2.1 하모니서치 알고리즘

하모니서치 알고리즘은 음악을 작곡할 때 아름다운 소리를 내는 하모니를 찾는 과정을 모방한 알고리즘이다. 하모니서치 알고리즘은 확률론적인 이론을 바탕으로 십진수를 사용하여 최적화 문제를 해결하고, NP-hard와 지역 최적 해에 수렴하는 문제 등 다양한 최적화 문제를 해결하는 최적화 기법이다^{(Geem et al., 2001)}. 하모니서치 알고리즘은 확률론적인 해에 접근하는 방법은 유사하나, 초기 설계집단을 구성하는 과정에서의 차이가 있다. 하모니서치 알고리즘은 Fig. 1에서 나타내는 것과 같이 구성된다. 먼저, 하모니 메모리 초기화(Initializing Harmony Memory) 단계로, 초기 하모니 메모리(Harmony Memory, HM)는 최적화 문제의 해를 저장할 하모니 메모리를 초기화하며 HMS, HMCR, PAR, Bw, 및 Iteration 등의 파라미터를 설정한다^{(Kim and Kwon, 2013)}. HMS은 하모니 메모리 사이즈로 하모니 메모리에 저장할 수 있는 해의 개수, HMCR은 하모니 메모리 고려율로 새로운 해를 생성할 때 하모니 메모리를 고려할 확률, PAR은 피치 조정율로 하모니 메모리에서 선택된 값이 미세하게 조정될 확률, Bw은 피치 조정율의 탐색범위를 조절하는 역할, Iteration은 알고리즘의 반복횟수를 나타낸다. 그리고 적합도 계산(Calculating fitness)을 수행하는데, 목적 함수에 따라 HM을 사용하여 적합도를 계산한다. 다음으로는 새로운 하모니 메모리를 생성(Generating new HM)하며, 무작위 선택을 통해 선택된 값을 사용하여 HM을 생성하고 새로운 HM 생성을 위해 기존 HM을 고려하여 조정을 통해 새로운 HM을 생성한다. 새로운 HM이 적합도가 기존 하모니 메모리에 있는 최악의 해보다 좋다면 새로운 하모니 메모리 업데이트(Updating new HM) 단계를 거쳐 최악의 HM을 새로운 HM으로 대체하는 과정을 수행한다. 마지막으로 종료 조건 확인(Check Termination Criteria)은 알고리즘의 종료 조건을 확인하고, 보통 최대 반복 횟수에 도달하거나 특정 수준의 적합도에 도달할 때까지 반복하는 단계이다. 만약 종료 조건이 만족되지 않으면 다시 새로운 하모니 메모리 생성 단계 돌아가서 계속 반복한다.

2.2 다목적 함수를 적용한 최적화

단목적 함수를 적용한 최적화의 결과는 오로지 하나의 솔루션만이 도출된다. 비용함수만을 적용하여 최소비용을 찾는 단목적 최적화를 진행할 경우, 사용된 알고리즘을 통해서 최종적으로 하나의 결과인 최소비용이 도출되게 된다. 단목적 함수를 적용한 최적화 결과의 예시는 Fig. 2와 같다. 하지만 다목적 함수를 적용한 최적화의 경우, 솔루션의 우수성은 Domination에 의해서 결정된다. Non-dominated 솔루션의 개념은 모든 객관적인 기능과 관련하여, 어떠한 솔루션도 다른 솔루션보다 낫다고 간주할 수 없다^{(Verma et al., 2021)}. 여기서 Non-dominated란, 다목적 최적화를 통해 두 가지의 비지배 솔루션이 도출된 경우, 어느 하나의 솔루션이 다른 하나의 솔루션보다 우수하지 않음을 나타낸다^{(Babaei and Mollayi, 2016)}. 결론적으로 두 가지의 솔루션이 모두 중요한 솔루션이 된다는 것이다. Non-dominated 과정을 통해서 Pareto 최적해를 도출해내고, 최적해들의 Pareto front를 형성하게 된다^{(Verma et al., 2021)}. 다목적 최적화를 통해 형성된 Pareto front의 예시는 Fig. 3과 같다. 본 연구에서는 비용함수와 처짐함수를 적용하여 하모니서치 알고리즘을 활용한 다목적 최적화를 진행하였다. 철근콘크리트 구조물과 CFRP 보강 콘크리트 구조물은 최소의 비용이 우선이 될 수 있지만, 구조물의 차량 하중 등과 같은 불확실성이 항상 존재한다. 이러한 이유로 비용함수만을 적용하여 최소 비용의 단면을 설계하는 것이 아닌, 처짐함수를 함께 적용하여 다목적 최적 단면 설계를 진행하였다.

3.1 최적화 문제 형성

본 연구에서는 CFRP 보강 콘크리트 보 단면의 최적 설계를 위해 Fig. 4와 같이 ACI 440.1R-15의 Example. 6을 참고하여 진행하였으며, 목적함수를 비용함수와 처짐함수로 설정하였다.

CFRP 보강 콘크리트 최적설계를 위한 단면 제원는 경간(L)= 3 m, CFRP 인장강도(ffu)=1,800 Mpa, 콘크리트의 압축강도(fck)=21 Mpa, CFRP Rebar 탄성계수=150 GPa, 콘크리트의 단위중량=2,300 kg/m2, CFRP Rebar의 단위중량=1,500 kg/m로 고정해두었고, CFRP Rebar의 최소 배근간격=38 mm와 등분포 하중=20 kN/m으로 설정하였다. 유효깊이 d는 사용 FRP Rebar와 h 길이에 따라 변동되도록 설정하였고, CFRP Rebar의 배근 형식은 CFRP Rebar의 개수가 5개 이상이 되면 2열 배근이 되도록 설정하였다. 배근 간격은 최소 배근 간격의 제약조건을 만족한 후 일정한 간격으로 배근되도록 설정하였다. 균열폭은 최대 0.7 mm로 설정하였다. 직사각형 단면의 CFRP 보강 콘크리트 보의 최적설계에 대한 변수와 제원은 Table 1과 같다.

3.2 최소비용을 위한 목적함수

CFRP 보강 콘크리트 단면 최적 설계의 최소 비용 산출을 위한 목적함수와 제약조건은 아래와 같다.

여기서, $c_{1}$은 CFRP Rebar에 사용되는 비용계수(1,200원/mm3), $c_{2}$은 단순보의 콘크리트에 대한 비용계수이며(80,000원/mm3), $c_{3}$은 보의 수직면과 바닥면에 대한 거푸집 비용계수(30,000원/mm2), $A_{f}$=CFRP Rebar의 단면적, $L$=단순보 경간, $b$=단면의 폭, $d$=단면의 유효깊이, $h$=단면의 높이이다.

CFRP Rebar를 보강하여 콘크리트 단면을 설계할 경우에는 CFRP Rebar의 취성적인 특성으로 갑작스러운 전단 파괴가 발생할 위험이 크다. 따라서, 콘크리트의 압괴 파괴를 발생할 수 있도록 CFRP 보강 콘크리트 보 단면의 휨 설계를 수행하였다.

설계 휨 강도가 계수 모멘트를 초과해야 하기 때문에 Eq. (2)의 조건을 적용하였다. 여기서, 설계 휨 강도는 부재의 공칭 휨 강도에 강도 감소 계수를 곱한 것을 말한다.

ACI 440.1R-15에서는 공침 휨 모멘트를 Eq. (3)과 같이 사용한다. 여기서, CFRP Rebar은 선형 탄성으로 가정하므로 콘크리트 압괴 시 CFRP Rebar의 응력은 $f_{fu}$보다 작기 때문에 Eq. (5)를 제시하고 있다. 여기서 $f_{f}$=CFRP Rebar의 인장응력, $f_{c}'$=콘크리트의 압축강도, $f_{fu}$=CFRP의 인장강도, $E_{f}$=FRP 탄성계수, $\varepsilon_{cu}$=콘크리트 극한변형률이다. ACI 440.1R-15에서는 CFRP의 인장응력은 CFRP의 인장강도보다 작거나 같아야 하기 때문에, 최적화 과정에서 Eq. (5)를 무조건 만족하여야 한다.

단면의 압괴 파괴를 유도하도록 설계를 진행하였고, 압축 지배 단면을 위해 ACI 440.1R-15를 참고하여 강도 감소 계수 Eq. (6)을 적용하였다. 강도 감소 계수를 계산하기 위해 CFRP Rebar 보강비 $\rho_{f}$와 CFRP Rebar 균형보강비 $\rho_{fb}$를 사용하였고, Eq. (6)을 만족하도록 설정하였다.

3.3 최소처짐을 위한 목적함수

CFRP 보강 콘크리트 단면 최적 설계의 최소 처짐 산출을 위한 목적함수와 제약조건은 아래와 같다.

여기서, $w$=등분포 하중, $I_{e}$=유효단면2차모멘트를 나타낸다. 처짐함수를 통해서 산출되는 처짐량의 값은 ACI 440.1R-15를 참고하여 큰 처짐(활하중으로 인한 즉각적인 처짐)으로 인해 손상될 가능성이 있는 비구조 요소를 지지하거나 부착하지 않은 요소에 적용하는 $L$/360 이하로 산출되도록 하였다. 처짐함수를 도출하기 위한 CFRP 보강 콘크리트의 처짐 설계 과정은 아래와 같다.

ACI 440.1R-15에 따르면, 처짐 설계 시 유효단면2차모멘트는 전단면2차모멘트를 초과할 수 없기 때문에 최적화 과정에서 Eq. (11)을 만족하도록 하였다.

CFRP Rebar의 탄성계수는 철근의 탄성계수에 비해서 낮기 때문에 기존의 철근콘크리트 설계법을 적용할 시에 처짐이 과소평가될 우려가 있다. 이러한 이유로 ACI 440.1R-15에서 제시된 Bischoff and Gross(2011)의 유효단면2차모멘트인 Eq. (12)을 사용하였다.

여기서, $I_{cr}$=균열단면2차모멘트, $k$=압축단부터 중립축과 인장보강근 중심 거리, $E_{f}$=콘크리트의 탄성계수, $n_{f}$=콘크리트에 대한 탄성계수 비, $M_{cr}$=균열모멘트, $I_{g}$=전단면2차모멘트이다.

Bischoff and Gross(2011)가 제시한 유효단면2차모멘트 식에서 부재의 길이에 따른 강성의 변화를 고려하기 때문에 Eq. (18)인 강성계수 $\gamma$을 적용하였다. 여기서, $M_{a}$=부재의 최대 휨 모멘트이다.

균열폭 산정을 위해 ACI 440.1R-15에서 제시하는 최대 허용 균열폭을 참고하여 Eq. (19)을 적용하였다. 균열폭 $w LSUB c$은 최적화 과정에서 0.7 mm 이하를 만족할 수 있도록 설정하였다.

제안된 균열폭 산정은 Eq. (20)에서 규정한 최대 CFRP Rebar 간격이 목표 최대 허용 균열 폭을 간접적으로 준수하고 있다. 여기서, Eq. (20)은 CFRP Rebar의 최대 배근 간격이며, ACI 440.1R-15의 기준을 따랐다.

4.1 단목적 함수를 적용한 단면 최적 설계 결과 및 분석

각각의 비용함수와 처짐 함수만을 고려한 단목적 단면 최적설계와 비용함수 및 처짐함수를 동시에 고려한 다목적 단면 최적 설계를 비교 및 분석하기 위해서 먼저, 단목적 최적 설계를 수행하였다. 각각의 단목적 최적 설계의 매개변수는 Iteration=100,000, HMS=30, HMCR=0.7, PAR=0.3, Bw=1로 설정하고 진행하였고, Bw는 폭과 높이에 대해서 각각 1 mm 씩 조정되며, CFRP Rebar의 개수 선택은 한 개씩 조정되도록 설정하였다. CFRP Rebar의 선택 과정에서는 CFRP Rebar의 종류 중에 개수와 상관없이 하나의 종류씩 선택되도록 Bw가 적용되었다. 최적 설계의 종료 조건은 설정한 반복횟수가 완료된 후에 종료되도록 설정하였다. 두 가지 최적 설계 과정에서 모든 반복횟수 이후에 종료되었지만, 최적화의 수렴 과정을 자세히 보기 위해 Fig. 5(a)의 반복횟수는 10,000, Fig. 5(b)의 반복횟수는 30,000까지 나타내었다.

비용함수만을 적용한 최적 설계의 경우에는 3,045의 반복횟수 이후에 비용이 129,693원으로 수렴하였으며, HMS의 초기값인 147,090원과 비교하여 17,397원이 감소하였다. 처짐함수만을 적용한 최적 설계의 경우에는 18,720의 반복횟수 이후에 비용이 287,474원으로 수렴하였고, HMS의 초기값인 260,023원에 비교해 27,451원이 증가한 것을 확인하였다. 처짐량만을 고려하여 비교할 경우, 비용함수만을 적용한 최적 설계는 HMS의 초기값에 비해서 수렴값은 0.41 mm 증가한 것을 보여주었다. 처짐함수만을 적용한 최적 설계에서는 HMS 초기값에서 0.33 mm의 처짐량을 보였지만, 0.07 mm 증가한 0.26 mm의 수렴 값을 보였다. 각각의 단목적 최적화 설계의 진행 결과, 비용함수만을 적용한 경우 최소비용이 처짐함수만을 적용한 최적화와 비교하여 2배 이상 낮은 값을 보였고, 처짐함수만을 적용한 최적화의 처짐량은 비용함수의 최적화와 비교하여 20배 이상 낮은 값을 보였다.

비용함수만을 적용한 최적 설계에서는 압축지배단면에 해당하는 휨 설계식만 적용되어 최소비용의 수렴이 설정된 반복횟수에 비해 적은 횟수에서 수렴하였고, 처짐함수만을 적용한 최적화의 경우에는 휨 설계 과정 후 처짐 설계의 과정을 진행하여 비용함수만을 적용한 최적화에 비해 많은 반복횟수를 가졌지만, 반복횟수 200번 이후 수렴되는 과정에서의 처짐량의 차이는 크지 않았다. 비용함수 최적 설계의 결과는 Fig. 5(a)와 Table 2, 처짐함수 최적 설계의 결과는 Fig. 5(b)와 Table 3과 같다.

4.2 다목적함수를 적용한 단면 최적 설계

각각의 단목적 최적화 설계를 진행한 결과로 비용함수 최적 설계의 경우에는 최소의 비용을 도출하였지만 처짐량이 크게 나타났으며, 처짐함수 최적 설계에서는 최소의 처짐량을 도출하였지만 비용에 대한 값이 크게 나타났다. 이처럼, 비용함수와 처짐함수를 각각 적용하여 최적 설계를 진행할 경우에는 비용, 처짐과 단면 크기에 대해서 큰 차이를 보여주었다. 따라서, 비용함수와 처짐함수를 모두 고려한 CFRP 보강 콘크리트 단면 설계의 다목적 최적 설계를 진행하였다. 다목적 최적 설계의 과정으로는 CFRP 보강 콘크리트 단면을 압축지배단면으로 유도하여 휨 설계를 수행한 후 내하력을 만족한 값들에 대해서 처짐 설계하였다. 도출된 결과들은 모든 제약조건을 만족하도록 하였다. 하모니서치 알고리즘의 매개변수의 변동에 따른 Pareto front 분포의 결과 비교를 위해 Table 4와 같이 매개변수의 6가지 Case를 적용하여 최적화 설계를 진행하였고, 하모니서치 알고리즘의 종료조건은 설정한 반복횟수를 완료한 후에 종료되도록 하였다.

4.3 다목적함수를 적용한 단면 최적 설계 결과

다목적 최적화를 통해 도출된 최적 비용과 최적 처짐의 결과를 조합별로 평균을 산출하여 비교하였다. 다목적 최적 설계를 통해 도출된 최적 비용 및 최적 처짐의 결과를 조합별 평균값으로 계산하여 Table 5와 같이 나타내었다.

비용적인 측면만을 고려하여 결과를 분석한 경우에는 Case 3의 최적 비용 평균 값이 가장 낮은 130,873원로 나타났고, 최소의 처짐량을 고려하여 결과를 분석한 경우에는 Case 5에서 가장 낮은 5.88 mm의 평균 처짐량이 확인되었다. 하지만 Case 3의 경우, Fig. 7과 같이 Pareto front의 개수가 적고 최적 값들 간의 간격이 좁아 다양한 크기의 단면을 도출하지는 못하였다. Case 5의 경우에는 처짐의 평균 값은 가장 낮고 최적 비용의 평균 또한 상대적으로 낮은 값을 보이지만, Fig. 8과 같이 Pareto front들 간에 군집을 이루고 그 군집들간의 간격이 넓다. 이 두 가지 Case들은 평균 값 측면에서는 좋은 결과를 보였지만, Pareto front의 균일한 분포에 대해서는 좋지 않은 결과를 보여준다. Pareto front의 분포에 대해서 분석한 결과 Case 2의 경우에는 최적 비용이 다른 Case들과 비교하여 큰 차이가 없고, 최적 처짐의 평균 값도 상대적으로 낮은 값을 보여준다. 또한 Fig. 6과 같이 Pareto front의 개수가 다른 Case들과 비교하여 많이 나타났으며, Pareto front가 고르게 분포된 모습을 보였다.