2.1 단순 수문분할모형

본 연구에서는 유역의 공간평균 토양수분의 상태를 모의하기 위하여 유역을 수직방향으로 표면층, 토양층, 대수층으로 구분한 단순 수문분할모형(Simple Hydrologic Partitioning Model, SHPM)이 구성된다. SHPM에서 유역에 내린 강수는 1차적으로는 토양 습윤량과 직접유출량으로 분할되고, 토양으로 스며든 습윤양은 다시 더 깊은 토양층으로 침루하거나 대기로 기화되는 수문학적인 분할과정을 겪게 된다(^{Lee et al., 2020}).

표면층에서는 강수량을 입력받아 지표면 최대 저류고 까지는 지표면 저류시키며, 그 이상의 초과강우 는 토양층으로 내려 보낸다. 지표면에 저류된 물은 아래와 같이 증발산에 영향을 미친다.

여기서 는 시간 에서 표면층 증발산량, 는 잠재증발산량, 는 지표면 저류량이다.

지표면 초과강우 로부터 토양층에 저류되는 습윤양 와 직접유출 은 NRCS-CN 방법(^{USDA-SCS, 1985})에 착안하여 아래와 같이 계산된다.

여기서 는 토양층의 유효깊이이며, 는 0에서 1 사이로 정규화된 토양수분이다. 토양층에 저류된 물의 증발산 은 아래와 같이 모의된다.

여기서 는 임계 토양수분으로, 현재 토양수분이 이보다 작을 경우에는 토양수분에 비례하여 증발산량이 감소되며, 이보다 클 경우에는 대기가 요구하는 만큼의 증발산이 이루어진다.

토양층으로부터 대수층으로 침루되는 양은 포화투수계수 , 침루 지수 , 토양층 토양수분의 함수로 아래와 같이 계산된다.

대수층으로부터의 기저유출 은 대수층에 쌓인 물의 높이 에 비례하여 아래와 같이 모의된다.

여기서 는 기저유출 계수이다. 따라서 하천유량 는 와 의 합으로 구성된다.

따라서 본 연구에 적용된 SHPM은 6개의 매개변수(, , , , , )로 구성되며, 강수량과 잠재증발산량이 입력자료로 요구된다. 계산시간 간격은 일 단위로 설정하였다.

2.2 마코프 체인 몬테카를로 표본추출

적용된 SHPM의 6개 매개변수는 추후 자료동화를 위한 불확실성을 고려하기 위하여 Metropolis-Hastings (MH) 알고리즘을 이용하여 추정되었다. 이 알고리즘은 매개변수의 사후분포 에서 표본을 추출하는 Markov Chain Monte Carlo (MCMC) 표본추출을 위한 알고리즘들 중 하나이다. MH 알고리즘은 매개변수 값 와 함께 시작된다. 그런 다음 매개변수의 개 시퀀스 , 가 아래와 같은 절차를 거쳐 생성된다.

(1) 제안분포 로부터 후보 매개변수 을 생성한다. 이 때, 제안분포는 본 연구에서는 평균 , 분산 인 끝이 매개변수의 상한과 하한에 의해 잘려진 정규분포가 적용되었다.

(2) 채택 기준 값 계산

여기서 와 은 각각 매개변수 와 에서의 우도 값으로 아래와 같이 정의된다.

여기서 는 관측된 유량, 는 매개변수 벡터 을 이용하여 모의된 유량, 은 관측 유량자료의 개수, 는 관측 유량자료의 분산이다. 유량자료에 평방근을 취한 이유는 큰 유량에 치우쳐서 사후분포가 고 유량에 적합하도록 편향되게 표본 추출되는 것을 방지할 목적으로 도입된다.

(3) 0에서 1 사이의 균등난수 에 대하여 을 만족하면, 가 되며, 그렇지 못할 경우에는 이 된다.

초기 회 반복하는 단계를 거친 후에 구성된 Markov 체인은 매개변수의 사후분포 에서 무작위로 추출된 매개변수를 갖는 체인으로 수렴된다. 이 때, 초기 회 반복되기 전에 추출된 매개변수는 버려야 한다.

MH 알고리즘을 사용하기 전에, 초기 매개변수 , 제안분포 , 초기 반복 추출 횟수 , 총 반복 추출 횟수 등이 결정될 필요가 있다. 초기 값 의 선택은 일반적으로 결과에 민감하지 않은 반면에, 제안분포 의 선택은 중요하다. 일반적인 방법은 평균 과 일정한 공분산 행렬 인 정규분포를 사용하는 것인데, 의 채택 율이 20 ~ 70 %가 되도록 을 선택하는 것이 추천된다. 버려질 반복 횟수 는 의 20 % 이상을 적용하면 충분한 것으로 알려져 있으며, 체인이 진행되는 경과를 추적하여 매개변수 사후분포의 평균값들의 수렴되기에 충분할 만큼 표본 횟수 을 확보해야한다(^{Kim et al., 2020}).

생성된 표본으로부터 매개변수의 사후분포의 특성을 정량화할 수 있다. 일반적으로 최종 추정된 매개변수 는 아래와 같이 계산된다.

이 외에도 추정된 매개변수의 분산도 생성된 표본으로부터 계산 가능하다.

2.3 앙상블 칼만필터

본 연구에서 다루고 있는 문제는 앙상블 칼만필터(Ensemble Kalman Filter, EnKF)를 이용하여 장기간 연속유출모형인 SHPM에 관측 강우, 잠재증발산, 관측 하천유량자료를 동화시켜 모형으로부터 계산되는 토양수분의 상태를 일 단위로 갱신하는 것이다. EnKF를 이용하여 토양수분의 상태를 갱신하는 절차는 아래와 같다.

(1) Step 1: 토양수분의 예측 값 계산

여기서 는 시간 에서 상태변수인 토양수분 예측 값, 는 시간 에서 상태변수 갱신 값, 은 시간 에서의 입력 값, 는 시간 에서 매개변수, 는 모형, 는 EnKF에서 실행되는 표본추출 횟수이다. 이 때, 입력자료 (본 연구에서는 일 강수량 및 일 잠재증발산량)은 아래와 같은 관측오차를 갖는 것으로 가정한다.

여기서 은 입력자료 관측 값이며, 관측오차는 평균 0, 분산 인 정규분포를 따른다고 가정한다. 본 연구에서는 관측오차에 관측 값의 10 % 만큼의 표준편차를 부여하였다(즉, = 0.1). 매개변수 는 MCMC를 이용한 SHPM의 매개변수 추정 시 도출된 사후분포로부터 무작위로 추출하여 구성하였다.

(2) Step 2: 하천유량의 예측 값 계산

여기서 는 토양수분의 상태가 일 때, 하천유량의 예측 값으로 을 반환하는 전이함수로 간주할 수 있는데, 본 연구에서는 가 되는 재귀적 모형 을 구성하여 와 에 모두 적용하였다. 참고로 의 평균 이 시간 에서 하천유량의 최종적인 예측 값이 된다.

(3) Step 3: 오차 공분산의 계산

여기서 는 의 평균이며, 은 시간 에서 관측된 하천유량이다.

(4) Step 4: 칼만 이득 계산

여기서 는 시간 에서 관측 하천유량의 관측오차 의 분산으로, 아래와 같은 정규분포를 따르는 것으로 가정하였다.

본 연구에서는 하천유량 관측오차는 관측 값의 10 % 만큼의 표준편차를 갖는 것으로 가정하였다(즉, = 0.1).

(5) Step 5: 토양수분의 갱신 값 계산

자료동화를 위한 EnKF는 관측된 입력자료() 및 유량자료()의 오차와 모형의 오차를 고려하여 모형에서 도출된 토양수분()을 갱신하고, 이 값()을 다음 시간의 유량(즉, )을 모의하기 위한 초기 값으로 이용하는 순환 프로세스이다. 결정론적으로 모의된 토양수분은 자료와 모형 등의 불확실성으로 인하여 오차가 누적되는 것을 피할 수 없으나, 추계학적으로 갱신된 토양수분은 관측 유량자료의 정보를 이용하여 오차가 누적되는 것을 일부 차단할 수 있기 때문에, 더 정도 높은 토양수분이 모의될 가능성이 높아진다.

2.4 연구유역 및 수치실험계획

본 연구에서 제안된 SHPM은 낙동강 유역의 안동댐, 합천댐, 남강댐, 밀양댐 상류에 적용되었다. 유량모의기간은 2009년부터 2018년까지이다. 댐 유역 인근 기상청에서 운영 중인 Automated Synoptic Observing System (ASOS) 일 기상 자료를 바탕으로, 연구유역을 대상으로 티센 가중치 방법을 이용하여 면적 평균된 일 강우량 및 일 잠재증발산 자료를 구축하였다. 일 잠재증발산을 산정하기 위해 Penman-Monteith 방법(^{Allen et al., 1998})을 적용하였으며, 기상 자료 중 최저 및 최고 기온, 평균 풍속, 평균 이슬점온도가 사용되었다. Penman-Monteith 방법을 이용한 잠재증발산 산정에 대한 보다 자세한 사항은 ^{Allen et al. (1998)}을 참고할 수 있다. 관측유량자료는 국가수자원관리종합정보시스템 Water Resources Management Information System (WAMIS)에서 제공하는 일 단위 댐 유입량 자료를 사용하였다(^{HRFCO, 2020}). 연구유역의 위치도와 적용된 기상관측소의 위치를 Fig. 1에 나타내었으며, 연구유역에 대한 기본적인 정보를 Table 1에 나타내었다.

Fig. 1. Study areas and locations of meterological observation sites.

EnKF의 적용성을 살펴보기 위하여 먼저 2009년부터 2014년까지의 관측 기상자료 및 유량자료를 이용하여 SHPM 매개변수의 사후분포를 추정하였다. 이 때, 2009년 자료는 모형의 warming-up으로 사용되었다(즉, 2010년부터 2014년까지 5년 자료를 이용하여 매개변수를 추정). 그 후, 추정된 매개변수를 이용하여 2015년부터 2018년까지의 일 유량과 토양수분을 모의하였다(결정론적인 SHPM 모의, D-SHPM). 그와 동시에, 관측 유량자료가 매일 업데이트되는 것을 받아서() 당일에 모의된 토양수분을 갱신하였으며(→), 갱신된 토양수분을 이용하여 다시 다음 날의 유량()을 모의하였다(추계학적 SHPM 모의, S-SHPM). D-SHPM으로부터 모의된 유량과 S-SHPM으로부터 모의된 유량의 정확도를 비교함으로써, 자료동화된 토양수분의 정도를 살펴보고자 하였다(Fig. 2 참조).

Fig. 2. Study concept diagram.

모의된 유량의 정확도는 세 가지 통계량(, , )을 이용하여 수행되었다. 는 관측자료와 모의자료의 선형회귀분석에 의한 결정계수이며, 0.6이상이면 모형의 예측성능(즉, 관측자료와의 일치성)이 만족스러운 것으로 제시되어 있다(^{Me et al., 2015}). 는 Nash-Sutcliffe 모형효율계수로서 아래와 같다(^{Nash and Sutcliffe, 1970}). 기본적으로 가 1에 가까울수록 모형이 더 정확하다는 것을 의미한다. 충분한 품질의 모형을 나타내는 임계값은 0.5에서 0.65 사이로 제안되어있다(^{Ritter and Munoz-Carpena, 2013}).

는 ^{Gupta et al. (2009)}이 제안한 계수로서 Eq. (19)을 통해 산정된다.

여기서, 은 관측자료와 모의자료의 선형상관계수, 는 모의자료의 표준편차와 관측자료의 표준편차의 비, 는 모의자료의 평균과 관측자료의 평균 비이다. 가 1에 가까울수록 모의자료가 관측자료를 높은 수준으로 모의하고 있음을 의미한다. ^{Patil and Stieglitz (2015)}는 KGE가 0.6 이상이면 충분히 만족스러운 모의결과로 간주될 수 있음을 제시하였다.

3.1 MCMC를 이용한 SHPM의 매개변수 추정

SHPM 매개변수의 사전분포는 균등분포로 가정하였다. 균등분포의 하한과 상한은 매개변수의 물리적인 의미를 참고하여, 가능한 넓은 범위의 구간을 갖도록 설정하였다. 토양층 유효깊이 은 5 ~ 1,000 mm, 는 0.01 ~ 0.99, 는 15 ~ 230 mm/day, 는 1 ~ 10, 는 0 ~ 1, 는 1 ~ 10 mm로 각각 설정하였다. 연구유역에 대하여 여러 차례의 반복적인 수치실험결과, MH 알고리즘의 초기 반복횟수 은 36,000회로 설정하였으며, 이후 체인의 반복횟수 는 120,000회로 고정하였다.

MH 알고리즘을 이용한 SHPM의 매개변수 추정결과는 Table 2와 같다. Table 2에서 최종 추정된 매개변수 값은 각 매개변수에 대응하는 Mean 열에 있는 값들이다. 일 유량 보정결과를 KGE 기준으로 살펴보면, 안동댐 유역 0.77, 합천댐 유역 0.79, 남강댐 유역 0.56, 밀양댐 유역 0.39의 결과를 보여주고 있다. 월 유량 보정결과는 KGE를 기준으로 안동댐 유역 0.75, 합천댐 유역 0.92, 남강댐 유역 0.81, 밀양댐 유역 0.66이다. 따라서 안동댐 유역, 합천댐 유역, 남강댐 유역은 SHPM이 일 유량을 받아들일 수 있는 수준으로 재현하고 있으며, 밀양댐 유역에 대해서는 일 유량의 다소 재현 능력이 떨어지나 월 유량은 사용 가능할 수준으로 재현하고 있음을 알 수 있다.

Table 2. Mean and standard deviation (SD) of parameter posterior distribution obtained by Metropolis-Hastings algorithm

Parameter ID	Parameter	Andong Dam		Hapcheon Dam		Namgang Dam		Milyang Dam
		Mean	SD	Mean	SD	Mean	SD	Mean	SD
1		285.7035	106.5131	419.5714	175.3185	391.9934	212.5554	242.6593	168.3424
2		0.5801	0.2539	0.6985	0.2167	0.6541	0.2421	0.6487	0.2479
3		161.8661	48.1161	129.4205	58.965	135.3455	58.9113	137.1389	58.2036
4		2.8412	1.0965	4.6504	1.9271	4.4612	2.2796	3.5205	1.8756
5		0.8147	0.1435	0.7074	0.2095	0.6475	0.2377	0.6238	0.2462
6		5.7605	2.4480	5.0698	2.5811	5.3635	2.5888	5.218	2.564
day		0.6842		0.7817		0.7265		0.4923
	NSE	0.6695		0.7779		0.6696		0.4602
	KGE	0.7691		0.7871		0.5627		0.3921
month	R2	0.9277		0.9712		0.9686		0.8917
	NSE	0.8560		0.9628		0.9460		0.8294
	KGE	0.7493		0.9202		0.8061		0.6598
p-factor (%)		59.6933		77.8751		89.3209		85.1588
r-factor		0.4115		0.4042		0.3908		0.3653
* The p-factor means the percentage of observations covered by the 95 PPU (Percent Prediction Uncertainty) band (Abbaspour et al., 2007). ** The r-factor is a measure of the thickness of the 95PPU band (Abbaspour et al., 2007).

Fig. 3은 MH 알고리즘에 의해 추정된 매개변수를 이용하여 계산한 하천유량을 보여주고 있다. 수치적으로 살펴보면, 안동댐 유역은 관측유량보다 13 % 정도 많은 유량을 모의하고 있으며, 합천댐, 남강댐, 밀양댐은 각각 2 %, 15 %, 25 % 정도 적은 유량을 모의하고 있다. 밀양댐의 경우 유량이 작은 기간 동안의 관측자료 신뢰도가 다소 미흡한 것을 알 수 있으나, 전체적으로 살펴보았을 때 적용된 유역 모두에서 SHPM이 극단적으로 작은 관측유량을 제대로 모의할 수는 없는 것으로 나타났다. 이는 SHPM의 프로세스가 지표면 및 지표하 상층부 토양에서의 수문분할과정은 비교적 양호하게 구현하고 있으나, 지표하 하층부에서의 지하수 유출 프로세스가 너무 단순하게 구성되었기 때문인 것으로 판단된다.

Fig. 3. Simulation results (2010 ~ 2014) using best parameters.

Fig. 3은 또한 MH 알고리즘을 이용하여 추정된 유량모의결과의 95 % 신뢰구간을 보여주고 있다. Fig. 3에서 음영으로 칠해진 95 PPU는 MCMC에 의해 표본 추출된 매개변수를 이용하여 계산된 유량의 95 %가 속하는 구간을 의미한다. 모의된 유량의 신뢰도를 도식적으로 살펴볼 수 있는 유용한 방법들 중 하나는 관측유량이 계산된 95 PPU 안에 얼마나 포함되어 있는 지일 것이다. 이를 정량적으로 나타낸 수치가 Table 2의 p-factor이며, 100 %에 수렴할수록 추정된 매개변수에 대한 신뢰도가 높다(^{Ryu et al., 2012}). MH 알고리즘의 p-factor로 살펴볼 때, 합천댐, 남강댐, 밀양댐 매개변수의 신뢰도는 우수한 편이나, 안동댐의 매개변수는 다소 충분하지 못한 것으로 나타났다. 관측유량의 표준편차에 대한 95 PPU의 평균적인 폭을 의미하는 r-factor의 관점에서 보면 적용된 유역에서 모두 유사함을 알 수 있다. 그러나 ^{Joh et al. (2012)}에서 언급한 바와 같이 r-factor는 작을수록 추정된 매개변수의 신뢰도가 높으므로, r-factor의 관점에서 보더라도 안동댐 매개변수의 신뢰도가 상대적으로 다른 유역에 비하여 낮음을 살펴볼 수 있다.

Fig. 4는 MH 알고리즘을 이용하여 도출된 안동댐 유역 매개변수의 사후분포를 사전분포와 함께 나타내고 있다. 사전분포와 비교하였을 때, MH 알고리즘에 의한 사후분포의 경우 매개변수 와 는 사후분포가 대응되는 사전분포와 크게 다르지 않음을 살펴볼 수 있다. 이는 MCMC 표본추출을 통하여 넓은 범위의 사전분포의 정보가 원하는 만큼 축소되지 않았음을 의미한다. 그림으로 나타내지는 않았지만, 다른 유역의 경우에도 안동댐의 결과와 크게 다르지 않았으며, 단 합천댐의 경우에는 매개변수 대신에 의 사후분포가 사전분포와 유사하게 나타났다. 이로부터 지표면 최대 저류고에 대한 불확실성이 다른 매개변수에 비하여 상대적으로 높음을 살펴볼 수 있다.

Fig. 4. Prior and posterior distributions in Metropolis-Hastings algorithm.

상대적으로 넓은 범위의 사후분포를 얻게 된 이유는 크게 두 가지 원인으로 분석될 수 있다. 첫 번째 원인으로는 매개변수의 범위, 즉 상한과 하한을 실제 나타날 수 있는 값의 범위를 고려하여 충분히 크게 설정하였으며, 매개변수의 상한과 하한의 정보 이외에는 사전정보가 없다고 가정하였기 때문이다(즉, 균등분포 가정). 만약 매개변수의 사전정보(즉, 유사한 유역에서의 추정된 매개변수의 범위 또는 시행착오 방법에 의한 사후분포 추정결과의 사전정보 환류 등)를 적극적으로 반영한다면, Fig. 4의 형태보다는 더 좁은 범위의 사후분포를 얻는 것이 가능할 것이다. 두 번째 원인으로는 매개변수의 유출모의에 대한 민감도이다. 유출모의에 영향력이 크지 않는 매개변수는 어떠한 값이 추정되더라고 결과에 미치는 영향이 작기 때문에 넓은 범위의 매개변수 사후분포가 형성될 수밖에 없다. 따라서 사후분포의 적절한 수렴 여부를 판단하기 위해서는 매개변수의 민감도 분석이 선행되어야 가능할 것이다. 그러나 본 연구에서 MH 알고리즘을 이용하 여 매개변수의 사후분포를 얻은 목적은 이후 EnKF에서 사용될 매개변수 불확실성에 관한 정보를 얻기 위함이다. 즉, 추가적인 사전정보의 반영이나 별도의 매개변수 민감도 분석을 통한 사후분포의 수렴도 개선은 추후 별도의 연구를 통해서 살펴볼 수 있을 것이다. 본 연구에서는 Fig. 4에서 도출된 사후분포를 이후 EnKF 실행 시 활용하기로 하였다.

3.2 EnKF를 이용한 SHPM의 토양수분 갱신 및 하천유량 예측

2009년부터 2014년 일 유량을 이용하여 추정된 매개변수 사후분포를 이용하여 설정된 SHPM로부터 2015년 이후의 토양수분을 일 단위로 갱신하기 위하여 매일 1,000회의 표본추출이 실행되었다.

Fig. 5는 합천댐에서 2018년 7월 19일 모의된 토양수분 예측 값()의 경험적 확률분포(Fig. 4(b)의 ‘predicted’)를 보여주고 있다. 동일한 날에 하천 관측유량(Fig. 5(a)의 ‘observed’)은 모의된 하천유량의 앙상블(Fig. 5(a)의 ‘S-SHPM’ 참조) 평균보다 작다. 따라서 토양수분 예측 값은 더 작은 값으로 갱신()되고 있음을 살펴볼 수 있다(Fig. 5(b)의 ‘updated’ 참조). 따라서 S-SHPM의 토양수분과 하천유량은 일 단위로 관측되는 하천유량의 정보를 동화시켜가면서 재귀적으로 갱신된 모의결과를 생산하게 된다. 반면에 D-SHPM은 하천유량 관측정보와는 상관없이 모형 자체적인 동역학적인 프로세스에 따라 입력되는 강우량과 증발산량을 이용하여 토양수분 및 하천유량을 모의하게 된다.

Fig. 5. Normalized soil moisture update from observed daily flow depth assimilation.

Fig. 6은 합천댐의 2018년 토양수분 모의결과를 보여주고 있다. 초록색으로 표시된 부분은 EnKF 과정에서 매일 1,000개의 앙상블을 모의한 결과(S-SHPM)이며, 앙상블 평균한 결과가 <S-SHPM>이다. 본 연구에서 토양수분은 관측할 수 없는 상태변수이며, 따라서 관측 가능하고 예측 가능한 변수인 하천유량의 예측 정확성을 통하여 토양수분 추정의 정확도를 살펴보게 된다.

Fig. 6. Normalized soil moisture variation for Hapcheon.

하천유량 예측 대한 EnKF의 성능은 Fig. 7로부터 확인할 수 있다. 하천유량모의는 SHPM을 이용하여 합천댐 유역에서 2015년에서 2018년까지의 일 하천유량 관측자료를 동화하여 재귀적으로 추정한 결과 중 2018년의 결과이다. Fig. 7에서 ‘S-SHPM’은 EnKF 과정에서 생성된 1,000개의 앙상블 모의유량이며, 이들의 앙상블 평균이 <S-SHPM>이다. D-SHPM은 하천유량 관측정보와는 상관없이 모형 자체적인 동역학적인 프로세스에 따라 입력되는 강우량과 증발산량을 이용하여 모의된 하천유량이다.

Fig. 7. Ensemble daily flow depth forecasting.

Table 3에서 수치적으로 확인할 수 있듯이, 일 하천유량 예측의 앙상블 평균은 관측 유량자료와 매우 잘 일치하고 있다. 와 에서는 큰 차이가 없지만, 는 모든 유역에서 D-SHPM 보다는 S-SHPM의 예측력이 더 우수한 것으로 나타났다. S-SHPM의 앙상블 범위 또한 관측 유량자료를 대부분 포함하고 있다. KGE를 기준으로 살펴보면, 평균적으로 10 % 이상의 성능이 개선된 것으로 파악된다. 특히, 수문곡선의 감수부에서 EnKF의 성능이 상대적으로 더 많이 개선되고 있음을 살펴볼 수 있었다. 이는 EnKF가 하천유량 예측을 위한 신뢰할 수 있고 효과적인 방법임을 의미하며, 유역 평균적인 토양수분의 상태를 일상적으로 모니터링하는데 적절할 방법이 될 수 있음을 의미한다 할 수 있다.

Table 3. Comparison of model performance

Watershed	Model		NSE	KGE
Andong Dam	D-SHPM	0.7969	0.7534	0.7519
	S-SHPM	0.7165	0.7006	0.8436
Hapcheon Dam	D-SHPM	0.6568	0.6563	0.7173
	S-SHPM	0.6634	0.6590	0.7791
Namgang Dam	D-SHPM	0.6749	0.6662	0.6575
	S-SHPM	0.6708	0.6660	0.7748
Milyang Dam	D-SHPM	0.5515	0.5255	0.5030
	S-SHPM	0.4896	0.4894	0.5798

3.3 불확실성 수준에 따른 EnKF 성능 민감도 분석

앞서 살펴본 불확실성 시나리오 외에도 불확실성 수준에 대한 EnKF 성능의 민감도를 조사하기 위해 불확실성이 더 큰 시나리오를 설계하여 살펴보았다. 즉, SHPM 매개변수의 불확실성, 강우 및 잠재증발산 입력자료의 불확실성, 관측 유량자료의 불확실성에 대하여 각각 낮은 수준, 중간 수준, 높은 수준의 오차가 부여되었을 때의 EnKF의 성능을 살펴볼 수 있을 것이다.

기준이 되는 불확실성(Table 4의 default)을 정리하면, 먼저 SHPM 매개변수의 불확실성은 EnKF 실행 시 MCMC에 의한 사후분포에서 매개변수를 표본 추출하는 것으로 반영된다. 입력자료 및 관측 유량자료의 불확실성은 식 (11)의 와 식 (16)의 에 모두 0.1을 할당하는 것(즉, 관측 값의 10 % 표준편차)을 기준으로 간주하였다. 이를 기반으로, SHPM 매개변수의 불확실성 시나리오는 다섯 개로 구성하여 매개변수의 불확실성의 영향을 살펴보았다. 첫 번째 시나리오(Table 4의 Parameter: 1-std ND)는 매개변수 사후분포의 표준편차와 동일한 정규분포에서 매개변수의 표본을 추출하는 경우이다. Fig. 4에서 살펴볼 수 있듯이, 매개변수의 사후분포는 정규분포와는 다른 형태를 가질 수도 있기 때문에, 정규분포로 가정하였을 경우에 대한 EnKF의 성능 민감도를 살펴볼 목적으로 구성되었다. 실제로 EnKF를 이용하는 많은 연구들에서 표본 추출의 용이성을 위하여 매개변수의 표본을 균등분포 또는 정규분포에서 추출하는 경우가 많기 때문에(^{Bae et al., 2009}; ^{Leach et al., 2018}; ^{Meng et al., 2016}; ^{Moradkhani et al., 2005}), 이에 대한 성능 민감도는 확인해볼 필요가 있다. 또한 매개변수 사후분포의 표준편차의 두 배인 시나리오를 구성하여(Table 4의 Parameter: 2-std ND) 과도한 불확실성이 부여되었을 경우의 EnKF 성능 민감도를 살펴보았다. 이 외에도 입력자료 또는 출력자료의 관측오차와 같이 매개변수 평균값의 10 %, 20%, 30 % 인 경우의 표준편차를 갖는 정규분포에서 매개변수의 표본을 추출하여 작은 수준의 불확실성이 부여되었을 경우에 대한 민감도를 살펴보고자 하였다(Table 4의 Parameter: 10 %-std ND, 20 %-std ND, 30 %-std ND). 참고로 MCMC에 의한 매개변수 사후분포의 변동계수는 모두 30 % 이상인 것으로 확인되었다.

Table 4. Effects of parameter, input data, and output data uncertainty on model performance

Namgang Dam (2015)				NSE	KGE
D-SHPM			0.7942	0.7887	0.7518
S-SHPM	default		0.8298	0.8183	0.8642
	parameter	1-std ND	0.8125	0.8058	0.8655
		2-std ND	0.7935	0.7875	0.8458
		10 %-std ND	0.8121	0.8077	0.7782
		20 %-std ND	0.8191	0.8155	0.8019
		30 %-std ND	0.8218	0.8180	0.8334
	input	20 %-std ND	0.8293	0.8175	0.8692
		30 %-std ND	0.8231	0.8099	0.8684
	output	20 %-std ND	0.8276	0.8191	0.8355
		30 %-std ND	0.8277	0.8201	0.8131

Table 4에서 살펴볼 수 있듯이, 분석된 모든 매개변수 불확실성 시나리오들은 매개변수 사후분포에서 표본을 추출하였을 경우와 비교해 볼 때, 성능적인 측면에서 큰 차이가 나타나지는 않았다. Table 4는 남강댐 유역의 2015년 모의결과를 보여주고 있지만, 다른 연도 또는 다른 유역에서도 유사한 결과를 얻을 수 있었다. 그러나 매개변수의 표준편차가 사후분포의 표준편차보다 과도하게 작은 경우(10 %-std ND)에는 성능저하가 나타나서 D-SHPM의 성능과 유사한 결과가 도출되고 있음을 살펴볼 수 있다. 이로부터 자료동화를 시행할 때, 모형 매개변수의 불확실성에 대한 정확한 정보가 자료동화의 성능에 유의미한 영향을 미치고 있음을 알 수 있다. 이와 더불어서, 매개변수 사후분포의 형상을 반영하여 매개변수의 표본을 추출하는 것이 상대적으로 더 우수한 EnKF 성능을 보여주었기 때문에, 가능하다면 MCMC와 연계된 자료동화를 시행하는 것이 더 타당할 것으로 판단되었다.

본 연구에서는 매개변수의 불확실성 수준이외에, 입력자료(강우 및 잠재증발산) 및 출력자료(유량)의 관측오차가 EnKF의 성능에 미치는 영향을 살펴보았다. 즉, 식 (11)의 와 식 (16)의 에 0.2와 0.3을 각각 할당하여 자료동화를 시행한 결과, Table 4에서 발견할 수 있듯이, default 시나리오(즉, 0.1)와 큰 차이를 발견할 수 없었다. 다만, 관측 유량자료의 오차가 강우 및 잠재증발산의 오차보다 상대적으로 더 EnKF의 성능에 큰 영향을 미치고 있음을 살펴볼 수 있었다.