지점조건에 상관없이 $\zeta$가 증가하면 $C_1$은 감소하며 $\zeta$의 영향성은 $\zeta$가 작을수록 더 큰 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6은 $C_1$에 대한 반력형상비 $\kappa$의 영향을 나타낸다. 여기서 $\kappa <1$은 깊이에 따른 수평지반반력이 감소하는 경우이고 $\kappa >1$은 그 반대의 경우이다. 자유-자유 말뚝과 회전-회전 말뚝의 경우 $\kappa$가 증가하면 $C_1$은 증가하다가 ▲ (예: 자유-자유 말뚝 (0.823, 3.753))로 표시한 좌표에서 최대치를 보인 후 감소한다. 이는 주어진 지반-말뚝조건에 가장 큰 $C_1$을 갖는 반력형상비 $\kappa$, 즉 수평지반반력 분포가 존재함을 의미한다. 고정-고정 말뚝의 경우에도 $C_1$가 최대가 되는 $\kappa$가 존재하지만 $\kappa$의 영향성은 무시할 만하다. 이는 말뚝의 두부와 선단에서 회전 및 변위의 구속성이 충분히 커 다른 두 지점조건에 비교하여 수평방향 진폭 $\eta$에 대한 $\kappa$의 영향성이 현저하게 작기 때문이다.

Fig. 7은 $C_1$에 대한 세장비 $s$의 영향을 나타낸다. 말뚝의 강성은 세장비에 반비례하므로 $s$가 증가할수록 $C_1$은 감소하나 그 감소율은 $s$가 작을수록 더 크다. 특히, 자유-자유 지점조건의 경우, Fig. 3와 유사하게 $C_1=0$이 되는 ■로 표시한 한계세장비 $s_{cr}=193.9$가 존재한다. 이는 $s=193.9$를 갖는 자유-자유 말뚝에 $p=0.5$의 압축하중이 작용하면 말뚝은 좌굴된다는 의미로 $s=193.9$인 자유-자유 말뚝의 좌굴하중은 $p_b=0.5$이다.

Fig. 8은 $C_1$에 대한 지반강성비 $\epsilon$의 영향을 나타낸다. 지반강성의 증가는 말뚝의 변위를 억제하는 요소이므로 $\epsilon$이 증가하면 $C_1$은 증가한다. $\epsilon$이 작을수록 그 증가율은 완만하여 작은 지반강성비에서 $C_1$에 대한 영향성은 더 작아진다. ^{Prakash and Sharma(1990)}에 따르면, $\epsilon <2$와 $\epsilon >4$인 각각의 범위에서 말뚝은 강성말뚝(rigid pile)과 연성말뚝(flexible pile)으로 구분된다. 이러한 기준을 Fig. 8에 적용하면, $\epsilon <2$인 강성말뚝은 $C_1$이 존재하지 않거나 그 변화가 미소한 반면 $\epsilon >4$인 연성말뚝은 지점조건에 상관없이 $C_1$의 크기와 그 경향성이 유사한 것을 확인할 수 있다. 지반강성비 $\epsilon$에서도 말뚝이 좌굴하는 임계치 ${\epsilon }_{cr}$이 존재한다.

Fig. 9는 $C_1$에 대한 마찰저항비 $\beta$의 영향을 나타낸다. 말뚝의 주면마찰력은 말뚝의 축방향력을 감소시키므로 $\beta$가 증가할수록 $C_1$은 증가한다. $\beta =0$이면 ◆로 표시한 주면마찰력을 고려하지 않는 선단지지 말뚝이므로 $\beta >0$의 마찰말뚝보다 $C_1$이 더 작다. 한편, 자유-자유 말뚝의 경우 $\beta >0.05$이면 그 증가율은 거의 $0$이 되어 $C_1$은 일정값에 수렴하게 된다. 반면에 회전-회전 및 고정-고정 말뚝은 자유-자유 말뚝과 비교해 $\beta$의 영향성이 더 큰 것을 알 수 있다.

Fig. 10은 $C_1$에 대한 압축계수 $p$의 영향을 나타낸다. 압축하중이 작용하지 않는 $p=0$에서 $C_1$은 가장 큰 것을 확인할 수 있으며 $p$가 증가할수록 $C_1$은 감소하여 ■로 표시한 한계하중 $p_{cr}$에서 $C_1=0$이 된다. 다시 말해, 자유진동하는 말뚝에 일정 크기 이상의 압축하중이 가해지면 좌굴하는데 이는 굽힘력으로 인해 말뚝이 정적 불안정상태로 되기 때문이다. 예로서 자유-자유 말뚝에 작용하는 $p_{cr}=0.881$에서 말뚝은 좌굴하고 그때의 좌굴하중은 $p_b=0.881$이다.

Figs. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10은 지금까지 살펴본 지반-말뚝 시스템의 재료 및 기하학적 변수의 영향과 더불어 $C_1$에 대한 말뚝의 지점조건의 영향을 설명한다. 모든 그림에서 $C_1$값은 자유-자유, 회전-회전, 고정-고정지점의 순으로 큰 것을 확인할 수 있으며, 이는 Table 2의 분석결과와 일치한다.

Fig. 11은 Figs. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10의 변수연구에서 적용한 $\alpha =0.5$, $\kappa =1.5$, $\zeta =1.5$, $s=50$, $\epsilon =5$, $\beta =0.01$, $p=0.5$에 대한 말뚝의 진동형을 나타낸다. 진동형은 지점조건에 크게 의존하여 자유지점인 경우 말뚝의 단부에서 동적 변위가 발생하고, 회전 및 고정지점인 경우 동적 변위가 발생하지 않는 것을 확인할 수 있다. 이와 같은 말뚝의 진동형은 자유진동하는 말뚝의 최대진폭의 위치와 크기, 진폭이 발생하지 않는 위치 등의 정보를 제공하며 이는 말뚝의 내진설계에 유용한 자료로 활용될 수 있다.

5. 결 론

이 논문은 직사각형 barrette 말뚝의 수평 자유진동에 관한 수치방법 연구이며, 이 연구에서 산정한 고유진동수와 진동형을 토의하여 얻은 결론은 다음과 같다.

(1) 본 연구에서 산정한 고유진동수는 ADINA 유한요소해석의 결과와 2.88 % 이내의 오차로 일치하였다.

(2) 수치방법의 수렴해석에서 말뚝 길이의 분할개수 $n_d=30$의 고유진동수는 $n_d=100$에 대한 고유진동수에 유효숫자 4자리의 정도로 수렴하였다.

(3) 말뚝단부의 구속정도가 클수록 고유진동수는 증가한다. 고유진동수의 상한치인 고정-고정의 고유진동수는 하한치인 자유-자유보다 1.75배로 더 크다.

(4) 말뚝의 고유진동수를 증가시키는 말뚝변수는 단면형상비 $\alpha$, 마찰저항비 $\beta$, 지반강성비 $\epsilon$이고, 고유진동수를 감소시키는 말뚝변수는 마찰형상비 $\zeta$, 세장비 $s$, 압축계수 $p$이다.

(5) 지반의 반력형상비 $\kappa$와 고유진동수 $C_1$의 관계에서, 말뚝의 최대고유진동수가 발생하는 최적의 $\kappa$가 존재한다.

(6) 말뚝의 고유진동수를 감소시키는 요인들 $\zeta$, $s$, $p$에는 말뚝이 좌굴하는 ${\zeta }_{cr}$, $s_{cr}$, $p_{cr}$의 임계치들이 존재한다.

향후의 연구에서는 수직하중에 따른 단위주면마찰력과 더불어 다른 축방향 요소인 말뚝자중의 영향을 고려한 대구경 대심도 barrette 말뚝의 동적 안정성 평가에 대한 분석도 필요하다.