3.1 평가식의 유도

Fig. 1과 Fig. 3에서 알 수 있듯이 정확하게 전단균열각도를 예측하기 위해서는 전단파괴시의 $f_{2}^{c}$와 전단철근량($\rho_{v f_{yt}}$)의 관계를 정확하게 파악할 필요가 있다. Fig. 2에서 전단철근이 증가하면 전단파괴시의 $f_{2}^{c}$는 증가한다. 그 이유는 전단철근이 많을 경우에 전단철근의 변형률이 작기 때문에 콘크리트의 주인장변형률이 작아서, $\xi f_{ck}$가 크기 때문이다. 한편, EC2-04 기준의 변각트러스모델에서는 균열각도에 대한 제한을 두지 않을 경우에 이 값은 항상 일정하다. 이 연구에서는 동반 논문 (I)^{(Lee and Kim 2023)}에서 분석한 622개 실험데이터를 이용하여 전단파괴 시의 $f_{2}^{c}$와 전단철근량($\rho_{v f_{yt}}$)의 관계를 평가하였다.

Fig. 6은 KCI-17 기준, CSA-14 기준, DIN-1045 기준 및 AS- 3600 기준의 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$를 비교한 것이다. 파괴 시의 $f_{2}^{c}$는 각 기준의 각도를 식 (2)에 대입하여 계산하였다. 그림의 수직축은 $f_{2}^{c}$를 EC2-04 기준에서 사용하는 $\xi f_{ck}$로 나눈 값을 나타낸다. 그림에서 균열각도에 대한 제한을 두지 않을 경우에 EC2-04 기준의 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$는 항상 1.0이지만, KCI-17 기준, CSA-14 기준, DIN-1045 기준 및 AS-3600 기준의 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$는 거의 선형적인 관계를 나타내고 있음을 알 수 있다. 전단철근의 양이 적을 경우에 네 기준의 파괴 시의 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$는 매우 작지만, 전단철근의 양이 증가하여 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$가 0.5에 도달할 때의 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$는 거의 1.0에 도달하였다.

EC2-04 기준에 의하면 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$=0.5는 전단철근과 콘크리트가 동시에 파괴되는 균형파괴점을 의미하며 이 점에서의 각도는 45도가 된다. 동반 논문 (I)에서 설명하였듯이 DIN-1045 기준과 AS-3600 기준은 철근량이 각도에 미치는 영향을 각각 $V_{c}/V_{u}$와 ($V_{u,\: \max}$-$V_{u,\: \min}$)에 의해 반영하였다. 두 기준에서 철근량이 적을 때 각도는 작아지고, 철근량이 많을 때의 각도는 45도에 접근하게 된다. 이 영향을 Fig. 6에서는 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$에 의해 표현하였다.

Fig. 6에서 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$와 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$는 거의 선형적인 관계를 나타내고 있다. 즉 $\rho_{v f_{yt}}$가 작을 때는 파괴 시의 $f_{2}^{c}$가 작지만, $\rho_{v f_{yt}}$가 크면 $f_{2}^{c}$도 거의 비례적으로 증가하였다. 이러한 경향은 철근콘크리트 막요소에 대한 수정압축장이론(modified compression field theory, MCFT)의 해석 결과에서도 확인할 수 있다. Fig. 7은 ^{Khalifa (1986)}, ^{Kirschner and Collins (1986)}, ^{Pang and Hsu (1995)}가 실험한 막요소를 ^{Bentz et al. (2006)}이 MCFT로 해석한 결과를 나타낸다^{(Lee and Kim 2016)}. 6개 실험체 중에서 A4 실험체는 철근량이 많아서 철근이 항복하기 전에 콘크리트가 압축파괴한 실험체이다. 그림에서 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$는 Fig. 6의 결과와 유사하게 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$와 거의 선형적인 관계가 있음을 알 수 있다.

622개의 실험체 및 6개의 패널 실험체의 $f_{2}^{c}$와 철근량($\rho_{v}$$f_{yt}$)는 선형적인 관계를 나타내므로 식 (6)으로 $f_{2}^{c}$와 $\rho_{v f_{yt}}$의 관계를 표현할 수 있다. 식 (6)에서 전단균열이 발생할 때의 $f_{2}^{c}$는 $f_{1}^{c}$ 및 $f_{cr}$와 동일하므로(식 (5) 참조), Fig. 8과 같이 철근이 없을 때($\rho_{v f_{yt}}$=0)의 $f_{2}^{c}$=$f_{cr}$=$0.17\sqrt{f_{ck}}$로 하였다. 또한, 철근이 최대로 배근되어 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$=0.5일 때는 Fig. 6과 Fig. 7의 기준 결과와 같이 $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$=1.0이 된다^{(Lee et al. 2011)}. Fig. 8은 식 (6)에 의해 계산한 622개 실험체의 $f_{2}^{c}$와 $\rho_{v f_{yt}}$의 관계를 나타낸다.

여기서, $\psi =\rho_{v}f_{yt}/(\xi f_{ck})$이다. 식 (6)에서 전단철근량이 증가하면 MCFT, CSA, DIN 및 AS 기준과 같이 $f_{2}^{c}$는 선형적으로 증가한다. 2장에서 설명한 KCI-17 기준의 최소철근비 $\rho_{v,\: \min}f_{yt}=$$0.06\sqrt{f_{ck}}$와 $v_{c}=0.17\sqrt{f_{ck}}$를 식 (6)에 대입하여 $f_{2}^{c}$를 구한 후에 이를 $\cot\theta =\sqrt{f_{2}^{c}/\rho_{v}f_{yt}-1}$에 대입하면, $\rho_{v,\: \min}f_{yt}$에서의 최소 전단균열각도는 약 28도가 된다. 또한, 균형파괴시의 각도는 KCI-17 기준, EC2-04 기준, AS-3600 기준과 동일하게 45도가 된다.

EC2-04 기준을 이용하여 유도된 식 (1)을 식 (7)로 재정의할 수 있다. 제안된 방법에 의하면, 식 (7)의 파괴 시의 $f_{2}^{c}$는 식 (6)에서 계산한다.

식 (6)과 동반 논문 (I)에서 비교한 5개 기준의 전단균열각도를 Fig. 9에서 비교하였다. 동일한 조건에서 균열각도를 비교하기 위하여 DIN-1045와 AS-3600의 $V_{c}$는 KCI-17 기준의 $v_{c}=0.17\sqrt{f_{ck}}$를 적용하였다. CSA-14 기준에서는 부재축방향 변형률($\varepsilon_{x}$)이 주어지지 않았기 때문에 전단철근의 양과 $\varepsilon_{x}$가 선형적으로 증가한다고 가정하고 균열각도를 계산하였다. Fig. 9에서 EC2-04 기준과 DIN-1045 기준의 최소 균열각도는 다른 기준에 비하여 매우 낮았다. 한편, 식 (7)과 CSA-14 기준 및 AS-3600 기준의 최소 균열각도는 거의 유사하였다. 전단철근량이 증가하면 식 (7)의 균열각도는 KCI-17 기준과 CSA-14 기준 및 AS-3600 기준의 중간 정도의 값이었으며, DIN-1045 기준이나 EC2-04 기준의 균열각도보다는 컸다.

Fig. 6 Relation of $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$ and $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$ of 622 RC beam test results

Fig. 7 Relation of $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$ and $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$ of six RC panel test results (Lee and Kim 2016)

Fig. 8 Relation of $f_{2}^{c}$/$\xi f_{ck}$ and $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$ calculated by Eq. (6)

Fig. 9 Comparison of shear crack angles

3.2 예측 정확성

파괴시의 $f_{2}^{c}$를 고려한 식 (7)을 이용하여 계산한 전단균열각도와 동반 논문 (I)에서 설명한 244개 측정 전단균열각도를 Fig. 10에 비교하였다. 식 (7)은 동반 논문 (I)^{(Lee and Kim 2023)}에서 비교한 CSA, DIN, AS 기준과 유사하게 실제 균열각도의 평균값을 비교적 정확하게 평가하였다. 최소철근비 이하에서는 균열각도가 28도이며, 이 값은 EC2-04 기준의 22도보다 컸다. EC2-04 기준에서는 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$이 0.138보다 작은 구간에서 균열각도가 22도로 실제 각도를 과소평가하였지만, 식 (7)은 최소철근비 이하에서만 28도이며, 그 이후에는 균열각도가 증가하여 실제 각도를 더 정확하게 예측하였다. 식 (7)의 전단균열각도는 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$가 0.1보다 작은 구간에서는 실제 균열각도의 평균값과 유사하였다. 그러나 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$이 0.1보다 큰 경우에는 식 (7)의 균열각도가 45도에 가까워 실제 균열각도를 과대평가하였다. 전단철근의 전단저항($V_{s}$)은 $\cot\theta$에 비례하므로 균열각도가 크다는 것은 $V_{s}$를 안전측으로 평가함을 의미한다.

Fig. 11은 622개 실험체 내력과 식 (8)의 $V_{s}$를 비교한 결과이다.

여기서, $\rho_{v}$: 전단철근비, $f_{yt}$: 전단철근의 항복강도, $b_{w}$: 단면의 폭, $z$: 주압축철근과 주인장철근의 중심간 거리(본 연구에서는 $0.85d$ 적용), $d$: 단면의 유효높이이다.

동반 논문 (I)에서도 언급하였듯이 균열각도가 영향을 주는 $V_{s}$를 평가하기 위해서는 정확한 $V_{c}$가 필요하지만 그러한 평가식이 많지 않기 때문에 Fig. 11에서는 $V_{c}$는 무시하고 $V_{s}$만 고려하여 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$변화에 따른 예측 정확도의 경향을 살펴보았다. 다섯 개 기준의 균열각도를 사용한 $V_{n}$과 $V_{s}$에 대해서는 동반 논문 (I)에서 비교하였다. 동반 논문 (I)에서는 예측의 정확성 측면에서 AS-3600 기준이 변동계수 41.2 %로 가장 좋았으며 KCI-17 기준이 변동계수 47.8 %로 가장 높았다. Fig. 11에서 식 (7)의 각도를 식 (8)에 대입하여 계산한 $V_{s}$는 실제 $V_{n}$을 변동계수 33.1 %와 평균값 2.26으로 가장 정확하게 평가하였다. $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$가 작을 때는 $V_{n}$/$V_{s}$가 매우 컸지만, $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$가 클 경우에는 $V_{n}$/$V_{s}$은 1에 근접하였다.

전단강도($V_{n}$)는 콘크리트의 전단저항($V_{c}$)과 전단철근의 전단저항($V_{s}$)의 합으로 계산되므로 Fig. 12에서는 $V_{s}$에 $V_{c}$를 합한 값을 비교하였다. Fig. 12에서는 동반 논문 (I)에서 사용한 622개 실험 결과와 다섯 기준의 $V_{n}$을 비교하였다. 다만 EC2-04 기준에서는 $V_{c}$를 사용하지 않으므로, $V_{n}=V_{s}$을 사용하였다. 제안된 방법의 경우에는 식 (7)을 대입하여 계산한 식 (8)의 $V_{s}$에 KCI-17 기준의 $V_{c}$를 합하여 계산하였다. Fig. 12에서 $V_{c}$를 합하진 않은 EC2-04 기준을 제외하고 네 기준의 전단강도 예측값은 매우 유사하다는 것을 알 수 있다. 그 이유는 수집한 데이터의 대부분은 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$가 0.1 이하이며, 이 경우에는 전단철근의 영향보다는 콘크리트의 영향이 크기 때문으로 판단된다. KCI-17 기준, CSA-14 기준, DIN-1045 기준, 식 (8)의 평균값은 약 1.2 근처로 유사하였지만, AS-3600 기준은 0.98로 낮았다. 식 (8)은 철근량이 적은 경우, 즉 $V_{c}$의 영향이 큰 경우에는 실제 $V_{n}$을 과소평가하였지만, 철근량이 증가함에 따라서 실제 $V_{n}$의 평균값을 유사하게 평가하였다. 제안된 균열각도를 사용한 경우의 변동계수는 21.7 %로 정확성이 우수하였다.

Fig. 10 Comparison of the shear crack angles of Eq. (7) and the measured 244 crack angles

Fig. 11 Comparison of calculated $V_{s}$ and measured $V_{n}$

Fig. 12 Comparison of shear strength

4.1 전단철근량의 변화

전단균열각도를 45도로 사용하는 KCI-17 기준과 다양한 각도를 적용하는 EC2-04 기준, CSA-14 기준, DIN-1045 기준 등을 비교해보면 KCI-17 기준의 전단철근의 저항력($V_{s}$)이 다른 기준의 $V_{s}$보다 작아 전단철근을 많이 배근해야 한다. 이는 $V_{s}$가 $\cot\theta$에 비례해서 변하기 때문이다. Fig. 13은 622개 실험체를 이용하여 요구 전단철근비를 계산한 것이다. 즉, 실험에서 측정된 전단강도에 도달하기 위하여 필요한 전단철근비를 KCI-17 기준과 식 (8)을 사용하여 계산하였다. 그 후에 KCI-17 기준의 요구 전단철근비($\rho_{v-KCI-17}$)를 식 (8)의 요구 전단철근비($\rho_{v-Eq.(8)}$)로 나누어서 나타냈다. 두 계산식에서는 동일하게 KCI-17 기준의 콘크리트의 전단저항력($V_{c}$)을 이용하였다. Fig. 13에서 철근비의 차이는 Fig. 10의 각도의 변화와 동일하게 전단철근이 작을 때는 급격하게 변화하지만 전단철근이 많은 경우에는 완만하게 변화하였다. Fig. 13에서 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$가 약 0.15에 도달할 때까지 $\rho_{v-KCI-17}$/$\rho_{v-Eq.(8)}$이 1.0 이상이 되어 KCI-17 기준의 요구 전단철근비가 크다는 것을 알 수 있다. 따라서 식 (8)을 사용하여 부재를 설계할 경우에 전단철근비는 감소함을 알 수 있다. 특히, 실제 설계에서 배근되는 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$는 약 0.02에서 약 0.25인 경우가 대부분이므로 식 (8)을 사용할 경우에 배근되는 전단철근비는 감소할 것으로 판단된다. 그림에서 $\rho_{v f_{yt}}/(\xi f_{ck})$가 약 0.15 이후에 $\rho_{v-KCI-17}$가 식 (8)에 의해 계산되는 $\rho_{v-Eq.(8)}$보다 작은 이유는 식 (8)에서는 주압축철근과 주인장철근의 중심간 거리($z$)가 사용되었지만, KCI-17 기준에서는 $V_{s}$를 계산할 때 단면의 유효높이($d$)가 사용되었기 때문이다.

Fig. 13 Comparison of required shear reinforcement ratio

4.2 전단균열각도의 간략식

균열각도를 계산하기 위하여 식 (7)을 사용하는 경우에 전단철근의 간격($s$)은 2차식으로 표현된다. 예를 들어 식 (7)을 사용하는 EC2-04 기준이나 도로교설계기준(한계상태설계법)^{(KIBSE 2016)}의 전단철근의 간격($s$)는 식 (9)에서 계산해야 한다.

따라서, 설계자는 근의 해를 이용해서 $s$를 계산하거나, 각도를 가정한 후에 계산된 전단강도와 최대 전단강도를 비교하여 설계를 진행한다. 그러나 이러한 과정은 설계를 번거롭게 하기 때문에 가능하다면 45도 전단균열각도를 사용하는 KCI-17 기준과 같이 $s$를 선형식으로부터 직접결정할 수 있도록 유도하는 것이 편리하다. 따라서, 제안된 식 (6)을 사용하는 식 (7)을 선형적인 관계로 변경하였다.

식 (7)의 $\cot\theta$는 우항에 제곱근에 비례한다. 코탄젠트(cot) 곡선의 변화경향과 루트곡선의 변화 경향을 비교해서 그 차이를 반영할 경우에 파괴 시의 $f_{2}^{c}$를 대입하여 계산한 식 (7)을 식 (10)과 같이 간략화할 수 있다. 식 (10)에서 $v_{c}$는 콘크리트의 전단강도이다.

Fig. 14는 식 (7)과 식 (10)의 결과를 비교한 그래프이다. 그래프에서 두 식에 의하여 계산된 값은 재료의 변화와 무관하게 거의 유사하다는 것을 알 수 있다.

KCI-17 기준에 의해 계산되는 전단철근의 간격($s$)과 식 (10)을 적용하여 계산된 간격은 각각 식 (11)과 식 (12)와 같다. 따라서, 식 (12)를 사용하여 $s$를 직접 계산할 수 있다.

식 (12)에 $z=0.85d$를 적용하면, $s$는 다음과 같이 단순화할 수 있다.

Fig. 14 Shear crack angle of Eqs. (7) and (10)

4.3 전단균열각도 간략식의 검증

Fig. 15는 622개 철근콘크리트(reinforced concrete, RC) 실험체의 전단강도를 식 (10)을 이용하여 계산한 결과이다. Fig. 12(f)와 비교해 보면 식 (10)을 사용하여도 계산 결과는 거의 유사함을 알 수 있다. 현행 KCI(또는 KDS) 기준에서는 전단철근의 기여분($V_{s}$)를 철근콘크리트 부재와 동일한 식을 프리스트레스트 부재에도 적용하도록 하고 있다. 따라서, 이 연구에서는 ACI 445-DAfStb 프리스트레스트 콘크리트(prestressed concrete, PSC) 데이터베이스^{(Dunkelberg et al. 2018; Yerzhanov and Lee 2020; Lee et al. 2021)}를 이용하여 본 연구에서 제안한 간략식을 검증하였다. 데이터베이스에는 전단철근이 배치된 PSC 실험체만을 고려하였으며, 일반적인 장방형 단면뿐만 아니라 더블티를 포함한 다양한 단면, 포스트텐션, 프리텐션 실험체들이 골고루 분포하였다. 데이터베이스에 관한 상세는 ^{Yerzhanov and Lee (2020)} 및 ^{Lee et al. (2021)}에서 확인할 수 있다. 제안식을 검증하기 위하여 현행 KDS 기준에서 제시하고 있는 $V_{c}$의 상세식과 단순식을 모두 고려하였다. 따라서, 두 해석결과 모두에 대하여 상세식의 경우 휨전단균열강도($V_{ci}$)와 복부전단강도($V_{cw}$)를 계산하였고, 이 두값 중에서 최소값을 콘크리트의 전단기여분으로 취하였다.

여기서, $M_{\max}$는 작용하중으로 인한 단면의 최대 계수 휨모멘트, $V_{i}$는 $M_{\max}$와 동시에 일어나는 작용하중으로 인한 단면의 계수전단력, $M_{cre}$은 작용하중에 의해 단면에 휨균열을 일으키는 휨모멘트, $f_{pc}$는 작용하중을 저항하는 단면의 중심에서 프리스레스의 손실을 감안한 콘크리트의 압축응력이고, 위에 제시된 상세식에서는 $d_{p}$는 압축연단으로부터 긴장재도심까지 거리이며, $0.8h$보다 작게 취할 필요는 없다. 또한, $h$는 단면의 높이이다. 단순식의 경우 유효프리스트레스 제한값을 적용하지 않았으며(휨철근 또는 긴장재의 인장강도 40 % 이상의 유효프리스레스 기준, KDS 14 20 22 4.2.2(2)절 참고^{(KCI 2021)}), 식 (16)으로 산정하였다.

여기서, $d_{p}$는 압축연단으로부터 긴장재도심까지 거리이며, $0.8h$ 규정은 적용하지 않는다. 프리스트레스트 콘크리트 부재에 대한 콘크리트의 전단기여분 산정과정은 ^{Kang et al. (2021)}의 기술기사에 예제와 함께 상세히 설명되었으므로 필요한 경우 참고할 수 있다. 또한, 현행설계기준에서 규정하고 있는 최대철근비($V_{s.\max}$)를 초과하는 경우에도 검증에 반영하였다. 으며, ^{Kang et al. (2021)}에서 제시한 것과 같이, KCI 단순식의 경우 부재의 유효깊이($d$)는 다음과 같이 정의하였다.

여기서, $A_{s}$와 $A_{ps}$는 각각 철근과 프리스트레스트 긴장재의 단면적, $d_{s}$는 압축연단으로부터 철근도심까지 거리, $f_{y}$와 $f_{py}$는 각각 철근과 프리스트레스트 긴장재의 항복강도이다.

Fig. 16은 수집된 119개 전단철근이 배치된 PSC 부재에 대한 검증결과이다. Fig. 16(a)의 $V_{cal}$은 $V_{c}$(KCI-17의 PSC 상세식)와 45도 트러스모델 또는 식 (10)을 이용하여 계산한 $V_{s}$를 더한 값이다. Fig. 16(b)의 $V_{cal}$은 $V_{c}$(KCI-17의 PSC 약산식)와 45도 트러스모델 또는 식 (10)을 이용하여 계산한 $V_{s}$를 더한 값이다. 제안모델은 현행설계기준에 비하여 거의 유사한 정확도와 안전율의 확보가 가능함을 확인할 수 있었다.

Fig. 15 Comparison of shear strength of RC members by using Eq. (10)

Fig. 16 Comparison of shear strength of PSC members by using Eq. (10)