2.1 kappa 분포형

본 연구에서는 강우 지역빈도해석에서 지역 공통 성장곡선을 정의하기 위해 kappa 분포를 적용하였다. kappa 분포는 ^Mielke(1973)에 의해 3개 매개변수 확률분포형으로 제안되었으며, 이후 ^{Hosking(1994)}이 이를 L-moment 기반의 4개 매개변수 확률분포형으로 확장하였다. ^{Hosking(1994)}의 kappa 분포는 위치($x_0$), 규모($\alpha$), 그리고 두 개의 형상($\beta$, $h$) 매개변수를 포함하는 확률분포형이다. 지역 매개변수가 결정되면, kappa 분포는 누적분포함수(Cumulative Distribution Function, CDF)와 확률밀도함수(Probability Density Function, PDF)를 Eq. (1)와 Eq. (2)으로 나타낸다.

형상 매개변수 중 $h$는 분포의 꼬리 부분(tail) 특성을 결정짓는 중요한 역할을 하며, 값에 따라 GLO ($h = -1$), GEV ($h = 0$), GPA ($h = +1$)의 다양한 분포형으로 환원될 수 있다. 따라서 복잡한 강우 사상의 극치 거동을 모의하는 데 있어 기존 3개의 매개변수를 갖는 확률분포형보다 높은 유연성을 갖는다. 다만, kappa 분포형은 매개변수 증가에 따른 통계적 과적합의 위험이 존재할 수 있으나, 본 연구에서는 개별 지점의 변동성을 지양하고 지역적 정보를 공유하여 추정의 안정성을 높이는 지역빈도해석과 이상치에 강건한 L-moment법을 병행 적용하여 추정의 안정성을 확보하고 통계적 왜곡을 최소화한다.

2.2 적합도 평가(Goodness-of-fit measure)

본 연구에서는 ^{Hosking and Wallis(2005)}가 제안한 L-moment 기반 지역빈도해석 방법을 적용하였다. 구축된 동질지역 내 지점들에 가장 적합한 확률분포형을 선정하기 위해, 적합도 검정 통계량인 $Z^{DIST}$를 사용하였다. 이는 지역 내 각 지점의 평균 L-kurtosis와 대상 분포형의 이론적 L-kurtosis 간의 차이를 기반으로 정의된다. 적합성 척도 $Z^{DIST}$는 Eq. (9)과 같이 정의되며, 이는 관측된 지역 평균 L-kurtosis ($t_4^R$)와 모의 실험을 통해 산정된 분포형의 이론적 L-kurtosis ($\tau_4^{DIST}$)의 편차를 시뮬레이션의 표준편차($\sigma_4$)로 표준화한 값이다. 이때 편향 보정을 위해 확률적 모델링 기법인 Monte Carlo simulation을 통한 모의 지역의 평균 L-kurtosis 편향($B_4$)을 고려한다. 본 연구에서 kappa 분포를 활용한 모의 발생은 1,000회로 진행하였다.

판단 기준으로는 $Z^{DIST}$가 0에 가까울수록 해당 분포형의 적합도가 높음을 의미한다. 유의수준 10 %를 기준으로 $|Z^{DIST}| \le 1.64$일 때 해당 분포형이 지역을 대표하기에 적합하다고 판정한다^{(Hosking and Wallis, 2005)}. 본 연구에서는 모든 L-moment 통계량 산정 및 적합도 검정 절차를 R 통계 프로그램의 lmomRFA (version3.8; ^{Hosking, 2024)} 및 lmomco (version2.5.1; ^{Asquith, 2024)} 패키지를 활용하여 수행하였다.

4.1 적합도 평가

본 연구는 대상 지역에 대해 기존 5개 확률분포형과 kappa 분포 간의 적합도를 비교하기 위해 $Z^{DIST}$ 통계량을 활용하여 분석하였다(Fig. 2). Fig. 2(a), (b)에서 녹색 음영은 적합성 판단 기준인 ±1.64 범위를 의미하며, 이 범위 내에 위치하는 경우 통계적으로 적합한 분포형으로 간주된다. 두 지역 모두 GEV, GLO, GNO, GPA, PE3 분포에서 $Z^{DIST}$의 중앙값은 기준 범위를 벗어났으며 통계적으로 부적합한 것으로 나타났다. 새롭게 도입한 kappa 분포형은 지점의 모든 지속기간별 적합성 척도가 기준 범위 내에 위치하였다. $Z^{DIST}$ 기준으로는 두 지역 모두 kappa에서 높은 적합도를 보였다.

Fig. 2에서는 표현되지 않았으나 12번 지역에서는 kappa 분포의 매개변수 추정이 불가능한 지속기간이 존재하는 것을 확인하였다. 자세한 비교를 위해 Table 1에서 GEV와 kappa 분포의 $Z^{DIST}$값을 지속기간별로 나타냈다. 12번 지역에서 지속기간 6시간부터 24시간까지 kappa 분포의 매개변수 추정이 불가능했다.

Fig. 2. Goodness-of-fit Measures ($Z^{DIST}$): (a) and (b) Boxplots of $Z^{DIST}$ Values for Regions #12 and #15, Respectively

4.2 L-moment ratio diagram 분석

12번 지역의 매개변수 추정 실패 원인을 규명하고자 지속기간(1, 12, 24, 72시간)에 따라 L-moment ratio diagram을 분석하였다. Fig. 3에서 파란 점은 개별 관측소를, 빨간 점은 지역 가중 평균 L-kurtosis와 L-skewness 값을 나타내며, 5개 확률분포형의 이론 곡선을 범례와 같이 도시하였다.

2.2절에서 언급한 바와 같이 kappa 분포는 도표 상에서 정의역 범위 내에 면(Area)으로 정의되는데, 검정색 굵은 실선($h = -1$; GLO curve)과 얇은 실선($h = \infty$) 사이의 회색 영역이 kappa 분포의 이론적 해가 존재하는 구간이다. 분석 결과, 매개변수 산정이 가능했던 지속기간 1시간과 72시간(Fig. 3(a), (d))은 가중 평균값이 회색 영역 내에 안정적으로 위치했다. 반면, 추정에 실패했던 12시간과 24시간(Fig. 3(b), (c))의 경우 가중 평균값이 허용 범주를 벗어나 GLO 곡선($\tau_4 < (5\tau_3^2 + 1)/6$) 상단에 위치하는 것으로 나타났다. 이는 관측 자료로부터 산정된 표본 L-moment ratio($t_3$, $t_4$)가 kappa가 가질 수 있는 이론적 상한선(upper bound)을 초과했기 때문이다. 결과적으로, 이론적 L-moment ratio($\tau_3$, $\tau_4$)와 표본 값($t_3$, $t_4$)을 일치시키는 해가 유효 영역 내에 존재하지 않으며 수학적 모순을 방지하기 위해 본 연구에서 활용된 알고리즘 내부에서 배제하도록 설계되어 있어 매개변수 추정이 불가능한 것으로 분석되었다^{(Hosking and Wallis, 2005; Hosking, 1990)}.

한편, 15번 지역에 대해서도 동일한 지속기간(1, 12, 24, 72시간)에 대한 분석을 수행한 결과, 대부분의 개별 관측소 값과 지역 가중 평균값이 kappa 분포의 이론적 해가 존재하는 영역 내에 위치하였다(Fig. 3(e)-(h)). 이에 따라 15번 지역에서는 모든 지속기간에 대해 kappa 분포형의 매개변수 추정이 안정적으로 가능함을 확인하였다.

Fig. 3. L-moment Ratio Diagrams for Region #12 and #15 by Duration

4.3 15번 지역의 kappa 분포형 기반의 확률강우량 추정

적합도 결과에 따라 kappa 분포 적용 가능으로 선정된 15번 지역에 대하여, kappa와 국내 실무에서 통용되는 GEV 분포를 이용해 확률강우량을 각각 산정하고 이를 비교하여 분석하였다. 우선, 두 분포형의 꼬 거동 특성을 시각적으로 확인하기 위해 지속기간 1, 12, 24, 72시간 자료에 대한 Gumbel probability plot을 제시하였다.

Gumbel probability plot은 극치값 이론에 기반한 표현 방식으로, 비초과확률을 Gumbel 분포의 누적분포함수로 변환하여 표현한 것이다. 비초과확률 0.9 이상과 같은 높은 확률 영역이 상대적으로 크게 확대되어 표현되므로, 분포형의 꼬리 거동과 극치 영역에서의 적합성을 집중적으로 평가하고자 활용하였다. Fig. 4를 살펴보면, 높은 확률 영역에서 두 확률분포형 간의 차이가 비교적 뚜렷하게 나타났다. 도시된 두 관측소에서 모든 지속기간에 대해 관측된 무차원 성장계수는 두 확률분포형의 이론 곡선과 전반적으로 유사한 분포 경향을 보였다. 지속기간 1시간의 경우 두 확률분포형의 거동은 전체적으로 일치하는 것으로 나타났다. 반면, 지속기간 12시간과 24시간에서는 비초과확률 0.9 이상의 영역에서는 두 확률분포형 간의 거동 차이가 명확하게 나타났다. 지속기간 12시간에서는 관측된 무차원 성장계수의 증가 경향이 완만해지는 특성을 kappa 분포가 상대적으로 더 근접하게 재현하였다. 24시간의 경우 비초과확률 0.9 이상 부근에서 무차원 성장계수가 증가하는 경향을 GEV 분포가 상대적으로 잘 추정되는 것으로 나타났다.

Fig. 4. Comparison of Probability Plots of Dimensionless Growth Factors for GEV and kappa Distributions in Station #10141212 and #10144010 (Duration: 1, 12, 24 hr)

이러한 시각적 차이를 정량적으로 규명하기 위해 지속기간(1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 72시간) 및 재현기간(50, 100년)에 따른 GEV 대비 kappa 분포형의 확률강우량 변화량 ($\Delta = Q_{Kappa} - Q_{GEV}$) 및 변화율($Rate = \Delta / Q_{GEV} \times 100$)을 산정하여 Fig. 5에 도시하였다. 확률강우량의 변화량(Fig. 5(a), (b))에서 재현기간 50년의 경우 지속기간 1시간에서 중앙값이 -14.9 mm였으나, 72시간에서는 -82.7 mm로, 재현기간 100년의 경우 -22.8 mm에서 -122.8 mm로 그 차이가 크게 확대되었다. 이는 모든 지속기간과 재현기간에서 GEV가 kappa보다 큰 확률강우량을 산출하고 있음을 수치적으로 보여줬다. 특히 지속기간 6시간에서 12시간으로 넘어갈 때 값의 차이가 상대적으로 증가함과 동시에, boxplot의 interquartile range (IQR)에 해당하는 박스 높이 또한 급격히 확대되는 양상을 보였으며, 이는 12시간 이후 관측소 간 분산의 폭이 커지는 것으로 판단되었다. 변화율(Fig. 5(c), (d)) 역시 유사한 경향을 확인하였다. 구체적으로 재현기간 50년에는 -18.2 %에서 -21.3 %로, 100년은 -24.8 %에서 -28.6 %로 분포하며 뚜렷한 감소 추세를 나타냈으며, 가장 큰 감소 폭은 중앙값을 통해 72시간임을 확인하였다. 변화율의 편차는 모든 재현기간에서 1시간과 12시간에서 가장 크게 나타났으며, 변화량과 유사하게 6시간에서 12시간으로 넘어갈 때 IQR이 증가하는 현상이 확인되었다.

Fig. 5. Changes in Rainfall Depth (mm) and Percentage Change (%) of kappa Relative to GEV Distribution for Region #15. (a), (b) Change; (c), (d): Rate of Change

15번 동질지역에서 kappa 분포의 확률강우량이 GEV 분포 대시 약 20-30 % 범위로 낮게 산정된 원인은 두 분포형의 매개변수 구조 차이에 따른 극한 꼬리 거동의 차이로 판단되었다. 비초과확률 0.99 이상의 극한 구간(Fig. 4)에서 극한값 없이 상승하는 GEV와 달리, kappa 분포는 통계적 상한선을 두어 꼬리의 상승 폭을 통제함으로써 극한값의 과대 추정을 방지하며 GEV 분포 대비 상대적으로 낮은 확률강우량이 도출된 것으로 분석되었다.

Fig. 4에서 대표했던 관측소(#10141212, #10144010)를 대상으로, 지속기간 1, 12, 24시간에 대해 kappa와 GEV 분포로부터 산정된 확률강우량을 Fig. 6에 제시하였다. 재현기간에 따른 확률강우량의 규모 및 변화 양상을 도시함으로써, 분포형의 선택이 결과에 미치는 영향을 관측소별로 직관적으로 확인하였다. 일반적인 수문학적 특성에 따라 재현기간이 길어질수록 확률강우량도 증가하였으나, 특정 재현기간을 기점으로 두 분포형 간의 우열 관계가 전환되었다. 관측소 #10141212의 경우, 낮은 재현기간(지속기간 1, 12시간에서는 재현기간 10년; 지속기간 24시간에서는 재현기간 5년) 이하에서는 kappa 분포가 더 큰 값을 보였으나, 이후 재현기간이 증가함에 따라 GEV 분포가 이를 상회하는 역전 현상이 발생하였다(Fig. 6(a), (b), (c)). 관측소 #10144010에서도 재현기간 5년을 기점으로 확률분포형 간 상관관계가 반전되는 동일한 경향이 관찰되었다(Fig. 6(d), (e), (f)).

Fig. 6. Rainfall Quantile from kappa and GEV Distribution for the 1 hr, 12 hr, and 24 hr in the Stations #10141212 and #10144010