세 가지 수심-평균 $k$-$\varepsilon$ 난류 모형(RR, BO, BC 모형)을 급 확대 수로와 돌출 수제를 지나는 흐름의 실험실 측정
결과와 비교한다. 두 실험 모두 수로 폭 확대나 폭 방향 장애물 때문에 재순환 흐름이 발달한다.
3.1 급 확대 수로 실험
1994년 B. L. Xie와 동료들이 수행한 급 확대 수로 실험은 CCHE2D (Jia and Wang, 2001), FAST2D (Wu et al., 2004), HEC-RAS (Hydrologic Engineering Center River Analysis System) 2D (Brunner et al., 2020) 등의 모형 검증에 소개되었으며, 최근까지 수치 모형의 검증에 이용되었다(Shin et al., 2025). 폭이 1.2 m, 길이가 18 m, 경사가 1/1000인 사각형 콘크리트 실험 수로에서 상류에서 7.7 m까지 폭의 반을 막고 0.01815 m³/s
(Case 1)와 0.03854 m³/s (Case 2)의 물을 흘렸다(Wu et al., 2004; Brunner et al., 2020). 이때 하류 수심은 Case 1과 2에서 각각 0.101 m와 0.105 m이고 급 확대로 생긴 재순환 영역의 길이는 모두 4.6 m로 알려져 있다(Jia and Wang, 2001). Brunner et al.(2020)은 Manning 저항 계수($n_{m}$)를 바닥에 대해 0.015, 측벽에 대해 0.008로 두었다.
수로 전체를 계산 영역으로 두고 한 변의 길이가 0.01~0.3 m인 10,570개의 삼각형 격자로 분할하였다. 재순환이 예상되는 영역에 더 많은
격자를 두었으며, 특히 오른쪽 측벽에서 첫 번째 격자가 관성 저층에 들도록 배치하였다. 상류 끝에서 유입 경계 조건으로 공급 유량, 하류 끝에서 유출
경계 조건으로 실험에서 설정된 수위를 두고 측벽에 대해 활동(slip) 조건을 부여하였다. 또한, Manning 저항 계수에 대해서는 Brunner et al.(2020)에 따랐다.
Fig. 2 and 3은 각각 실험 경우 Case 1과 2에 대해 분자 점성(그림에서 ‘Mol.’)과 난류 모형(그림에서 ‘RR’, ‘BO’, ‘BC’)에 의한 유속 벡터를
확대 단면 하류를 중심으로 각각 나타낸 그림이다. 폭이 좁은 상류에서 흐름이 비교적 폭이 넓은 하류를 만나면서 왼쪽에 유지되는 수로 길이 방향의 강한
유속에 의해 확대 단면 하류 오른쪽에 재순환 흐름이 발달한다. 분자 점성과 난류 모형 모의 유속 벡터 비교에서 알 수 있듯이, 와 점성에 의한 난류
확산 덕분에 폭 확대 이후 전반에서 흐름 강도가 비교적 작고 재순환 영역도 줄어든다. 실험 경우 Case 1에 비해 Case 2에서 공급 유량이 두
배 이상 늘면서 확대 단면으로 유입 유속 또한 커져 하류에 미치는 영향도 비교적 강하게 나타난다(Fig. 3 참조).
Fig. 2. Simulated Velocity Vector Plots for Case 1 of the Abrupt Width Expansion Experiments.
(a) Mol., (b) RR, (c) BO, (d) BC
재순환 길이 규모로서 재부착 위치를 하류로부터 오른쪽 측벽을 따라 첫 번째 격자에서 수로 길이 방향 유속의 반전 위치로 보았다(그림에서 채운 삼각형으로
표시). 실험 경우 Case 1에서 재부착 위치는 Mol., RR, BO, BC 모형 순서대로 각각 4.5, 3.9, 2.8, 4.1 m로서 오히려
분자 점성만 고려했을 때 실험 결과에 더 부합한다. 공급 유량이 증대된 실험 경우 Case 2에서 앞의 순서대로 각각 5.7, 4.3, 3.1, 4.6
m로서 분자 점성만으로는 재부착 위치가 과대 예측(Case 1에 비해 26 % 증가)되나 난류 확산을 고려하면 증가율이 절반 이하로 줄어든다. 결국,
실험 경우 Case 1과 2를 통틀어 BC 모형에 의한 재부착 위치 예측이 실험 결과에 가장 근접하였다.
Fig. 3. Simulated Velocity Vector Plots for Case 2 of the Abrupt Width Expansion Experiments.
(a) Mol., (b) RR, (c) BO, (d) BC
두 실험 경우 모두에서 난류 모형 중 BO 모형에 의한 재순환 길이가 비교적 짧은 이유는 RR 모형에 비해 하상 마찰에 의한 난류 생산이 억제되어
결과적으로 수평 전단 난류 생산의 비중이 커졌기 때문이다(Babarutsi and Chu, 1998). Booij(1989)가 제시한 RR 모형의 계수 조정(Eq. (11n) 참조) 근거는 박지 모형으로서 사각형 공동(cavity)을 수로 중앙 왼쪽 측벽에 붙이고 수로에서 주 흐름이 사수역인 박지로 유입과 유출되면서 수로와
박지 경계에서 발달하는 혼합층 측정 실험 결과이다. RR 모형으로 박지 상류 쪽 유입부에서 혼합층 폭을 계산해 보니 실험 결과보다 과대 산정하였고
이를 바로잡기 위해 RR 모형에서 하상 마찰 관련 계수를 고쳤다(Eq. (11n) 참조). 수로 폭의 급 확대 형상이 반 무한대 박지에 해당하므로 급 확대 수로에서 BO 모형에 의한 재순환 규모 축소는 해당 모형의 특성에 기인한
것이다.
Fig. 4. Longitudinal Velocity Profiles for the Abrupt Width Expansion Experiments.
(a) Case 1, (b) Case 2
모의 결과를 자세히 살펴보기 위해 Fig. 4에 실험 경우 Case 1 (a)과 2 (b)에서 수로 길이 방향 유속의 폭 방향 분포를 보였다. 결과를 한눈에 비교하기 위해 확대 단면($x =
0$) 하류로 $x$ = 0, 1, 2, 3, 4, 5 m 위치에서 측정과 모의 결과를 함께 보였다. 그림에서 원은 측정 결과이고 Mol.은 분자
점성, RR, BO, BC는 해당 난류 모형에 의한 모의 결과이다. 그림에서 보이듯이, 전반에 걸쳐 난류 모형 채택 여부에 따른 차이가 크나, 난류
모형 사이에서 차이는 분명하지 않다(Fig. 4 참조).
Table 1. RMS Errors for Longitudinal Velocity in the Abrupt Width Expansion Experiments
|
Case
|
Model
|
$x$ = 0 m(m/s)
|
$x$ = 1 m(m/s)
|
$x$ = 2 m(m/s)
|
$x$ = 3 m(m/s)
|
$x$ = 4 m(m/s)
|
$x$ = 5 m(m/s)
|
Remark
|
|
1
|
Mol.
|
0.012
|
0.033
|
0.058
|
0.029
|
0.048
|
0.029
|
16.2 %
|
|
RR
|
0.012
|
0.019
|
0.023
|
0.044
|
0.040
|
0.028
|
14.0 %
|
|
BO
|
0.012
|
0.020
|
0.029
|
0.062
|
0.060
|
0.035
|
|
BC
|
0.012
|
0.019
|
0.022
|
0.042
|
0.039
|
0.027
|
|
Exp.
|
0.296
|
0.252
|
0.201
|
0.192
|
0.192
|
0.166
|
0.216
|
|
2
|
Mol.
|
0.009
|
0.105
|
0.069
|
0.090
|
0.050
|
0.072
|
14.9 %
|
|
RR
|
0.015
|
0.045
|
0.038
|
0.070
|
0.088
|
0.056
|
13.3 %
|
|
BO
|
0.017
|
0.048
|
0.052
|
0.102
|
0.133
|
0.090
|
|
BC
|
0.014
|
0.048
|
0.036
|
0.066
|
0.084
|
0.054
|
|
Exp.
|
0.634
|
0.430
|
0.436
|
0.380
|
0.409
|
0.366
|
0.442
|
Table 1에 실험 경우마다 각 측정점에서 측정 자료에 대한 절대 오차의 RMS(Root Mean Square), 즉 RMS 오차와 그 아래에 비교를 위해 측정치의
RMS(표에서 ‘Exp.’ 행)를 보였다. 표에서 밑줄로 표시한 값은 모형 사이 최소치이다. 또한, 마지막 열(표에서 ‘Remark’)에 난류 모형
채택 여부에 따른 비교를 위해 아래에 측정치 RMS의 평균(표에서 ‘Exp.’ 행)과 그 값에 대한 Mol.과 난류 모형 전체 RMS 오차 평균의
비율(%)을 그 위에 각각 보였다. 폭 확대 효과가 거의 미치지 않아 측정 유속의 수로 폭 방향 분포 편차가 매우 작은 $x$ = 0 m를 제외한
나머지 위치에서 RMS 오차를 살펴보면, 난류 확산 고려 여부에 따라 차이를 보이나(Case 1과 2에서 각각 14.0 %:16.2 % 그리고 13.3
%:14.9 %) 난류 모형끼리 차이는 크지 않다. 다만, 셋 중에서 BC 모형의 오차가 대체로 작다(표에서 밑줄 친 최소치 횟수).
3.2 돌출 수제 실험
Fig. 5. Simulated Velocity Vector Plots for Case 1 of the Spur Dike Experiments. (a)
Mol., (b) RR, (c) BO, (d) BC
Jeon et al.(2018)은 폭과 길이가 각각 0.9 m와 18 m이고 바닥과 측벽이 각각 PVC (Polyvinyl Chloride)와 유리로 된 사각형 실험 수로에서 폭과
길이($L$)가 각각 0.04 m와 0.3 m인 사각형 돌출 수제를 오른쪽 측벽 중앙($x = 0$, $y = 0$)에 설치하고 하류 수심($H$),
0.215 m에 맞추어 0.0278 m³/s (Case 1)와 0.0528 m³/s (Case 2)의 물을 흘렸다. 이때 실험 경우 Case 1과
2에서 평균 유속($u_{0}$)은 각각 0.144 m/s와 0.273 m/s이다. 돌출 수제를 둘러싼 영역($-3.33\le x/L\le 20$,
$0.06\le y/L\le 0.94$)에서 연직 방향($z$)으로 7개 위치, 약 2,500개 내외의 측정점을 구성하여 초음파 유속계(Acoustic
Doppler Velocimeter)로 유속을 측정하였는데, 시간-평균 통계량의 수렴(convergence of the time-averaged statistics)을
확보하기 위해 측정점마다 재순환 영역에서 10분, 그 외 영역에서 5~7분 동안 측정 빈도, 100 Hz를 유지하였다(Jeon et al., 2018).
Fig. 6. Simulated Velocity Vector Plots for Case 2 of the Spur Dike Experiments. (a)
Mol., (b) RR, (c) BO, (d) BC
돌출 수제가 포함된 계산 영역($-6.67\le x/L\le 20$, $0\le y/L\le 3$)을 한 변의 길이가 0.01~0.1 m인 12,013개의
삼각형 계산 격자로 분할하였다. 상류 끝에서 유입 경계 조건을 공급 유량, 하류 끝에서 유출 경계 조건을 실험에서 설정한 수위로 두고 측벽에 대해
활동 조건을 부여하였다. 또한, 수로의 PVC 바닥에 대한 등가 조도 높이(equivalent roughness height)를 0.0015 mm로
설정하였다. 급 확대 수로 실험 모의와 마찬가지로 재순환이 예상되는 영역에 더 많은 격자를 두었으며, 특히 돌출 수제가 있는 오른쪽 측벽에서 첫 번째
격자가 관성 저층에 들도록 배치하였다.
Fig. 5 and 6은 각각 실험 경우 Case 1과 2에 대해 분자 점성(그림에서 ‘Mol.’)과 난류 모형(그림에서 ‘RR’, ‘BO’, ‘BC’)에 의한 유속 벡터를
돌출 수제 하류를 중심으로 나타낸 그림이다. 돌출 수제에 의해 흐름 단면이 갑자기 축소되었다가 회복되면서 수제 하류 오른쪽에 재순환이 생기고 하류로
갈수록 유속이 줄어든다. 실험 경우 Case 1에 비해 Case 2에서 공급 유량이 두 배 가까이 늘면서 수제 하류에 미치는 유속도 비교적 강하게
나타난다. 급 확대 수로 흐름 모의에서 보았듯이, 난류 확산을 적용했을 때 수제 하류에서 흐름 강도가 비교적 작고 재순환 영역도 줄어든다. 급 확대
수로 실험에서 재순환은 길이 방향 강한 흐름 유입으로 오른쪽 측벽에 거의 직선으로 떨어지는 유선 포락선 안에 갇히는 양상이다. 그러나 돌출 수제 실험에서는
수제 상류 쪽 측면을 따라 발달된 흐름이 길이 방향 주 흐름과 만나 수제 끝에서 수로 왼쪽으로 치우치면서 보다 자유롭게 재순환 흐름이 발달한다.
Fig. 7. Profiles of $u/u_{0}$ for Case 1 of the Spur Dike Experiments. (a) $x/L$ =
1.67, (b) $x/L$ = 3.33, (c) $x/L$ = 6.67, (d) $x/L$ = 10, (e) $x/L$ = 13.33, (f) $x/L$
= 16.67
실험 경우 Case 1과 2에서 재순환 와(vortex)의 중심 위치($x/L$, $y/L$)를 각각 (2.34, 0.73)과 (2.08, 0.65)
그리고 재부착 위치를 수로 길이 방향 유속 등고선도에서 오른쪽 측벽 가까이 값이 0인 위치로 보고 대략 $x/L$ = 11과 12 사이로 보고하였다(Jeon et al., 2018). 급 확대 수로 흐름 모의에서 시도한 재부착 위치 확인 방법을 적용하면, 실험 경우 Case 1에 대해 Mol., RR, BO, BC 모형 순서대로
각각 $x/L$ = 16.3, 7.2, 7.2, 7.3이고 Case 2에 대해 난류 확산 고려 여부에 따라 각각 $x/L$ = 8.1과 17.5이다(그림에서
채운 삼각형으로 표시). 모의 결과에서 중심 위치는 유사하나, 난류 확산 고려 여부에 따라 실험 결과보다 훨씬 작거나 크고 급 확대 수로 흐름 모의
결과와 달리 난류 모형 사이에서 차이는 거의 없다. 돌출 수제를 지나는 흐름에서 Eq. (11i)의 $P_{h}$가 Eq. (11j) and (11k)의 $P_{kv}$와 $P_{\varepsilon v}$에서 계수 조정(Eq. 11n 참조) 효과를 압도할 정도로 수평 전단이 지배적이기 때문이다(Cea et al., 2007).
Fig. 7 and 8에 각각 실험 경우 Case 1과 2에 대한 분자 점성(그림에서 ‘Mol.’)과 난류 모형(그림에서 ‘RR’, ‘BO’, ‘BC’)에 의한 수로 길이
방향 무차원 유속($u/u_{0}$)의 폭 방향 분포를 보였다. 또한 연직 방향 7개 측정치를 이용하여 수심-평균한 유속(그림에서 ‘Mean’)과
바닥 근처($z/H = 0.05$)와 중앙($z/H = 0.51$)에서 측정한 유속도 함께 보였다. 실험 경우 Case 1에서 난류 확산 고려 여부에
따른 유속 분포의 차이는 주로 재순환 영역에서 나타나며, 분자 점성만으로는 유속이 과대 산정되고 RR, BO, BC 모형에 의한 결과는 측정 결과와
비교적 잘 일치한다(Fig. 7에서 a와 b 참조). 실험 경우 Case 2에서 증대된 공급 유량으로 인해 분자 점성 모형에 의한 유속 분포가 실험 결과와 차이가 더 클 뿐만 아니라
재순환 영역에 그치지 않고 더 하류로 확장되나, 난류 확산을 고려한 모의는 실험 결과와 부합 정도가 유량 규모에 크게 영향받지 않고 적절한 범위에서
유지된다(Fig. 8 참조).
분자 점성 모형에서 공급 유량 규모에 따른 측정치와 괴리는 RMS 오차에서 보다 분명하게 드러난다. 급 확대 수로 실험 비교에서 보인 바와 같이,
Table 2에 돌출 수제 실험 경우마다 각 측정점에서 측정 자료에 대한 RMS 오차와 그 아래에 비교를 위해 측정치 RMS(표에서 ‘Exp.’ 행)를 보였다.
모형 사이 최소치에 밑줄을 그었으며, 마지막 열(표에서 ‘Remark’) 아래에 측정치 RMS 평균(표에서 ‘Exp.’ 행)과 그 값에 대한 Mol.과
난류 모형 전체 RMS 오차 평균의 비율(%)을 그 위에 각각 보였다. 난류 확산 고려 여부에 따른 차이가 뚜렷하며, 공급 유량 규모에 따라 측정치
RMS 평균과 RMS 오차 평균의 비율이 분자 점성 모형에서 34.2 % ➞ 54.8 %로 커지나 난류 확산 모형에서 17.9 % ➞ 15.9 %로
오히려 줄어든다. 난류 모형 사이에서 차이는 크지 않으며, 셋 중에서 BO 모형의 오차가 대체로 작다(표에서 밑줄 친 최소치 횟수).
Fig. 8. Profiles of $u/u_{0}$ for Case 2 of Spur Dike Experiments. (a) $x/L$ = 1.67,
(b) $x/L$ = 3.33, (c) $x/L$ = 6.67, (d) $x/L$ = 10, (e) $x/L$ = 13.33, (f) $x/L$ =
16.67
Table 2. RMS Errors for $u/u_{0}$ in the Spur Dike Experiments
|
Case
|
Model
|
$x/L$=-0.9
|
$x/L$=1.67
|
$x/L$=3.33
|
$x/L$=6.67
|
$x/L$=10
|
$x/L$=13.33
|
Remark
|
|
1
|
Mol.
|
0.126
|
0.791
|
1.237
|
0.161
|
0.179
|
0.242
|
34.2 %
|
|
RR
|
0.122
|
0.218
|
0.210
|
0.339
|
0.284
|
0.263
|
17.9 %
|
|
BO
|
0.122
|
0.218
|
0.208
|
0.342
|
0.293
|
0.258
|
|
BC
|
0.121
|
0.225
|
0.215
|
0.338
|
0.279
|
0.257
|
|
Exp.
|
1.122
|
1.415
|
1.448
|
1.496
|
1.328
|
1.197
|
1.335
|
|
2
|
Mol.
|
0.124
|
0.661
|
0.973
|
1.240
|
0.988
|
0.505
|
54.8 %
|
|
RR
|
0.122
|
0.160
|
0.158
|
0.302
|
0.285
|
0.279
|
15.9 %
|
|
BO
|
0.121
|
0.157
|
0.154
|
0.299
|
0.288
|
0.268
|
|
BC
|
0.122
|
0.169
|
0.164
|
0.301
|
0.280
|
0.273
|
|
Exp.
|
1.120
|
1.459
|
1.483
|
1.543
|
1.363
|
1.219
|
1.365
|
Fig. 9 and 10은 실험 경우 Case 1과 2에 대해 각각 난류 모형(그림에서 ‘RR’, ‘BO’, ‘BC’)에 의한 무차원 난류 운동 에너지($k/u_{0}^{2}$)의
수로 폭 방향 분포를 보인 그림이다. 그림에서 대부분의 영역에서 측정 결과와 대체로 잘 일치하고 난류 모형 사이 차이도 크지 않으나, 오른쪽 측벽
근처에서 과대 산정된다(Fig. 9 and 10에서 a와 b 참조). 유속 분포에서 흐름 방향이 반전하고 강도가 크게 줄어드는 재순환 영역에 해당하며 난류 운동 에너지 첨두가 과대 산정되다 보니
역류 영역($y/L$ < 1)에서 급감 경향을 따라잡기 어렵다. 그럼에도, Fig. 7 and 8의 (a)와 (b)에서 보이듯이, 모의 유속 분포가 실험 결과와 잘 일치하는 이유는 그에 상응하는 난류 에너지 소산율 덕분에 Eq. (11h)에 의해 결정되는 와 점성이 적정하게 유지되기 때문이다.
Fig. 9. Profiles of $k/u_{0}^{2}$ for Case 1 of spur dike experiments. (a) $x/L$ =
1.67, (b) $x/L$ = 3.33, (c) $x/L$ = 6.67, (d) $x/L$ = 10, (e) $x/L$ = 13.33, (f) $x/L$
= 16.67
Fig. 10. Profiles of $k/u_{0}^{2}$ for Case 2 of Spur Dike Experiments. (a) $x/L$
= 1.67, (b) $x/L$ = 3.33, (c) $x/L$ = 6.67, (d) $x/L$ = 10, (e) $x/L$ = 13.33, (f)
$x/L$ = 16.67
마지막으로 와 동점성 모형에 의한 수로 길이 방향 무차원 법선 Reynolds 응력을 실험 경우 Case 1과 2에 대해 Fig. 11 and 12에 각각 보였다. Reynolds 응력을 RR과 BO 모형에 대해 Eq. (10), BC 모형에 대해 Eq. (13)으로 산정한다. 실험 경우 Case 2에 대해 $\nu_{\tau}$ ~ $O(-3)$, $u_{x}$와 $v_{y}$ ~ $O(-1)$, $k$
~ $O(-2)$로서 법선 Reynolds 응력은 난류 운동 에너지에 좌우된다. 이는 운동 에너지의 폭 방향 분포(Fig. 9 and 10 참조)와 대조에서 확인된다.
Eq. (10)은 RANS 방정식 중 연속 방정식에 들어맞는 관계를 천수 방정식에 그대로 도입한 것으로 법선 Reynolds 응력(Eq. (10a) and (10c))을 난류 운동 에너지 정의(Eq. (10d))에 대입해 보면 모순을 확인할 수 있다. 단순 정합뿐만 아니라 물리적 근거까지 염두에 둔다면 천수 방정식 중 연속 방정식의 정상 상태로부터 다음과
같은 와 점성 모형을 생각할 수 있다.
여기에서 실험 경우 Case 2에 대해 $h$와 $u$ ~ $O(-1)$, $v$ ~ $O(-2)$, $h_{x}$와 $h_{y}$ ~ $O(-2)$로서
크기 정도가 Eq. (13)과 별반 다르지 않다. Fig. 13 and 14에 Eq. (16)으로 구한 RR 모형의 수로 길이 방향 법선 Reynolds 응력의 폭 방향 분포(그림에서 ‘RR_SW’)를 실험 경우 Case 1과 2에 대해 각각
보였으며, BC 모형에 의한 법선 응력 분포와 거의 같거나 약간 더 크다.
Fig. 11. Profiles of $\overline{u'u'}/u_{0}^{2}$ for Case 1 of Spur Dike Experiments.
(a) $x/L$ = 1.67, (b) $x/L$ = 3.33, (c) $x/L$ = 6.67, (d) $x/L$ = 10, (e) $x/L$ =
13.33, (f) $x/L$ = 16.67
Fig. 12. Profiles of $\overline{u'u'}/u_{0}^{2}$ for Case 2 of Spur Dike Experiments.
(a) $x/L$ = 1.67, (b) $x/L$ = 3.33, (c) $x/L$ = 6.67, (d) $x/L$ = 10, (e) $x/L$ =
13.33, (f) $x/L$ = 16.67
Fig. 13. Profiles of Recalculated $\overline{u'u'}/u_{0}^{2}$ for Case 1 of Spur Dike
Experiments. (a) $x/L$ = 1.67, (b) $x/L$ = 3.33, (c) $x/L$ = 6.67, (d) $x/L$ = 10,
(e) $x/L$ = 13.33, (f) $x/L$ = 16.67
Fig. 14. Profiles of Recalculated $\overline{u'u'}/u_{0}^{2}$ for Case 2 of Spur Dike
Experiments. (a) $x/L$ = 1.67, (b) $x/L$ = 3.33, (c) $x/L$ = 6.67, (d) $x/L$ = 10,
(e) $x/L$ = 13.33, (f) $x/L$ = 16.67