2.1 콘크리트

수치해석을 위한 재료모델에는 응력 상태에 따른 거동이 표현되어야 하며, 특히 균열에 대한 영향이 콘크리트 재료모델에 표현되어야 한다. 이 논문에서는 개개 요소 및 균열 선단의 국부적인 거동이 아닌 부재의 전반적인 거동 해석에 목적이 있으므로 구조물 전체 거동을 표현하는데 효과적인 분산균열모델(smeared crack model)(ASCE 1982)을 사용하여 콘크리트의 재료모델을 정의하였다. 특히 하중이 가해지는 동안 변화하는 주축(principal axes) 방향에 따라 균열각이 회전하는 회전균열모델(rotating crack model)로써 균열각의 변화를 고려하였다(CEB 1996).

콘크리트는 두 개의 주변형률 방향에서 직교이방성(orthotropic) 재료로 가정되며, 응력-변형률 사이의 구성관계를 나타내는 재료행렬은 식(1)과 같다.

여기서 아래첨자 1, 2는 직교하는 두 주축을 나타낸다.

일반적인 하중 하에서 비선형 거동 해석을 위해서는 콘크리트 응력-변형률 이력곡선이 요구되며, 이를 위해서는 기본적으로 단조증가(monotonic) 상태의 응력-변형률 관계와 응력비에 따른 파괴포락선(envelop)의 정의가 선행되어야 한다. 이 논문에서는 이축응력 상태에서 콘크리트의 파괴포락선을 정의하기 위해 Kupfer et al.(1973)이 실험을 통해 제안한 식을 도입하였다.

특히, 전단벽과 같이 전단지배 구조물의 경우 주응력 상태가 인장-압축영역에 주로 놓이는데, 균열발생 이후 주인장변형률에 따라 압축강도가 감소하는 거동을 나타낸다. 여기서는 식(2)에 표현된 Vecchio and Collins(1993)가 제안한 식을 사용하여 압축강도 감소 효과를 고려하였다.

여기서 $\beta$는 압축강도 감소계수, $\epsilon_{1}$은 주인장 변형률, $\epsilon_{c}$는 1축압축강도에 대응하는 콘크리트의 변형률을 의미한다.

한편, 균열 발생 후 인장측 응력-변형률 곡선의 정의를 위해서 인장증강(tension-stiffening) 효과를 고려하였으며, 압축측 응력-변형률 곡선의 경우 기본적으로 Thorenfeldt et al. (1987)이 제안한 모델식을 사용하여 단조증가 상태의 응력-변형률 관계를 정의하였다. 지금까지 설명한 모델식에 대한 보다 구체적인 사항은 Kim and Kwak(2004)에 기술되어 있다.

지금까지 기술한 사항들을 바탕으로 응력-변형률 이력곡선을 정의할 수 있는데, 이 논문에서는 실험 결과로부터 얻어진 응력-변형률 이력 곡선을 토대로 제안된 인장에서 압축 및 압축에서 인장으로 천이되는 영역의 제하(unloading)와 재재하(reloading) 곡선을 Fig. 1과 같이 정의하였으며, 이와 관련된 자세한 사항은 Kim and Kwak(2004)에 기술되어 있다.

Fig. 1. Stress-strain relation of concrete (Kim and Kwak 2014)

Fig. 2. Monotonic stress-strain relation of reinforcing steel

2.2 철근

철근의 경우 단면적에 비해 길이가 긴 관계로 일축거동을 하는 재료로 가정할 수 있다. 한편, 철근의 응력-변형률 곡선은 일반적으로 Fig. 2에 점선으로 나타낸 바와 같이 탄성, 변형경화(strain hardening)의 형태를 갖는 탄·소성재료로 가정되지만, 철근콘크리트 패널이나 벽체와 같이 콘크리트 내에 묻혀있는 철근의 응력-변형률 관계는 Fig. 2에 실선으로 나타낸 바와 같이 순수하게 철근만 있는 경우와는 다른 응력-변형률 관계를 나타낸다.

콘크리트 내에 묻힌 철근이 균열 위치에서 항복하여도 균열 사이의 콘크리트는 인장력의 일부분에 대해 여전히 저항하기 때문에 철근의 응력이 균열 부위의 항복응력보다 작게 된다. 이와 같이 균열 면에서 최대이고 균열 사이로 갈수록 감소하며 변화하는 철근의 응력분포에 대해 분산균열모델의 개념을 적용하기 위해 이 논문에서는 Belarbi and Hsu (1994)가 제안한 평균응력-평균변형률 관계를 도입하여 콘크리트 내에 매립된(embedded) 철근의 거동을 고려하였다(Fig. 2 참조).

응력의 제하(unloading) 및 재재하(reloading)에 따른 철근의 Bauschinger 효과 등을 모사하기 위해 Menegotto and Pinto(1973)가 제안한 모델(Fig. 3 참조)을 사용하였다. Fig. 3과 관련된 모델식에 대한 보다 구체적인 사항은 Menegotto and Pinto(1973)와 Kim and Kwak(2004)에 기술되어 있다. 특히, 반복 및 증분해석 시 응력을 재분배하는 과정에서 발생하는 수치적인 문제로 재료의 변형경로에 부분제하, 재재하 이력이 국부적으로 나타나는 경우가 있는데, Menegotto 모델의 경우 가장 최근 역전된 이력곡선만 저장하고 변형이 역전될 때마다 이를 매번 갱신하기 때문에 이력곡선이 왜곡되는 문제점이 발생할 수 있다(CEB 1996).

Fig. 3. Cyclic stress-strain relation of reinforcing steel (Menegotto and Pinto 1973)

이 논문에서는 가장 최근 역전된 곡선과 더불어 그 이전에 역전된 이력 곡선을 추가로 저장하고, 현재의 역전이 부분제하인지 아닌지를 판단한 후, 부분제하일 경우 이전 역전된 이력 곡선을 재도입하는 방법으로 Menegotto 모델의 문제점을 보완하였다.

3.1 유한요소 정식화

앞서 정의된 콘크리트와 철근의 재료모델을 토대로 비선형 유한요소 정식화 과정이 전개된다. 콘크리트의 경우 주변형률 축을 기준으로 국부재료행렬이 구성되므로 구조물의 전체 강성행렬로 조합하기 전에 좌표변환행렬을 사용하여 전체 좌표계에 대한 재료행렬로 변환하게 된다(ASCE 1982). 여기서 좌표 변환행렬은 x축과 균열의 수직방향이 이루는 각으로부터 구성된다.

한편, 철근이 콘크리트 내에 균일하게 분포하는 벽체의 경우 분포(distributed) 철근모델로 가정할 수 있는데, 이를 위해서는 두 재료가 동일한 변위장을 가져야 하므로 수치해석 상 콘크리트와 철근 사이의 완전 부착을 가정하였다.

Fig. 4. Procedure for nonlinear dynamic analysis

3.2 비선형 해석기법

비선형 유한요소 해석 시 비선형 평형 경로를 찾기 위해 Newton-Raphson 기법을 도입하여 하중 이력에 따른 구조계의 평형 상태를 결정하였다. 반복계산을 하는 동안 구해진 변위의 수렴 여부를 판정하기 위해 이 논문에서는 변위 증분에 대한 Euclidean 절대값을 계산하여 오차범위를 5 × 10-3~1 × 10-2으로 두어 반복해석을 수행하였다.

여기서 Δui+1은 현재 하중단계에서 i번째 반복해석까지의 변위증분, δui는 i번째 반복해석에서 변위증분의 변화량을 나타낸다.

3.3 동적 비선형 해석 절차

구조물의 동적 해석을 위한 지배방정식은 식(4)와 같이 표현된다.

여기서 M, C 및 K 는 각각 질량, 감쇠 및 강성행렬, P는 외부 하중벡터, 그리고 ${U}$, $\dot {U}$ 및 $\ddot{U}$는 각각 변위, 속도 및 가속도 벡터를 나타낸다. 감쇠행렬 C는 Rayleigh 감쇠로 알려진 질량과 강성행렬의 선형 조합에 의해 정의된다.

한편 비선형 다자유도계 시템에 지진에 의한 지반 가속도 $\ddot u_{g}(t)$만 가해질 경우 외부 하중벡터는 식(5)와 같다.

여기서 1은 각 요소의 값이 1인 N차 벡터이며, N은 전체 자유도 수이다.

비선형 동적 해석은 modified Newton-Raphson 방법과, 조건에 상관없이 안정적인 해를 주는 Newmark 방법의 조합으로 수행되며, Fig. 4에 나타낸 절차에 따라 동적 비선형 해석이 수행된다. 이와 관련된 구체적인 사항은 Chopra(1995)에 나타나 있다.

4.1 동적해석 1

해석모델 검증과 철근콘크리트 전단벽의 동적 거동을 평가하기 위해 Hsu (1974)가 수행한 모사 지진 운동을 받는 3층 철근콘크리트 전단벽 중 D-4 시험체를 선정하였다. D-4 시험체는 3개의 동일한 층 높이(491.07 mm)로 이루어져 총 높이가 1,473.2 mm이고, 전체 단면이 폭 457.2 mm, 두께 25.4 mm로 구성되어 있으며, 시험체의 제원과 단면 형상은 Fig. 5에 나타나 있다. 시험장비의 한계로 인해 일반적인 전단벽 시험체에 비해 상당히 작은 제원으로 제작되었다. 수직 및 수평 철근으로 지름 8.1 mm인 D8 와이어(wire) 철근이 사용되었으며, 전단벽에 사용된 재료 물성은 Table 1에 나타낸 바와 같다.

벽체의 유한요소 이상화 형상은 Fig. 6에 나타나 있으며, 150개의 4절점 요소로 모델링되어 있다. 해석 시 기초 부분 바닥 절점들의 수평 및 수직 자유도를 모두 구속하였다.

Fig. 5. Dimensions and reinforcement details of shear wall D-4 (Hsu 1974)

Fig. 6. Finite element idealization for shear wall D-4

실제 구조물의 자중과 활하중을 모사하기 위해 각 층 높이에 약 8.9 kN의 강재 중량물이 추가되어 있으며, 전단벽 시험체로서 횡(면외) 방향으로의 이동을 방지하고자 강재 벽체로 횡 보강되어 있다. 모델링 시 벽체 요소의 기본적인 자중에 추가하여 Fig. 6의 표시된 위치에 8.9 kN에 해당하는 절점질량을 가하였다. 1.05 g의 최대 크기와 5배의 압축된 시간 축을 갖는 El Centro 지진 기록(N-S component of the El Centro earthquake of May 18, 1940)의 지반 가속도를 0.004초 간격으로 일정하게 세분화하여 입력하였다(Fig. 7).

철근콘크리트 구조물에 전형적으로 적용되는 5 % 감쇠비가 사용되었으며, Rayleigh 감쇠 행렬을 유도하기 위해 이 값이 첫 번째 모드 및 영주기 가속도(zero period acceleration)에 해당하는 모드에 적용되었다.

Fig. 7. Base accelerations (N-S component, El Centro 1940)

Fig. 8. Response history of shear wall D-4

Fig. 8에 나타난 바와 같이 Level 3에서의 이력거동이 6초 동안의 지진에 대해 모사되어 있다. 실험 결과 약 0.4초 부근에서 종방향 철근이 항복되면서 휨 및 전단 균열이 완전히 발현되었다. 각 층의 바닥 위치에서 손상이 집중된 것으로 계산되었으며, 관측된 실제 파괴 위치와 유사함을 볼 수 있다.

모든 층 높이에서 변위 응답 이력이 상당히 부드럽게 연속되는 전반적 관측에서 볼 때, 변위 이력이 첫 번째 모드 성분에 의해 지배됨을 알 수 있었다. Fig. 8에 나타낸 바와 같이 해석 결과 최대 응답(실험결과 대비 가속도 110 %(0.4초 부근), 변위 75 %(1.15초 부근))과 최대 응답 거동 이후의 주기 등 진동 특성 및 잔류 변위 등을 대체로 적절히 모사하였다.

시간이력 결과가 갖는 진동수 영역의 특성은 응답스펙트럼을 산정한 후 비교하여 확인할 수 있으나, 실험결과에 대한 디지털화된(digitized) 데이터 확보가 용이하지 않았기 때문에 이에 대한 비교는 이루어지지 않았다.

최대 응답 이후 시간에 따라 누적된 이력 거동의 차이에 대해서는 향후 추가적인 연구를 통해 모델 수정 및 동적 해석 절차에서 미고려된 부분을 반영하여 보완되어야 할 것으로 판단된다.

4.2 동적해석 2

Fig. 9. Geometric configuration of NUPEC test specimen

원전 구조물 내 전단벽의 비선형 동적 거동을 모사하기 위해 NUPEC(OECD 1996)에서 시험한 지진입력이 가해진 철근콘크리트 전단벽 시험체에 대해 추가적인 수치해석을 수행하였다. 시험체는 Fig. 9에 나타낸 바와 같이 웨브(web) 벽체의 두께가 75 mm이며, 양 플랜지 벽체 사이의 거리가 3,000 mm, 높이가 2,020 mm로서 전단-지간비가 0.8이다.

재료의 비선형성을 유발시키기 위해 상부 슬래브 상·하단에 9.11 × 105 N의 중량이 추가되어 있으며, 해석 시 사용된 재료 특성은 Table 2와 같으며, 웨브 양 끝단에 위치한 플랜지의 길이를 고려하여 평면 응력요소의 두께를 결정하였다.

유한요소 모델은 Fig. 10과 같이 하부슬래브가 제외된 모델이 구축되었으며, Fig. 11에 나타낸 하부 슬래브 상단에서의 수평방향 가속도를 바닥운동으로 가하였다. 여기서 가속도 입력의 시간간격은 0.001초이다.

Fig. 10. Finite element idealization for NUPEC test specimen

Fig. 11. Input accelerations applied at base

Fig. 12. Comparison of acceleration response history at top slab

Fig. 13. Comparison of response spectra at top slab

비선형 동적 해석을 통해 얻어진 응답 중 상부 슬래브 중심에서의 가속도 시간이력을 Fig. 12와 같이 실험결과와 비교하였다. Fig. 12에서 볼 수 있듯이 최대 가속도 크기와 응답 주기 등 전반적인 거동은 실험 결과와 유사하게 나타난 것을 확인할 수 있다.

Fig. 13은 상부 슬래브 중심의 가속도 응답스펙트럼을 해석 및 실험결과와 비교하여 나타내고 있다. 해석 결과 중 선형 해석의 경우 설계 시 SSE 하중 조건에 적용되는 7 % 감쇠비와 ASCE/SEI 43-05 (ASCE 2005)에서 제시하고 있는 균열 단면을 위한 강성 감소를 고려하여 산출하였으며, 비선형 해석은 재료의 비선형 이력이 해석 시 직접 반영되므로 운전기준지진(Operating Basis Earthquake, OBE) 조건에 적용되는 4 % 감쇠비를 사용하여 산출하였다. 최대 가속도 응답 기준으로 선형 해석의 경우 실험결과 대비 84 %, 비선형 해석의 경우 130 %의 차이를 보였다.

응답스펙트럼 비교를 통해 비선형 해석 결과가 실험 결과와 유사한 형상을 보이나, 일부 구간에 대해 다소 결과 값이 차이가 나타남을 알 수 있었다. 이는 이 논문에서 평면구조물의 해석을 목적으로 평면응력요소에 국한하여 해석 모델이 개발되어, Fig. 9의 양단 플랜지 부분에 대한 휨강성이 정확히 반영되지 않았기 때문으로 보이며 향후 요소를 추가하여 이에 대한 보완이 이루어져야 할 것으로 판단된다.

비선형 해석 시 변형 이력에 따른 에너지 소산이 직접적으로 고려되므로 큰 감쇠비와 저감된 강성을 사용한 선형 해석에 비해 작은 감쇠비를 사용한 비선형 해석에서 얻어진 최대응답이 더 작은 것을 확인할 수 있다.