4.1 최대 비틀림강도와 최대 설계전단강도
트러스모델을 활용하여 유도한 식(1)의 최대 비틀림강도는 평면트러스와 입체트러스모델의 차이, 절점영역의 콘크리트 탈락, 뒤틀림변형에 의한 콘크리트 압축응력 증가, 비틀림과 전단철근의
최대항복강도 등의 영향을 고려하여 감소시키는 것이 합리적이다. 이 들 요소들은 동반논문(Lee et al. 2021)(20)에서도 언급하였듯이 대부분 콘크리트 압축대의 강도 감소와 철근비 등에 영향을 주지만 이들 요소를 모두 반영하여 식(1)에서 유도된 최대 비틀림강도를 정량적으로 감소시키는 것은 매우 어렵다. 특히 절점영역에서 콘크리트의 탈락 시점을 정량적으로 나타내는 것은 어렵다.
따라서 이 연구에서는 트러스모델을 활용하여 유도한 식(1)의 최대 비틀림강도를 평면트러스와 입체트러스모델의 차이, 절점영역의 콘크리트 탈락, 뒤틀림변형에 의한 콘크리트 압축응력 증가, 철근의 항복강도의 상한값
등의 영향을 고려하여 감소시켰으며, 비틀림강도비의 안전율을 고려할 때 $\beta$=0.5일 때가 가장 합리적인 것으로 판단하였다.
콘크리트구조 설계기준에서는 최대 비틀림강도를 속찬단면(solid section)과 속빈단면(hollow section)으로 구분하고 있다. 전단과
비틀림에 의한 응력이 속찬단면과 속빈단면에 과대한 균열을 발생시키지 않고 콘크리트 압축대에 의한 파괴가 발생하지 않게 하려고 기준에서는 식(4)와 식(5)를 규정하고 있다.
여기서, $V_{u}$: 소요전단강도, $b_{w}$: 단면 복부의 폭, $d$: 단면의 유효 깊이, $T_{u}$: 소요비틀림모멘트, $p_{h}$:
전단흐름의 둘레길이($=2(x_{o}+ y_{o})$), $A_{oh}$: 폐쇄형스터럽에 둘러싸인 보의 단면적($A_{oh}=x_{o}․ y_{o}$),
$x_{o}$: 폐쇄형 비틀림철근의 짧은 변 중심간의 길이, $y_{o}$: 폐쇄형 비틀림철근의 긴 변 중심간의 길이$f_{ck}$: 콘크리트의 압축강도,
$\phi$: 비틀림강도감소계수($\phi$=0.75)이다.
식(4)와 식(5)는 전단강도 상한값과 비교했을 때 모순이다. KCI-21 기준(KCI 2021)(15)에서는 전단철근이 있는 부재의 복부 콘크리트 경사압축대의 최대설계전단강도($V_{s,\:\max}$)에 대해서는 식(6)을 사용한다.
식(4)와
식(5)에서 비틀림모멘트가 존재하지 않을 때($T_{u}=0$일 때) 계산되는 최대 전단력은
식(7)이 되며, 이 값은
식(6)과 다르다.
그 이유는 현재 사용하고 있는 KCI-21 기준(KCI 2021)
(15)의
식(4)와
식(5)는 KCI-12 기준(KCI 2012)
(13)에 근거하고 있기 때문이다. 즉,
식(7)의 좌변 항은 전단철근강도($V_{s}$)가 되며
식(7)은 KCI-12 기준(KCI 2012)
(13)의 $V_{s,\:\max -12}= 2 / 3\sqrt{f_{ck}}(b_{w}d)$와 일치한다. 따라서 KCI-21의 비틀림설계에서 계산되는 $V_{s,\:\max}=
2 / 3\sqrt{f_{ck}}(b_{w}d)$이며, 이 값은 개정된 기준
식(6)과 불일치하며 모순이 발생한다.
여기서 문제가 되는 것은 KCI-12 기준(KCI 2012)(13)과 같이 최대 비틀림강도($T_{n,\:\max}$)와 최대 전단철근강도($V_{s,\:\max}$)가 일치하지 않는 경우에는 식(4)와 식(5)를 사용할 수 없다는 것이다. 따라서 이 경우에는 도로교설계기준 한계상태설계법(KIBSE 2015)(16)이나 EC2-04 기준(CEN 2004)(2)에서 사용하는 분리된 식을 활용하여 전단과 비틀림을 받는 부재의 최대 내력을 제한해야 한다.
여기서, $V_{u,\:\max}$: 복부 콘크리트 경사압축대의 최대 설계전단강도이며
식(13)에서 계산, $T_{u,\:\max}$: 복부 콘크리트 경사압축대의 최대 설계비틀림강도이며
식(12)에서 계산한다.
식(8)과
식(9)를 사용할 경우에 $V_{u}$ 또는 $T_{u}$가 “0”일 때 각각 $V_{u}$$\le V_{u,\:\max}$ 또는 $T_{u}$$\le T_{u,\:\max}$에
의해 강도가 제한되기 때문에 전단과 비틀림의 최대 강도가 서로를 간섭하지 않는다. 또한 $V_{u}$와 $T_{u}$가 동시에 작용할 경우에는 KCI-21
기준(KCI 2021)
(15)에서 적용하고 있는 Ersoy and Ferguson(1968)
(6)의 실험 결과와 동일하게 속찬단면은 원의 방정식으로 최대 강도가 제한된다.
식(1)에 $\beta$=0.5를 대입하여 최대 비틀림강도($T_{n,\:\max}$)를 유도하면 식(11)이 된다.
한편 도로교설계기준 한계상태설계법(KIBSE 2015)
(16) 또는 EC-04 기준(CEN 2004)
(2), CSA-14 기준(CSA 2014)
(5), JSCE-07 기준(JSCE 2007)
(11)의 최대 비틀림강도에는 강도감소계수 또는 재료계수의 영향이 최대 강도에 포함되어 있으므로
식(11)을
식(12)로 변경해야 한다.
식(8)과
식(9)에 사용되는 최대 설계전단강도($V_{u,\:\max}$)는 전단철근의 최대 저항력($V_{s,\:\max}$)에 콘크리트의 전단저항력을 더하여
식(13)에서 계산한다.
최대 전단강도에 대해서도
Table 1과 같이 도로교설계기준 한계상태설계법(KIBSE 2015)
(16) 또는 EC-04 기준(CEN 2004)
(2), CSA-14 기준(CSA 2014)
(5), JSCE-07 기준(JSCE 2007)
(11)에는 강도감소계수 또는 재료계수의 영향이 포함되어 있다.
식(6)을 최대 전단철근비($ρ_{v}$)의 관점으로 변경하면
식(14)가 된다.
Table 1. Maximum shear strength of design codes
Codes
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Maximum shear strength
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Maximum shear reinforcement ratio
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ACI318-19
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$V_{s,\:\max}=\dfrac{2}{3}\sqrt{f_{ck}}b_{w}d$
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$ρ_{v ,\:\max} ≦\dfrac{2}{3}\dfrac{\sqrt{f_{ck}}}{f_{yt}}$
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KIBSE 2015
EC2-04
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$V_{u,\:\max}=\phi_{c}\alpha_{cw}\xi f_{ck}\dfrac{1}{\cot\theta +\tan\theta}(b_{w}z)$
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$\rho_{v,\:\max}\le\dfrac{\phi_{c}}{\phi_{s}}\dfrac{\alpha_{cw}\xi f_{ck}}{f_{yt}}\sin^{2}\theta$
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CSA-14
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$V_{s,\:\max}\le\phi_{c}(0.25 f_{ck}-\beta\sqrt{f_{ck}})(b_{w}z)$
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$\rho_{v,\:\max}\le 0.25\phi\dfrac{_{c}}{\phi}_{s}\dfrac{f_{ck}}{f_{yt}}\tan\theta
-\phi\dfrac{_{c}}{\phi}_{s}\dfrac{\beta\sqrt{f_{ck}}}{f_{yt}}\tan\theta$
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JSCE-07
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$V_{s,\:\max}\le\dfrac{1}{\gamma}_{c}\left(f_{wcd}-\beta_{d}\beta_{p}\beta_{n}f_{vcd}\right)(b_{w}d)$
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$\rho_{v,\:\max}\le\gamma\dfrac{_{s}}{\gamma}_{c}\dfrac{f_{wcd}}{f_{yt}}\dfrac{d}{z}-\gamma\dfrac{_{s}}{\gamma}_{c}\dfrac{\beta_{d}\beta_{p}\beta_{n}f_{vcd}}{f_{yt}}\dfrac{d}{z}$
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Eq. (17)
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$V_{s,\:\max}=\dfrac{\xi}{4}f_{ck}b_{w}d$
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$ρ_{v ,\:\max}=\dfrac{\xi}{4}\dfrac{f_{ck}}{f_{yt}}$
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KCI-21 기준(KCI 2021)
(15)에서는
식(14)에서 균열의 각도를 38.6도로 하고 콘크리트의 인장강도($f_{1}^{c}$)의 영향을 반영하여
식(15)를 사용한다.
식(15)에 강도감소계수 또는 재료계수를 반영할 경우에 콘크리트 압축대의 안전계수 또는 재료계수는 철근의 안전계수 또는 재료계수보다 낮다는 것이다.
식(14)와
식(15)의 분자는 콘크리트 압축대의 수직분력에 해당되며 분모는 전단철근 인장대의 수직분력이다. 도로교설계기준 한계상태설계법(KIBSE 2015)
(16), EC-04 기준(CEN 2004)
(2), CSA-14 기준(CSA 2014)
(5), JSCE-07 기준(JSCE 2007)
(11)에서는 콘크리트의 재료계수($\phi_{c}$)와 철근의 재료계수($\phi_{s}$)를 다르게 적용하고 있다. 예를 들어 도로교설계기준 한계상태설계법(KIBSE
2015)
(16)의 경우에 이 비율은 $\phi_{c}$/$\phi_{s}$=0.65/0.9$\approx$0.75이다. KCI-21 기준(KCI 2021)
(15)에서는 재료계수를 사용하지 않고 강도감소계수 0.75를 사용하지만
식(14)가 콘크리트와 철근의 내력에 대한 평형식에서 유도된 것이므로 안전계수는 콘크리트와 철근을 분리하고 각각의 안전계수의 비율을 반영하는 것이 합리적이다.
따라서 분리된 안전계수를 적용할 경우에
식(15)는
식(16)이 된다.
식(16)을 최대 전단강도로 변경하면
식(17)이 된다.
Table 2의 각 기준 최대 비틀림강도에 대한 최대 비틀림철근양($ρ_{t ,\:\max}f_{yt}$)을
Fig. 6에서 비교하였다.
Fig. 6에서 ACI318- 19 기준(ACI 2019)
(1)의 최대 비틀림철근양은 트러스모델에서 직접 유도된 EC-04 기준(CEN 2004)
(2), CSA-14 기준(CSA 2014)
(5)과 큰 차이가 있다. 한편
식(12)의 $ρ_{t ,\:\max}f_{yt}$은 EC-04 기준(CEN 2004)
(2), CSA-14 기준(CSA 2014)
(5) 식보다 작으며 ACI318-19 기준(ACI 2019)
(1) 식보다 크다.
Table 2. Maximum torsional strength of design codes
Codes
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Maximum torsional strength
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Maximum torsional reinforcement ratio
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ACI318-19
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$T_{u,\:\max}=\phi\dfrac{5}{6}\sqrt{f_{ck}}\dfrac{1.7A_{oh}^{2}}{p_{h}}$
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$ρ_{t ,\:\max} ≦\phi\dfrac{5}{6}\dfrac{\sqrt{f_{ck}}}{f_{yt}}\dfrac{A_{oh}}{A_{g}}\tan\theta$
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KIBSE 2015
EC2-04
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$T_{u,\:\max}=\phi_{c}2\xi f_{ck}A_{o}\dfrac{A_{g}}{p_{cp}}\sin\theta\cdot\cos\theta$
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$ρ_{t ,\:\max} ≦\dfrac{\phi_{c}\xi f_{ck}}{\phi_{s}f_{yt}}\dfrac{p_{h}}{p_{cp}}\sin^{2}θ$
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CSA-14
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$T_{u,\:\max}\le \phi_{c}0 . 25 f_{ck}\dfrac{1.7 A_{oh}^{2}}{p_{h}}$
|
$ρ_{t ,\:\max} ≦\phi\dfrac{_{c}}{\phi}_{s}0 . 25\dfrac{f_{ck}}{f_{yt}}\dfrac{A_{oh}}{A_{g}}\tan
θ$
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JSCE-07
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$T_{u ,\:\max} ≦\dfrac{1}{\gamma}_{c}K_{t}f_{wcd}\dfrac{A_{o}}{A_{oh}}$
|
$ρ_{t ,\:\max} ≦\gamma\dfrac{_{s}}{\gamma}_{c}\dfrac{1}{2}\dfrac{K_{t}f_{wcd}}{f_{yt}}\dfrac{p_{h}}{A_{oh}A_{g}}\tan\theta$
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Eq. (12)
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$T_{u,\:\max}=\phi\xi f_{ck}A_{o}\dfrac{A_{g}}{p_{cp}}\sin\theta\cdot\cos\theta$
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$ρ_{t ,\:\max} ≦\phi\dfrac{0.5\xi f_{ck}}{f_{yt}}\dfrac{p_{h}}{p_{cp}}\sin^{2}θ$
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Note: $f_{wcd}=1.25\sqrt{f_{ck}}\le 7.8\mathrm{MPa}$; $\gamma_{c}=1.3$; $\gamma_{s}=1.1$;
$K_{t}$: torsion factor related to section shape in JSCE-07 design code; unit: mm3
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안전계수를 반영한
Table 1의 ACI318-19 기준(ACI 2019)
(1), EC-04 기준(CEN 2004)
(2), CSA-14 기준(CSA 2014)
(5), JSCE-07 기준(JSCE 2007)
(11)을 비교하여
Fig. 7에 제시하였다.
식(17)의 $ρ_{v ,\:\max}f_{yt}$은
Fig. 6의 결과와 유사하게 EC-04 기준(CEN 2004)
(2), CSA-14 기준(CSA 2014)
(5)보다 작으며, ACI318-19 기준(ACI 2019)
(1)보다 크다.
Fig. 6. Comparison of maximum torsional strength of design codes
Fig. 7. Comparison of maximum shear strength of design codes