2.1.1 RVE 크기

복합체인 콘크리트는 골재, 시멘트 매트릭스 및 ITZ 등으로 구성해야 하며, 중규모크기의 해석을 위해서는 복합체 거동의 기준이 되는 RVE(Representative Volume Element)의 크기를 결정해야 한다. Lim et al.(2018)⁽¹⁸⁾의 연구에서는 콘크리트 부재에서 RVE의 한변의 길이를 적어도 굵은골재 최대치수의 2배 이상 수준으로 고려하여 Fig. 1과 같이 복합체를 구성한 뒤 동일한 패턴으로 이를 확장 및 연결하여 해석하는 방법이 비교적 합리적인 결과를 도출함을 보였다. 이 연구에서는 굵은골재의 최대 크기를 13 mm로 가정하여 RVE의 크기를 50×50 mm로 결정하였다. 그리고 ITZ의 두께는 Kim and Abu Al-Rub(2011)⁽¹⁵⁾의 연구결과를 참조하여 0.2 mm로 하였다.

Fig. 1. RVE of Meso-scale finite element model

2.1.2 골재 분포

이 연구에서는 Yi(2000)⁽²⁷⁾의 연구에서 사용한 재료의 배합 및 강도를 기준으로 하였다. 즉, 본 연구에 사용된 콘크리트는 Table 1의 배합을 가진다고 가정하였다. 실험 시 사용된 굵은골재의 최대치수는 13 mm이고, 골재 입도는 콘크리트 표준시방서(KCI 2009)⁽¹¹⁾의 입도를 따른다고 가정하였다. 결정된 크기의 RVE 내에는 다양한 크기의 굵은 골재를 분포시켜 모형을 구축해야 한다. RVE를 구성하기 위해 Comby-Peyrot et al.(2009)⁽²⁾의 랜덤 골재 분배 알고리즘을 참조하여 골재를 분배하였다. 굵은골재 부피는 배합표에 따라 전체 콘크리트 부피의 약 40 %를 차지하였다. 이에 본 연구에서는 골재의 크기를 13 mm, 8.6 mm 그리고 4.3 mm 총 세 가지로 구분하여 입도곡선에 부합하여 그 양이 결정되게 하였고, 골재 사이의 최소 간격의 초기값은 1 mm로 하였으며, 최소값은 0.5 mm로 설정하였다. 잔골재는 5 mm 체를 거의 통과하고 0.08 mm 체에 거의 남는 골재로 본 연구에서는 요소 분할 크기, 골재 사이 간격, ITZ 크기 등을 고려하여 4.3 mm 보다 작은 잔골재는 모델링에 고려하지 않았다. 알고리즘을 통해 13 mm 골재는 5개, 8.6 mm 골재는 4개, 그리고 4.3 mm 골재는 6개를 무작위로 Fig. 1과 같이 RVE 내에 위치시켰다.

2.1.3 요소

비정형성 유한요소망을 구성하면 ‘가능한’ 균열의 방향을 모사할 수 있고, 사각형 요소를 사용할 경우 전단잠김을 회피할 수 있어 골재, 시멘트 매트릭스 및 ITZ에는 삼각형 고체 요소인 CPS3을 사용하였다(Rhee and Kim 2006)⁽²⁴⁾. 그리고 요소의 크기는 Kwak and Gang(2017)⁽¹⁶⁾의 연구를 참조하여 한변의 길이가 Fig. 1과 같이 1 mm가 되도록 분할하였다.

2.2.1 탄성계수 및 강도

골재의 탄성계수는 사용된 골재를 국내 골재의 대부분을 차지하는 화강암으로 가정하여 50 GPa을 사용하였다. 모르타르의 탄성계수는 공시체의 탄성계수가 31.5 GPa임을 근거로 Hashin and Shtrikman(1963)⁽⁸⁾이 제시한 2상의 재료를 가지는 복합체의 유효 탄성계수의 상한 및 하한 산정방법을 이용하여 상한 및 하한치의 평균값이 공시체의 탄성계수가 되도록 시멘트 매트릭스의 탄성계수를 역산한 결과 약 23 GPa를 얻을 수 있었고, 이를 사용하였다.

ITZ의 탄성계수에 대한 선행연구(Kim and Abu Al-Rub 2011)⁽¹⁵⁾에서는 보통강도 콘크리트의 경우 시멘트 매트릭스의 약 75 %를 사용하였는데, 이 연구에서 사용한 콘크리트는 고강도 콘크리트이므로 90 % 수준인 21 GPa로 하였다. 시멘트 매트릭스의 압축강도 및 인장강도는 52 MPa 및 5 MPa로 가정하였고, ITZ의 압축강도와 인장강도는 탄성계수에서와 동일하게 90 % 수준으로 가정하여 각각 47 MPa 및 4.5 MPa로 결정하였다. 그리고 이 연구에서, 골재에서는 파괴가 발생하지 않는다고 가정하여 골재를 선형탄성재료로 간주하였다.

2.2.2 응력-변형률 관계

시멘트 매트릭스 및 ITZ의 압축거동에 관한 응력-변형률관계는 Guo(2004)⁽⁷⁾가 제안한 다음 식 (1)을 사용하였다. 이와 함께 경화 및 연화시의 응력-변형률에 관한 손상도는 Kim and Abu Al-Rub(2011)⁽¹⁵⁾의 연구를 참조하였다.

여기서, $\sigma_{c}$는 압축응력, $\varepsilon$은 압축변형률, $f_{c}$는 압축강도,$\varepsilon_{c}$는 압축강도 시의 변형률, 그리고 $\alpha$는 모형계수로 다음 식 (2)와 같다.

시멘트 매트릭스 및 ITZ의 인장거동에 관한 인장응력($\sigma_{t}$)-균열개구변위($w$)는 Hordijk(1992)⁽⁹⁾에 의해 정의된 다음 식 (3)을 사용하였다.

여기서, $f_{t}$는 인장강도, $w_{0}$는 인장응력이 0일 때의 균열개구변위로 다음 식 (4)와 같이 결정된다.

여기서, $G_{f}$는 시멘트 매트릭스와 ITZ의 경우에 각각 0.04 N/mm와 0.02 N/mm를 사용하였다(López et al. 2008; Grassl et al. 2008)^(5,19).sss

2.2.3 CDP 모델 파라메터

시멘트 매트릭스 및 ITZ의 CDP의 파라메터는 Huang et al. (2015)⁽¹⁰⁾의 연구결과를 참조하여 다음 Table 2와 같이 정의하였다.

3.3.1 원주공시체의 크기에 따른 압축강도

Fig. 4는 원주공시체 및 입방체의 크기에 따른 압축강도를 나타낸 것이다. 가장 크기가 작은 원주공시체 Cyl-1부터 가장 큰 공시체 Cyl-6까지의 압축강도는 각각 55.1 MPa, 53.3 MPa, 51.5 MPa, 50.4 MPa, 48.5 MPa 그리고 47.5 MPa로 나타났다. 입방체는 Cb-1부터 Cb-5까지 67.5 MPa, 59.5 MPa, 55.5 MPa, 52.5 MPa, 그리고 49.7 MPa로 나타났다. 즉, 크기가 작은 공시체일수록 압축강도가 커지는 경향을 나타내었고, 다른 조건은 같고 동일한 공시체의 크기(즉, $d = c$인 경우)에 대하여 원주공시체보다 입방체의 강도가 크게 나타났으며 이는 압축강도에 대한 일반적인 선행 연구의 결과와 유사하였다. 즉, 콘크리트의 압축거동에 대하여 본 연구에서 수행한 중규모크기를 이용한 유한요소해석에서도 공시체의 크기가 커질수록 강도가 작아지는 크기효과를 확인할 수 있었다.

3.3.2 선행연구와 비교

Fig. 5는 원주공시체에 대한 Yi et al.(2006)⁽²⁸⁾의 실험결과, 원주공시체의 압축강도에 대한 크기효과 모델식(Yi 2000)⁽²⁷⁾ (5) 그리고 이 연구에서 구한 해석결과를 나타낸 것이다.

여기서, $f_{cyl}(d)$는 원주공시체의 압축강도(MPa), $f_{cu}$는 콘크리트의 압축강도, $h$와 $d$는 각각 공시체 높이(mm)와 지직경(mm)이다.

Fig. 5. Comparison of compressive strengths according to diameters (cylindrical specimens)

Fig. 6. Comparison of compressive strengths according to dimensions (cube specimens)

Fig. 5에서 $x$축은 공시체의 지름($d$, mm)을 나타내며, $y$축은 표준형 원주공시체의 강도대비 각 크기에서의 강도의 비를 나타낸 것이다. 실내 실험에서는 크기가 작을 때는 강도의 분포가 다소 넓어지다가 크기가 커질수록 상대적으로 범위가 좁아지는 결과가 나타났다. 해석결과는 실험결과와 같이 크기가 커질수록 강도가 작아지는 경향을 나타내었다. 또한, 해석결과는 지름이 75 mm보다 작은 공시체에서는 모델식보다 다소 큰 강도를 나타내었지만, 큰 차이를 보이지 않았고 대체로 경향은 유사하였다.

Fig. 6은 입방체에 대한 Yi et al.(2006)⁽²⁸⁾의 실험결과, Yi et al.(2006)⁽²⁸⁾ 모델식 (6) 및 본 연구에서 구한 해석결과를 도시한 것이다.

여기서, $f_{c b}(c)$는 입방체의 압축강도(MPa)이고 $c$는 입방체의 크기(mm)이다.

실내 실험에서는 공시체의 크기에 따른 강도가 점차 낮아지는 경향을 나타내었다. 해석결과는 모델식 보다 다소 큰 값을 나타내었지만, 전반적으로는 해석결과, 모델식 및 실험결과가 공시체의 크기가 커질수록 강도가 작아지는 동일한 경향을 나타내었다.

3.3.3 균열의 발생 및 진전

CDP의 재료특성을 고려한 중규모크기의 해석은 압축거동과 함께 부재 내부에서 균열의 발생, 분포 및 진전을 가시적으로 확인할 수 있는 장점이 있다.

Fig. 7은 Cyl-4 공시체의 극한강도일 때의 변형률($\varepsilon_{c}$)을 기준으로 각 변형률 수준에 대하여 공시체 내부에서의 균열(손상)발생 및 진전이 어떻게 진행되는지 나타낸 것이다. 균열에 대한 가시화는 인장손상도가 0.9 이상인 부분의 요소를 제거하여 균열분포를 더욱 분명하게 하였다. Fig. 7(a)는 극한변형률의 약 80 % 수준일 때, 골재 주변을 따라 미소균열들이 분포함을 확인할 수 있다. Fig. 7(b)는 극한변형률의 약 90 % 수준의 극한변형률이 발생할 때를 도시한 것으로 골재 주변에 국부적으로 가시적인 인장균열이 확인된다. Fig. 7(c)와 7(d)에서 극한강도 및 그 이상의 변형률 수준에서의 균열분포로 콘 형상의 압축영역에는 균열이 거의 없으며, 콘크리트 파괴역학에서 가정하는 특성길이 영역에서 골재와 골재 사이의 모르타르에 균열이 중심부로부터 뚜렷하게 발생하며 압축강도 이후에는 점차 옆으로 퍼져나가고 있음을 확인할 수 있었다.

Fig. 8은 입방체 Cb-2의 극한강도일 때의 변형률($\varepsilon_{c}$)을 기준으로 각 변형률 수준에 대하여 공시체 내부에서의 균열(손상)발생과 진전이 어떻게 진행되는지 나타낸 것이다. Fig. 8(a)는 극한변형률의 약 80 % 수준일 때, 골재 주변을 따라 미소균열들이 분포함을 확인할 수 있다. Fig. 8(b)는 극한변형률의 약 90 % 수준의 압축변형이 발생할 때를 도시한 것으로 골재 주변에 국부적으로 가시적인 인장균열이 확인된다. Fig. 8(c)와 8(d)에서 극한강도 및 그 이상의 변형률 수준에서의 균열분포로 이 경우는 극한강도 이상의 변형률이 발생하여 콘의 모서리부가 중첩되며 콘 영역에서 압축 파쇄(crushing)이 발생함을 확인할 수 있다. 입방체가 원주공시체에 비하여 동일한 공시체의 크기($d$)에서 더 큰 강도를 나타낸 이유는 이러한 압축 영역의 중첩으로 인한 압축파괴가 발생하기 때문이라 사료된다. 한편 극한강도 및 그 이상의 변형률 수준에 대한 균열분포의 비교(Fig. 7(d)와 Fig. 8(d))에서 직경에 비해 높이가 큰 원주공시체는 공시체 길이의 중앙부가 좌･우 양 옆의 먼 방향으로 벌어지는 배럴효과(barrel effect)가 뚜렷하게 나타났으나 직경과 높이가 같은 입방체의 경우에는 이 효과가 거의 미미하였다. 즉, 이 연구에서 파괴역학적 개념에 부합하는 결과가 도출되었음을 알 수 있다.

위의 사실들을 통해 중규모크기의 유한요소해석법이 부재의 크기에 따른 크기효과를 적절히 표현할 뿐만 아니라, 균열의 발생 및 진전, 그리고 압축파괴 등을 합리적인 수준으로 모사하고 있음을 확인할 수 있다.

Fig. 7. Crack distribution at each strain level for Cyl-4 specimen

Fig. 8. Crack distribution at each strain level for Cb-2 specimen