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Journal of the Korean Society of Civil Engineers

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Structural Engineering

]

KSCE Journal of Civil and Environmental Engineering Research

대한토목학회 Vol. 45, No. 3, p.313-323

ISSN (print) :

1015-6348

ISSN (online) :

2287-934X

Received : 11 March 2025Revised : 17 April 2025Accepted : 18 April 2025

DOI :

https://doi.org/10.12652/Ksce.2025.45.3.0313

프리스트레스트 라이프라인 구조물의 재료 물성 재구성을 위한 전체파형역해석

Full-Waveform Inversion for Material Profile Reconstruction of Prestressed Lifeline Structures

김민성 (Min Seong Kim) ¹iD 김홍주 (Hongju Kim) ²iD 강준원 (Jun Won Kang) ³^†iD

홍익대학교 건설환경공학과 석사과정, 공학사 (Hongik University · alstjd131@g.hongik.ac.kr)
정회원 · 홍익대학교 건설환경공학과 박사과정, 공학석사 (Hongik University · hongju@g.hongik.ac.kr)
종신회원 · 교신저자 · 홍익대학교 건설환경공학과 교수, 공학박사 (Corresponding Author · Hongik University · jwkang@hongik.ac.kr)

† :

Corresponding Author

License :

This is an Open Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

초록

이 논문은 휨파동의 계측 데이터를 활용하여 지반에 매설된 프리스트레스트 라이프라인 구조물의 탄성계수와 지반강성 분포를 재구성하는 전체 파형역해석 프레임워크를 제시한다. 이를 위해 프리스트레스트 보-지반 시스템의 정해석 문제를 긴장력이 적용된 오일러-베르누이 보 방정식에 Winkler 기초 모델이 결합된 시간영역 초기-경계값 문제로 정식화하였다. C1 형상함수를 이용하는 Galerkin 기반 유한요소법과 Newmark-β 시간적분법을 사용하여 탄성지반으로 지지되는 보에서의 휨파동의 수치해를 구하였다. 역해석 문제는 측정된 처짐과 계산된 처짐 간의 차이를 최소화하여 제어변수인 보의 탄성계수와 지반강성의 최적해를 찾는 편미분방정식 구속 최적화 문제로 정식화하였다. 최적화 과정에서 목적함수 와 구속조건을 통합한 라그랑지안 범함수를 구성하였으며, 라그랑지안의 일차 최적화 조건으로부터 상태, 수반, 제어 문제를 도출하여 축소 공 간에서 이 문제들을 반복적으로 계산함으로써 프리스트레스트 보-지반 시스템의 탄성계수와 지반강성을 효과적으로 재구성하였다. 수치예제를 통해 (1) 지반강성을 알고 있을 때 보의 탄성계수를 재구성, (2) 보의 탄성계수를 알고 있을 때 지반강성을 재구성하는 두 가지 경우를 제시하였 다. 정규화계수의 가중치 변화에 따른 재구성 결과의 오차를 분석하였으며, 그 결과 모든 해석에서 오차가 초기값의 0.06 % 이하로 보의 탄성계 수와 지반강성이 정확하게 재구성되었다. 이 연구의 결과는 송수관 등 프리스트레싱이 적용된 다양한 라이프라인 구조물의 손상평가 및 진단에 활용될 수 있다.

ABSTRACT

This study presents a full-waveform inversion (FWI) framework that utilizes flexural wave measurements to reconstruct the elastic modulus and soil stiffness profiles of prestressed lifeline structures embedded in the ground. The forward problem of a flexural wave propagation in the prestressed beam-soil system is formulated as an initial-boundary value problem, incorporating the Euler-Bernoulli beam equation with a prestressing term and the Winkler foundation model. The dynamic flexural response of a beam supported by an elastic foundation is numerically computed using the Galerkin finite element method with C1 shape functions and the Newmark-β time integration scheme. The inverse problem for reconstructing the material properties of the prestressed beam-soil system is formulated as a partial differential equation-constrained optimization problem, where the objective is to minimize the difference between measured and computed deflections to determine the optimal values of the beam’s Young’s modulus and soil stiffness. The optimization process employs a Lagrangian functional, integrating the objective functional and constraints, and derives the state, adjoint, and control problems from the first-order optimality conditions of the Lagrangian. These problems are iteratively solved in a reduced space of the control variables to reconstruct the Young’s modulus and the soil stiffness. Numerical examples are presented for two cases: (1) reconstruction of the beam’s Young’s modulus when the soil stiffness is known, and (2) reconstruction of the soil stiffness when the beam’s Young’s modulus is known. The effect of regularization during the inversion on the reconstruction accuracy is presented, and the results show that, in all cases, the reconstruction error remains below 0.06 % of the initial values, confirming the accurate recovery of the material profiles. The methodology presented in this study can be applied to the condition assessment of various prestressed lifeline structures, such as water pipelines.

키워드

전체파형역해석, 휨파동, 프리스트레스트 라이프라인 구조물, Winkler 기초, 편미분방정식 구속 최적화

Key words

Full-waveform inversion, Flexural wave propagation, Prestressed lifeline structures, Winkler foundation, Partial differential equation-constrained optimization

1. 서 론
2. 휨파동의 정해석
3. 시간영역 탄성파 전체파형역해석의 정식화
3.1 물성치 추정을 위한 역해석 문제의 정의
3.2 1차 최적화 조건
3.3 최적화 알고리즘
4. 수치예제
4.1 탄성계수 E(x)의 재구성
4.2 지반강성 k(x) 재구성
5. 결 론

1. 서 론

송수관 등 지반에 매설된 라이프라인 구조물은 도시와 산업의 기능을 유지하는데 중요한 역할을 한다. 이러한 구조물은 자연재해나 열화에 따른 노후화로 인해 손상될 수 있으며, 이러한 경우 도시 기능과 산업 전반에 큰 영향을 미칠 수 있다. 특히 지반에 매설된 콘크리트 관로는 경년열화에 따른 콘크리트의 탄성계수 저하나 누수에 의한 지반 공동이 발생하기도 한다. 따라서 지중 라이프라인 구조물의 안전성을 확보하기 위해서는 구조물 및 지반의 지속적인 모니터링과 조기 손상 탐지가 매우 중요하다. 지난 수십 년간 보 구조물의 손상 평가를 위한 방법으로서 압전기 기반 검사법, 음향방출법, 초음파 검사법 등 다양한 비파괴평가 기법이 적용되어 왔다^{(Lacidogna et al., 2020;} ^{Zhang et al., 2016)}. 압전기 기반 검사법은 국부 영역의 손상 탐지에 있어서 그 성능이 뛰어나지만 라이프라인 구조물처럼 검사 범위가 넓으면 감지 영역에 한계가 있는 것으로 알려져 있다. 음향방출법은 균열 등 손상 영역을 통과하는 음파나 탄성파의 반향을 분석하는 기법으로서 보 구조물의 미세 결함을 감지하는데 적합하지만 일반적으로 결함의 형태나 위치를 정확하게 탐지하기는 쉽지 않다. 초음파 검사법은 고주파수 특성으로 인해 구조물의 내부 균열과 공극을 탐지하는데 잠재적 성능이 우수하다. 그러나 구조물의 두께가 두꺼울수록 음파의 감쇠로 인해 탐지 성능이 저하될 수 있다. 이러한 기존의 비파괴평가 방법들은 다양한 사회기반구조물 및 산업 시설의 건전성 평가에 성공적으로 적용되어 왔지만, 송수관과 같은 대규모 라이프라인 구조물의 건전성 평가를 제한된 시간에 수행하기 위해서는 새로운 비파괴평가 방법이 필요하다.

파동 데이터를 분석하여 시스템 특성을 추정하는 최신 기법으로서 전체파형역해석(full-waveform inversion, FWI)이 있다^{(Kang and Kallivokas, 2011;} ^{Kang and Pakravan, 2013;} ^{Pakravan et al., 2016;} ^2017; ^{Huh et al., 2023)}. 이 중 탄성파 FWI 기법은 탄성파를 이용해 시스템의 특성을 재구성하는 방법으로서, 구조물에 대해 투과, 굴절, 반사된 탄성파 데이터를 최적화 알고리즘으로 분석하여 미지의 시스템 파라미터를 추정한다^{(Kang, 2013)}. 탄성파 FWI는 광대역 주파수의 파형을 최적화하여 구조물의 미지 물성 분포를 재구성할 수 있으며, 그 결과로 해당 구조물의 손상 상태를 평가할 수 있다^{(He et al., 2021)}. 이러한 특성으로 인해 FWI 기법은 지반조사, 자원탐사, 사회기반구조물의 손상 평가 등 다양한 엔지니어링 분야에 활용되고 있다. 최근에는 원자력 발전소 격납건물 내부의 공동 탐지에 이 기법이 사용된 바 있고^{(Kim et al., 2021;} ^{Kim, 2022)} 철도 자갈궤도의 노반 특성 분석에 활용되기도 하였다^{(Kim et al., 2020)}. 이 논문에서와 유사한 연구 사례로 지반에 매설된 오일러-베르누이 보의 FWI가 있으나^{(Kim, 2023)}, 이는 긴장력이 없는 보를 대상으로 한 것으로서 프리스트레싱이 적용된 지반 매설 라이프라인 구조물의 FWI와는 방법과 결과에서 차이점이 있다. 이 연구는 앞서 언급한 오일러-베르누이 보 대상 FWI를 발전시킨 것으로, 휨파동의 FWI를 통해 프리스트레싱이 적용된 지중 콘크리트 관로의 재료 물성 재구성 방법을 제시한다. 지반 내 장대 구조물의 동적 응답을 해석하기 위해서는 구조물과 지반의 상호작용을 고려해야 하는데, 여기서는 Winkler 기초 모델을 사용하여 지반과 관로의 동적 상호작용을 반영하였다^{(Molina-Villegas et al., 2022)}. 이렇게 Winkler 기초와 결합된 오일러-베르누이 프리스트레스트 보로 지중 라이프라인 구조물을 모델링하고 충격하중에 대한 시간영역 휨파형을 역산함으로써 관로의 탄성계수와 지반강성을 재구성하였다.

이 논문의 구성은 다음과 같다. 2장에서는 Winkler 기초 모델을 기반으로 지반에 매설된 프리스트레스트 보의 휨파동 전파를 계산하는 정해석 문제를 정의하고 그 변분식을 제시한다. 3장에서는 편미분방정식 구속 최적화 문제를 정식화하고 부정확 라인 탐색법 및 conjugate gradient method (켤레기울기법)를 사용해 보의 탄성계수와 지반강성을 재구성하는 과정을 기술한다. 4장과 5장은 수치예제를 통해 보와 지반의 재료 물성 재구성 결과를 제시하고 휨파동 FWI 기법의 성능을 평가한다.

2. 휨파동의 정해석

지반 매설 송수관 등 다양한 프리스트레스트 콘크리트 라이프라인 구조물은 Fig. 1과 같이 지반강성 $k(x)$로 표현되는 Winkler 기초로 지지되고 긴장력 $P$가 작용하는 단순지지 오일러-베르누이 보로 모델링할 수 있다. 여기서 $EI$, $A$, $\rho$, $L$은 각각 보의 휨강성, 단면적, 밀도, 길이를 나타내며, $q(x,\: t)$는 보의 특정 영역에 재하되는 충격하중이다. 이러한 라이프라인 구조물은 실제로는 연속 구조물에 가까우나 이 연구에서는 프리스트레싱의 분절 시공을 고려하여 양 단의 경계조건을 단순지지로 설정하였다.

Fig. 1. Modeling of a Prestressed Lifeline Structure Embedded in Soil. (a) Prestressed Pipe Structure, (b) Schematic of a Beam Supported by an Elastic Foundation

이러한 설정 하에서 긴장력을 고려한 보-지반 시스템의 휨파동 전파는 Eq. (1)의 편미분방정식을 포함하는 초기-경계값 문제로 다음과 같이 표현된다.

(1)

$\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(EI\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}\right)+P\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+kw+\rho A\dfrac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}=q(x,\: t)$,

$0 < x < L,\: 0 <t\le T,\:$

(2)

$w(0,\: t)=0$, $0 < t\le T$,

(3)

$\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}(0,\: t)=0$, $0 < t\le T$,

(4)

$w(L,\: t)=0$, $0 < t\le T$,

(5)

$\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}(L,\: t)=0$, $0 < t\le T$,

(6)

$w(x,\: 0)=0$, $0\le x\le L$,

(7)

$\dfrac{\partial w}{\partial t}(x,\: 0)=0$, $0\le x\le L$.

여기서 $w(x,\: t)$는 보의 처짐이고, Eqs. (2)~(5)는 경계조건, Eqs. (6)~(7)은 초기조건이다. 위 초기-경계값 문제의 변분식은 파동방정식 (1)에 시험함수 $v(x)\in H_{0}^{2}(\omega)$를 곱하고 이를 전 구간 $\omega =\{x \vert 0\le x\le L\}$에 대해 적분하여 얻을 수 있으며, 그 결과는 다음과 같다.

(8)

$\int_{0}^{L}EI\dfrac{\partial^{2}v}{\partial x^{2}}\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}dx +\int_{0}^{L}P\dfrac{\partial v}{\partial x}\dfrac{\partial w}{\partial x}dx +\int_{0}^{L}kvwdx$

$+\int_{0}^{L}\rho Av\dfrac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}dx =\int_{0}^{L}vq dx$.

이 식에서 보의 처짐 $w(x,\: t)$와 시험함수 $v(x)$는 $-1\le\xi\le 1$의 마스터 좌표계에서 정의되는 3차 Hermite 형상함수를 사용하여 근사할 수 있다. 이러한 근사함수를 Eq. (8)에 대입하면 요소별 처짐 $w$와 처짐각 $w'$으로 구성되는 미지벡터 ${u}_{e}\left(=\left[{w}_{1}{w}_{1}'{w}_{2}{w}_{2}'\right]^{{T}}\right)$에 대한 준이산 형 운동방정식 ${M}_{e}\ddot{{u}}_{e}+{K}_{e}{u}_{e}={F}_{e}$를 얻을 수 있다.

(9)

$({M}_{e})_{ij}=\int_{-1}^{1}\rho A\psi_{i}\psi_{j}\dfrac{h}{2}d\xi$,

(10)

$({K}_{e})_{{ij}=}\int_{-1}^{1}EI\dfrac{d^{2}\psi_{i}}{d\xi^{2}}\dfrac{d^{2}\psi_{j}}{d\xi^{2}}\left(\dfrac{2}{h}\right)^{3}d\xi -\int_{-1}^{1}P\dfrac{d\psi_{i}}{d\xi}\dfrac{d\psi_{j}}{d\xi}\dfrac{2}{h}d\xi$

$+\int_{-1}^{1}k\psi_{i}\psi_{j}\dfrac{h}{2}d\xi$,

(11)

$({F}_{e})_{{i}}=\int_{-1}^{1}q\psi_{i}\dfrac{h}{2}d\xi$.

여기서 $\psi_{i}(\xi)$ 및 $\psi_{j}(\xi)$는 3차 Hermite 형상함수이고 $i,\: j = 1,\: 2,\: 3,\: 4$이다. ${M}_{e}$, ${K}_{e}$, ${F}_{e}$는 각각 길이 $h$인 요소의 질량행렬, 강성행렬, 힘 벡터이다.

3. 시간영역 탄성파 전체파형역해석의 정식화

3.1 물성치 추정을 위한 역해석 문제의 정의

Fig. 1과 같은 탄성 지지 프리스트레스트 오일러-베르누이 보에서 보의 탄성계수 $E(x)$와 Winkler 지반강성 $k(x)$를 재구성하는 역해석 문제는 다음과 같이 목적함수 $J$를 최소화하여 $E(x)$와 $k(x)$의 최적해를 구하는 편미분방정식 구속 최적화 문제로 정식화될 수 있다.

(12)

$\begin{align*} \begin{aligned}\min J(w,\: E,\: k)\\E,\: k\end{aligned}:= & F_{m}+R_{E}(E)+R_{k}(k)\\ \\ = &\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^{N_{r}}\int_{0}^{L}\int_{0}^{T}[w(x,\: t)-w_{m}(x,\: t)]^{2}\delta(x-x_{i})dtdx \end{align*}$

$+R_{E}(E)+R_{k}(k).$

이 최적화 문제는 Eqs. (1)~(7)의 파동방정식, 경계조건, 초기조건을 구속조건으로 한다. $w_{m}(x,\: t)$는 $N_{r}$개의 센서에서 측정된 보의 처짐 응답이다. $F_{m}$은 계산응답과 측정응답 차이의 제곱으로 표현되는 불합치량이고, 목적함수 $J$는 이 불합치량과 정규화항 $R_{E}(E)$, $R_{k}(k)$로 구성된다. 위의 최적화 문제를 비구속 최적화 문제로 전환하기 위하여 다음과 같이 라그랑주 승수 $\lambda_{w}$를 도입해 라그랑지안 범함수를 구성한다.

(13)

$L(w,\: \lambda_{w},\: E,\: k)=J(w,\: E,\: k)$

$+\int_{0}^{L}\int_{0}^{T}\lambda_{w}\left[\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(EI\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}\right)+P\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+kw+\rho A\dfrac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}\right]dtdx$.

이 연구에서는 Tikhonov (TN) 정규화 기법을 사용하였으며, 정규화항 $R_{E}(E)$와 $R_{k}(k)$ 다음과 같이 정의된다.

(14)

$R_{E}(E):=\dfrac{R_{E}}{2}\int_{0}^{L}\left(\dfrac{d E}{dx}\right)^{2}dx$, $R_{k}(k):=\dfrac{R_{k}}{2}\int_{0}^{L}\left(\dfrac{dk}{dx}\right)^{2}dx$.

여기서 $R_{E}$와 $R_{k}$는 정규화계수이며, 정규화계수 연속기법을 사용해 그 값을 결정할 수 있다^{(Kim, 2023)}.

3.2 1차 최적화 조건

라그랑주 승수 $\lambda_{w}$, 상태변수 $w$, 제어변수 $E$ 및 $k$에 대한 라그랑지안 $L$의 1차 변분식이 0이 되는 1차 최적화 조건으로부터 각각 상태문제, 수반문제, 제어문제를 구할 수 있다. 첫째로, 라그랑주 승수 $\lambda_{w}$에 대한 라그랑지안의 1차 변분식이 0이 되는 조건 $\left(\delta_{\lambda_{w}}L=0\right)$으로부터 정해석 문제의 편미분방정식인 Eq. (1)이 유도되며, 이는 경계 및 초기조건 (2)~(7)과 함께 상태문제를 구성한다.

• 상태문제: Eq. (1)~(7)로 정의되는 초기-경계값 문제와 같음.

둘째로, 상태변수 $w$에 대한 라그랑지안의 1차 변분식이 0이 되는 조건 $\left(\delta_{w}L=0\right)$으로부터 아래와 같이 $\lambda_{w}$에 관한 수반문제를 구성할 수 있다.

• 수반문제:

(15)

$\dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}\left(EI\dfrac{\partial^{2}\lambda_{w}}{\partial x^{2}}\right)+P\dfrac{\partial^{2}\lambda_{w}}{\partial x^{2}}+k\lambda_{w}+\rho A\dfrac{\partial^{2}\lambda_{w}}{\partial t^{2}}=$

$-\sum_{i=1}^{N_{r}}[w(x,\: t)-w_{m}(x,\: t)]\delta(x-x_{i})$,

$0 < x < L,\: 0\le t < T$,

(16)

$\lambda_{w}(0,\: t)=0$, $0\le t < T$,

(17)

$\dfrac{\partial^{2}\lambda_{w}}{\partial x^{2}}(0,\: t)=0$, $0\le t < T$,

(18)

$\lambda_{w}(L,\: t)=0$, $0\le t < T$,

(19)

$\dfrac{\partial^{2}\lambda_{w}}{\partial x^{2}}(L,\: t)=0$, $0\le t < T$,

(20)

$\lambda_{w}(x,\: T)=0$, $0\le x\le L$,

(21)

$\dfrac{\partial\lambda_{w}}{\partial t}(x,\: T)=0$, $0\le x\le L$.

Eq. (15)는 수반문제의 지배방정식이고 Eqs. (16)~(19)는 경계조건이며 Eqs. (20)~(21)은 최종 시각 $T$에서의 최종조건이다.

셋째로, 제어변수 $E$ 및 $k$에 대한 라그랑지안의 1차 변분식이 0이 되는 조건 $\left(\delta_{E}L=0,\: \delta_{k}L=0\right)$으로부터 다음과 같은 제어문제를 얻을 수 있다.

• 탄성계수 $E$의 제어문제:

(22)

$-R_{E}\dfrac{d^{2}E}{dx^{2}}+\int_{0}^{T}I\dfrac{\partial^{2}\lambda_{w}}{\partial x^{2}}\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}dt=0$, $0 < x < L$,

(23)

$\dfrac{d E}{dx}(0)=\dfrac{d E}{dx}(L)=0$.

• 지반강성 $k$의 제어문제:

(24)

$-R_{k}\dfrac{d^{2}k}{dx^{2}}+\int_{0}^{T}\lambda_{w}w dt=0$, $0 < x < L$,

(25)

$\dfrac{dk}{dx}(0)=\dfrac{dk}{dx}(L)=0$.

Eqs. (22), (23)과 Eqs. (24), (25)는 각각 $E(x)$와 $k(x)$의 최적해를 위한 경계값 문제이다. 위의 상태문제, 수반문제, 제어문제로 구성된 비선형 편미분방정식 시스템은 이 최적화 문제에 대한 연속적 형태의 KKT (Karush-Kuhn-Tucker) 조건이며, 이 조건을 만족하는 $E(x)$와 $k(x)$가 이 역해석 문제의 최적해이다. 정규화계수 $R_{E}$, $R_{k}$는 정규화계수 연속기법을 사용하여 결정할 수 있다^{(Kim, 2023)}. 이 연속기법은 정규화계수 가중치 $\varepsilon_{E}$와 $\varepsilon_{k}$를 사용해 역해석의 반복계산마다 정규화계수 $R_{E}$와 $R_{k}$를 계산하며, 이 가중치는 0에서 1 사이의 값을 가진다.

3.3 최적화 알고리즘

상태, 수반, 제어문제를 연립하여 풀면 $w$, $\lambda_{w}$, $E$, $k$의 최적해를 구할 수 있다. 그러나 이 과정은 계산이 복잡하므로 최적화 변수를 제어변수 $E(x)$와 $k(x)$로 국한하고 상태, 수반, 제어문제를 반복해서 풀어 $E(x)$와 $k(x)$의 최적해를 계산할 수 있다. 이를 위해 먼저 $E(x)$와 $k(x)$를 가정하고 동적 하중에 대한 상태문제 (1)~(7)의 해 $w(x,\: t)$를 구한다. 이 상태문제의 해를 이용하여 수반문제 (15)~(21)의 해 $\lambda_{w}(x,\: t)$를 계산한다. 이렇게 구한 $w$와 $\lambda_{w}$를 이용해 제어변수 $E$, $k$에 대한 라그랑지안의 그래디언트를 다음과 같이 계산한다.

(26)

$\nabla_{E}L=-R_{E}\dfrac{d^{2}E}{dx^{2}}+\int_{0}^{T}I\dfrac{\partial^{2}\lambda_{w}}{\partial x^{2}}\dfrac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}dt$,

(27)

$\nabla_{k}L=-R_{k}\dfrac{d^{2}k}{dx^{2}}+\int_{0}^{T}\lambda_{w}w dt$.

Eqs. (26)과 (27)에 제시된 그래디언트는 각각 제어문제의 지배방정식인 Eqs. (22)와 (24)의 좌변과 같다. $E$와 $k$를 업데이트하기 위한 $i$번째 역해석 반복계산에서의 이산 그래디언트 벡터 ${g}_{i}^{E}$ 및 ${g}_{i}^{k}$는 다음과 같이 $E$와 $k$의 노드별 그래디언트 값으로 구성된다.

(28)

${boldg}_{i}^{E}=(\nabla_{E}L)_{i}$,

(29)

${g}_{i}^{k}=(\nabla_{k}L)_{i}$.

이 그래디언트 벡터를 이용하여 $E(x)$와 $k(x)$의 노드 값으로 구성되는 $i$번째 반복계산에서의 제어변수 벡터 ${bold E}_{i}$ 및 ${k}_{i}$를 업데이트할 수 있다. 이를 위한 탐색방향 벡터 ${bold d}_{i}^{E}$, ${bold d}_{i}^{k}$는 CG 기법에 의해 다음과 같이 구한다.

(30)

${d}_{i}^{E}=\begin{cases} -{g}_{i}^{E},\: &(i=0),\: \\ -{g}_{i}^{E}+\dfrac{{g}_{i}^{E}\bullet{g}_{i}^{E}}{{g}_{i-1}^{E}\bullet{g}_{i-1}^{E}}{d}_{i-1}^{E},\: &(i\ge 1),\: \end{cases}$

(31)

${d}_{i}^{k}=\begin{cases} -{g}_{i}^{k},\: &(i=0),\: \\ -{g}_{i}^{k}+\dfrac{{g}_{i}^{k}\bullet{g}_{i}^{k}}{{g}_{i-1}^{k}\bullet{g}_{i-1}^{k}}{d}_{i-1}^{k},\: &(i\ge 1). \end{cases}$

Eqs. (30)과 (31)로부터 탐색방향 벡터가 결정되면 다음과 같이 $i + 1$번째 반복계산에서의 탄성계수와 지반강성 벡터를 구할 수 있다.

(32)

${E}_{i+1}={E}_{i}+\alpha^{E}{d}_{i}^{E}$,

(33)

${k}_{i+1}={k}_{i}+\alpha^{k}{d}_{i}^{k}$.

여기서 $\alpha^{E}$와 $\alpha^{k}$는 각각 ${d}_{i}^{E}$와 ${d}_{i}^{k}$ 방향으로의 스텝길이이다. 이 연구에서는 $i$번째 역해석 반복계산에서의 스텝길이를 다음과 같이 계산하였다.

(34)

$\alpha^{E}=\dfrac{1}{s_{p}}\dfrac{\left |{E}_{i}\right |}{\left |{d}_{i}^{E}\right |}$,

(35)

$\alpha^{k}=\dfrac{1}{s_{p}}\dfrac{\left |{k}_{i}\right |}{\left |{d}_{i}^{k}\right |}$.

위 식에서 $s_{p}$는 $i$번째 반복계산에서 재료 물성 벡터와 탐색방향 벡터의 유클리드놈의 비에 곱해지는 조정계수이며, $s_{p}$의 값이 클수록 스텝길이는 감소한다. 이 연구에서는 제어변수의 수렴 속도를 적정 수준으로 유지하기 위하여 100에서 10,000 사이의 $s_{p}$ 값을 사용하였다.

4. 수치예제

긴장력이 적용된 지중 라이프라인 구조물의 탄성계수와 지반강성을 재구성하는 수치예제로서 Fig. 2와 같이 Winkler 기초로 지지되는 프리스트레스트 단순지지보를 고려하였다. 보의 길이 $L = 40{m}$이고 밀도 $\rho =2000{kg}/{m}^{3}$, 단면적 $A=0.1{m}^{2}$, 단면2차모멘트 $I=3.33\times 10^{-4}{m}^{4}$이며, 긴장력 $P = 800{k N}$으로 설정하였다. 보는 길이가 0.05 m인 $C^{1}$ 요소로 이산화하였으며, 그 결과 요소의 총 수는 800개이다. 보의 동적 처짐을 계측하는 센서는 보의 모든 노드에 위치하는 것으로 설정하였다.

보의 중앙에 가우시안 형태의 충격하중 $q(x,\: t)=$$p(t)\delta(x-20)$을 가해 구한 센서에서의 동적 처짐 응답을 계측 데이터로 활용하였다. 이 계측 데이터는 $E(x)$와 $k(x)$가 목표 프로파일과 같다는 가정 하에 구한 처짐의 수지해이다. $\delta$는 Dirac-delta 함수이고, 이 수치예제에 사용된 가우시안 하중 $p(t)$는 다음과 같다.

(36)

$p(t)= P_{0}e^{-\dfrac{(t-t_{0})^{2}}{2s^{2}}}$.

위 식에서 $P_{0}= 1{k N}$, $t_{0}= 0.01{s}$, $s = 0.001{s}$이고 총 재하 시간은 0.5초, 시간 간격 $\triangle t=10^{-4}{s}$로서 이 하중 신호의 최대 주파수는 600 Hz이다. Fig. 3은 하중의 시간이력, 주파수 스펙트럼, 샘플링 위치 SP1, SP2, SP3에서의 측정된 계측응답을 나타낸다.

역해석을 통해 재구성된 물성값의 오차는 다음과 같이 정규화된 $L^{2}$놈 오차를 사용하여 계산할 수 있다.

(37)

${\vert \vert}e{\vert \vert}_{2}=\dfrac{\int_{0}^{{L}}\left({p}({x})-{p}_{{tg}}(x)\right)^{2}dx}{\int_{0}^{L}\left(p_{{tg}}(x)\right)^{2}dx},\: {p}={E}{or}k$.

위 식에서 $p_{{tg}}(x)$는 탄성지반으로 지지되는 보의 목표 프로파일이고, $p(x)$는 재구성된 프로파일이다. 변수 $p$는 보의 탄성계수 $E$ 또는 지반강성 $k$를 나타낸다.

Fig. 2. An Elastically Supported Prestressed Euler-Bernoulli Beam Subjected to a Concentrated Load at Its Center

Fig. 3. Gaussian Pulse Load $p(t)$ and the Beam’s Deflection at Sampling Points. (a) Time History, (b) Frequency Spectrum, (c) Measured Deflections

4.1 탄성계수 E(x)의 재구성

첫 번째 케이스는 지반강성 $k(x)$를 알 때 보의 탄성계수 $E(x)$를 재구성하는 문제이다. 지반강성 $k(x)$는 일반적인 점토 지반을 가정해 $100{k N}/{m}^{2}$로 설정하였다. 목표 탄성계수는 아래와 같은 계단식 분포로 설정했으며, 이 중 두 번째와 네 번째 영역의 탄성계수는 다른 영역의 탄성계수인 15 GPa 대비 각각 17 %와 33 % 만큼 작다.

(38)

$E(x)=\begin{cases} 15{GPa},\: 0\le x< 10{m},\: \\ 12.5{GPa},\: 10\le x< 15{m},\: \\ 15{GPa},\: 15\le x< 25{m},\: \\ 10{GPa},\: 25\le x< 35{m},\: \\ 15{GPa},\: 35\le x\le 40{m}. \end{cases}$

Figs. 4~7은 각각 정규화계수 $R_{E}$의 가중치^{(Kim, 2023)}가 $\varepsilon_{E}$ = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8일 때의 탄성계수 재구성 결과이다. 정규화계수의 가중치가 높을수록 정규화계수가 크게 계산되며, 이에 따라 제어변수의 불규칙 변동을 줄이는 정규화 효과가 크게 작용한다. 탄성계수의 초기 가정값은 10 GPa이며, 500번의 반복계산을 통해 목표 프로파일이 성공적으로 재구성되었다. 탄성계수가 낮은 두 영역의 폭, 경계와 탄성계수 값이 효과적으로 재구성되었음을 알 수 있다. 역해석의 반복계산을 거치면서 측정응답과 계산응답의 오차인 $F_{m}$은 모든 $\varepsilon_{E}$의 경우에 대해 초기값의 0.07 % 수준으로 감소하였다.

Fig. 8(a)는 정규화계수 $R_{E}$의 가중치 $\varepsilon_{E}$ 값에 따른 $F_{m}$의 변화를 나타낸다. 일반적으로 정규화계수의 가중치가 작으면 역해석이 다수의 지역해를 갖는 문제점이 발생할 수 있다. 이 문제에서는 $\varepsilon_{E}$의 값이 작을수록 불합치량 $F_{m}$의 감소 속도는 상대적으로 빠른 것으로 나타났다. Fig. 8(b)는 Eq. (37)로 계산된 $E(x)$ 재구성 결과의 $L^{2}$놈 오차를 나타낸다. 500회 반복계산 후 $\varepsilon_{E}$ = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8의 경우에 대해 ${\vert \vert}e{\vert \vert}_{2}$가 각각 초기값의 약 0.11 %, 0.12 %, 0.09 %, 0.13 % 수준으로 감소하였다. 이로부터 이 문제에서는 탄성계수 재구성 결과의 $L^{2}$놈 오차가 정규화 정도에 관계없이 충분히 감소함을 알 수 있다.

Fig. 4. Inversion Results for the Step Profile of $E(x)$ Using the Regularization Weight Factor $\varepsilon_{E}$ = 0.2. (a) In\verted Profile, (b) Response Misfit, $F_{m}$

Fig. 5. Inversion Results for the Step Profile of $E(x)$ Using the Regularization Weight Factor $\varepsilon_{E}$ = 0.4. (a) In\verted Profile, (b) Response Misfit, $F_{m}$

Fig. 6. Inversion Results for the Step Profile of $E(x)$ Using the Regularization Weight Factor $\varepsilon_{E}$ = 0.6. (a) In\verted Profile, (b) Response Misfit, $F_{m}$

Fig. 7. Inversion Results for the Step Profile of $E(x)$ Using the Regularization Weight Factor $\varepsilon_{E}$ = 0.8. (a) In\verted Profile, (b) Response Misfit, $F_{m}$

Fig. 8. Response Misfit during the Inversion for $E(x)$ and the Normalized $L^{2}$ Error of the Reconstructed $E(x)$ Profile. (a) $F_{m}$ Up to 200 Iterations, (b) ${\vert \vert}e{\vert \vert}_{2}$ for $E(x)$

4.2 지반강성 k(x) 재구성

두 번째 케이스는 보의 탄성계수 $E(x)$를 알 때 Winkler 지반강성 $k(x)$를 재구성하는 문제이다. 보의 탄성계수 $E(x)$는 10 GPa로 설정하였다. 보의 중앙부에 지반 침식이 발생하였다고 가정하였으며, 이를 반영해 목표 $k(x)$ 프로파일을 다음과 같이 보의 중앙부로 갈수록 점진적으로 감소하는 선형 경사 프로파일로 설정하였다.

(39)

$k(x)=\begin{cases} 100{k N}/{m}^{2},\: 0\le x\le 10{m},\: \\ 100 - 6(x-10){k N}/{m}^{2},\: 10\le x\le 15{m},\: \\ 70{k N}/{m}^{2},\: 15\le x\le 25{m},\: \\ 70 + 6(x-25){k N}/{m}^{2},\: 25\le x\le 30{m},\: \\ 100{k N}/{m}^{2},\: 30\le x\le 40{m}. \end{cases}$

Figs. 9~12는 각각 정규화계수 $R_{k}$의 가중치가 $\varepsilon_{k}$ = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8일 때의 지반강성 재구성 결과이다. $k(x)$의 초기 가정값은 50 kN/m²이다. 역해석 결과, 침식이 존재하는 지반의 $k(x)$ 프로파일이 성공적으로 재구성되었으며 특히 선형 변화 구간이 효과적으로 재구성되었음을 알 수 있다. 반복계산 과정에서 불합치량 $F_{m}$은 모든 $\varepsilon_{k}$의 경우에 대해 초기값의 0.01 % 수준으로 감소하였다.

Fig. 13(a)는 정규화계수 $R_{k}$의 가중치 $\varepsilon_{k}$ 값에 따른 $F_{m}$의 변화를 나타내며, $F_{m}$은 $\varepsilon_{k}$의 값에 관계 없이 충분히 감소하였다. Fig. 13(b)는 Eq. (33)으로 계산된 $k(x)$ 재구성 결과의 $L^{2}$ 오차를 나타낸다. 1000회 반복계산 후 $\varepsilon_{k}$ = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8의 각 경우에 대해 ${\vert \vert}e{\vert \vert}_{2}$가 초기값의 약 0.06 %, 0.02 %, 0.05 %, 0.03 % 수준으로 감소하였다. $k(x)$ 재구성 결과의 $L^{2}$놈 오차는 $\varepsilon_{k}=0.4$일 때 가장 작았는데, 이로부터 이 문제에서 지반강성 재구성을 위한 정규화계수의 가중치는 $\varepsilon_{k}=0.4$가 적합함을 알 수 있다.

Fig. 9. Inversion Results for the Ramp Profile of $k(x)$ Using the Regularization Weight Factor $\varepsilon_{k}$ = 0.2. (a) In\verted Profile, (b) Response Misfit, $F_{m}$

Fig. 10. Inversion Results for the Ramp Profile of $k(x)$ Using the Regularization Weight Factor $\varepsilon_{k}$ = 0.4. (a) In\verted Profile, (b) Response Misfit, $F_{m}$

Fig. 11. Inversion Results for the Ramp Profile of $k(x)$ Using the Regularization Weight Factor $\varepsilon_{k}$ = 0.6. (a) In\verted Profile, (b) Response Misfit, $F_{m}$

Fig. 12. Inversion Results for the Ramp Profile of $k(x)$ Using the Regularization Weight Factor $\varepsilon_{k}$ = 0.8. (a) In\verted Profile, (b) Response Misfit, $F_{m}$

Fig. 13. Response Misfit during the Inversion for $k(x)$ and the Normalized $L^{2}$ Error of the Reconstructed $k(x)$ Profile. (a) $F_{m}$ Up to 370 Iterations, (b) ${\vert \vert}e{\vert \vert}_{2}$ for $k(x)$

5. 결 론

이 논문은 지중 프리스트레스트 라이프라인 구조물의 재료 물성을 재구성하기 위해 휨파동의 계측 데이터를 최적화하는 탄성파 전체파형역해석 기법을 제안하였다. Winkler 기초를 사용하여 보와 지반의 상호작용을 모델링하였으며, 긴장력이 포함된 오일러-베르누이 보 이론을 적용하여 휨파동 전파를 모델링하였다. 이 문제의 FWI는 휨파동의 지배방정식을 구속조건으로 하여 응답 간 오차인 목적함수를 최소화하는 편미분방정식 구속 최적화 문제로 정식화하였다. 제어변수의 축소 공간에서 라그랑지안의 KKT 조건을 반복적으로 계산하여 보의 탄성계수와 Winkler 지반강성을 효과적으로 재구성하였다.

수치예제를 통해 정규화계수의 가중치가 역해석 결과에 미치는 영향을 분석하였으며, 모든 가중치 조건에서 목표 프로파일이 성공적으로 재구성되었다. 보의 탄성계수를 재구성하는 경우에 측정응답과 계산응답 간의 오차인 $F_{m}$은 모든 정규화계수 가중치 $\varepsilon_{E}$ 값에 대해 초기값 대비 0.07 % 수준으로 감소하였으며, 프로파일의 재구성 오차를 나타내는 ${\vert \vert}e{\vert \vert}_{2}$는 초기값 대비 0.13 % 수준으로 감소하였다. Winkler 지반강성 재구성의 경우에 $F_{m}$은 모든 정규화계수 가중치 $\varepsilon_{k}$에 대해 초기값 대비 0.1 % 수준으로 감소하였으며, ${\vert \vert}e{\vert \vert}_{2}$는 초기값 대비 0.06 % 수준으로 감소하였다. 특히 정규화계수의 가중치 $\varepsilon_{k}$가 0.4일 때 재구성 오차가 가장 작았다. 이로부터 정규화계수가 역해석의 수렴성과 정확도에 영향을 미치며 적절한 정규화계수 값을 선택하는 것이 역해석 결과를 개선하는데 중요함을 알 수 있다.

Acknowledgements

This work was supported by Korea Hydro & Nuclear Power Co., Ltd. (No. 2024-Tech-05) and by the 2024 Hongik University Research Fund.

References

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전체파형역해석

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휨파동

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프리스트레스트 라이프라인 구조물

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Winkler 기초

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편미분방정식 구속 최적화

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Full-waveform inversion

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Flexural wave propagation

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Prestressed lifeline structures

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Winkler foundation

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Partial differential equation-constrained optimization

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Journal of the Korean Society of Civil Engineers

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Full-Waveform Inversion for Material Profile Reconstruction of Prestressed Lifeline Structures

초록

ABSTRACT

키워드

Key words

1. 서 론

2. 휨파동의 정해석

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

3. 시간영역 탄성파 전체파형역해석의 정식화

3.1 물성치 추정을 위한 역해석 문제의 정의

(12)

(13)

(14)

3.2 1차 최적화 조건

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

3.3 최적화 알고리즘

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

4. 수치예제

(36)

(37)

4.1 탄성계수 E(x)의 재구성

(38)

4.2 지반강성 k(x) 재구성

(39)

5. 결 론

Acknowledgements

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