2.1 Modified Concrete Constitutive Law by Mander Equation

Mander에 의한 콘크리트 응력-변형률 모델을 횡보강근으로 횡구속된 콘크리트의 최대응력 시 횡보강근 항복을 가정하여 모델로 띠철근 또는 나선철근으로 횡구속된 사각단면과 원형단면 콘크리트의 횡구속효과에 관한 연구에서 도출되었다. 이는 콘크리트 압축강도가 27~40 MPa, 횡방향 철근의 항복강도가 260~360 MPa인 횡구속된 콘크리트의 일축 압축실험결과를 토대로 콘크리트의 횡구속성능 평가모델을 제안하였다.

해당 모델은 Fig. 1에서 나타낸 바와 같이 횡보강근으로 횡구속된 콘크리트는 최대응력과 최대응력 시 축방향 변형률이 증가하고 최대응력 이후 연성거동을 하는 것으로 평가하였다. 횡구속된 콘크리트의 응력-변형률 곡선을 무보강 콘크리트와 횡구속된 콘크리트의 탄성계수 비에 의하여 조절이 가능하도록 구성하였으며, 전반적인 응력-변형률 거동을 하나의 식으로 구성하여 제안하였다.

Mander의 콘크리트 응력-변형률 거동 예측식은 다음과 같다.

여기서 $f_{cc}'$는 구속 콘크리트의 최대강도(MPa), $\epsilon_{c}$는 콘크리트의 축방향 압축변형률, $\epsilon_{cc}$는 구속콘크리트의 최대축변형률, $x$는 변형률 계수, $r$은 곡률계수. $E_{c}$는 무근콘크리트의 탄성계수, $E_{\sec}$는 구속된 콘크리트의 탄성계수를 나타낸다.

최대축변형률을 구하는 식은 다음과 같다.

여기서 $\epsilon_{co}$는 무근콘크리트의 최대하중상태에서 변형률이며 0.002를 나타낸다.

위 식 (2)와 ^{Mander 모델(1988)}을 이용하여 구속콘크리트의 최대응력($f_{cc}'$)은 식 (3)과 같이 도출된다.

여기서 $f_{co}'$는 무근콘크리트의 압축강도, $f_{l}'$ 무근콘크리트의 유효 횡구속압을 나타낸다.

Mander는 횡구속된 콘크리트의 단면 크기 및 형태와 횡보강근의 직경 및 간격의 영향에 따른 유효 횡구속압을 다음과 같이 제안하였다.

여기서 $k_{e}$는 유효 횡구속 계수, $\rho_{s}$는 횡보강근비, $\rho_{x}$는 x 방향의 횡보강근비, $\rho_{y}$는 y 방향의 횡보강근비, $f_{yh}$는 횡보강근의 항복강도를 나타낸다.

식 (4)와 (5)의 $k_{e}$는 유효 횡구속 계수로 Fig. 2에 나타낸 바와 같이 횡보강근 사이에서 콘크리트의 박리가 약 45도의 초기 경사를 가지는 포물선의 형태로 일어난다고 가정하여 횡보강근으로 횡구속된 콘크리트의 전 단면적 $A_{cc}$와 코어콘크리트의 유효 단면적 $A_{c}$의 비로 구성된다.

여기서 $s'$은 횡보강근의 순간격이다. 식 (6)과 (7)에 의한 띠철근으로 횡구속된 콘크리트의 유효 횡구속계수 $k_{e}$는 다음과 같다.

여기서 $\rho_{cc}$는 주철근의 체적비를 의미하며 나선철근으로 횡구속된 콘크리트의 유효 횡구속계수 $k_{e}$는 다음과 같다.

띠철근 및 나선철근으로 횡구속된 콘크리트의 유효 횡구속단면적에 대하여 이론을 정립한 Mander 모델은 일반강도 콘크리트에 기초하고 있어 본 연구에 적용하기 타당하다.

2.2 FE modelling

앞서 언급한 횡보강재로 구속된 콘크리트의 거동을 구현하기 위해 ABAQ-US의 material library(ABAQUS Documentation Version 6.14)에서 제공하는 Concrete Damaged Plasticity(이하 CDP) model을 콘크리트 재료 모델로 사용하였다. 외력에 의한 구조적 강성의 저하를 평가하는 데 적합한 CDP model은 콘크리트의 소성 변형에 기초한 연속 파괴 모델이다. 해당 모델은 인장 균열과 압축 파괴를 콘크리트 요소의 주요 파괴 매커니즘으로 가정하며. 콘크리트 균열의 진행은 인장 및 압축 등가 소성 변형률(PEEQ)을 의미하는 두 가지 변수에 의해 제어된다. CDP model의 응력-변형률 관계식는 다음과 같다.

여기서 $\epsilon$과 $\epsilon_{p}$는 콘크리트의 변형률과 소성 변형률, $\sigma$는 하중에 대한 콘크리트의 응력이다. $\chi$는 0(파괴 발생 이전)에서 1(파괴 발생 이후)까지의 파괴 변수이며 $E_{0}$는 해당 콘크리트의 초기탄성 계수이다. 본 모델에서 콘크리트 파괴 변수 $\chi$는 다음과 같이 주어진 flow potential($G$)과 yield surface를 사용하여 표현되며, 다음의 식으로 정의된다.

여기서 $\in$는 flow potential eccentricity이며, $\sigma_{t0}$는 콘크리트 파괴 시 단축 인장 응력, $\psi$는 콘크리트 팽창 각도, $\overline{q}$는 von-Mises 등가 유효 응력이다.

CDP 모델에서 콘크리트의 항복에 대한 기준은 다음과 같은 식에 의해 표현된다.

여기서 $\overline{\sigma_{\max}}$는 최대 주 유효응력이다. $\sigma_{b0}/\sigma_{c0}$는 초기 단축 압축 항복 응력에 대한 초기 등이축 압축 항복 응력 비이다. $\overline{\sigma_{c}}$ 및 $\overline{\sigma_{t}}$는 각각 유효 압축 및 인장응력에 의한 전단 마찰 내력이며, $K_{c}$는 compressive meridian에 대한 tensile meridian의 응력 텐서의 비이다. 본 연구에서 콘크리트와 철근의 재료 모델로 사용된 CDP 모델의 주요 입력 변수의 값은 Table 1과 Table 2에 나타내었다.

3.1 해석 모델 검증

횡방향 보강 철근의 배근 형태에 따른 압축 부재의 성능 평가에 앞서 구축된 해석 모델의 신뢰도를 높이기 위해 실험과 해결 결과 데이터를 비교하였다. 다음 Fig. 3, 4는 시험체별 발생 응력-변형률 데이터를 의미하며 50, 100, 150 mm은 횡방향 철근 간격을 의미한다. Table 3은 시험체 파괴 발생 시 주철근의 축방향 변형률을 비교하였다.

3.2 소산 에너지

횡방향 철근의 구속 효과에 따른 콘크리트의 연성화 효과를 평가하기 위해 시험체 별 소산된 에너지 비교하였다. 앞서 언급한 유효 응력 단면적의 증가는 구조물의 연성 확보에 중요한 영향을 미치며, 이는 콘크리트 균열 시 소산되는 에너지 감소로 이어지게 된다. 다음 Fig. 5는 각 시험체 별 압축응력에 의해 파괴 발생 시 소산 에너지를 나타낸다.

각 시험체 별 압축력에 의한 기둥의 파괴 발생 시 소산된 에너지 비교 결과 위와 같은 결과는 RC 기둥의 축방향 압축력 작용 시 횡방향 보강 철근의 형상에 기인된 것으로 판단된다. 띠철근 보강 기둥의 경우 부재의 탄성구간 이후 횡방향으로 구속시켜주는 띠철근 간격 사이로 콘크리트에 박리현상(Spalling Effct)이 발생하여 주철근이 좌굴되면서 기둥의 강성이 급격히 저하되게 된다. 나선철근 보강 기둥의 경우 탄성거동 이후 피복 콘크리트가 박락되더라도 연속적으로 배근된 철근에 의해 종방향 철근과 횡방향 철근이 우리(cage)를 형성하여 구속효과를 유지하게 되며 콘크리트의 취성파괴 발생이 방지된다.

3.3 실구조물 FEM 적용

기둥의 지진하중에 의해 파괴 방지 효과를 확인하기 위하여 ABAQUS를 이용한 실제 구조물 내진성능 해석을 진행하였다. 실제 구조물 대상으로 창촌교를 선정하였으며 Table 4와 같이 창촌교 콘크리트의 강도, 철근비, 철근 간격 등을 고려한 사각, 원형기둥에 띠철근, 나선철근을 대입하여 EL-Centro Earthquake 지진파를 Implicit Euler’s Method를 이용해 내진성능 해석하였다. 이때 EL-Centro Earthquake 지진파의 PGA(Peak Ground Acceleration)은 0.348 g을 사용하였다.

실제 구조물 창촌교를 대상으로 내진성능 해석의 결과는 Fig. 6과 같이 나온다. Fig. 5와 반대의 결과값을 갖는데 이러한 이유는 Fig. 5는 기둥이 파괴가 일어날 때까지의 소산에너지를 측정하였고 Fig. 6은 실제구조물에 적용하였기 때문에 구조물의 파괴가 적게 일어난다는 판단을 할 수 있다. 그 결과 각형 기둥보다 원형 기둥이 더 좋은 결과값이 갖고 띠철근 보다 연속횡방향철근이 더 좋은 연성을 가져 반복하중에 의해 쉽게 파괴되는 것을 방지하는 결과를 가지는 것으로 나온다.