2.1 선폭 하천의 하천수 감소량 해석해

^Hunt(1999)는 Fig. 1과 같이 하천–무한대수층–지하수 양수정 경계치 문제에 대해 지하수 양수에 따른 지하수두 강하량 및 하천수 감소량을 산정하는 해석적 모형을 개발하였다.

하폭이 대수층 규모에 비해 매우 작아 하천을 선으로 간주하고, 지하수 양수정은 균질, 등방의 대수층 바닥까지 완전 관통하여 수평 방향 지하수 흐름이 지배적이며, 지하수 수두 강하는 대수층 두께에 비해 상대적으로 매우 작다는 가정 하에 수평 2차원 지하수 흐름방정식의 해를 구하였다. 특히, 지하수 양수에 따른 하천 누수량(leakage)은 하천과 지하수의 수위 차이에 비례한다고 보고 지하수 수두 강하량과 하상 수리전도성(streambed hydraulic conductance)의 곱을 하천의 길이 방향으로 적분하여 Eq. (1)과 같이 지하수 양수에 따른 하천수 감소량 $q_r(t)$ 산정식을 수학적으로 유도하였다.

여기서, $Q$는 지하수 양수량, $\mathrm{erfc}$는 0에서 1사이의 값을 갖는 여오차함수(complementary error function), $T$는 투수량계수, $S$는 저류계수, $L$은 하천과 양수정 간 거리, $t$는 시간, 그리고, $\lambda$는 하상수리전도성으로 하상퇴적층 수리전도도($K_s$)와 하폭($W$)의 곱을 하상퇴적층 두께($M$)로 나눈 값이다.

이러한 ^Hunt(1999) 해석해는 유한차분법, 유한요소법 등의 복잡한 수치해석 기법이 필요 없고, 대수층과 하천의 수리상수 입력변수만으로 손쉽게 하천수 감소량을 산정할 수 있어 실제로 뉴질랜드^{(Environment Canterbury, 2000)} 등 해외에서 널리 사용되고 있다. 그러나, 하폭의 크기를 무시하고 하천을 선으로 간주함에 따라 하폭이 넓은 대하천에 적용하기에는 제약이 따른다. 물론 이 해석해의 입력값으로 하폭과 하상수리전도도의 함수인 하상수리전도성($\lambda$)을 사용하기에 간접적으로 하폭의 영향을 고려하고 있다. 그럼에도 불구하고 하폭이 작으나 하상수리전도도가 큰 경우와 반대로 하폭이 크나 하상수리전도도가 작은 경우를 구별할 수 없다. 또한 하천-양수정 간 거리가 하천 중심으로부터 거리($L$)인지 하천경계로부터 거리($L' = L - W/2$) 인지도 구분할 수 없는 단점이 있다.

2.2 유한폭 하천의 하천수 감소량 해석해 유도

본 연구에서는 하폭 크기와 하천경계 위치 등 기하학적 구조를 고려한 해석해를 유도하였다. 이를 위해 유한폭 하천-무한대수층-양수정에 대한 경계치 문제를 Eqs. (2)–(4)와 같이 설정하였다. Eq. (2)는 경계치 문제의 지배방정식으로 수두 강하량($s$)의 함수로 나타낸 수평 2차원 지하수 흐름방정식이며, 하천 누수의 생성(source)항과 양수정의 소멸(sink)항이 포함되었다. 특히 Eq. (3)과 같이 $\Omega(x)$는 하천 누수 영향을 나타내는 함수로 하폭구간에서는 단위 폭 당 하상수리전도성이고 그 외 구간에서는 0의 값을 갖는 것으로 정의하였다. 그리고, Eq. (4)는 초기조건과 공간적으로 무한대에서의 경계조건이다.

여기서, $x$는 하천 횡단 방향, $y$는 하천 길이 방향, $\delta$는 dirac delta 함수, 그리고, $S$, $T$, $L$, $W$, $\lambda$는 Eq. (1) 기호 설명과 같다.

지배방정식 Eq. (2)를 푸리에-라플라스(Fourier-Laplace) 이중 변환하면 Eq. (5)와 같이 $x$에 대한 상미분방정식으로 나타낼 수 있다.

여기서, $\hat{\bar{s}}$는 $s$의 푸리에-라플라스 변환형으로 Eq. (8)과 같으며, $s$의 푸리에 및 라플라스 변환 형태는 각각 Eq. (6)과 Eq. (7)과 같다.

Eq. (5)와 같은 2계 상미분방정식의 일반해는 지수항의 선형합으로 나타낼 수 있으며, 4개 구간으로 구분하여 표현하면 Eqs. (9)–(12)와 같다.

여기서, 수두 감소량은 무한대에서 0의 값을 가지므로 $\hat{\bar{s}}_{\mathrm{I}}$와 $\hat{\bar{s}}_{\mathrm{IV}}$는 하나의 지수항으로 나타낼 수 있고, $\mu_0 = \sqrt{\omega^2 + S p / T}$, 그리고, $\mu_i = \sqrt{\omega^2 + (S p + \lambda / W) / T}$이다. 하천 양쪽 경계($x = \pm W/2$)에서의 수두 및 플럭스 연속 조건과 양수정 위치($x = L$)에서의 수두 연속 및 플럭스 jump 조건은 Eqs. (13)–(18)과 같이 나타낼 수 있다.

이상과 같은 6개의 식으로 미지수인 6개 계수 값을 구할 수 있다. 이 계수 값들을 Eqs. (9)–(12)에 대입하고, 다시 수치적 푸리에 역변환 및 라플라스 역변환을 순차적으로 수행하면 시간영역에서의 수두감소량 $s$를 구할 수 있다.

지하수 양수로 인해 시간적으로 변하는 하천수 감소량 $q_r(t)$는 하천 내 지하수두 강하량을 하폭 및 하천길이 방향으로 적분하고 여기에 단위 폭 당 하상수리전도성을 곱해 Eq. (19)와 같이 나타낼 수 있다. 이를 라플라스 변환하고, 라플라스-푸리에 변환된 수두강하량 Eq. (8)에서 $\omega = 0$ 모드만 고려하면 Eq. (20)과 같다. 여기에 하천구역 내 수두 강하량, 즉, 구간 II에 대한 Eq. (10)을 대입하면 라플라스 영역에서의 하천수 감소량 $\bar{q}_r(p)$ 산정식 Eq. (21)을 얻게 된다.

본 연구에서 제안한 하천수 감소량 산정식은 푸리에-라플라스 영역에서의 수두강하량 $\hat{\bar{s}}$을 직접 활용한다는 점이며, 이에 따라 푸리에-라플라스 이중 변환을 거칠 필요 없이 라플라스 변환 및 역변환만으로 산정이 가능하다. 본 연구에서는 ^{Stehfest(1970)} 라플라스 수치 역변환 기법을 이용해서 최종적으로 Eq. (22)과 같이 시간 영역에서의 하천수 감소량 $q_r(t)$을 산정하였다.

3.1 해석해 검증

유한폭 하천의 지하수 양수에 따른 하천수 감소량 산정을 위해 본 연구에서 개발한 해석적 모형을 검증하기 위해 지하수 유동해석 분야에서 널리 사용되고 있는 MODFLOW 모형으로 수치해를 구하고, 그 결과를 해석해 적용 결과와 함께 Fig. 2에 나타내었다. 그림에서 횡축은 양수시간(days), 종축은 하천수 감소량을 지하수 양수량으로 나누어 무차원화(dimensionless streamflow depletion)한 값이다. 그리고, 실선은 본 연구에서 개발한 해석해를 적용한 결과이고, 표식이 있는 점선은 MODFLOW 모델링 결과이다. Fig. 2(a)는 $T = 50\text{ m}^2/\text{d}$, $S = 0.1$, $L = 300\text{ m}$, $W = 300\text{ m}$, $K_s/M = 0.1\text{ d}^{-1}$인 조건(case 1)에 대한 결과로서 본 연구에서 개발한 해석해와 수치모델링 결과가 서로 잘 일치하는 것을 알 수 있다. Fig. 2(b)는 $T = 20\text{ m}^2/\text{d}$, $S = 0.05$, $L = 100\text{ m}$, $W = 100\text{ m}$, $K_s/M = 0.1\text{ d}^{-1}$인 조건(case 2)에 대한 결과로서 Fig. 2(a) 조건에 비해 수리확산계수($T/S$)는 비슷하고 하상수리전도성은 작으나, 상대적으로 짧은 거리가 지배적인 작용을 하여 하천수 감소량의 시간적 변화가 빠른 반응을 나타내고 있다. 역시 해석해와 수치모델링 결과가 서로 잘 일치하는 것을 확인할 수 있다.

3.2 선폭과 유한폭 해석해 적용 결과 비교

본 연구에서 개발한 유한폭 하천수 감소량 해석해 Eqs. (21)–(22)와 선폭 하천수 감소량 해석해 Eq. (1)을 적용한 결과를 비교하여 하폭의 크기가 하천수 감소량 산정 결과에 미치는 영향을 분석하였다. Fig. 3은 대수층과 하상 수리특성이 $T = 50\text{ m}^2/\text{d}$, $S = 0.1$, $K_r/M = 1.0\text{ d}^{-1}$이고, 하천경계와 양수정간 거리($L'$)가 $L' = L - W/2 = 100\text{ m}$이고, 하폭이 $W = 10\text{ m}$(Fig. 3(a))와 $W = 100\text{ m}$(Fig. 3(b))인 조건에 대해 시간에 따른 하천수 감소량의 변화를 무차원화여 나타낸 것이다. 그림에서 실선은 유한폭 해석해를, 점선과 표식점선은 선폭 해석해를 적용한 결과이다. 점선은 하천 중심으로부터 거리($L = L' + W/2$)를, 표식점선은 하천 경계로부터 거리($L = L'$)를 입력했을 때의 결과이다. Fig. 3(a)에서와 같이 하폭이 작은 $W = 10\text{ m}$일 때는 두 해석해가 거의 동일하지만, Fig. 3(b)과 같이 하폭이 $W = 100\text{ m}$로 넓어짐에 따라 차이가 발생하는 것을 알 수 있다. Fig. 3(b)에서 실선과 점선을 비교하면 유한폭 해석해가 선폭 해석해에 비해 크게 산정되었는데, 이는 지하수 수두 강하 영향이 하천에 도달하는 시점이 전자가 더 빠르기 때문이다. 즉, 선폭의 경우 하천 중심에서 수두 강하가 일어나야 하천수 손실이 발생하지만, 유한폭의 경우는 이 보다 짧은 거리인 하천 경계에서부터 발생하기 때문에 하천수 감소가 상대적으로 빠르게 일어난다. 일반적으로 선폭 해석해를 적용할 때에는 선폭 해석해의 중심을 하천 경계부로 하여 거리를 $L = L'$로 설정한다. 이에 대한 결과인 표식점선과 비교해 보면, 유한폭 해석해는 지하수 양수에 따른 하천수와 지하수의 수위 차이가 양수정에 가까운 하천 경계부터 점차 먼 경계 쪽으로 지연되어 발생하기 때문에 선폭 해석해에 비해 시간적으로 더 지체되어 낮은 값을 보인다. 이상과 같이 선폭 해석해를 넓은 하폭에 적용할 경우 하천-양수정 거리 기준점 설정에 따라 하천수 감소량 거동 특성에 큰 차이를 나타내고 있으며, 유한폭 해석해는 하천 중심을 기준으로 양수정 위치 및 하폭에 따른 하천 경계 위치를 고려하여 유도한 것이기 때문에 하폭 규모에 상관없이 적용할 수 있다.

대수층 및 하상의 수리특성값 조합에 따른 선폭 해석해와 유한폭 해석해의 적용 결과를 비교하였다. Table 1과 같이 투수량계수는 10, 20, 50, 100, 200, $500\text{ m}^2/\text{d}$, 저류계수는 0.01, 0.02, 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 하상수리전도도는 0.1, 0.5, 1.0, 1, 5.0, $10.0\text{ m}/\text{d}$, 하천바닥층 두께 1 m, 하폭 및 하천경계부터 관정간의 거리는 각각 100 m씩 증가시켜 100 부터 1,000 m로 하여 총 21,600 가지 조건에 대해 하천수 감소량을 산정하고, 그 결과를 Fig. 4부터 Fig. 6에 나타내었다. 하천에서 양수정까지의 거리는 유한폭 해석해는 하천중심을 기준으로, 반면에 선폭 해석해는 하천 경계를 기준으로 한 거리를 적용하였다.

Fig. 4는 양수시간 100일 및 365일 후 양수량 대비 하천수 감소량을 일대일로 비교하여 나타낸 것이다. 선폭 해석해가 유한폭 해석해에 비해 하천수 감소량을 과대 산정하고 있으며, 양수기간이 증가함에 따라 두 해석해의 차이가 줄어들고 있다. 즉, 장기간 양수 영향을 평가할 때는 선폭 해석해도 유용할 수 있으나, 단기간 양수 영향은 유한폭 해석해를 사용해야 하폭 영향이 제대로 반영될 수 있음을 의미한다.

Fig. 5는 양수시간 100일 후 하폭(Fig. 5(a)) 및 이격거리(Fig. 5(b))에 따른 두 해석해의 상대적 차이(relative difference)를 도시한 것으로 선폭 결과에서 유한폭 결과를 감한 값을 종축에 나타내었다. 하폭이 증가할수록, 그리고 하천과 양수정간의 거리가 짧아질수록 선폭 해석해가 하천수 감소량을 과대 산정하는 것을 알 수 있다.

하폭과 거리에 따른 영향을 복합적으로 나타내기 위해서 하천경계부터 양수정간의 거리를 하폭으로 나누어 상대거리($L'/W$)에 따른 두 해석해의 상대 차이를 Fig. 6과 같이 나타내었다. 상대거리가 증가함에 따라 두 해석해 차이가 감소하며, 양수기간이 늘어날수록 더욱 그 차이는 줄어듦을 알 수 있다. 대략 상대거리가 약 2보다 커야 두 해석해간 차이가 0.05 미만의 값을 갖는 것으로 분석되었다. 즉, 유한폭 하천에 대해 100일 이상 장기간 지하수 양수에 따른 하천수 감소량을 산정하기 위해 선폭 해석해를 이용할 경우, 하천 경계로부터 양수정까지의 거리가 하폭의 최소 2배 정도 떨어진 조건에 한해 적용하는 것이 바람직할 것으로 판단된다.