2.1 프리팹 PSC 거더 수치 해석 모델을 위한 가정

Fig. 2는 초기 긴장시 프리스트레스에 의한 프리팹 PSC 거더의 탄성 거동 해석을 위한 등가하중모델을 나타냈다^{(Shin, 2008)}. Fig. 2(a)와 같이 여러 가닥의 텐던을 포물선으로 배치된 단일 등가 텐던으로 치환이 가능하고 단일 등가 텐던에 의한 프리스트레스는 Fig. 2(b)와 같이 등가하중으로 치환할 수 있다고 가정한다. 또한, 마찰 및 정착구에서의 프리스트레스 손실은 무시할 수 있다고 가정한다. 거더는 오일러-베르누이보의 이론을 따르고 거더의 단면계수는 콘크리트 단면과 단일 등가 텐던의 포물선 배치를 고려한 환산단면을 고려한다. 거더는 단순지지 되어 있고 추가 하중으로 거더의 자중을 고려한다.

초기 긴장력 도입 이후 가설 전 단계까지 발생하는 시간 의존적 거동은 콘크리트 건조수축, 프리스트레스에 의해 콘크리트에 도입된 압축응력에 의한 크리프, 텐던에 발생하는 릴렉세이션, 그리고 콘크리트의 강도 변화를 고려한다. 특히, 거더의 시간 의존적 거동은 시간에 대해 비선형이므로 시간 단계에 대한 증분 해석을 수행한다.

2.2 프리팹 PSC 거더 시간 의존적 거동 해석

Fig. 2(a)의 기준점으로부터 $x_{j}$에 위치한 PSC 거더 단면에서 Fig. 3와 같이 $t_{i-1}$ 시점에서 $t_{i}$ 시점 사이에 발생하는 상·하연 크리프 변형률 증분은 각각 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $\overline{\varepsilon}^{{cr}}$, $\underline{\varepsilon}^{{cr}}$, $\overline{\varepsilon}$, $\underline{\varepsilon}$ 그리고 $Φ$는 각각 상·하연의 크리프 변형률, 상·하연의 탄성 변형률 그리고 크리프 계수를 나타내고 아래첨자 $i$와 $j$는 각각 시간단계 $t_{i}$와 기준점으로부터 거더의 단면 위치인 $x_{j}$를 나타낸다. 특별한 언급이 없는 한 $t_{i}$는 $i$일을 의미한다.

Fig. 3에서 텐던 도심 위치에서 발생하는 크리프 변형률 증분은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $\widetilde{\varepsilon}^{{cr}}$, $\overline{h}$, $h$ 그리고 $e$는 각각 텐던 도심 위치에서 크리프 변형률 증분, 도심으부터 상연까지의 거리, 거더의 총 높이 그리고 도심으로부터 텐던까지의 편심거리를 나타낸다.

텐던 도심 위치에서 발생하는 건조수축 변형률 증분은 다음과 같다^{(KCI, 2012)}.

여기서, $\widetilde{\varepsilon}^{{sh}}$, $\varepsilon_{{sho}}$, $\beta_{s}$ 그리고 $t_{s}$는 각각 텐던 도심 위치에서 건조수축 변형률 증분, 개념 건조수축계수, 건조수축 변형률 함수 그리고 콘크리트가 외기중에 노출되었을 때의 재령이다.

릴렉세이션에 의해 텐던에서 발생하는 손실응력 증분은 다음과 같다(Shin, 2008).

여기서, $\triangle f^{{r elax}}$, $f_{p i}$, $f_{p y}$, $A_{p}$ 그리고 $C$는 릴렉세이션 손실량, 초기 프리스트레스, 긴장재의 항복강도, 긴장재의 단면적, 이완계수를 나타낸다. $C$는 일반 강재일 때 10, 저릴렉세이션 강재일 때 45를 사용한다.

Eqs. (2) and (3) 그리고 Eq. (4)로부터 텐던에 발생하는 손실 응력 증분의 합을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $\triangle\widetilde{f}$와 $E_{p}$는 각각 크리프, 건조수축, 릴렉세이션에 의한 텐던 손실 응력 증분의 합과 텐던의 탄성계수이다.

Eq. (5)의 텐던 응력 손실에 의해 거더 단면에 불균형력이 발생하게 된다. 이 불균형력에 대해 텐던 도심 위치에서 텐던과 콘크리트간의 적합조건, 그리고 거더 단면에서 축방향력과 휨모멘트 평형방정식을 연립하여 풀면 아래와 같이 텐던 응력 복원 증분을 구할 수 있다.

여기서, $\triangle\widetilde{f}^{{recov}}$, $n$, $I^{{tr}}$ 그리고 $A_{g}$는 각각 텐던 응력 복원 증분, 탄성계수비, 환산단면에 대한 단면2차모멘트 그리고 콘크리트 총단면적이다.

Eqs. (5) and (6)으로부터 텐던의 총손실 응력 증분을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $\triangle\widetilde{f}_{i-1,\: j}^{{t}{otal}}$는 텐던의 총손실 응력 증분이다.

텐던 응력 감소에 의한 상·하연 콘크리트 응력 증분은 다음과 같다.

여기서, $\triangle\overline{f}$, $\triangle\underline{f}$ 그리고 $\gamma$은 각각 텐던 응력 감소에 의한 상·하연 콘크리트 응력 증분, 그리고 거더 단면의 회전반경을 나타낸다.

텐던력 감소에 의한 상·하연 콘크리트 변형률 변화량을 계산하면 다음과 같다.

여기서, $\triangle\overline{\varepsilon}_{i-1,\: j}$, $\triangle\underline{\varepsilon}_{i-1,\: j}$ 그리고 $E^{{ci}}$는 텐던력 감소에 의한 상·하연 탄성 변형률 변화량 그리고 콘크리트 탄성계수를 나타낸다.

텐던력 감소에 의한 상·하연 순 크리프 변형률 증분 계산은 다음과 같다.

여기서, $\triangle\overline{\varepsilon}^{{n et}}$와 $\triangle\underline{\varepsilon}^{{n et}}$는 상·하연 순 크리프 변형률 증분이다.

Eq. (10)의 상·하연 순 크리프 변형률 증분으로부터 발생하는 거더의 곡률 증분 $\triangle\phi_{i-1,\: j}$을 다음과 같이 구할 수 있다.

Fig. 3의 시간 단계 $t_{i}$에서 상·하연 순 변형률은 Eq. (10)을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 3의 시간 단계 $t_{i}$에서 상·하연 콘크리트 탄성 변형률은 Eq. (9)를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Fig. 3의 시간 단계 $t_{i}$에서 거더의 곡률 $\phi_{i,\: j}$은 Eq. (11)을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Eqs. (1) ~ (14)으로부터 긴장력 도입 이후 1일($t_{1}=1$)부터 가설 전 단계인 n일($t_{n}=n$)까지 시간 의존적 거동에 대한 거더의 각 단면에서 대한 해석을 수행할 수 있다.

긴장력 도입 시점인 0일($t_{0}=0$)에서 상·하연 순 변형률은 상·하연 콘크리트 탄성 변형률과 같다.

Eq. (15)의 0일에서 상·하연 탄성 변형률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $P_{0}$, $M^{{d}}$ 그리고 $\underline{h}$는 각각 초기 프리스트레스, 자중으로 인한 모멘트 그리고 하연으로부터 도심까지의 거리이다.

긴장력 도입 시점인 0일($t_{0}=0$)에서 거더의 곡률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

2.3 프리팹 PSC 거더 시간 의존적 거동 해석 예제

2.1절에서 기술된 등가탄성모델과 2.2절에서 기술된 시간이력 해석 모델을 이용하여 Table 1에 제시된 30 m 프리팹 PSC 거더에 대한 수치해석을 수행한다. 콘크리트 시간 의존적 거동에 대한 제원은 Table 2와 같다. 프리팹 PSC 거더는 단순지지 된 것으로 설정하였다.

초기 긴장력 도입 이후 거더 가설까지의 소요시간을 90일로 설정하여 수치해석을 수행하였다. Fig. 4는 30 m 프리팹 PSC 거더에 초기 긴장력 도입 이후 90일까지 콘크리트의 시간 의존적 거동에 의해 발생한 텐던력 감소비를 거더의 중앙($x=L/2$), 1/4 ($x=L/4$) 그리고 단부 ($x=0$) 위치에서 나타냈다. Table 3는 초기 긴장력 도입 이후 15일 간격으로 총 텐던력 감소비를 거더의 중앙, 1/4 그리고 단부 위치에 대해 표시하였다. 여기서 0일차는 초기 긴장력 도입 시점을 의미하고 텐던력 감소비는 시간별 텐던 손실력을 초기 텐던력으로 정규화한 값이다. Figs. 4(a), (c), (e)는 시간별 총 텐던력 감소비를 수치해석 결과와 상용해석프로그램 결과와 비교하였다. Table 3에서 전체 기간 동안 최대 상대오차 4 % 이내로 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있다. Figs. 4(b), (d), (f)는 시간 의존 거동에 영향을 주는 인자별로 수치해석과 상용해석프로그램 결과를 비교하였고 중앙부에서 다소 차이가 있으나 나머지 위치에서는 전체적으로 잘 일치하고 있음을 확인할 수 있다. 해석 결과 90일차에 초기 도입 텐던력의 거더의 중앙, 1/4 그리고 단부에서 각각 19 %, 18 % 그리고 17 % 손실이 예측되었다. 모든 위치에서 크리프과 릴렉세이션이 텐던력 감소에 지배적인 영향을 미치는 반면 건조수축의 영향은 미미하였다. 반면, 탄성복원의 경우 텐던력 감소에 일정 정도 저항하는 것으로 확인되었다.

4.1 수치 모사 실험을 위한 설정

Fig. 1과 같이 제작 단계에서 프리팹 PSC 거더에 영구 부착되는 스마트 센싱 시스템의 경우 변형률 측정이 최소한의 개소에서 최적으로 이루어져야 한다. 변형률 데이터를 이용한 캠버 재구성에서 이러한 상황을 고려하여 Fig. 6와 같이 최소한의 센싱 개소만으로 수치 모사 실험을 수행하였다. Fig. 6(a)는 변형률 측정 센서가 거더의 지점부, 1/4 지점, 중앙부의 상하연에 병치된 경우를 나타냈고 Fig. 6(b)는 거더의 지점부와 중앙부의 상하연에 병치된 경우를 나타냈다. 설명의 편의상 Fig. 6(a)와 (b)는 설명의 편의상 각각 5점 병치 센싱과 3점 병치 센싱으로 칭한다. 여기서 3점 병치 센싱이 캠버 재구성을 위한 최소한의 센서 배치가 된다. 초기 긴장력 도입 시 프리팹 PSC 거더의 등가하중모델의 이론적 캠버 형상에 대응되는 곡률이 2차 함수이고 Eq. (20)을 이용하여 곡률 함수를 구하기 위해 최소한 3점 이상의 변형률 병치 센싱이 필요하다. 5점 병치 센싱과 3점 병치 센싱에 대해 캠버 재구성을 수행하고 센서의 개수에 따른 재구성 성능을 분석하였다.

수치 모사 실험을 위한 프리팹 PSC 거더는 2.3절의 30 m 프로토타입 PSC를 사용하였다. Fig. 6의 병치 센서의 위치에서 초기 긴장력 도입부터 90일까지 일별로 Eq. (12)에서 계산된 상·하연 순 변형률을 계측 변형률 데이터로 모사하였다. 수치모사된 변형률 데이터에 측정 오차를 무작위 상대오차 5 %, 10 % 그리고 20 %로 각각 보통, 큼, 매우 큼 수준설정하여 포함시켰다. 일별로 무작위 상대오차를 몬테카를로 모사를 통해 10000회 생성하고 계측 오차가 포함된 변형률 데이터를 이용하여 3장에 제시된 절차를 통해 캠버를 재구성하였다. 재구성된 캠버와의 비교를 위한 캠버의 참값은 Eq. (14)의 일별로 계산된 곡률을 사다리꼴 공식을 이용해 두번 수치 적분하여 구하였다. 이 때 필요한 2개의 적분 상수는 단순지지 조건을 이용하여 계산하였고 수치 적분의 정확도를 위해 $\triangle x_{j-1}=x_{j}-x_{j-1}=L/2000$을 사용하였다. Fig. 7은 캠버 재구성 기법 적용 및 결과 분석에 대한 이해를 돕기 위해 검증예제에서 수행된 수치 모사 실험 전반적인 절차를 제시하였다.

4.2 수치 모사 실험 결과 분석

4.1절에서 기술한 몬테카를로 시뮬레이션에서 재구성된 캠버의 정확도 오차를 일별로 Fig. 8에 나타냈다. 일별 캠버의 정확도 오차는 다음 식을 이용하여 계산하였다.

여기서, $\triangle^{{mean}}$과 $\triangle^{{exact}}$는 각각 일별로 10000회 몬테카를로 모사에서 재구성된 캠버의 평균과 이에 대응되는 캠버의 참값을 나타내고, 아래첨자 $k$와 $l$는 Eq. (18)에 사용된 아래첨자와 같은 의미를 가진다.

일별로 재구성된 캠버의 정확도 오차를 재구성된 위치, 계측점의 개수 그리고 계측 오차 크기에 대해 분석하였다. 재구성된 위치와 계측 오차 크기에 비해 재구성된 캠버의 정확도 오차에 가장 큰 영향을 미치는 요인은 계측점의 개수로 확인되었다. 3점 병치 센싱의 경우 일별로 초기 약 1 %에서 90일경에 약 2 %로 비선형적으로 증가하였고 5점 병치 센싱의 경우 초기 약 1 %에서 90일경에 약 0.5 %로 비선형적으로 감소하였다. 이 현상은 일별로 발생하는 콘크리트의 시간 의존적 비선형 거동에 의해 발생한다. 캠버 재구성을 위해 Eq. (20)에서 가정한 2차 곡률식으로 일별 발생한 시간 의존적 비선형 곡률을 재구성하는 과정에서 편향(bias)이 유발되었다. 그러나 재구성 과정에 발생한 편향이 재구성된 위치, 계측 오차 크기와 관계없이 3점 병치 센싱의 경우 2 %이내이고 5점 병치 센싱의 경우 1 % 이내로 매우 작았다. 재구성된 캠버의 정확도 측면에서 최소한의 계측점의 개수(3점 병치 센싱), 20 %의 매우 큰 측정오차 그리고 콘크리트 비선형 거동에도 불구하고 Eq. (20)의 2차 곡률식에 기반을 둔 캠버 재구성으로 만족스러운 결과를 얻을 수 있었다. 계측점 개수의 측면에서 5점 병치 센싱이 3점 병치 센싱보다 약 2배의 정확도를 보여주고 있다. 따라서, 계측점의 개수를 증가시킴으로써 캠버 재구성의 정확도를 향상시킬 수 있음을 알 수 있다.

몬테카를로 시뮬레이션에서 재구성된 캠버의 정밀도 오차를 일별로 Fig. 9에 나타냈다. 일별로 재구성된 캠버의 정밀도는 다음 식을 이용하여 계산하였다.

여기서, $\triangle^{{std}}$는 일별로 10000회 몬테카를로 모사에서 재구성된 캠버의 표준편차를 나타낸다.

일별로 재구성된 캠버의 정밀도 오차를 재구성된 위치, 계측점의 개수 그리고 계측 오차 크기에 대해 분석하였다. 그 결과 재구성된 위치는 재구성된 캠버의 정밀도에 거의 영향을 미치지 않았다. 반면, 계측점의 개수와 계측 오차 크기가 재구성된 캠버의 정밀도에 영향을 미쳤다. 3점 병치 센싱의 경우 계측 오차 크기 5 %, 10 % 그리고 20 %의 경우 재구성된 캠버의 정밀도 오차가 각각 약 2.5 %, 5 % 그리고 11 % 발생하였다. 5점 병치 센싱의 경우 계측 오차 크기 5 %, 10 % 그리고 20 %의 경우 재구성된 캠버의 정밀도 오차가 각각 약 2 %, 4 % 그리고 8 % 발생하였다. 계측점의 개수와 관계 없이 재구성된 캠버의 정밀도 오차는 계측 오차의 크기에 비례해서 발생하는 것으로 확인되었다. 5점 병치 센싱의 경우 3점 병치 센싱보다 동일한 계측 오차 크기에 대해 향상된 정밀도를 보여주고 있다. 이것은 최소자승법을 통한 곡률 재구성 과정에서 계측점의 개수가 증가할수록 계측 오차 상쇄효과에 의한 것이다. 따라서, 계측점의 개수를 증가시킴으로써 무작위 계측 오차에 대한 캠버 재구성의 정밀도를 향상시킬 수 있음을 확인할 수 있다. 일별 캠버 재구성의 정밀도 오차는 일정하게 유지되고 있는데 이는 시간 의존적 비선형 거동이 정밀도 오차에 영향을 미치지 않기 때문이다.

Figs. 8 and 9의 일별 재구성된 캠버의 통계 분포가 정규분포를 따르면 다음 식으로부터 통계적 유의 수준에 대해 재구성된 캠버의 통계적 정확도를 계산할 수 있다.

여기서, $\sigma$는 통계적 유의 수준에 의해 결정되는데 95 %와 99 % 유의수준의 경우 각각 1.96과 2.58이 된다. 만약 Fig. 8과 같이 $\dfrac{\triangle_{k,\: l}^{{mean}}-\triangle_{k,\: l}^{{exact}}}{\triangle_{k,\: l}^{{exact}}}\approx 0$이면 Eq. (25)은 다음과 같이 근사적으로 표현할 수 있다.

Fig. 10은 99 %와 95 %의 통계적 유의 수준에 대해 재구성된 캠버에 대해 Eq. (26)으로 구한 통계적 정확도를 나타냈다. 통계적 유의수준이 주어지는 경우 재구성된 캠버에 대한 통계적 정확도는 Fig. 9의 재구성된 캠버의 정밀도 오차에 의해 결정된다. 정밀도 오차는 재구성된 위치와는 영향을 받지 않기 때문에 거더의 중앙점에 대해서만 나타냈다. 3점 병치 센싱의 경우 계측 오차 크기 5 %, 10 % 그리고 20 %의 경우 재구성된 캠버의 통계적 정확도는 유의수준 95 %에 대해 각각 약 94 %, 89 % 그리고 79 %이고 유의 수준 99 %에 대해 각각 약 93 %, 86 % 그리고 72 %이다. 5점 병치 센싱의 경우 계측 오차 크기 5 %, 10 % 그리고 20 %의 경우 재구성된 캠버의 통계적 정확도가 유의수준 95 %에 대해 각각 약 96 %, 92 % 그리고 84 % 이고 유의 수준 99 %에 대해 각각 약 94 %, 89 % 그리고 79 %이다. Table 4에 제시된 것과 같이 보통 수준으로 설정된 계측 오차 5 %에 대해서 계측점의 개수에 관계없이 통계적 유의 수준 99 %에 대해 재구성된 캠버의 통계적 정확도가 90 %이상으로 평가되었다. 매우 큰 수준의 계측와 20 %에 대해서 최소한의 3점 병치 센싱만으로 통계적 유의수준 95 %에서 통계적 정확도가 약 80 % 수준으로 평가되었다. 최소한 계측점(3점 병치 센싱)을 활용하는 경우에도 제안된 캠버 재구성 기법은 매우 높은 통계적 신뢰도로 정확한 결과를 산출하였다.