3.1 유한 요소 메쉬 모델링(Finite Element Mesh Modeling)

본 논문에서는 상용 유한 요소 해석 프로그램인 ^{COMSOL Multiphysics®(2023)}를 사용하여, 전극과 지하매설물의 기하학적 매개 변수 해석에 따른 전기저항 변화를 정량적으로 분석하였다. 전위차로 인한 전류 흐름을 발생시키기 위한 프로그램에 내재된 DC(Direct Current) 모듈과 시간에 따라 전류의 세기와 방향이 일정한 정상 직류 상태를 구현하기 위한 Electric Currents의 Stationary 기능을 사용하였다.

메쉬(mesh) 모델링은 해석의 정확도와 소요 시간에 직접적인 영향을 미치며, 특히 불규칙한 메쉬는 전기저항값과 적절한 전기장 분포를 형성하는데 방해를 야기한다. 전극, 지하매설물 그리고 이들의 주변을 포함한 도메인을 효율적으로 일정한 메쉬로 형성하기 위해서, 프로그램에 내재된 Mapped와 Swept 기능을 사용하였다. Mapped 기능으로 전체 도메인의 경계면을 형성하고, 각 경계면에 대한 요소들의 개수들을 조절하였다. 또한, Swept 기능을 이용하여, 마주보는 내부 경계면 사이 요소들을 생성하였다. Fig. 1은 전체 해석 도메인에서 전극 주변과 지하매설물에 생성된 메쉬를 보여준다. 우선, Fig. 1(a)에서 보이는 바와 같이, 전체 해석 도메인 크기는 W 30 m×H 20 m×D 30 m로 하였고, 지하매설물은 두 개의 전극과 수직을 이루는 방향으로 도메인 경계면까지 모델링을 하였다. 다음으로, Fig. 1(b)에서 보이는 바와 같이, 너비 W는 총 4개의 구역(We, WD, W1, W2)으로 나누었다. We는 전극을 포함하는 격자로 0.05 m/element(이하 m/elt)의 일정한 요소 당 크기로 조밀하게 형성하였으며, WD는 원기둥형 지하매설물의 곡면 형상을 위해 0.2 m/elt에 가까운 요소 크기를 구성하였다. W1과 W2는 0.5 m/elt에 가까운 크기를 가지도록 메쉬를 형성하였다(WD, W1 그리고 W2의 전체 길이는 지하매설물의 직경, 이격거리 그리고 두 전극 사이 거리에 따라 변화하지만, 각각에 대한 요소 당 길이는 일정함). 길이 D는 총 2개의 기호(D1 그리고 We)로 구성되었으며 D1은 너비 방향의 요소들과 동일하게 0.5 m/elt에 가까운 크기로 형성하였다. 또한, Fig. 1(c)에서 보이는 바와 같이, 깊이 H는 총 5개의 구간(H0, H1, WD, H2, 그리고 H3)으로 구성되었다. H0는 전극의 원기둥 부분 l(= 0.1 m)과 콘 팁 부분 h(= 0.05 m)으로 각각 1개의 요소로만 형성되었으며, H1과 H2는 0.2 m/elt에 가까운 크기를 가지는 요소들로 구성하였고, H3은 수치해석의 소요되는 시간을 줄이기 위해 등비수열을 이용하여 최소 0.2 m/elt에서 최대 2.0 m/elt로 메쉬의 크기를 조절하였다. 마지막으로, Fig. 1(d)에서 보이는 바와 같이 전극 주변의 메쉬는 전극의 동심원으로 인한 불규칙한 메쉬의 영향을 줄이기 위해서 전극을 포함하는 We구역을 직선 형태의 조밀한 격자로 구성하였으며, 전극을 둘러싼 메쉬는 총 16개의 요소로 구성하였다. 접지와 터미널 전극 사이의 전위차로 인한 전기저항 해석 시간을 줄이기 위하여 두께 5 mm인 내부가 채워지지 않은 형태로 전극들을 형성하고, 대신에 전극의 표면에 전기적 경계 조건(Ground와 Terminal)들을 설정하였다. 앞에서 언급한, 전극과 지하매설물 주변에 각각 형성된 정량화된 메쉬를 Fig. 2(e)에 정리하였다.

Fig. 1. Generated Mesh and Generalized Mesh Size Proposed in this Paper: (a) Generated Mesh on the 3D Domain, (b) Top View, (c) Side View, (d) Electrode, (e) Generalized Mesh Size

3.2 전기저항 입력 물성치 및 매개 변수

전극의 전기비저항은 현장 전기비저항 탐사에서 사용되는 ASIS 303 Stainless(ρe=5×10-7Ω·m) 재질^{(Ho and Chu, 1977)}과 지하매설물의 전기비저항(ρ2=107Ω·m)은 PVC관의 값을 입력하였다^{(Ramesh and Arof, 2000)}. 또한, 지반의 전기비저항 입력값 (ρ1=103Ω·m)은 간극비 0.4와 함수비가 14%인 포화된 모래로 하였다^{(Yamasaki et al., 2014)}. 전기적 경계조건으로 터미널 전극에 1 V를 가압하여 접지 전극과의 전위차를 1 V로 고정하였다. 전극과 지하매설물의 기하학적 매개 변수는 두 전극 간 거리 L, 지하매설물의 매설 깊이 d, 직경 D 그리고 이격거리 u를 포함하여 총 39 케이스들에 대해서 수치 해석을 수행하였다. 전극 크기와 전극 간격은 실제 현장 전기비저항 탐사에서 사용되는 값들을 사용하였다. 또한, 매설물 크기와 직경은 매설된 지하매설물 종류(예, 하수도관, 상수도관, 전력구)들을 분석하여 선정하였다. 전극과 지하매설물의 기하학적 매개 변수와 전기적 물성치들은 Table 2에 정리하였다.

4.1 전기저항 수치 해석 모듈 검증: 예비 수치 해석

전극과 지하매설물 주변에 정량화된 메쉬를 적용하고, 지하매설물을 지반으로 간주하여, 예비 수치 해석을 수행하였다(지하매설물 메쉬에 지반 전기비저항값을 입력함). Fig. 2는 콘형 팁을 가진 원기둥 전극에 대한 전기저항 이론식(Table 1(d) 참조)과 수치 해석을 두 전극 사이의 거리 L에 따라 비교한 결과와 터미널 전극 주변에 형성된 등표면 전기저항을 보여준다. 두 전극 간 거리 L가 증가할수록 전기저항은 증가하지만, 증가량이 급격히 감소하며 L=1 m 이후부터는 점차 수렴하는 경향이 나타났다. 이론식과 수치 해석에서 얻어지는 각각의 저항값 차이를 다음 식을 이용하여 정량적으로 계산하였다.

여기서, RThoery [ ]는 이론식으로 계산된 저항값, RNum [ ]는 수치 해석에서 얻어진 저항값, 그리고 Error [ ]은 오차를 의미한다. Fig. 2(a)에서 보이는 바와 같이, 오차는 모든 거리 L에서 0.005 미만의 매우 작은 오차가 발생하였다. 본 연구에서 제안한 정량화된 메쉬는 유한 요소 메쉬로 인한 오차를 최소화했으며, 사용한 수치 해석 도메인 크기는 발생한 전류 흐름과 등전위면 형상이 경계 근처에서 영향받지 않을 만큼 충분함을 확인하였다(경계면 근처에서 전류 흐름이 방해를 받는 전기적인 경계 영향은 ^{Hong et al., 2019} 참조). 또한, Fig. 2(b)에서 전극 주변의 등표면 전기저항은 정상 직류 상태 해석으로 인해 전극의 모든 부분에서 표면에 동일한 평균 전기저항값을 보인다. 추가적으로, 지반 내에 형성된 전위와 전류밀도 분포를 전극 주변에서만 확대(2.5 m×5 m)하여 Fig. 3에 도시하였다. 균질한 매질에서 두 전극의 전위차로 인해 전위와 전류밀도는 대칭적인 분포를 형성한다. 또한, 전위는 Terminal 전극 바닥면에서 약 0.7 m 떨어진 지점(= 0.53 V)까지 급격한 전압 강하로 인해서 조밀한 분포를 보이며, 더 깊은 깊이에서는 상대적으로 작은 전압 강하와 느슨한 전위 분포를 보인다. 단위 면적당 전류가 흐르는 양을 나타내는 전류밀도는 전극 옆면을 따라서 흐르는 전류의 양이 전극 바닥면보다는 크므로, 전극이 설치되어 있는 얕은 깊이일수록 전류밀도가 상대적으로 크게 나타났다. 이와 같이, 예비 수치 해석 결과 및 분석을 통해서 본 연구에서 개발된 전기저항 수치 해석 모듈의 신뢰성을 검증하였다.

Fig. 2. Comparison of Theoretical Electrical Resistance and Numerical Result: (a) Evolution of Electrical Resistance with Respect to Electrode Distance, (b) Selected Isosurface Electrical Resistance

Fig. 3. Distributions of (a) Electric Potential, (b) Current Density on the Selected Domain (2.5 m×5 m). The Current Flows from the Terminal Electrode (Right Side) to the Ground Electrode (Left Side). Case is the Distance between Electrode L=5 m and the Electrical Resistance R=5298 Ω

4.2 전극과 지하매설물의 기하학적 매개 변수 해석 결과

지하매설물 깊이와 직경 그리고 전극과 지하매설물 사이의 이격거리를 포함한 매개 변수 해석 결과를 분석하였다(Fig. 4). 우선, Fig. 4(a)는 두 전극의 중간 지점(u=0.5L)에 지하매설물(직경 D=0.6 m)이 매설된 경우에 매설 깊이 d에 따른 전기저항 변화를 보여준다. 모든 경우에 매설 깊이 d가 깊어질수록, 전극 사이 간격에 상관없이 전기저항은 감소하였다. 전기저항 감소량은 매설물 깊이 d=1 m까지 급격하게 감소하였지만, 그 이후부터는 지하매설물이 없는 조건에서 해석한 경우에서 얻어지는 전기저항값에 점차 수렴하였다. 전기저항값이 수렴하는 지하매설물 깊이는 전극 사이 간격이 가까울수록 더 깊은 매설물 깊이에서 수렴하였다(전극 사이 간격 L=0.9 m인 경우에는 매설 깊이 d=3.5 m 수렴하였지만, L=2 m일 때에는 상대적으로 얕은 깊이 d=1 m에서 수렴함). 이는 더 깊은 깊이까지 지하매설물을 탐지하기 위해서는 전극 사이 간격을 최소화시켜야 함을 의미한다. 또한, 동일한 지하매설물 깊이에서는 전극 사이 거리가 증가할수록 전기저항값이 증가하였다.

Fig. 4(b)는 지하매설물 직경(매설 깊이 d=0.5 m 그리고 이격거리 u=0.5 L)에 따른 전기저항 변화를 보여준다. 모든 경우에 전극 사이 거리 L이 증가함에 따라서 전기저항값이 증가하였고, 지하매설물이 매설된 경우에 얻어지는 전기저항값은 지하매설물이 없는 조건에서 해석한 경우보다 전기저항값이 모든 경우에서 크게 나타났다. 지하매설물 직경이 클수록 전기저항값이 크게 나타났지만, 그 차이는 전극 사이 간격이 증가함에 따라서 점차 감소하였다. 따라서, 충분한 전극 사이 간격은 지반의 탐사 영역을 증가시키지만, 탐사 분해능을 감소시키므로 지하매설물 직경 또는 크기를 탐지하는데 방해가 된다.

Fig. 4(c)는 한쪽 전극으로부터 지하매설물(매설 깊이 d=0.5 m 그리고 직경 D=0.6 m)이 떨어진 이격거리 u에 따른 전기저항 변화를 보여준다. 지하매설물이 두 전극의 중간 지점(u=0.5 L)에 매설되었을 때 가장 낮은 전기저항값을 보였으며, 지하매설물이 없는 조건에서 얻은 전기저항값보다 모든 경우에서 크게 나타났다. 또한, 지하매설물이 전극에 가깝게 매설되어 있을수록 전기저항값은 증가하였으며, 지하매설물이 두 전극의 중간 지점(u=0.5 L)에 매설되었을 때를 중심으로 전기저항값은 대칭을 보였다. 그리고 동일한 이격거리 u에서 전극 사이 간격 L이 클수록 전기저항값이 증가하였다.

추가적으로, 두 전극 사이에서 발생하는 전압 강하로 인해서 형성되는 등전위면과 흐르는 전류의 세기를 정량적으로 분석하기 위해서, 전위와 전류밀도 분포를 선택된 해석 케이스들에 대해서 도시하였다. 일반적으로, 거리에 따른 전압 변화를 나타내는 전기장과 전기전도도에 의해서 결정되는 전류밀도 J(=σ·dV/dz)는 일정한 전기전도도로 형성된 균질한 지반 조건에서 거리에 따른 전위의 변화량에 비례하게 된다.

Fig. 5는 선택된 지하매설물의 깊이(d=0.25 m 그리고 d=1.0 m)에서 전위 분포와 전류밀도 분포를 각각 보여준다. Fig. 5(a)에서 보이는 바와 같이, 얕은 깊이(d=0.25 m)에 매설된 지하매설물은 두 전극 사이의 전류 흐름을 방해하므로, 지하매설물 상부에서 전류가 흐르는 방향으로 전압이 0.53 V에서 0.47 V까지 급격한 전압 강하를 보였지만, 깊은 깊이(d=1 m)에 지하매설물은 매설물 상부에서 약 0.5 V 전압과 완만한 전압 강하를 보여주고, 전위 분포는 지하매설물이 없는 경우와 비슷하게 형성되었다. 또한, Fig. 5(b)에서 보이는 바와 같이, 얕은 깊이에 매설된 지하매설물 주변에서 형성된 전류밀도(d=0.25 m일 때, J=2.3×10-4 A/m2)는 깊게 매설된 지하매설물(d=1 m일 때, J=1×10-4 A/m2)보다 동일한 깊이에서 약 2배 높게 형성되었으며, 이는 전기장 세기가 감소되었기 때문이다.

Fig. 6는 선택된 지하매설물 직경(D=0.3 m 그리고 D=0.9 m)에서 전위 분포와 전류밀도 분포를 각각 보여준다. Fig. 6(a)에 보이는 바와 같이, 작은 직경의 지하매설물 상부에서 약 0.5 V 전압과 완만한 전압 강하를 보여주고, 등전위면은 지하매설물이 없는 경우와 비슷하게 형성되었다. 하지만, 큰 직경의 지하매설물 상부(D=0.9 m)는 전류가 흐르는 방향으로 전압이 0.53 V에서 0.47 V 까지 급격하게 전위가 감소하였다. 또한, Fig. 6(b)에서 보이는 바와 같이, 크기가 작은 매설물 주변에서 형성된 전류밀도(D=0.3 m 일 때, J=5×10-6 A/m2)는 상대적으로 크기가 큰 매설물(D=0.9 m 일 때, J=1.5×10-5 A/m2)보다 동일한 깊이에서 낮은 전류밀도가 형성된 것을 보여준다.

Fig. 7은 선택된 지하매설물 이격거리(u=0.45 m 그리고 u=0.9 m)에서 전위 분포와 전류밀도 분포를 각각 보여준다. 터미널 전극에 상대적으로 가깝게 매설된 지하매설물은 매설물 주변에서 전류가 흐르는 방향으로 전압이 0.54 V에서 0.5 V까지 다소 급격하게 전위가 감소하였지만, 이격거리가 증가할수록 지하매설물 주변에서 약 0.5 V 전압과 완만한 전압 강하를 보여주고 있다(Fig. 7(a)). 전류밀도는 이격거리에 상관없이 지하매설물 측부에서 집중하였다. 하지만, 가까운 이격거리에서는 6배 정도의 더 큰 전류밀도를 보였다(u=0.45 m일 때, J=9×10-5 A/m2; u=0.9 m일 때, J=1.5×10-5 A/m2). 전위와 전류밀도의 분포는 비대칭 형상을 보이고, 특히 전류밀도는 전극에서부터 지하매설물까지 불규칙한 분포를 보였다.

Fig. 4. Variation in Electrical Resistance with Geometrical Conditions of Underground Structure: (a) Burial Depth, (b) Diameter, (c) Distance from the Terminal Electrode. The G and T Symbols Indicate Ground Electrode and Terminal Electrode, Respectively

Fig. 5. Effect of Underground Structure Burial Depth on the Voltage Drop and Current Flow: Distribution of (a) Electric Potential and (b) Current Density. Cases are Distance Electrodes L=1.3 m, Distance from Terminal Electrode u=0.5 L, and Underground Structure Diameter D=0.6 m

Fig. 6. Effect of Underground Structure Diameter on the Voltage Drop and Current Flow: Distribution of (a) Electric Potential and (b) Current Density. Cases are Burial Depth d=0.5 m, Distance Electrodes L=2 m, and Distance from Terminal Structure u=0.5 L

Fig. 7. Effect of Distance from the Terminal Electrode on the Voltage Drop and Current Flow: Distribution of (a) Electric Potential and (b) Current Density. Cases are Burial Depth d=0.5 m, Distance Electrodes L=3 m, and Underground Structure Diameter D=0.6 m