2.1 균열면 전단 응력-슬립 기존 모델

2.2 기존 모델 상호 비교 및 고찰

콘크리트 압축강도 25 MPa, 굵은 골재 최대 치수 25 mm인 경우 균열폭이 0.2 및 0.5 mm일 때 기존 모델들이 예측한 균열면 전단응력-슬립 거동을 Fig. 1에 비교하였다. 참고로 해당 결과는 슬립이 증가함에 따라 전단 응력을 계산함으로써 간단히 도출할 수 있다. 그림에서 보는 바와 같이 예측된 균열면 전단 슬립 거동이 어느 정도의 차이가 있기는 하나 전반적으로 예측된 거동 양상이 비슷한 것으로 나타났다. 다만, 앞에서 기술한 바와 같이 기존 모델들은 균열폭과 전단 슬립이 감소하지 않는 단조 하중 거동의 경우에만 적용 가능하므로, 균열폭 또는 전단 슬립이 감소하는 반복 하중 하에서의 균열면 전단 거동을 합리적으로 예측하기에는 어려움이 따른다. 따라서 반복 하중 하에서의 균열면 전단 거동을 예측할 수 있는 모델 개발이 필요한 실정이다.

3.1 총 접촉 법선 변형량 유도

균열면에 슬립이 발생할 경우, Fig. 2에서 보는 바와 같이 균열면의 요철 상황에 의해 여러 방향으로 균열면이 서로 접촉하게 되며, 이로 인해 접촉면의 법선 방향으로 변형 및 응력이 발생하게 된다. 이를 고려하여, Maekawa et al.(2003)⁽⁷⁾는 법선 방향으로 발생한 응력을 전체 균열면에 대해 전단 슬립 방향으로 적분함으로써, 식(6)과 같이 균열면에 발생한 전단 응력을 산정하였다.

여기서, $R_{c}'\left(w,\:\delta_{s},\:\theta\right)$은 접촉면에서의 수직력을 의미하는 것으로서 $\sigma_{con}'(\theta)K(w)\Omega(\theta)A_{t}$로 표현된다. 이때, $\sigma_{con}'(\theta)$는 접촉 면에서의 압축 응력을, $K(w)$는 균열폭 및 골재 크기를 고려한 접촉면에 대한 유효 비율을, $\Omega(\theta)$는 접촉 밀도 함수로서 $0.5\cos\theta$를, 그리고 $A_{t}$는 전체 균열 면적을 의미한다.

식(6)은 각각의 접촉면에 대한 응력 계산 시 탄소성 거동을 가정할 수 있으며, 이로부터 반복 하중 시의 균열면 전단 거동을 예측할 수 있는 장점이 있다. 하지만, 수치 적분이 필요하므로 주어진 균열폭 및 슬립에 대한 전단 응력 계산이 매우 복잡하고, 이로 인해 비선형 유한요소해석 등에 직접적으로 적용하기 어려운 단점이 있다.

따라서 이 논문에서는 소성 거동을 포함한 총 접촉 법선 변형량에 대한 개념을 도입함으로써, 반복 하중에 따른 균열면 전단 슬립 거동을 단순화하여 묘사하고자 하였다. 이와 관련하여, 접촉면에서의 법선 방향으로의 응력을 유발하는 접촉면 수직 방향으로의 변형을 다음의 식(7)로 표현할 수 있다.

따라서 식(7)을 식(6)의 변형에 해당하는 부분에 적용하고, 접촉 밀도 함수 $\Omega(\theta)$를 고려하면, 총 접촉 법선 변형량($C_{t}$)을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이후, 식(8)의 적분을 수행하고 식을 간소화함으로써, 이 연구에서는 다음과 같이 총 접촉 법선 변형량에 대한 식을 유도하였다.

위 식을 이용할 경우 주어진 균열폭 및 전단 슬립에 대해 총 접촉 법선 변형량을 간단히 계산할 수 있다. 즉, 총 접촉 법선 변형량이 증가할 경우 균열면에서의 전단 슬립 거동이 단조 하중에서의 거동을 따라가게 되는 반면, 총 접촉 변형량이 감소할 경우 하중 제거 시의 거동을 따라가는 것으로 고려할 수 있다.

3.2 반복 하중을 고려한 균열면 전단 거동 모델

단조 하중에 대한 균열면 전단 거동 모델인 Vecchio and Lai(2004)⁽¹⁵⁾를 바탕으로, 앞에서 유도된 하중 제거 시의 균열면 전단 거동 모델을 적용하면, 반복 하중을 고려한 균열면 전단 거동 모델이 다음과 같이 정리된다.

여기서, $C_{t,\:\max}$는 기존의 경험했던 최대 접촉 법선 변형량을, $C_{t,\:p}$는 최대 접촉 법선 변형량에 해당하는 소성 변형량을 의미한다. 한편, 전단 슬립 거동에 대한 소성 변형이 기존의 경험했던 최대 변형의 약 0.9배로 제시된 기존 연구(Paulay and Loeber 1974; Bazant and Gambarova 1980)^(10,1)에 근거하여, $C_{t,\:p}$는 $0.9C_{t,\:\max}$로 둘 수 있다.

위 식에서 보는 바와 같이 주어진 균열면 슬립에 대한 현재 상태의 총 접촉 법선 변형량이 기존의 경험했던 최대 접촉 법선 변형량보다 클 경우 단조 하중에서의 거동을 따라가며, 그렇지 않을 경우 하중 제거에 따른 거동을 따라가게 된다. 참고로, 주어진 균열면 슬립에 대해 균열면 전단응력은 바로 계산이 되지만, 주어진 균열면 전단응력에 대한 균열면 슬립은 간단한 수치 해석 기법 등을 활용한 반복 계산을 통해 간단히 찾을 수 있다.

4.1 제안 모델의 검증

앞 장에서 제안된 모델의 검증을 위해, 기존 문헌에서 수집한 실험 결과와 제안 모델이 예측한 균열면 전단 슬립 거동을 비교하고자 하였다. 또한, 균열면 전단 슬립 거동 상세 해석에 널리 쓰이고 있는 BCDM과 함께 비교 및 분석하고자 하였다.

Fig. 3은 균열폭이 고정일 경우 균열면 전단 슬립이 증가 및 감소함에 따른 전단 응력의 변화를 비교한 것이다. 참고로 BCDM 및 제안모델에 의한 예측 결과는 matlab을 활용하여 전단슬립의 증감에 따라 전단응력을 계산하였다. 이 논문에서 사용한 실험 결과는 Maekawa et al.(2003)⁽⁷⁾에 정리되어 있는 것으로서, 실험에서 고려된 콘크리트 압축강도는 22, 39, 그리고 49 MPa 등 총 세 가지이며, 모든 시험체에서 굵은 골재 최대 치수는 15 mm이다. 또한, 균열폭을 0.1, 0.3 또는 0.5 mm 등 세 가지로 고정함으로써 균열폭에 따른 균열면 전단 슬립 거동을 실험을 통해 계측하였다. 그림에서 보는 바와 같이 제안 모델이 예측한 균열면 전단 거동이 실험 결과 및 BCDM이 예측한 거동과 비슷한 것으로 나타났다. 특히, 균열면 전단 응력 및 전단 슬립이 처음 증가할 때에는 비교적 완만하게 증가하다가, 균열면 전단 슬립이 감소할 경우 균열면 전단 응력이 급격이 떨어지는 것을 볼 수 있다. 전단 슬립으로 인해 균열면이 서로 맞닿을 경우, 맞닿은 균열면에서 소성 거동이 지배적인 것을 고려할 때, 가해진 전단 슬립이 제거될 경우 균열면 전단 응력이 급격히 감소하게 되며, 제안 모델이 이러한 현상을 잘 반영하는 것으로 판단된다. 또한, 하중 제거 시 잔존 슬립에 대해 실험 결과 대비 제안 모델에 의한 예측값이 평균 1.19, 변동계수 0.15로 나타났다. 따라서 BCDM을 굉장히 단순화하였음에도 불구하고 제안 모델이 균열면 전단 거동을 합리적으로 잘 예측하는 것으로 판단된다.

한편, 전단 응력을 받는 철근콘크리트 요소에서 균열폭이 고정된 상태에서 전단 슬립이 변화하는 경우보다, 균열폭 및 전단슬립이 모두 증가하거나 감소하는 것이 보다 일반적인 상황이다. 이 논문에서는 이를 고려하기 위해 균열폭과 균열면 전단 슬립이 동일한 값으로 증가 및 감소하는 경우를 해석 예제로 고려하였다. 참고로, 해당 예제에 대한 실험 결과가 없으므로, 제안 모델의 검증을 위해 이미 다수의 실험 결과와의 비교를 통해 검증된 BCDM과의 비교를 통해 제안 모델을 검증하고자 하였다.

Fig. 4는 균열폭과 전단 슬립이 동일한 값으로 변화할 때, 콘크리트 압축강도가 22, 39 및 60 MPa인 두 경우에 대해 제안모델 및 BCDM이 예측한 결과를 서로 비교한 것이다. 그림에서 보는 바와 같이, 두 모델이 예측한 균열면 전단 응력-전단 슬립 거동이 비슷한 것으로 나타났다. 다만, 균열폭 및 전단 슬립이 동시에 감소할 때 제안 모델의 경우 잔류 전단 슬립이 BCDM보다 다소 크게 평가되는 것으로 나타났다. 하지만, BCDM에서도 균열폭 및 전단 슬립이 동시에 감소하기 시작하는 초기 단계에 균열면 전단 응력이 급격히 감소하며, 균열면 전단 응력이 거의 제거되었을 때 균열면 전단 슬립이 급격히 감소하는 것을 고려할 때, 제안 모델을 토대로 전반적인 균열면 전단 거동을 예측하는 데 무리가 없을 것으로 판단된다.

4.2 패널 부재해석에의 적용

실제 철근콘크리트 요소 비선형 유한요소해석 시 앞 장에서 제안한 모델의 적용성을 분석하기 위해, 이 논문에서는 반복 전단 응력을 받는 철근콘크리트 패널 요소에 대한 비선형 구조해석을 수행하였다. 해석에서 고려된 철근콘크리트 패널 요소는 Stevens(1987)⁽¹¹⁾이 실험한 것으로서 콘크리트 압축강도 37.0 MPa, 철근비가 종방향 및 횡방향으로 각각 2.924 및 0.975 %이다. 참고로, 해당 패널은 종방향 및 횡방향 철근비가 서로 크게 달라, 전단 균열 발생 이후 균열면에서의 전단 응력 및 슬립이 상대적으로 크게 발생하는 것으로 유추할 수 있다. 하중 조건은 순수 전단 응력이 반복 하중으로 가해졌으며, Fig. 5에서 보는 바와 같이 첫 번째 사이클에서는 최대 전단 응력이 4 MPa, 이후 최대 전단 응력 4.5 MPa이 세 번의 추가 사이클로 가해지는 것을 해석에서 고려하였다.

해석 대상 철근콘크리트 패널은 Fig. 6에서 보는 바와 같이 한 개의 철근콘크리트요소로 모델링하였으며, 그림에서 나타난 바와 같이 순수 전단 응력에 해당되는 등가 절점 하중을 해석에서 고려하였다. 또한, 순수 전단 응력 하에서 별도의 구속 응력이 발생하는 것을 방지하기 위해 패널 하부의 두 절점에 대해 단순보와 같은 지점 조건을 해석에서 고려하였다.

해석은 DSFM(Vecchio 2000; Vecchio 2001)^(12,13)에 기반하여 개발된 유한요소해석 프로그램인 VecTor 2(Wong et al. 2013)⁽¹⁷⁾를 이용하여 수행하였다. 참고로 해당 프로그램은 DSFM에 기반한 것으로서, 기존의 MCFT(Vecchio and Collins 1986)⁽¹⁴⁾에 균열면에서의 전단응력-슬립 거동을 추가로 고려하여, 철근콘크리트 부재 내의 균열면 전단 거동을 해석적으로 분석할 수 있는 장점이 있다.

Fig. 7은 대상 철근콘크리트 패널에서의 균열면 전단응력-슬립 거동에 대해 Walraven and Leinhardt(1981)⁽¹⁶⁾ 및 Vecchio and Lai(2004)⁽¹⁵⁾가 제시한 모델과 함께, 이 논문에서 제안한 모델을 바탕으로 예측된 세 가지의 해석 결과를 비교한 것이다. 그림에서 보는 바와 같이 균열면에서 발생하는 슬립이 Walraven and Leinhardt(1981)⁽¹⁶⁾에 비해 Vecchio and Lai(2004)⁽¹⁵⁾가 상대적으로 더 크게 예측되는 것으로 나타났다. 다만, 두 모델 모두 반복하중 하에서의 균열면 거동을 고려하지 않았기 때문에, 하중 제거 시 균열면에서의 전단 슬립이 제거되는 하중에 거의 비례하여 0으로 감소하는 경향을 보이는 것으로 나타났다. 하지만, 이 논문에서 제안한 모델을 고려할 경우, 균열면 전단 응력-슬립 거동의 포락선은 Vecchio and Lai(2004)⁽¹⁵⁾와 같으나, 하중이 제거되더라도 균열면에서의 전단 슬립이 0으로 바로 감소하지 않고 상당량의 잔류 전단 슬립이 존재하는 것으로 예측하였다. 실제로 균열면에서 전단 응력이 제거되었을 때 상당량의 전단 슬립이 발생할 것으로 예상되므로, 이 논문에서 제안한 모델을 적용할 경우 철근콘크리트 부재 내에서의 균열면 거동을 보다 합리적으로 묘사할 수 있는 것으로 판단된다. 다만, 철근콘크리트 부재 내 균열면에서의 국부적인 전단 거동에 대해 명확히 계측된 실험 결과가 없으므로, 향후 이에 대한 실험을 통한 더욱 상세한 검증을 통해 제안 모델을 보다 합리적으로 보완할 수 있을 것으로 판단된다.