2.2.1 지역적 민감도 분석(RSA)

지역적 민감도 분석은 전역적 민감도 분석 중 몬테카를로 모의를 기반으로 하는 MCF(Monte Carlo Filtering) 기법 중 하나로, 수문학 분야에서 다양하게 적용되어 왔다^{(Gupta et al., 2006; Lence and Takyi, 1992; Pappenberger et al., 2005; Sieber and Uhlenbrook, 2005)}. RSA의 분석 과정은 다음과 같다. 다수의 매개변수 세트를 생성해 모의 후, 통계적 평가 기준을 통해 우수한 모의 결과(behavioural)와 우수하지 않은 모의 결과(non- behavioural)로 나누어 각각의 매개변수에 대해 두 집단의 누적 분포함수의 차이를 그래프 등으로 도식화하거나 K-S검정 통계량으로 산정하여 민감도 지수로써 활용한다. K-S검정 통계량을 활용한 RSA 산정식은 Eq. (1)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $"sup"$은 최대수직거리(maximum vertical distance)를 의미하며, $F_{x_{i} | y_{b}}$및 $F_{x_{i} | y_{nb}}$는 입력 표본 $x_{i}$가 각각 behavioural과 non-behavioural에 해당할 때의 경험적 누적 분포함수를 의미한다. 본 연구에서는 이동 창 기법을 활용하여 창을 1일 단위로 이동하며, 연속 31일의 입력자료를 통해 1개의 민감도 지수를 추출하여 총 16,421개의 민감도 지수를 산정하였다. 지역적 민감도 분석의 흐름도는 Fig. 2에 도시하였다. 이동창 기법을 활용하여 산출된 민감도 지수와 더불어 수문기상인자(강수량, 증발산량, 기온)자료 또한 이동 창 기법을 활용하여 평균하였으며, 산출식은 다음의 Eq. (2)과 같다.

$w$는 창의 크기를 의미하며, 본 연구에서는 $w=15$(일)로 설정하여 해당 날짜의 앞, 뒤로 15일씩 총 31일 간의 자료를 대상으로 계산을 수행하였다. $x_{t}$는 $t$시점에서의 민감도 지수 및 수문기상인자 관측값을 의미한다. 위의 4가지 자료를 입력자료로 군집화를 수행하여 계절 분리의 기준을 선정하였다.

Fig. 2. Flowchart of Regional Sensitivity Analysis

2.2.2 자기조직화 지도(Self-Organizing Map)

Self-Organizing Map(SOM)은 Kohonen(1982)에 의해 고안된 인공신경망의 일종으로, 자료의 차원축소 혹은 고차원 자료의 위상 특징(topology)을 보존하며 시각화하는데 탁월한 기능을 지닌 군집화 기법이다^{(Murtagh and Hernández-Pajares, 1995)}. SOM은 복잡하거나 비선형적인 관계를 가진 자료의 군집화 성능이 우수한 특징을 가지고 있어 수자원 및 수문학 분야에 다수 적용되어 왔다^{(Hall and Minns, 1999; Lin and Chen, 2006; Liong et al., 2000)}.

SOM 알고리즘을 간략히 설명하면 다음과 같다. SOM은 입력층(input layer)과 경쟁층(competitive layer) 두 가지의 층으로 구성되며, 입력층에는 n개의 입력 벡터 $x_{n}$이 존재하고 경쟁층에는 사용자가 미리 설정한 군집의 수만큼 노드가 존재한다. 각각의 경쟁층 노드 $i$에는 가중치 벡터 $m_{i}$가 존재하며, $m_{i}=\left[\mu_{i,\: 1},\: \mu_{i,\: 2},\: ...,\:\mu_{i,\: n}\right]^{T}$이다. 여기서, $T$는 총 학습을 위한 반복 횟수를 의미한다. 두 층은 가중치 $\mu_{"i,\: n"}$로 서로 연결되어 있으며, 경쟁 학습을 통해 승자 독식 방식에 따라 경쟁층 노드에서 입력 벡터와 가중치 벡터의 거리가 가장 가까운 노드(best matching unit, BMU)를 선정한다.

SOM 알고리즘은은 입력층(input layer)과 경쟁층(competitive layer)로 구성되어 있어, 입력층에는 n개의 입력벡터($x_{n}$)로, 경쟁층은 연구자가 설정한 군집 수 만큼의 노드가 설정되어있다. 경쟁층 노드($i$)에서는 가중치 벡터($m_{i}$)가 입력층과 연결하여 경쟁 학습을 통해 입력 벡터와 가중치 벡터의 거리가 가장 가까운 노드(best matching unit, BMU)를 선정한다.

여기서, $d(x,\: m_{i})$는 입력 벡터와 가중치 벡터의 유클리드 거리로 산정한다. BMU가 선정되면 이웃 함수(neighborhood function) $h_{ci}$를 활용하여 주변의 일부 이웃 노드의 가중치 벡터($m_{i}$)가 갱신되며, 네트워크가 수렴할 때까지 반복된다.

군집화 성능을 평가하기 위하여 실루엣 계수를 활용하였다. 실루엣 계수는 군집 내의 유사도와 인접한 군집의 유사도를 비교하여 군집화를 평가하는 지표로, $i$번째 지점의 실루엣 계수 $s(i)$는 Eq. (4)와 같이 산정가능하다.

여기서 $a(i)$는 $i$번째의 점과 같은 군집 내의 점들과의 평균 거리, $b(i)$는 $i$번째 점이 속하지 않은 군집 중 가장 가까운 군집과의 평균 거리를 의미한다. 실루엣 계수는 -1에서 1 사이의 범위에 속하며, 1에 가까울수록 우수한 결과이며, 그래프로 도시하였을 때, 그래프 모양이 완만할수록 성능이 우수함을 나타낸다.

2.3.1 SCEM-UA 기법

SCEM-UA 기법은 SCE-UA 기법에 병렬 시퀀스와 MCMC (Metropolis Monte Carlo Markov Chain)를 도입함으로써 최적 매개변수의 추정 과정이 개선된 모형이다^{(Duan et al., 1992; Feyen et al., 2007; Vrugt et al., 2003)}. 현재 수자원 분야에서 SCEM-UA 알고리즘은 주로 수문모형의 매개변수 산정을 위한 도구로써 활용되고 있으며, Bayesian 기법을 통해 내재된 불확실성을 추정할 수 있는 장점이 있다. SCEM-UA 알고리즘은 다음과 같이 간략히 나타낼 수 있다.

1. 사전분포에서 s개의 무작위 표본$\left\{\left.\theta_{1},\: \theta_{2},\: ...,\:\theta_{s}\right\}\right.$을 추출하여 각각의 사후분포$\left\{p(\theta^{(1)}|y),\: p(\theta^{(2)}|y),\: ...,\: p(\theta^{(s)}|y)\right\}$를 산정한다. 사전분포는 정보가 없다고 가정하여 매개변수 범위 내에서 uniform 분포를 따르며, 이에 따라 사후분포는 다음과 같은 Eq. (5)으로 산정할 수 있다^{(Box and Tiao, 1973)}. 여기서 e는 독립오차벡터, 본 연구에서는 목적함수를 의미한다.

2. s개의 사후확률을 내림차순으로 정렬하여 배열 D[1:s, 1:n+1]에 저장한다. 여기서 n은 매개변수 개수를 의미한다.

3. $S^{k}$는 D[k, 1:n+1], (k=1, 2, ..., q)과 같이 병렬시퀀스(parallel sequence)의 시작점 $S^{1},\: S^{2},\: ...,\: S^{q}$을 초기화한다.

4. 배열 D의 점들을 각각 m개의 표본을 가진 q개의 복합체$C^{1},\: C^{2},\: ...,\: C^{q}$로 나눈다.

5. 각각의 병렬시퀀스는 SEM(Sequence Evolution Metropolis) 알고리즘에 따라 갱신된다. (SEM 알고리즘은 복합체 내 m개의 표본에서 얻을 수 있는 적응 제안(adaptive proposal) 분포를 통해 각각의 병렬시퀀스에서 새로운 후보점을 생성하는 과정이다.)

6. 갱신된 모든 복합체 C를 사후확률이 감소하는 순서로 정리하여 D에 저장한 뒤, 4단계와 같이 q개의 복합체로 다시 섞는다(reshuffle).

7. Gelman and Rubin(GR) 수렴 조건을 만족하는지 확인한다. 만족하지 않으면 5단계로 돌아가 만족할 때까지 반복한다.

2.3.2 SCEM-UA 목적함수 선정

매개변수 자동보정은 사용된 목적함수에 따라 모의 특성이 좌우되므로, 목적에 따라 적절한 목적함수를 적용하는 것이 중요하다(Gupta et al., 1999; Yapo et al., 1996). 다양한 모형 성능평가 기준 중 NSE(Nash-Sutcliffe Efficiency)는 값에 대한 광범위한 정보를 제공하여 수문모형의 검보정에 가장 널리 사용되는 목적함수이다^{(Ewen, 2011; Gupta et al., 2009; Moriasi et al., 2007; Pushpalatha et al., 2012)}. 대표적으로, ASCE^{(American Society of Civil Engineers, 1993)} 및 ^{Legates and McCabe(1999)}는 NSE를 사용하도록 권장하였다. Eq. (6)는 NSE의 수식을 나타내며, $Obs_{i,\: s}$는 계절 $s$에 해당하는 연속된 시계열 $i$번째 관측유량을 의미하며, $sim_{i,\: s}$은 동일한 시점의 모의유량을 의미한다.

KGE(Kling and Gupta Efficiency)는 관측 수문곡선의 변동성이 과소평가되는 경향을 지닌 NSE의 단점을 개선하기 위해 개발되었다^{(Gupta et al., 2009)}. ^{Gupta et al.(2009)}는 기존의 NSE를 세 가지의 성분(상관계수, 변동성, 편이)으로 분해하여 문제점을 분석하였으며, 세 가지 요소를 균형있게 고려하도록 수정하였다. NSE는 전체 자료기간 중 일부 홍수 기간의 모의 결과에 지배적으로 영향을 받는데 비하여, KGE는 비강우 기간에 대한 모의 성능 비교 또한 가능하기 때문에 최근 수문학적 모형 보정 연구에서 다수 활용되고 있다(Becker et al., 2019; Hirpa et al., 2018; ^{Kling et al., 2012; Quintero et al., 2020)}. KGE 또한 1에 가까울수록 모형의 성능이 높음을 의미한다. Eq. (7)은 KGE를 목적함수로 선정하여 최대화하는 수식을 나타낸다.

여기서, $r$은 모의값과 관측값의 상관계수(correlation coefficient), $\alpha =\sigma_{s}/\sigma_{o}$는 변동성(variability)으로 모의값의 표준편차 $\sigma_{s}$와 관측값의 표준편차 $\sigma_{o}$의 비율로 나타내며, $\beta =\mu_{s}/\mu_{o}$는 편이(bias)로 모의값의 평균 $\mu_{s}$와 관측값의 평균 $\mu_{o}$의 비율로 나타낸다.

2.3.3 매개변수 최적화 성능 평가

유출 모의 결과에 대한 성능을 평가하기 위하여 강우-유출 모형에서 주로 활용하는 보정 및 검증기간에 대한 모형을 평가를 수행하였다. 매개변수 최적화는 기반을 분리하여 자료의 연속성을 위하여 명확한 계절성을 가진 자료의 구간을 나누어 통계적 특성을 산정하고 최종적으로 전체 구간에 대한 평균으로 성능을 평가하였다. Table 3은 ^{Moriasi et al.(2015)}가 제시한 유출 모형의 정량적 기준으로, 모형의 성능평가를 수행하였다.

유황곡선을 활용하여 목적함수에 따른 모의 유량의 적합성을 평가하기 위하여 AIC(Akaike Information Criterion) ^{(Akaikei, 1973)} 및 BIC(Bayesian Information Criterion) ^{(Schwarz, 1978)}를 활용하였으며, 우도함수의 추정이 어려운 강우-유출 모형의 특성을 고려하여 오차(error)의 우도함수는 평균이 0이며, 분산이 $\sigma_{\epsilon}^{2}$인 정규분포를 따른다고 가정하였다. 오차분포의 정규분포 가정은 Eqs. (8)~(9)와 같으며, AIC 및 BIC의 우도함수는 Eq. (10)를 통해 산정하였다.

AIC는 모형의 적합도를 나타내는 우도와 매개변수 개수를 함께 고려하여 정보의 총량을 정량적으로 표현할 수 있으며, BIC 통계량은 우도와 매개변수의 개수와 더불어 표본의 크기(n)까지 고려하여 추정된다. AIC 및 BIC 모두 산정 결과가 작을수록 적합한 모형임을 의미한다. AIC와 BIC 산정식은 Eqs. (11)~(12)과 같이 나타낼 수 있으며, 여기서 k는 매개변수 개수이며, $\hat{L}$은 우도함수를 의미한다.

4.2.1 목적함수 NSE를 활용한 보정 결과

먼저 전체 기간에 대하여 목적함수 NSE를 적용하여 고유의 매개변수를 산정하는 기존의 보정방법의 성능을 살펴보면, 보정 기간을 기준으로 Warm 기간의 NSE 결과는 0.85로 ‘매우 좋음’에 해당하는 반면, Cold 기간의 NSE는 0.26으로 ‘불만족’에 해당하는 것을 확인하였다. 계절별 구간을 나눈 보정 결과를 살펴보면, Warm 기간의 보정 및 검증 기간에서는 통계 값의 큰 차이가 없어 유의한 변화를 확인하지 못하였다. 반면 Cold 기간에 대하여 최적화한 결과에서는 보정 및 검증 기간에서 모든 통계적 기법의 성능이 향상되었으며, 검증 기간의 NSE가 정량적인 기준으로‘만족’에 해당하며, R²또한 보정 및 검증 기간의 정량적인 기준이 ‘불만족’에서 ‘만족’으로 향상되어 모의 성능이 개선되었음을 확인하였다. Fig. 6 및 Fig. 7에서는 각각 Warm 기간과 Cold 기간을 분리해 일 단위 수문곡선을 이어붙여 기존의 최적화 결과와 비교하여 도시하였다. Table 4 및 Table 5에는 계절별 통계분석 결과를 나타내었다.

Fig. 6. Comparison of Observed and Simulated Flows Using the Overall (upper) and Warm Period Partial (lower) Data with NSE as an Objective Function

Fig. 7. Comparison of Observed and Simulated Flows Using the Overall (upper) and Cold Period Partial (lower) Data with NSE as an Objective Function

4.2.2 목적함수 KGE를 활용한 보정 결과

기존의 보정방법인 전체 기간에 대하여 목적함수 KGE를 적용하여 최적화를 수행한 결과를 살펴보면, Warm 기간의 NSE 결과는 0.83으로 ‘매우 좋음’에 해당하는 반면, Cold 기간의 NSE는 0.05로 ‘불만족’에 해당하여 계절별 적합 정도의 차이가 상당히 큰 것을 확인하였다. 또한 앞서 확인하였듯이 목적함수로 NSE를 활용하여 전체기간에 대하여 보정한 결과에 비하여 Cold 기간의 NSE가 0.1을 하회하여 성능이 유독 더 좋지않음을 확인하였다. 구간을 나눈 보정 결과, Warm 기간의 보정 및 검증 기간의 모든 지표 결과가 향상되어 목적함수를 NSE로 활용하여 계절 보정을 적용한 결과보다 성능이 약간 개선되었음을 확인하였다. Cold 기간에서는 모든 지표 결과가 크게 증가하여 성능이 상당 부분 향상되었음을 확인하였으나, 검증 기간의 R²을 제외하면 여전히 정량적 지표 기준의 ‘불만족’에 해당함을 확인하였다. Fig. 8 및 Fig. 9에서는 각각 Warm 기간과 Cold 기간을 분리한 뒤 해당 기간의 일 단위 수문곡선을 연결하여 기존의 최적화 결과와 비교하여 도시하였으며, Table 6 및 Table 7에는 계절별 통계분석 결과를 나타내었다.

Fig. 8. Comparison of Observed and Simulated Flows Using the Overall (upper) and Warm Period Partial (lower) Data with KGE as an Objective Function

Fig. 9. Comparison of Observed and Simulated Flows Using the Overall (upper) and Cold Period Partial (lower) Data with KGE as an Objective Function