2.1. 흐름방향 모의기법

2.1.1. 8-흐름방향방법

8-흐름방향방법은 Fig. 1과 같이 3 × 3 pixel window를 기 반으로 하여 운용된다. 여기서 Z_i(i = 0,1,2,...,8)는 각 pixel 의 표고를 나타내는 것으로 중앙에 위치한 pixel의 표고 Z₀을 중심으로 다음과 같이 이웃한 8개 pixel들과의 경사 S_j을 산 정하여 흐름방향을 결정하게 된다.

Fig. 1. 8-Flow Direction.

(1)

S j = Z 0 − Z j L ; j = 1 , 2 ,..., 8

여기서 L은 중앙 pixel과 이웃한 pixel들의 중심 간 거리이다.

이 방법은 흐름의 분할방식에 따라 SFD와 MFD의 두 가 지 개별적인 범주로 분류될 수 있는데 그 개요는 다음과 같다. 우선 상대적으로 단순한 방법인 SFD는 대상 pixel과 이웃한 8개 pixel들 사이의 S_j을 Eq. (1)에 따라 산정하고 최급하향경사(steepest descent slope)를 갖는 한 개의 pixel 을 선정하여 전체 흐름을 할당하게 된다(^{O'Callaghan and Mark, 1984}). ^{Quinn et al. (1991)}이 제안한 MFD는 전술한 SFD와 달리 대상 pixel 주위의 8개 방향에 대하여 Eq. (1) 에 따라 S_j을 산정하고 이중 해당 pixel보다 표고가 낮은 모 든 방향에 대하여 일정한 비율을 가지고 흐름을 분할한다. 전술한 두 범주의 방법은 양자 모두 흐름방향이 축 방향과 대 각선 방향으로 고정되어 있어 실제 물 입자의 유동을 구속할 수 있으며 특히 SFD의 경우 수렴지형(convergent topography)에서의 유동은 비교적 잘 모의하지만 발산지형(divergent topography)의 유동 모의에는 한계를 가지는 것으로 알려져 왔다. 또한 MFD 의 경우 이와는 반대로 발산지형에서 나타나는 흐름의 분산 효과를 고려할 수 있지만 수렴지형의 경우 흐름이 과도하 게 분산되는 한계점이 보고되어 왔다.

2.1.2. ∞-흐름방향방법

8-흐름방향방법의 대안으로 제시된 바 있는 IFD의 개요 는 다음과 같다(^{Tarboton, 1997}). DEM을 기반으로 흐름방향 을 산정하기 위하여 Fig. 1과 유사하게 3 × 3 pixel window 를 Fig. 2(a)와 같이 고려하여 본다. 여기서 각 pixel 중앙 의 점은 해당 pixel의 표고를 의미하는 것으로 이들을 Fig. 2(a)와 같이 서로 연결할 경우 개별 측면(facet)의 형상이 삼각형으로 이루어진 8면체를 구성할 수 있다. 또한 각 측 면의 경사는 Eq. (2)와 같이 정의되는 경사벡터로서 특성화 할 수 있게 된다(Fig. 2(b)).

Fig. 2. ∞-Flow direction Method.

(2)

s 1 = e 0 − e 1 / d 1 ; s 1 = e 1 − e 2 / d 2

여기서 s₁, s₂는 각각 경사벡터의 x, y성분이고 e₀, e₁, e₂는 Fig. 2(b)와 같이 삼각형 측면의 꼭지점에 해당하는 표고이 며 d₁, d₂는 이들 사이의 거리이다. 이 경사벡터의 방향 r과 크기 s는 다음과 같이 산정할 수 있다.

(3)

r = tan − 1 s 2 / s 1 ; s = s 1 2 + s 2 2 1 / 2

만약 Eq. (3)에 따라 산정된 r이 0 ~ tan^-1(d₂/d₁)의 범 위 내에 있지 않을 경우 흐름의 과도한 분산을 방지하기 위하 여 해당 단면의 경사는 다음과 같이 평가되어 진다(^{Tarboton, 1997}).

(4)

r < 0 : r = 0 ; s = s 1 r > tan − 1 d 2 / d 1 ; r = tan − 1 d 2 / d 1 ; s = e 0 − e 2 / d 1 2 + d 2 2 1 / 2

이상의 과정에 따라 산정되는 8면의 경사 중 최급하향경 사를 선택하여 그에 해당하는 r과 s를 중앙 pixel 지점의 흐름방향 및 경사로 하는 것이 IFD의 핵심을 이룬다. IFD 에 따른 흐름누적의 모의는 흐름방향 r에 따라 1) 한 개의 하류방향 pixel로 배수하는 경우와 2) 두 개의 하류방향 pixel로 분산하여 배수하는 경우의 두 가지 형태로 나타나 게 된다. 전자의 경우 흐름누적의 산정은 SFD와 일치하게 된다. 하지만 후자의 경우 Fig. 2(a)에서 보는 바와 같이 경 사벡터가 두 pixel과 이루는 교각 α₁, α₂의 상대적인 크기 를 가중치로 하여 흐름을 분할하게 된다.

2.2. 멱함수 법칙분포

^{Kim et al. (2016)}은 배수면적(drainage area) A에 대한 멱함수 법칙분포의 기본 관계를 ^{Clauset et al. (2009)}의 방법 론에 따라 다음과 같이 2매개변수 확률밀도함수(probability density function)의 형태로 제시한 바 있다.

여기서 α는 지수(exponent)이고 A_min은 멱함수 법칙분포가 성립하는 정의역의 하한계이다. Eq. (5)는 유역의 유출(혹 은 질량) 응집구조를 특성화하는 관계식으로서 이를 기반 으로 A의 통계모멘트에 대한 관계식을 다음과 같이 해석적 으로 표현할 수 있게 된다.

여기서 E[•]는 기대치 연산자이고 Z는 통계모멘트의 차수 (order)로서 멱함수 법칙분포의 경우 차수별 통계모멘트의 정의가 α에 종속적임을 Eq. (6)의 우변으로부터 확인할 수 있다. 특히 만약 α의 값이 2보다 작을 경우 모든 차수에 대한 통계모멘트들이 발산하게 됨을 알 수 있다. 이는 해 당 확률변수의 대표적인 규모를 규정할 수 없는 복잡계의 전형적인 특성을 나타낸다. 또한 멱함수 법칙분포의 초과 확률(exceedance probability) F(A) 역시 Eq. (5)를 기반으로 다음과 같이 해석적인 형태로 나타낼 수 있게 된다.

한 가지 흥미로운 사항은 F(A)가 f(A)와 마찬가지로 멱함 수의 형태를 취하는 것으로 이들은 양자 모두 양대수지 상 에서 직선의 형태로 나타나게 됨을 확인할 수 있다.

2.3. 대상유역

본 연구에서는 설마천 시험유역 내 전적비교 유역을 대상 유역으로 선정하였다(Fig. 3). 해당 유역은 동경 126°54'57" ~ 126°55'54" 및 북위 37°54'57"~37°56'23"에 위 치하고 있으며 유역면적이 약 8.5 km², 주하천 연장은 약 5.8 km 정도의 미개발 지대로서 대부분이 산림지역이고 유 역 내부에 약간의 전답이 포함되어 있다. DEM의 생성에는 국립지리원에서 발행한 1/25,000 수치지형도를 적용하였고 pixel의 해상도는 20 × 20 m로 하였다. 실제 DEM의 처리과 정에는 Hamburg 대학을 중심으로 개발된 SAGA를 적용하 였다. SAGA는 open source 형태의 free software로서 유역 의 지형분석을 위하여 개발된 다양한 모의기법들을 조합하 여 순차적으로 운용할 수 있도록 구성한 지형분석 tool kit 의 일종이다. 이에 따라 본 연구에서는 전술한 세 가지 흐 름방향방법(SFD, MFD, IFD)을 교차 적용하여 동일한 유역 의 배수구조가 가질 수 있는 변동성을 검토하여 보았다. Fig. 4는 SAGA를 이용하여 sink를 제거한 대상 지역의 DEM으로서 중앙 원 내부의 녹색 점은 전적비교 유역의 출구지점의 위치를 나타낸다.

Fig. 3. Jeonjeokbigyo Basin.

2.4. 멱함수 법칙분포의 적합

본 연구에서는 Eq. (5)의 두 매개변수 A_min과 α의 추정에 다 음과 같이 최우도법(method of maximum likelihood)을 적용하 였다. A에 대하여 n개의 관측치(A_i ≥ A_min, i = 1,2,...,n)가 주어질 경우 Eq. (5)에 따른 해당 변수의 우도는 다음과 같이 산정될 수 있다.

여기서 Π는 다중곱 연산자이다. 분석의 편의를 위하여 Eq. (8)의 양변에 대수를 취하고 α에 대한 1계 도함수 (∂lnp(A|α)/∂α = 0)의 형태로 정리할 경우 해당 우도를 최대화하는 매개변수의 추정치 α ˆ 에 대한 관계식을 다음과 같이 유도할 수 있게 된다.

Eq. (9)를 이용하여 α ˆ 를 추정하기 위해서는 A_min에 대한 합리적인 결정이 요구된다. 이를 위하여 ^{Clauset et al. (2009)}은 다음과 같이 Kolmogorov-Smirnov(KS) 통계량 D 의 적용을 제안하였다.

여기서 S(A)와 F(A)는 각각 관측치와 Eq. (7)로부터 산정되 는 초과확률(exceedance probability)로서 만약 특정한 A_min 을 가정할 경우 Eqs. (9) and (10)로부터 그에 대응하는 α ˆ 와 A_min가 추정될 수 있다. 이러한 과정을 A_min에 대한 모든 가정치 혹은 모든 A_i 에 대하여 수행할 경우 D를 최소화하 는 α ˆ 와 A_min을 찾을 수 있게 된다. 따라서 본 연구에서는 전술한 방법론을 적용하여 A에 대한 멱함수 법칙분포 적 합을 수행하여 보았다.

3.1. 흐름방향방법의 개별적용

대상 지역(Fig. 4)에 대하여 세 가지 흐름방향방법을 개 별적으로 적용하여 흐름누적을 산정하여 보았다. 여기서 흐 름누적은 SFD의 경우 상류배수면적 A와 동일한 의미를 갖 지만 MFD와 IFD의 경우 흐름의 분산으로 인하여 A보다는 응집된 유량에 보다 가까운 개념을 가짐을 알 수 있다. 하 지만 본 연구에서는 MFD와 IFD에 따른 흐름누적 역시 지 점별 A와 동일한 의미로 가정하여 분석을 수행하였다. Fig. 5는 각 pixel별 흐름누적(m²)에 대한 산정결과를 도시해 본 것으로 흐름방향방법에 따라 상이한 양상들이 나타남을 확 인할 수 있다. 특히 SFD(Fig. 5(a))의 경우 선명한 하천선 (혹은 하천망)의 형태가 출현함을 볼 수 있지만 MFD(Fig. 5(b))와 IFD(Fig. 5(c))의 경우 마치 Fig. 5(a)에 따라 종이 위에 잉크로 그린 하천선이 번져나가는 것과 같은 형상을 보여 흐름의 분산이 흐름누적에 미치는 영향을 시각적으로 확인할 수 있다.

Fig. 4. DEM with No Sinks.

Fig. 5. Flow Accumulation Map: (a) SFD, (b) MFD, (c) IFD.

Fig. 6은 전적비교 유역의 출구를 통해 배수되는 유량에 대한 개별 pixel들의 기여도(contribution)를 흐름방향방법에 따라 백분율의 형태로 표시한 것이다. 여기서 기여도라 함은 유역 내 임의 지점(혹은 해당 pixel)에 떨어진 초과강우 (rainfall excess)가 흐름 경로(flow path)를 통하여 출구에 도 착하는 정도를 나타내는 것으로, 임의 pixel의 기여도가 50 % 일 경우 해당 지점에 발생한 1 mm의 초과강우 중 절반(0.5 mm)은 유역의 출구를 통하여 지표유출(surface runoff)의 형 태로 배수되지만 나머지 절반은 흐름의 분산을 통하여 유역 경계 밖으로 손실됨을 의미한다. 흥미로운 사항은 흐름방향방 법에 따라 출구지점에 기여하는 공간적 범위가 변화하는 것으 로 SFD, IFD, MFD의 순서로 기여 면적(Contributing Area)이 성장해 감을 볼 수 있다. 이는 각 방법의 운용과정 내에서 흐 름의 분산을 허용하는 정도에 기인하는 것임을 알 수 있다.

Fig. 6. Flow Contribution to Outlet: (a) SFD, (b) MFD, (c) IFD.

Table 1은 Fig. 6에 도시된 흐름방향방법별 주요 결과를 요약한 것이다. 여기서 제 2열은 기여도가 0 %를 초과하는 모든 pixel들의 면적의 합(즉 총 기여 면적)을 나타내는 것 으로 전술한 흐름의 분산에 따른 기여 면적의 성장을 정량 적으로 확인할 수 있다. 주목되는 사항은 흐름방향방법에 따른 pixel별 기여도의 변동성으로서 SFD의 경우 모든 pixel들이 동일하게 100 %의 값을 갖지만 MFD와 IFD는 각각 1.64 × 10^-33 ~ 100 % 및 3.14 × 10^-6 ~ 100 %의 범위를 가짐을 볼 수 있다. 특히 흐름의 분산을 허용하는 두 방법 의 경우 기여도가 100 %인 지점은 오직 출구지점 하나뿐인 것으로 나타났다. 또한 각 방법별 평균 기여도의 경우 SFD 는 100 %이지만 MFD와 IFD는 각각 30.34 % 및 44.90%임 을 볼 수 있다. 이는 초과강우의 유출율과 동일한 의미를 갖는다. 수문학 분야에서 초과강우는 총강우로부터 증발산 (evapotranspiration)이나 침투(infiltration)와 같은 수문학적 손실을 제외한 강우부분으로 정의된다. 이에 따라 SFD의 경우 일반적인 유역의 정의에 따라 기여 면적 내 발생한 모든 초과강우가 직접유출의 생성에 기여하게 되지만 MFD 나 IFD의 경우 흐름 경로 내의 분산을 통하여 추가적인 손 실을 발생시킬 수 있음을 알 수 있다. 본 연구의 대상 유 역인 전적비교 유역의 경우 Table 1의 평균 기여도에 대한 산정결과로부터 유역 전반에 걸쳐 MFD나 IFD를 적용할 경우 과도한 흐름의 분산을 초래할 수 있음을 정량적으로 확인할 수 있다. 전술한 바와 같이 흐름의 분산 정도에 따 라 출구지점에 대한 기여 면적은 증가하지만 지점별 기여 도는 감소하게 됨을 확인할 수 있었다. Fig. 7은 전적비교 유 역의 흐름방향방법별 기여 면적의 경계(Fig. 6)를 DEM(Fig. 4)과 중첩하여 3차원 공간상에 도시한 것으로 SFD의 경우 일반적인 유역 경계의 정의와 동일하게 능선의 궤적을 따 라 구성되지만 MFD와 IDF의 경우 흐름 분산의 정도에 따 라 능선을 넘어 기여 면적이 확장되어 가는 경향을 확인할 수 있다.

Fig. 7. 3D View of the Jeonjeokbigyo Basin with Various Catchment Divides.

3.2. 유출응집구조의 변동성

전적비교 유역에 대한 A의 여누가 분포(complementary cumulative distribution)를 흐름방향방법별로 Fig. 8과 같이 양대수지 상에 도시하고 Eqs. (9) and (10)에 따라 멱함수 법칙분포로의 적합을 수행하였다. Table 2는 흐름방향방법 별 매개변수에 대한 추정결과로서 이에 따라 작도된 F(A) 곡선을 Fig. 8에 중첩하여 도시하여 보았다. Table 2에서 주 목할 만한 사항은 제 2열의 α ˆ 로 서 세 가지 방법 모두 2보 다 작은 값으로 나타남을 볼 수 있다. 이는 Eq. (6)에 따라 모든 차수에 대하여 A의 통계모멘트가 정의되지 않음을 의 미하는 것으로서 흐름누적의 경우 흐름방향방법에 관계없이 대표적인 규모를 정량적으로 결정할 수 없는 규모 불변성 (scale invariance) 지형인자임을 입증하는 것이다. ^{Kim et al. (2016)}은 SFD를 기반으로 국내 유역에 대한 분석을 통 하여 이러한 형태의 거동이 다수의 유역에 대한 결과에서 공통적으로 나타날 수 있음을 제시한 바 있다. 따라서 Table 2의 결과는 본 연구에서 고려한 세 가지 흐름방향방 법이 유역 내 물 입자의 유동을 비교적 합리적으로 모의하 고 있음을 반증하는 것으로 판단할 수 있다.

Fig. 8. Power Law Distribution of the Drainage Area: (a) SFD, (b) MFD, (c) IFD.

^{Moglen and Bras (1995)}는 Fig. 8과 같은 A에 대한 멱함 수법칙분포 곡선을 그 형태에 따라 1) 원점 부근의 역 S자 형구간, 2) 곡선 중심부의 직선구간 그리고 3) 끝부분의 급 락(急落)구간 등 총 3개의 개별적인 구간으로 구분한 바 있다. 특히 이들은 1) 구간과 2) 구간 사이에 위치한 곡선 의 굴절이 구릉지사면(hillslope)과 계곡(valley) 사이의 유출 응집구조의 차이를 나타냄을 지적하였는데 특히 자신들이 개발한 지면진화모형 SIBERIA를 기반으로 유역 내 주도적 인 침식(erosion) 현상이 fluvial process에서 hillslope process 로 변화할 경우 굴절이 발생하는 위치가 원점을 기준으로 오른쪽으로 이동하게 됨을 보여주었다. 따라서 Table 2의 A_min에 대한 추정치는 흐름방향방법에 따른 구릉지사면과 계곡 사이의 유출응집거동을 구분하는 일종의 임계값(threshold)으 로 판단할 수 있다.

3.3. 흐름방향방법의 조합적용

MFD와 SFD (MFD with SFD) 및 IFD와 SFD(IFD with SFD)를 조합하여 흐름누적을 산정하여 보았다. 이러한 시 도의 주목적은 발산지형과 수렴지형에서 각각 발생하는 흐 름의 분산효과와 응집효과를 지표면의 형상에 따라 구분하 여 동시에 모의해 보고자 하는 것으로 본 연구에서는 1) A_i ≤ A^*인 지점에서는 MFD나 IFD를 2) A_i > A^*인 지점 에서는 SFD를 적용하여 각 pixel별 흐름방향을 할당하고 흐름누적을 산정토록 하였다. 여기서 A_i는 유역 내 i번째 지점의 흐름누적을 의미하고 A^*는 지표면의 형상에 대한 임계값이다. A^*와 관련하여 ^{Kim and Kim (2007)}은 전적 비교 유역의 국부경사와 배수면적 사이의 관계에 대한 선 행연구를 통하여 해당 유역 내 발산지형과 수렴지형 사이 의 임계값으로 800 m²를 제시한 바 있다. 따라서 본 연구 에서는 이 값을 이용하여 흐름방향방법을 조합하여 적용하 여 보았다. 또한 Table 2에서 제시한 MFD와 IDF에 대한 A_min(즉 구릉지사면과 계곡 사이의 임계값)을 A^*로 교차 적용하여 보다 합리적인 지형분석 결과를 도출할 수 있는 방법을 모색코자 하였다.

Fig. 9는 전적비교 유역을 대상으로 흐름방향방법을 조합 하여 흐름누적을 산정한 결과로서 기여 면적의 범위는 MFD with SFD(Fig. 9(a) and (b))와 IFD with SFD(Fig. 9(c) and (d))가 각각 Fig. 6(b) and (c)와 동일하게 나타나지만 Fig. 5에 비하여 흐름의 분산효과가 상당히 감소하여 산정되고 있음을 시각적으로 확인할 수 있다. 이것은 유역 내에서 발생하는 흐름의 분산효과와 응집효과를 동시에 모의한 결 과로서 3.1절에서와 같이 세 가지 흐름방향방법을 각기 개 별적으로 적용하는 것 보다 신뢰성 있는 지형분석 결과인 것으로 판단된다.

Fig. 9. Flow Accumulation: (a) MFD w/t SFD byA*= 800 m2(b) MFD w/t SFD byA*= 3,400 m2(c) IFD w/t SFD byA*= 800 m2(d) IFD w/t SFD byA*= 5,000 m2

Fig. 10은 Fig. 6과 유사하게 전적비교 유역의 출구를 통 해 배수되는 유량에 대한 개별 pixel들의 기여도를 도시한 것으로 흐름방향방법의 조합에 따른 기여도의 변화를 확인 할 수 있다. Table 3은 Fig. 10의 결과를 정량적으로 평가 하기 위하여 평균 기여도에 대하여 정리한 것으로서 Table 2에서 제시한 A_min을 A^*로 적용한 경우 두 방법 모두 절반 에 가까운 흐름 경로를 통한 손실이 발생하여 여전히 과도 한 흐름의 분산이 나타나지만 A^*가 800 m²일 경우 두 방 법 모두 약 10 % 내외의 손실만이 발생하여 보다 신뢰성 있는 방법론인 것으로 판단할 수 있다.

Fig. 10. Flow Contribution to Outlet: (a) MFD w/t SFD byA*= 800 m2, (b) MFD w/t SFD byA*= 3,400 m2, (c) IFD w/t SFD byA*= 800 m2, (d) IFD w/t SFD byA*= 5,000 m2.