2.1. 입력자료 현황

본 연구에서는 극치 사상을 추출하기 위해 국내 기상청 (http://www.kma.go.kr/)에서 관리하는 자동종관기후관측소 (Automatic Synoptic Observation System, ASOS) 중 한강 유역 18개 지점에 대한 자료를 구축하였으며, 자료는 지점 별 시자료를 사용하여 지속시간 1시간부터 23시간까지의 최대 강우 및 6월~9월까지의 계절 총강우량을 산정하여 분 석을 위한 D/B를 구축하였다. Fig. 1.

Fig. 1. A conceptual representation of the Bayesian beta distribution based nonstatioanry frequency analysis (Flowchart of Research).

Table 1에 따르면 우리나라는 6월~ 9월에 호우가 집중적 으로 발생한다는 것을 확인할 수 있으며 이 기간 동안 80 mm 이상의 호우는 전체 발생일수 중 64.7%를 나타내었으 며 150 mm 이상은 88.0%를 나타내었다. 따라서 본 연구 에서는 호우 발생의 빈도가 가장 많이 발생하는 6월~ 9월 자료만을 사용하여 분석을 실시하였으며, 관측 자료를 이용 한 분석을 위하여 18개 지점의 시 자료에 따른 지속시간별 최대치 및 6월~ 9월의 연 총 강우량를 구축하였다. Fig. 2 는 분석에 사용된 18개 지점 위치를 도시하였으며, Table 2는 지점 현황을 표시하였다.

Fig. 2. A map showing Han-River watershed and ASOS stations used in this study.

Table 3은 본 연구에서 활용한 대표 관측소의 연극치 강 수량 자료의 기본적인 통계치 값을 나타낸다. 평균값을 기 준으로 서울지점의 지속시간 2, 4, 8시간의 강우량이 가장 큰 것으로 나타났으며 대표지점 모두에서 양의 왜도 (positive skewness)를 나타내어 좌측으로 치우친 분포를 나 타낸다. 왜도가 왼쪽으로 치우치면 서울과 같이 지속시간이 짧은 범위에서 강우량이 집중된다는 것을 나타낸다. 첨도 (kurtosis)는 각 지점의 지속시간에 따라 다른 양상을 보이 고 있으며 상대적으로 대관령 지점은 증가를 보이며 그 외 속초, 인천 및 서울 지점은 감소를 나타내고 있다. 지속시 간이 길어질수록 첨도 값이 작아지는 것은 분포의 퍼짐정 도가 커진다는 의미를 나타낸다. 본 연구에서는 통계적 타 당성을 위하여 1981~2015년까지의 30년 이상의 자료를 사 용하여 지속시간별 연 극치 강우강도 및 계절 총 강수량을 산정하였다. 4개 지점의 경우 1973년부터 자료가 활용가능 하지만, 기후변화 시나리오와의 비교를 위해 최근 자료만을 이용하여 모형을 구축하였다.

2.2. Beta 분포

사후확률의 적합성을 나타내기 위해서는 전체적분 값이 1을 가져야하지만 다변량 함수의 분모를 적분할 때 수학적 으로 추정하거나 추론하는 것은 불가능하다. 베타분포는 사 후확률(posterior probability)의 분모 부분을 계산하지 않기 위한 특별한 형태의 사전확률(prior probability) 분포를 나 타낸다.

p(y|x)와 p(x)의 곱으로 계산되는 사후확률을 다시 사전 확률과 같은 형태의 수식으로 변환 시 베르누이분포로 정 의된 p(y|x)와 유사한 x^p(1-x)^q 형태의 함수를 선정하는 것이 유리하며 이와 같은 형태를 수식으로 나타내면 Eq. (1)과 같다.

여기서 B(p,q)는 확률분포를 적분했을 시 값을 1로 만들기 위한 상수로 베타함수(beta function)라 하며 다음과 같이 정의한다.

Γ(•)는 Gamma 함수를 나타낸다.

Fig. 3은 매개변수 p, q에 따른 베타분포의 확률밀도함수 (probability density function, PDF), 누적분포함수(cumulative distribution function, CDF)를 나타낸다. 그림에서 나타낸 것처럼, 베타분포는 매개변수에 따른 확률밀도함수를 다양 한 형태로 정의할 수 있는 장점을 가지고 있다.

Fig. 3. A representation of flexible shape of beta distribution functions corresponding to a different set of parameters. Left panel shows probability distribution while right panel shows cumulative distribution.

Four-Parameter(4P)-Beta 분포는 일반적인 Beta 분포의 신 뢰도를 높이기 위하여 하한 매개변수(a)와 상한 매개변수 (b)를 추가 고려한 분포를 나타낸다. 추가된 매개변수를 고 려하여 Eq. (1)을 변형한 4P-Beta 분포의 PDF는 Eq. (3)과 같이 나타낼 수 있다(^{Johnson et al., 1995}).

Eq. (1)의 경우 확률변수 x의 범위는 0과 1사이로 정의 하지만 상한, 하한 매개변수를 추가로 고려할시 a < x < b 로 수정된다. 본 논문에서는 하한매개변수는 추정하였지만, 상한매개변수는 연도별 계절 총강수량을 적용하여 x의 최 댓값에 범위를 정의하는 동시에 모형의 비정상을 가지는 입력변수로 활용하였다.

2.3. Bayesian Approach

Bayesian 추론은 대상의 사전확률과 추가적인 관측을 통 하여 사후확률을 추정하는 통계적 추론법이다. 상기 통계법 은 수문학 연구뿐만 아니라 그 외 불확실성을 추정하기 위 한 다양한 연구에서 사용되고 있다. 본 연구에서는 지속시 간별 극한 강우 모의 시 Eq. (3)의 매개변수인 p, q, a의 불 확실성을 고려하여 매개변수를 추정하기 위함이다(^{Kwon et al., 2008}; ^{Lima and Lall, 2010c}; ^{Renard, 2011}; ^{Viglione et al., 2013}). 관측 자료가 동일한 분포를 따른다는 가정 하에 Eq. (3)의 우도함수(L)는 Eq. (4)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서, x는 지속시간별 극한 강우자료를 나타내며 시변성 에 따라 x_t = {x₁,...,x_n}로 나타나며, b는 동일 연도의 6 월~9월까지의 계절총강우량을 나타낸다.

Bayesian 추론 과정에서 매개변수 p, q, a의 결합사후분포 는 매개변수와 관측 데이터 x_t, b_t로부터 계산되어지는 우도 L과 사전확률분포 π(p, q, a)의 곱으로 평가되며 Eq. (5)와 같이 나타낼 수 있다.

주변우도(marginal likelihood) L(x|b)는 사후확률 Pr(p, q, a|y) 의 합을 1로 표준화하기 위해서 사용되는 상수의 역할을 수행한다. 매개변수의 사전확률분포 π(p, q, a)을 추정하기 위해서는 데이터에 대한 기본 정보를 사전에 알아야하며, 본 연구에서는 p > 0, q > 0인 정보로 범위 [0, 1]에서 독립 되어 있으며 균일한 사전 분포를 제안하였다.

강우량은 0 미만의 값을 가질 수 없기 때문에 하한 값은 0 이상의 값을 가지며 지속시간별 강우량의 하한 값이 향 후 증가할 것이라는 확실한 기록과 정보가 없기 때문에 하 한 값의 최대는 지속시간별 강우량 x의 최솟값 또는 x의 관측된 다른 최솟값 보다 작다고 가정하였다.

Eq. (4)와 Eq. (5)인 우도함수와 사전확률에 따른 결합 사 후확률은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

Eq. (9)에서 매개변수 p, q, a에 대하여 이론적 적분은 쉽 지 않기 때문에 본 연구에서는 Markov chain Monte Carlo (MCMC) 기법을 이용하여 사후분포를 추정하였다. MCMC 기법은 사후분포에 대한 모의기법중 가장 널리 사용되는 기법으로 Markov Chain을 이용하여 매개변수간의 관계를 구성하고 이를 무한히 큰 수만큼 반복하는 적분기법을 이 용하여 최종적으로 매개변수의 통계적 특성을 산정하는 방 법이다(^{Kim and Lee, 2008}; ^{Kwon et al., 2012}). 본 연구에 서는 MCMC 방법 중 깁스표본법을 이용하여 매개변수들 을 추정하였으며, 모형의 Convergence를 확증하기 위해서 3개의 Chain을 독립적으로 시행하여 Sampling이 효과적으 로 혼합(mixing)되도록 하였다. 본 연구에서 사후분포의 수 렴은 ^{Gelman et al. (2013)}가 제안한 R ˆ  계수 및 시각적으 로 판단하여 한강 유역 18개 강우관측소 지점의 지속시간 에 따른 확률 분포의 매개변수를 산정하였다.

3.1. Bayesian Beta 모형에 따른 지속시간별 연 최대 강우강도 모의 결과

본 연구에서 활용하고자 하는 4P-Beta 분포의 타당성을 평가하기 위해 대표 관측소 별로 관측 값에 대한 모의실험 을 수행하였다. 대표적으로 서울지점의 2시간, 4시간, 8시 간 및 16시간에 대한 극치강수량 모의실험 결과는 Fig. 6 에 도시하였다. 앞서 언급하였듯이, 계절강수량과 극치강수 량과의 관계를 고려한 모형으로서 서울지역의 계절강수량 이 4P-Beta 분포의 상한값 b로 입력되었으며, 이를 반영하 여 지속시간별 극치 강수량을 모의할 수 있다. 모의실험 수행 결과 4P-Beta 분포를 통해 도출된 모의 값과 관측값 이 지속시간이 커짐에 따라 더욱 정확하게 모의되고 있으 며, 불확실성도 효과적으로 추정되고 있다. 다만 입력 자료 인 계절강수량과 지속시간별 강우량 사이의 관계에서 상관 성이 낮은 지점은 상대적으로 Credible Interval이 크게 산 정된 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6. Simulation results of extreme rainfall series for different durations using seasonal rainfalls as inputs.

지속시간별로 계절강수량과 4P-Beta 분포로부터 모의된 극치강수량 결과와 관측 값의 상관관계를 비교해보면 속초 는 최대 약 0.58, 대관령은 0.61, 서울 0.80 및 인천 0.65가 산정되었으며, 이 외 14개 지점에서도 비슷한 상관성을 나 타내었다. 서울지점은 지속시간 2시간일 때 0.60, 4시간일 때 0.65, 8시간은 0.71, 16시간은 0.78로 증가하는 것을 확 인할 수 있으며 이는 극치강수량의 지속시간이 증가할수록 계절총강수량에 수렴하는 영향이라 할 수 있다. Fig. 7에 모의된 지속시간별 연 극치강우량과 관측값을 비교한 결과 대부분이 25%와 75% 불확실성 구간 사이에 위치하는 것 을 확인할 수 있다. 본 연구의 Bayesian 4P-Beta 모형을 통 하여 모의된 지속시간별 극치강우량은 지속시간이 증가할 수록 기존 관측 값과 유사성이 크게 증가하는 것을 확인할 수 있다. 본 연구를 통해 도출된 극치강수량의 예측정보는 단기간의 홍수예측을 위한 직접적인 입력 자료로 활용되기 에는 무리가 있으며 3개월 시간규모에서 극치강수량의 전 망정보로 활용되는 것이 모형의 개발목적에 부합된다 하겠 다. 이와 더불어 전망결과를 이용하는데 있어서 제시된 불 확실성 정보를 토대로 확률론적 접근도 적절한 활용방안으 로 판단된다. Fig. 8.

Fig. 7. Boxplots of simulated annual maximum rainfalls for four different stations and durations. Symbol circle represent the observed mean of annual maximum rainfalls.

Fig. 8. Scatter plots between the simulation and observed extreme rainfalls according to different durations (Seoul station).

3.2. 지속시간별 매개변수 불확실성 정량화 및 설계 강우량 산정

본 연구에서는 4P-Beta 분포의 매개변수의 사후분포를 추정하기 위하여 Bayesian MCMC 방법을 적용하였으며 매 개변수의 수렴을 검증하기 위해서 3개의 Chain을 독립적으 로 시행하여 샘플링이 효과적으로 혼합되도록 하였으며 이 를 통해 매개변수의 불확실성 구간을 정량화하였다. 본 연 구에서 제안하는 4P-beta 분포의 적합성을 검토하기 위하 여, 국내외에서 극치 강우량 분석에 주로 사용되는 GEV, Gumbel 및 Log-normal 분포를 비교대상으로 검토하였다. 4개 확률분포의 적합정도를 정량적으로 평가하기 위하여 음대수우도(Negative log-likelihood, NLLH)를 추정하여 다 음 Fig. 9에 비교하였다. 비교대상인 GEV 및 Gumbel 분포 는 극치수문자료에 가장 일반적으로 적용되며 적합성 또한 타 분포보다 우수하다. 본 논문에서 적용하는 4P-Beta분포 의 경우 상한계분포를 가지는 분포형으로서 비정상성 해석 모형으로 적용성이 우수한 점을 활용하고자 하며, 이러한 점에서 기존 극치분포보다 우수성을 강조하기 보다는 적용 상의 차이가 크지 않음을 평가하는데 주안점을 두고 비교 를 실시하였다.

Fig. 9. Negative log-likelihood for Sokcho, Daegwallyeong, Seoul and Incheon station.

NLLH 값은 작을수록 적합한 분포형을 나타내며 본 연구 에서 비교한 분포 중 대수우도를 기준으로 판단해보면 Log-Normal 및 Gumbel 보다 상대적으로 GEV와 4P-Beta 분포가 대부분의 지속시간에서 적합한 것으로 판단되었으 며 거의 동일한 NLLH를 나타내는 것을 확인할 수 있다. Fig. 9는 GEV 및 4P-Beta에 따른 NLLH 값을 도시한 것이 다. 또한 지속시간 24시간에 가까워질수록 값이 지수함수 적으로 작아지는 것을 확인할 수 있으며, 이는 지속시간이 길어질수록 확률분포의 적합성이 좋아지고 있음을 의미한 다. 지속시간 1 ~ 24시간에 대한 4P-Beta 분포와 GEV 분포 의 음대수우도가 차이가 거의 나타나지 않고 있다. 이러한 점에서 기존 빈도해석 대표 분포형으로 활용되는 GEV와 비교해서 적합성 측면에서 거의 차이를 나타내고 있지 않 는 점을 고려할 때 빈도해석을 위한 분포형으로 적용이 가 능할 것으로 판단된다. Table 4는 지속시간 1, 6, 12, 18, 24시간에 따른 NLLH 결과를 나타낸다.

본 연구에 이용한 지속시간별 극치 강우량 및 계절 총 강우량은 시변성을 가지고 매년 유사한 변동성을 가진다. 따라서 계절 총강우량을 활용하여 비정상성이 반영된 예측 기반의 IDF 곡선을 유도하는 방안 수립과 적용성을 평가하 고자 한다. 지속시간별 극치강우량을 산정에 있어 비정상성 을 고려하기 위하여, Bayesian 4P-Beta 분포 상한치인 매개 변수 b가 시간에 따라 변화하는 것으로 가정하였으며, 계 절총강우량이 입력 자료로 활용된다. 비정상성 빈도분석을 수행하여 자료에 내포된 시간에 따른 변동 특성을 고려하 였으며 18개 강수 지점에 적용하여 비정상성 IDF 곡선을 유도하였다. 기존 정상성 빈도해석 결과와 비교하기 위하여 비정상성 빈도해석 결과를 시간적으로 누적하여 IDF 곡선 을 산정하였으며, 대표지점으로 속초, 대관령, 서울 및 인 천지점에 대해서 Fig. 10에 나타내었다. 대부분의 지점에서 4P-Beta 분포를 이용하여 빈도 분석된 결과의 중간값이 관 측 값의 대한 기존 빈도분석 결과와 거의 동일한 것을 확 인할 수 있었다. 대표지점을 제외한 14개 지점에서도 동일 한 특징으로 관측 값의 확률강우량과 모의 값의 확률강우 량의 값의 편차가 작게 산정되었다.

Fig. 10. Intensity-Duration-Frequency curves corresponding to different return levels.

Fig. 11은 각 지점의 Bayesian 방법에 따른 매개변수의 불확실 구간을 정량화하여 도시한 결과이며, 전 강수지점에 대한 분석을 실시하여 확률강수량의 공간적인 분포를 관측 값 기반의 정상성 결과와 비교하여 Fig. 12에 나타내었다. 앞서 언급된 바와 같이 지속시간이 길어질수록 지속시간별 연최대강수량과 계절강수량의 상관성이 증가하기 때문에 추정되는 매개변수에 대한 불확실성도 그만 큼 감소하게 된다. 동일하게 지속시간이 짧을수록 매개변수의 불확실성 도 증가하게 되며, 이러한 결과가 IDF 곡선 산정에도 효과 적으로 반영되고 있음을 Fig. 11에서 확인할 수 있다.

Fig. 11. Intensity-Duration-Frequency curves and their uncertainties corresponding to different return levels.

Fig. 12. Comparisons of spatial distribution of design rainfalls for 24-hour duration, corresponding to different return levels.

본 연구에서는 Bayesian 4P-Beta 모형에 의하여 지속시간 별 극치강우량 시계열을 산정하였으며 비정상성 빈도분석 을 수행하여 2, 5, 10, 25, 50, 100 및 200 year의 재현기간 에 해당하는 결과를 산정하였다. 산정 결과 대부분의 지점 에서 평균에 해당하는 연도를 기준으로 산정된 IDF 곡선은 기존 빈도분석 결과와 거의 동일한 극치강우량을 나타내는 것을 확인하였다. 평균에 해당하는 연도를 기준으로 산정된 IDF 곡선에 대해서 구체적으로 평가해 보면, 한강유역의 18개 지점중 대관령, 춘천, 강릉, 서울, 강화, 양평, 이천 및 홍천 지점에서는 모의 값의 빈도분석 결과 값이 관측값에 따른 확률강우량보다 미소하게 감소하는 경향을 나타냈다. 전체 지점은 2년 빈도의 빈도분석은 -1.1% ~ 1.5%의 지점 별 변동폭이 있으며, 5년은 -1.5% ~ 2.7%, 10년은 -2.0% ~ 3.5%, 25년은 -2.5% ~ 4.5%, 50년은 -2.7% ~ 5.0%, 100년 -3.0% ~ 5.5% 및 200년은 -3.0% ~ 5.9%를 나타냈다. 지점 및 빈도에 따라서 관측 값과의 편차가 존재하지만 대부분 불확실성 구간에 위치하고 있으며, 상대적으로 작은 편차를 나타내고 있다. 이는 기존 정상성빈도해석 절차가 전체 기 간의 평균을 중심으로 이루어진다는 점에서 당연한 결과로 판단된다.

본 연구에서는 비정상성 모형으로서 매년 계절강수량 변 화에 따른 빈도해석이 가능하다. 비정상성 모형으로서의 장 점을 평가하기 위하여 지점별 관측 계절강수량이 최대 또 는 최소인 경우의 연도를 선정하여 해당연도에 따른 빈도 분석 결과와 전체 연도에 따른 빈도의 중간 값, 관측 값의 빈도분석 결과를 비교하여 Table 5에 나타내었다. 모의 분 석된 결과에서 대표지점 속초, 대관령, 서울 및 인천 지점 중 속초 지점은 1984년(June)에 최대 강우가 발생하였고 1994년에 최소 강우를 나타냈으며, 대관령, 서울 및 인천의 경우 1990년도 및 1998년도에 최대 강수가 발생하였으며, 2015년에 최소 강우량을 보였다. 이는 과거 극한호우, 태풍 및 가뭄 발생시기와 일치한다. 계절강수량이 큰 해의 경우 추정되는 설계강수량 또한 이를 반영하여 정상성빈도해석 결과에 비하여 상당한 차이를 나타내고 있으며, 이는 비정 상성모형의 장점을 대표적으로 보여주는 결과라 할 수 있 다. 즉, 예측되는 계절강수량을 토대로 다양한 지속시간에 해당하는 극치강수량으로 Downscaling이 가능한 모형이라 할 수 있다.

Table 5는 계절총강수량 값에서 최대, 최소를 기록한 연 도의 모의 값의 빈도분석 결과 및 중앙값, 평균값을 나타 낸 것이다. 모의된 결과의 평균값에 따른 빈도분석 결과가 관측 값의 빈도분석 결과와 작은 편차를 나타내는 것을 확 인할 수 있다. Fig. 13은 Table 5에 제시된 결과 중 100년 빈도에 해당하는 각 지속시간별 최대 및 최소 연도의 값, 평균, 중앙 및 관측 값을 도시하여 나타낸 것이다.

Fig. 13. Comparisons of design rainfalls for the 100 year return period, corresponding to the maximum, median, mean and minimum seasonal rainfalls.