2.1 단일 데이터 관점에서 계측데이터의 공학적으로 유용한 정보량 평가

개별 데이터 관점에서 계측된 각각의 데이터들은 독립된 데이터들로 취급된다. 개별 데이터 관점에서 시스템 입력과 출력 데이터 사이의 관계를 표현하는 방법 중에 많이 사용되는 방법은 산포도이다. Fig. 1은 실제 양수발전 댐에서 1시간 간격으로 24시간 동안 계측된 수위-간극수압 시간이력을 표현한 산포도이다. 간극수압은 댐의 상태를 나타내는 중요한 요소들 중 하나이다. 개별 데이터 관점 데이터 분석방법 중 일반적으로 많이 사용되어 온 방법은 선형회귀분석이다^{(Fuller, 1987; Bera et al., 2005; Montgomery et al., 2012; Lee and Kim, 2014)}. 댐 계측데이터 분석 시 일반적으로 산포도에 대해 선형회귀분석을 통해 시스템 입·출력 사이의 선형회귀 모델식을 결정하고, 결정된 식을 사용하여 주어진 시스템 입력에 대한 시스템 출력을 연속적으로 예측한다.

동일한 계측데이터라도 데이터 분석방법에 따라 계측데이터의 공학적 유용성이 다르다. 즉, 분석방법에 따라 계측데이터가 가지고 있는 대상 시스템의 거동과 관련된 정보들 중 사용 가능한 정보의 양이 달라지게 되며, 정보의 활용도에 차이가 생기게 된다.

선형회귀모델과 같은 개별 데이터 관점에서 계측데이터가 가지는 정보량 즉, 계측데이터가 가진 전체 정보량 중 선형회귀모델이 사용 가능한 대상 계측데이터의 공학적으로 유용한 정보량의 크기는 선형회귀모델이 대상 계측데이터가 가지고 있는 시스템 거동과 관련된 전체 정보량 중 얼마나 많은 부분을 반영하고 있는가로 평가될 수 있다. 선형회귀모델은 계측데이터 전체 정보량 중 모델 생성에 반영된 정보량만을 사용하여 예측을 수행한다.

다음과 같이 정의되는 결정계수($R^{2}$)는 회귀분석과 같은 개별 데이터 관점 데이터 처리에서 계측데이터가 가지고 있는 전체 정보량 등 얼마나 많은 부분을 회귀분석 모델이 반영·활용하는가를 나타낸다.

여기서, $\gamma_{xy}$는 입력신호 X와 출력신호 Y의 상관계수, $COV(X,\: Y)$는 입력신호와 출력신호의 공분산, $\sigma_{x}$, $\sigma_{y}$는 각각 입력신호 X와 출력신호 Y의 분산이다.

결정계수 값이 1에 가까울수록 회귀분석모델이 계측데이터가 가지고 있는 공학적으로 유용한 전체 정보량을 반영·예측에 잘 활용하고 있음을 나타내며, 0에 가까울수록 신호가 가지고 있는 정보량을 잘 반영·활용하고 있지 못함을 나타낸다^{(Bendat and Piersol, 2010)}. 따라서 결정계수는 선형회귀모델을 사용하는 개별데이터 관점에서 데이터 분석에서 계측데이터가 가지고 있는 공학적으로 유용한 정보량 크기를 전체 정보량 크기에 대한 상대적 값으로 나타내고 있다고 볼 수 있다.

2.2 순차적 데이터 관점에서 계측데이터의 공학적으로 유용한 정보량 평가

Fig. 1에서 표현된 데이터는 순차적 관점에서 노드(node)와 엣지(edge)로 구성된 그래프로 Fig. 2와 같이 나타낼 수 있다. 노드는 개별 계측데이터 정보이며, 엣지는 노드와 노드 사이의 관계를 나타낸다. Fig. 1과 2를 비교해보면 동일 데이터라고 해도 관점(개별 데이터/순차적 데이터)에 따라 표현되는 정보량의 차이(엣지의 유무)가 존재함을 볼 수 있다.

Fig. 1. 24-hour Scatter Plot of Water Level-Pore Water Pressure

Fig. 2. 24-hour Scatter Plot of Water Level-Pore Water Pressure with Edge and Node

순차적 관점에서는 개별 계측치 값 크기뿐만 아니라 계측데이터 시계열에 존재하는 패턴이나 주기적 특성을 활용하여 대상 시스템 거동을 예측하거나 대상 시스템과 관련된 정보를 획득하게 된다^{(Bishop, 2006; Box et al., 2015; Hyndman and Athanasopoulos, 2018; Taylor and Latham, 2018; Jurafsky and Martin, 2023)}.

순차적 데이터 관점에서 데이터를 활용하는 경우 기여도 함수(coherence function) 결정을 통해 계측데이터의 공학적 유용성을 평가할 수 있다.

기여도 함수는 시스템 거동에 의한 출력신호(댐 계측 신호)를 구성하는 개별 주파수 성분들에 대한 시스템 입력 신호(시스템 거동을 유발하는 댐 수위와 같은 요소)를 구성하는 개별 주파수 성분들의 기여도(coherence)를 나타낸다. 기여도 함수는 0에서 1사이의 값을 가진다. 댐에 설치된 간극수압계 계측기록의 경우 계측된 간극수압을 구성하는 개별 주파수(또는 주기 또는 패턴) 성분들에 대한 댐 수위를 구성하는 동일 주파수(또는 주기 또는 패턴) 성분들의 기여도를 나타낸다^{(Bendat and Piersol, 2010)}.

이때 계측 신호를 구성하는 개별 주파수 (또는 주기 또는 패턴) 성분들은 계측 신호의 시간에 따른 변화 경향 또는 계측데이터 열(sequence)에 존재하는 패턴을 나타낸다. 기여도 함수가 1에 가까울수록 시스템 거동의 표현인 출력신호를 구성하는 시계열 패턴에 대해 입력신호에 존재하는 동일한 형태의 시계열 패턴들에 의한 기여도가 커짐을 나타낸다. 즉, 기여도 함수가 클수록 출력신호에 존재하는 거의 모든 패턴이 입력신호에 의한 시스템 거동으로 설명할 수 있게 된다. 따라서 기여도 함수는 시퀀스(Sequence) 형태의 시스템 입력과 관련하여 대상 시스템 거동과 관련된 활용 가능한 시퀀스 형태의 출력신호 크기를 나타낸다. 즉 기여도 함수의 크기가 1에 가까울수록 순차적 데이터 관점에서 계측데이터가 가지는 공학적 유용성이 큰 정보량의 크기가 계측데이터가 가질 수 있는 전체 정보량의 크기에 다가가게 된다.

따라서 기여도 함수를 사용하여 순차적 데이터 관점에서의 계측데이터가 가지는 공학적으로 유용한 정보량을 평가할 수 있다. 기여도 함수를 이용한 계측데이터가 가지는 공학적으로 유용한 정보량 정도를 평가하기 위해 다음과 같은 가중 기여도 함수(weighted coherence function)를 정의하였다.

1) 입력신호의 파워스펙트럴함수(Power spectral function) 결정. 2) 1)에서 결정된 파워스펙트럴함수에서 일정 크기 이상을 가지는 주파수 성분들의 주파수($f_{th,\: i}; i=1\sim N$)와 크기($Mag(f_{th,\: i})$) 결정 3) 입력·출력신호 사이의 기여도 함수($Coh(f)$) 결정 4) 2)에서 결정된 주파수 성분에 해당하는 기여도 값을 결정하고, 2)에서 얻어진 주파수 성분의 크기를 가지고 가중평균하여 계측 신호의 가중 기여도 함수 $Coh_{weighted}$를 결정

순차적 데이터 관점에서 공학적으로 유용한 계측데이터 정보량은 가중 기여도 함수와 계측데이터 정보량의 곱으로 정의된다. 이러한 정보량의 크기는 계측데이터에 시스템 거동과 관련된 정보들 중 사용 가능한 정보량의 크기를 나타낸다. 가중기여도 함수 크기 자체는 순차적 데이터 관점에서 계측데이터의 전체 정보량 중 사용 가능한 정보량 비율을 나타낸다. 결정된 가중 기여도 함수의 크기가 1에 가까워질수록 계측데이터의 패턴에 기반한 시스템 거동예측의 정확도가 높아지게 된다.

2.3 개별 데이터 및 순차적 데이터 관점에서 계측데이터의 공학적으로 유용한 정보량 크기 평가 및 비교

시스템 입력에 의해 발생하는 시스템 거동을 표현하는 시스템 출력 즉 계측데이터의 개별 및 순차적 데이터 관점에서 공학적으로 유용한 사용 가능 정보량 평가 및 비교를 위해 수치 모의시험을 수행하였다.

Fig. 3. Single Input-Single Output (SISO) System for Simulating Measurements

댐과 같은 토목구조물 시스템에 대한 입력(ex. 댐 수위 변동)에 대해 간극수압계와 같은 감지기 계측 값으로 표현되는 시스템 거동은 Fig. 3과 같이 근사적으로 간단하게 표현할 수 있다.

이때 시스템은 입력에 대해 출력을 생성하는 transfer function으로 Eq. (6)과 같이 근사적으로 표현할 수 있다.

여기서, $A(f)$는 입력신호와 출력신호를 구성하는 동일 주파수 성분 크기 비이며, 출력신호에서 발생하는 입력신호의 증폭 크기를 나타낸다. $\phi(f)$는 시스템에 의해 발생하는 입력신호와 출력신호를 구성하는 동일 주파수 성분 사이의 위상차를 나타낸다. 두 주파수 성분 사이의 위상차는 시간 축에서 지연을 나타낸다(출력신호로 표현되는 시스템 거동이 입력신호보다 지연된 시간에 발생).

Fig. 4. Power Spectral Density Function of Dam Water Level Data

Fig. 3에 주어진 모델 중 간단 단순한 형태는 잡음이 0이며, 가장 단순한 형태의 transfer function을 가지는 경우이다. 가장 단순한 형태의 transfer function은 선형시스템으로 전체 주파수에서 동일한 크기 증폭과 위상차를 발생시키는 형태이다. 즉 모든 주파수에 대해 $A(f)$와 $\phi(f)$가 상수인 경우이다.

Fig. 4는 양수발전 댐의 수위 계측데이터의 파워스펙트럴밀도함수(power spectral density function)이다. 그림을 보면 2~3개의 주된 주파수 성분이 있음을 확인할 수 있다. 일반적으로 토목구조물과 같은 시스템의 입력신호(or 하중)의 경우 2~3개의 주된 에너지를 가지는 주파수 성분으로 구성되어 있다. 본 연구에서는 크기 1을 가지는 두 개의 주된 주파수 성분으로 구성된 입력에 대해 다음과 같은 4종류의 가장 단순한 형태를 가지는 transfer function을 모사하고, 이러한 시스템의 출력, 즉 계측데이터를 생성하였다.

본 연구에서 사용된 시스템(transfer function)은 시스템 입력신호를 구성하는 각 주파수 성분의 크기와 동일한 크기의 주파수 성분들을 출력하며, 입력과 출력을 구성하는 주파수 성분들 사이에 30°, 45°, 60°, 90°의 위상차(시간 축 상에서의 지연)를 가지게 된다.

Fig. 5는 두 개의 주파수 성분으로 구성된 입력신호에 대해 Table 1에 주어진 transfer function들에 의해 생성된 출력신호들을 그린 그림이다.

Fig. 6은 Fig. 5에 주어진 시스템 입력-출력 계측 신호로부터 결정된 산포도이다. 이 산포도는 개별 데이터 관점에서 분석을 수행하는 선형회귀모델 생성에 사용된다.

이때 시스템 출력은 시스템 입력에 대해 완벽한 인과관계를 가지게 되며, 출력신호를 구성하는 계측 값은 100 % 입력에 대한 시스템 거동과 관련된 수치가 된다. 즉 출력신호들은 시스템 거동(평가)과 관련하여 100 % 공학적 유용성을 가지는 정보들로 구성되어 있으며, 출력신호가 가지는 정보량은 100 % 공학적으로 유용한 정보량이다.

Fig. 5. Input and Output Signals of the System. (a) Phase Delay $\theta =30^{\circ}$, (b) Phase Delay $\theta =45^{\circ}$, (c) Phase Delay $\theta =60^{\circ}$, (d) Phase Delay $\theta =90^{\circ}$

Fig. 6. Scatter Plot with Linear Regression Model. (a) Phase Delay $\theta =30^{\circ}$, (b) Phase Delay $\theta =45^{\circ}$, (c) Phase Delay $\theta =60^{\circ}$, (d) Phase Delay $\theta =90^{\circ}$

선형회귀모델에 의한 개별 데이터 관점에서 계측 신호에 들어있는 공학적으로 유용한 사용 가능 정보량의 상대적 크기를 평가하기 위해 Fig. 6에 주어진 입·출력 계측 신호 쌍들에 대해 결정계수를 결정하였다. Fig. 7은 주어진 입력신호와 입력신호에 의한 시스템 거동인 출력신호 사이의 결정계수를 계산하고, 계산된 결정계수를 시스템 위상차(delay)에 따라 그린 그림이다. 그림을 보면 입·출력신호 사이, 즉 입력 하중과 시스템 거동의 위상차(시간차)가 커질수록 결정계수의 값이 감소함을 볼 수 있다. 즉 위상차가 커질수록 계측데이터가 시스템 거동과 관련된 모든 정보를 포함/표현하고 있다 하더라도 개별 데이터 관점에서 계측데이터가 가지는 공학적으로 유용한 활용 가능 정보량의 크기는 감소함을 알 수 있다.

Fig. 7. Coefficient of Determination and Weighted Coherence Function Magnitude according to Phase Delay

순차적 데이터 관점에서 동일한 계측신호에 대해 공학적으로 유용한 활용 가능 정보량을 평가하였다. 결정계수를 계산하는데 사용된 Fig. 5에 주어진 신호들에 대해 2.2장에서 언급된 방법에 따라 가중 기여도 함숫값을 결정하였다. 결정된 값은 Fig. 7에 결정계수와 같이 나타내었다. 그림을 보면 가중 기여도 함숫값은 위상차 크기에 상관없이 1의 값을 가짐을 볼 수 있다. 즉 계측 시계열의 순서 정보를 이용하는 순차적 관점에서는 계측데이터가 가지고 있는 대상 시스템 거동과 관련된 실제 정보량을 모두 정확히 활용할 수 있음을 알 수 있다.

위상차에 따른 가중 기여도함수 크기와 결정계수 크기를 비교해보면 입력-출력신호 사이에 위상차가 존재하는 시스템의 경우, 위상차가 커짐에 따라 입·출력신호 사이에 완벽한 인과관계를 가지는 경우(출력신호의 모든 부분이 시스템 거동과 관련되어 있는 경우, 즉 시스템 거동과 관련된 정보로만 출력신호가 100 % 구성되어 있는 경우)라도 선형회귀모델과 같은 개별 데이터 관점 분석은 계측데이터가 가지고 있는 대상 시스템의 거동과 관련된 의미 있는 정보의 활용도가 감소함을 즉, 사용 가능 정보량이 감소함을 볼 수 있다. 이에 반해 동일 신호에서 순차적 관점에서 데이터 분석을 수행하는 경우 위상차 크기에 상관없이 계측데이터에 포함되어있는 대상 시스템의 거동을 효과적으로 표현·활용할 수 있음을 볼 수 있다. 즉 순차적 데이터 관점 분석은 개별 데이터 관점과 달리 계측데이터에 포함되어 있는 대상 시스템 거동과 관련된 정보를 모두 사용할 수 있다.

2.4 계측 시계열 데이터 분석 시 선형회귀모델의 한계

선형회귀모델은 시계열 계측데이터를 개별 데이터 관점에서 분석한다. 선형회귀모델의 목적은 시스템 입력에 대한 시스템 거동인 출력신호를 예측하는 데 있다. 따라서 선형회귀모델의 성능은 동일 입력에 대한 시스템 출력과 선형회귀모델에 의한 결과 비교를 통해 이루어진다.

Fig. 8. Comparison of Predicted System Output from Case-based Regression Models with Measured System Output. (a) Phase Delay $\theta =30^{\circ}$, (b) Phase Delay $\theta =45^{\circ}$, (c) Phase Delay $\theta =60^{\circ}$, (d) Phase Delay $\theta =90^{\circ}$

Table 1에 주어진 CASE 별 생성된 입·출력신호들에 의해 결정된 선형회귀모델 식들을 Fig. 6에 산포도와 함께 나타내었다. Fig. 8은 결정된 회귀분석모델식을 사용하여 입력신호에 따라 예측된 출력값과 실제 출력값을 비교한 그림이다.

Fig. 8을 보면 시스템이 유발하는 위상차(지연)가 커짐에 따라 시스템 입력에 대해 선형회귀모델을 사용하여 결정된 시스템 출력 예측치와 실제 시스템 출력값 사이의 차이가 커짐을 볼 수 있다. 즉, 완벽한 인과관계를 가지는 입·출력신호를 사용하여 결정된 선형회귀 모델식이라도 입·출력신호 사이에 지연이 존재하는 시스템의 경우 대상 시스템의 거동을 제대로 표현하지 못하는 경우가 발생할 수 있음을 알 수 있으며, 이러한 오류 상황은 피할 수 없다. 이러한 오류에 의해 선형회귀모델에 의한 예측치의 최댓값은 실제 시스템 출력 계측 값에 비해 작고 예측치 최솟값은 계측 값 최솟값에 비해 큰 값을 가지게 된다. 이러한 계측치 최댓값과 최솟값은 대상 시스템 평가 시, 이상상태를 알리는 인덱스로 사용될 수 있다. 따라서 예측치 최댓값이 실제 계측 값보다 작은 값을 가지게 되고, 예측치 최솟값이 계측 값보다 큰 값을 가지게 되면, 실제 시스템 상태를 잘못 판단할 수 있게 된다.