2.1 단면분할법

^{Mobasher et al.(2015)}은 FRC 보의 하중-변위 관계를 평가하고 실험결과와의 비교로부터 인장 응력-변형률 관계를 역산정(inverse analysis)하는데 있어서 단면 분할법이 효율적임을 보였다. Fig. 1에는 휨을 받는 FRC 보의 변형률 및 응력 분포를 나타내었다. 콘크리트 압축 및 인장응력 분포는 섬유 보강의 효과를 반영하였다. 따라서 인장측에서 콘크리트는 균열발생 이후에도 섬유의 가교작용에 의해 응력을 전달한다고 가정될 수 있다. 단면분할법에서 고려된 기본 이론은 베르누이(Bernoulli)의 원리 및 압축과 인장 합력의 평형조건이다. 위험 단면에서 단면분할법에 의한 FRC 보의 하중-변위 산정 절차를 요약하면 다음과 같다(Fig. 2): 1) 압축연단의 변형률을 증분한다; 2) 주어진 압축연단 변형률에 대해 중립축을 가정하고 변형률 선형 분포로부터 각 미소요소에서의 변형률을 산정한다; 3) 압축 및 인장 응력-변형률 관계로부터 각 미소 요소에서의 응력을 산정하고 압축 및 인장합력을 산정한다; 4) 압축 및 인장력의 평형조건이 만족하면 중립축을 결정하고, 만일 만족하지 않으면 단계 2)로부터 다시 반복 수행한다; 5) 결정된 중립축으로부터 곡률 및 모멘트를 산정한다; 6) 모멘트로부터 하중값을 산정하고 곡률값으로부터 보 경간 중앙에서 처짐을 산정한다. 이 연구에서 중립축은 이분법(bi-section method)으로부터 결정하였다. 위험단면에서 산정된 곡률로부터 보의 처짐은 모멘트 면적법으로부터 산정하였다(Fig. 3). 보의 위험단면에서 균열 발생 전까지는 보 길이를 따른 선형 곡률분포가 고려되었다. 초기 휨 균열 발생 후에는 균열집중 구간을 고려하여 비선형 소성 영역($l_{p}$)을 고려하여 처짐이 산정되었다^{(Soranakom and Mobasher 2007)}. 섬유 보강 콘크리트 보에서 균열 발생 후 $l_{p}$는 인장연단에서부터 중립축까지 거리로 가정하였다^{(Vandewalle et al. 2002)}. 보 경간 중앙에서의 처짐($\delta_{i}$)은 Fig. 3에서 고려된 곡률분포에 대해 모멘트 면적법을 적용하면 다음과 같이 산정될 수 있다.

여기서, $\phi_{i}$는 보 경간 중앙에서의 곡률 값을, $L$은 보의 지점 간 길이를, $a_{1}$은 가력점부터 지점까지의 거리를, $\phi_{cr}$은 초기 휨 균열이 발생하는 시점의 곡률 값이다.

Fig. 1 Distribution of strains and stresses along beam depth at $i$ th loading stage

Fig. 2 Flow chart for section lamina analysis

Fig. 3 Typical curvature distribution along the beam length under four-point bending

2.2 압축 응력-변형률 관계

섬유 보강 콘크리트의 압축 응력-변형률 관계에 대한 모델식은 여전히 부족하다. 특히 NWC에 비해 더 취성파괴 모드를 보이는 LWAC의 응력-변형률 관계에 대한 섬유 보강의 영향을 평가한 연구는 매우 부족한 편이다. ^{Liu et al.(2019)} 압축 응력-변형률 관계에서 최대응력 이후 하강 기울기에 대한 강섬유의 영향은 NWC보다는 LWAC에서 더 현저하게 있음을 보였다. 따라서 이 연구에서는 콘크리트 압축강도($f_{ck}$)와 기건밀도($\rho_{c}$) 그리고 섬유 보강의 영향을 고려한 ^{Lee et al.(2022)}의 모델을 이용하였다. ^{Lee et al.(2022)}은 콘크리트의 균열저항성 및 인성 향상에 미치는 다양한 섬유변수(길이, 형상비, 체적비, 분산성, 인장강도 및 시멘트 메트릭스와의 부착강도 등)의 영향을 고려하기 위하여 섬유보강지수($\beta_{f}$)를 다음과 같이 도입하였다.

여기서, $i$는 각 콘크리트에 혼입된 섬유 유형을, $g$는 불연속 섬유의 유효계수를, $V_{f}$와 $S_{f}$는 각각 섬유 체적비와 형상비를, $\tau$는 시멘트 매트릭스와 섬유의 계면접착강도를 나타낸다. 불연속성을 갖는 각 섬유의 유효계수에 대한 정보는 매우 부족하므로 이 연구에서는 ^{Li et al.(1996)}의 제안 값에 따라 일반 강섬유 및 마이크로 강섬유에서 각각 2.9 및 2.0을 적용하였다.

^{Lee et al.(2022)}은 FRC의 압축 응력-변형률 관계를 제시하기 위하여 섬유 보강 없는 일반 콘크리트의 압축 응력-변형률 관계에서 $\beta_{f}$를 추가적으로 고려하여 다음과 같이 제시하였다.

여기서, $f_{c}$는 압축 변형률 $\epsilon_{c}$에서의 압축응력을, $\epsilon_{0f}$는 최대응력 시점에서의 변형률을, $E_{c}$는 무보강 콘크리트의 탄성계수를, $E_{cf}$는 섬유 보강 콘크리트의 탄성계수를, $\beta_{1}$은 응력-변형률 관계의 상승구간 및 하강구간의 기울기를, $f_{0}$와 $\rho_{0}$는 각각 콘크리트 압축강도(=10 MPa) 및 기건밀도(=2,300 kg/㎥)의 참고 값이다. FRC의 압축 응력-변형률 관계를 제시하기 위한 ^{Lee et al.(2022)}의 연구에서 주요 변수 범위는 다음과 같다: $f_{ck}$는 21 MPa에서 100 MPa; $\rho_{c}$는 1,500 kg/㎥에서부터 2,300 kg/㎥; $\beta_{f}$는 0.1에서부터 4.0이다. 위 식에 따르면 $\beta_{f}$가 증가할 때 최대응력 이전의 응력증가 기울기는 다소 증가하는 경향을 보이며, 최대응력 이후 응력감소 기울기는 완만하게 된다. 특히 최대응력 시점에서 발생하는 균열면에서 섬유의 가교작용에 의한 응력전달을 통하여 최대응력 이후 하강 기울기에 개선에 대한 $\beta_{f}$의 영향이 현저하다.

2.3 인장 응력-변형률 관계

콘크리트의 직접 인장 응력-변형률의 전체 거동에 대한 시험은 콘크리트의 분리파괴(separation failure)에 의한 급격한 취성파괴 특성으로 매우 어렵다. 이에 따라 FRC의 인장-응력 변형률에 대한 일반화된 모델도 매우 부족하다. FRC의 인장-응력 변형률을 모델링하기 위하여 보의 휨 하중-변위로부터 역으로 인장거동을 산정하는 역해석(inverse analysis)이 주로 이용된다. RILEM TC 162^{(Vandewalle et al. 2002)}는 섬유 보강 콘크리트의 인장 응력-변형률 및 인장-균열 폭을 산정하기 위한 역해석 가이드라인을 제시하였다. $fib$ 2010(2010)은 FRC의 인장 응력-변형률 거동을 최대응력까지 2선형, 최대응력 이후 2선형인 전체 4선형으로 일반화하였다. 하지만 인장 응력-변형률 거동을 결정하는 각 선형의 교차점에 대한 특정 값들에 대해서는 명확한 언급이 없으며, 보의 실험결과를 이용하여 역해석으로 결정될 수 있음을 제시하고 있다. ^{Lee et al.(2022)}은 FRC 보의 휨 하중-변위 관계에 대한 다양한 실험결과를 이용한 역해석으로부터 $fib$ 2010의 일반화된 인장 응력-변형률 거동에서 각 선형의 교차점에 대한 특정값을 결정하여 모델링하였다(Fig. 4).

역해석에서 FRC의 초기 기울기를 나타내는 인장 탄성계수는 압축 탄성계수($E_{cf}$)와 동일하게 있음을 고려하였다. FRC의 직접 인장강도($f_{t}$)는 초기 휨 균열강도의 함수($\lambda_{1}f_{cr}$)로 고려하였다. 인장강도의 90 % 지점에서 미세균열의 발생과 함께 초기 기울기가 감소되게 되는데, 이를 $\alpha_{1}E_{cf}$로 나타내었다. 최대 인장응력 이후에는 보강섬유 변수에 따라 연화(softening) 또는 경화(hardening) 거동이 관찰되게 된다. 보강섬유 양이 적은 경우에는 일반적으로 연화거동이, 보강섬유 양이 많은 경우에는 경화거동이 확인된다^{(Abdallah et al. 2018)}. 이를 고려하여 최대 인장응력 이후 2선형 거동을 $\alpha_{2}E_{cf}$와 $\alpha_{3}E_{cf}$로 변수화하였다. 다양한 변수조건의 FRC 보의 휨 하중-변위 관계에 대한 실험결과를 이용한 역해석으로부터 인장 응력-변형률 관계를 결정하는 변수들인 $\lambda_{1}$, $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 및 $\alpha_{3}$을 산정한 후 주요 영향변수들($f_{ck}$, $\rho_{c}$ 및 $\beta_{f}$)에 대해 회귀분석을 통하여 경험식을 제시하였다. ^{Lee et al.(2022)}이 제안한 FRC의 인장 응력-변형률 관계를 요약하면 다음과 같다.

여기서, $\sigma_{t}$는 인장변형률 $\epsilon_{t}$에서의 인장응력을, $\epsilon_{t0}$는 $f_{t}$에 해당하는 변형률을, $\epsilon_{ts}$와 $f_{ts}$는 각각 최대 인장응력 이후 변형률과 인장강도를, $\lambda_{1}$, $\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 및 $\alpha_{3}$은 인장응력-변형률 각 구간에 도입된 매개변수를, $G_{f}$는 콘크리트 파괴에너지를, $G_{F}^{\infty}$는 콘크리트 극한 파괴에너지를, $w_{k}$는 인장 파괴면에서 균열 폭의 진전 변위(crack mouth opening displacement, CMOD)를, $\xi_{a}$는 콘크리트 파괴에너지에서 골재직경($d_{a}$)의 영향을 고려하기 위해 도입한 변수이다. FRC의 인장 응력-변형률 관계를 결정하기 위한 ^{Lee et al.(2022)}의 연구에서 주요 변수 범위는 다음과 같다: $f_{ck}$는 21 MPa에서 100 MPa; $\rho_{c}$는 1,500 kg/㎥에서부터 2,300 kg/㎥; $\beta_{f}$는 0.1에서부터 4.0이다.

Fig. 4 Generalization of the tensile stress-strain relationship of fiber reinforced concrete

2.4 실험결과와의 비교

Fig. 5에는 위에서 제시된 압축 및 인장 응력-변형률 관계를 이용하여 단면분할법에 의해 산정된 FRC 보의 휨 하중-변위 관계에 대한 예측값과 실험결과의 비교를 나타내었다. 비교에 이용된 실험결과는 $f_{ck}$, $\rho_{c}$, 및 $\beta_{f}$의 변화를 고려하여 ^{Li et al.(2017)} 및 ^{Feng et al.(2018)}에 의해 수행된 데이터들을 선택하였다. 전반적으로 해석결과는 주요 변수들의 변화에 관계없이 FRC 보의 최대내력 및 하중-변위 곡선의 상승부와 하강부 기울기에 대한 실험결과와 잘 일치하였다. 일반적으로 보강 섬유양의 증가와 함께 FRC 보의 최대내력은 증가하며 최대내력 이후 하강 기울기는 완만해지면서 임의의 $\beta_{f}$값 이상에서는 연화현상에서 경화현상으로 바뀌기도 한다. 해석결과는 이러한 경향을 잘 나타낸다. 결과적으로 Fig. 2에 나타낸 단면분할법은 FRC 보의 휨 하중-변위 관계의 평가에 합리적으로 이용될 수 있다고 판단된다.

Fig. 5 Comparison of experimental flexural load-deflection curves and predictions using a section lamina approach

3.1 휨 인성지수 개요

섬유보강 콘크리트의 휨 인성 평가를 위한 ^{ASTM C1018 (1997)}는 2006년도 이후 더 이상 개정되지 않고 있으며, ^{ASTM C1609(2012)}가 추가로 제정되었다. ASTM C1609에서 제시하는 휨 인성은 보의 처짐 양이 경간의 $L$/150에 도달하는 시점에서 하중-변위 곡선의 면적으로 평가하고 있다. 반면 ASTM C1018에서 제시하는 휨 인성 지수는 보의 하중-변위 관계에서 초기 휨 균열 발생 시까지의 면적대비 초기 휨 균열 발생 시 변위의 3배, 5.5배, 10.5배 및 15.5배까지 산정한 면적들의 비로서 상대적 개념을 도입하고 있다(Fig. 6). Fig. 6에서 A, B, C, D, E는 특정 변위까지 하중-변위 관계의 면적이다. 이 방법은 섬유가 휨 균열 발생 이후 균열면에서 가교작용에 의한 휨 응력 전달을 통하여 인성이 향상되는 것을 고려하고 있다. 따라서 이 연구에서는 FRC의 휨 인성지수를 상대 값 개념의 ASTM C1018에 따라 평가하였다.

Fig. 6 Flexural toughness index identified in ASTM C1018

3.2 변수연구(parametric study)

섬유 보강 콘크리트 보의 휨 인성지수에 대한 다양한 변수들의 영향을 평가하고 단순모델을 제시하기 위하여 단면분할법을 이용한 변수연구를 수행하였다. 변수연구에서 FRC 보의 휨 인성지수에 영향을 미치는 주요 인자들의 변화 범위는 다음과 같다: $f_{ck}$는 21 MPa에서 100 MPa; $\rho_{c}$는 1,500 kg/㎥에서부터 2,300 kg/㎥; $\beta_{f}$는 0.1에서부터 4.0; $d_{a}$는 13 mm에서부터 25 mm. 이들 변수의 변화에 따라 단면분할법에 의해 산정된 하중-변위 관계로부터 ASTM C1018에 의해 휨 인성지수를 평가하였다. ASTM C1018에 따라 보의 단면크기는 150×150 mm, $L$은 450 mm로서 $L$/3 위치에서 상부 2점 집중하중이 작용하는 것으로 고려하였다. 이 변수연구의 전체적인 절차는 컴퓨터 프로그래밍 되었다. 변수 연구로부터 얻은 결과를 이용하여 FRC 보의 휨 인성지수에 대한 각 주요 인자들의 영향을 다음에 분석하였다. 이때 휨 인성지수는 대표적으로 $I_{20}$을 선택하여 각 변수의 영향을 분석하였다.

3.2.1 콘크리트 압축강도 영향

콘크리트 압축강도 증가에 따른 $I_{20}$ 값들의 변화를 Fig. 7(a)에 나타내었다. 이 때 $\beta_{f}$와 $d_{a}$는 각각 1.85와 19 mm로 고정하였다. 일반적인 특성으로서 $f_{ck}$가 증가할수록 $I_{20}$ 값들은 감소하는 경향을 보였다. 이들 감소 기울기는 $\rho_{c}$에 의한 영향이 미미하였다. 콘크리트의 균열은 $f_{ck}$가 높을수록 더 급격하게 진전하며, 국부파괴 영역도 작게 있어 최대 내력 이후 하중감소 기울기가 더 급격하다^{(Sim et al. 2014)}. 이로 인해 콘크리트 인성향상에 대한 섬유 보강의 영향은 $f_{ck}$가 높을수록 다소 적게 나타났다.

Fig. 7 Effect of different parameters on flexural toughness indices