2.1 폭발압력 및 반응속도

일반적으로 이상적 폭발(ideal explosion)은 Chapman-Jouguet 모델^{(Jouguet 1905)} 및 ZND(Zelˈdovich-von Neumann- Döring) 모델^{(Zeldovich 1940)}을 근간으로 하여 설명되고 있다. Fig. 1은 ZND 모델을 설명하는 것으로 폭발이 일어날 때 어떤 단일 폭약은 물질의 반응 및 변환의 개념 하에 미반응 폭약 구간(unreacted explosive zone), 화학반응이 집중적으로 일어나는 반응구간(reaction zone), 화학반응의 결과로서 생기는 부산물 생성 구간(detonation products zone) 등 3개의 영역으로 구분된다.

이상적 폭발의 경우, 반응구간이 차지하는 공간의 길이가 무시될 정도로 짧으나, 비이상적 폭발의 경우 화학반응이 비교적 긴 시간 동안에 일어나고, 반응구간이 차지하는 공간의 길이는 무시될 수 없다^{(Minchinton 2015)}. 이러한 모델을 논리 전개의 근간으로 하여 다양한 폭발거동에 대해 실험적 분석이 필요할 경우 Fig. 2와 같은 실린더 폭발실험이 실시된다. 예로서 압력-팽창 거동이나 압력파의 전파속도의 측정이 대표적인데, Fig. 2는 폭굉속도를 측정하는 실험에 대한 개념도이다.

Fig. 1. The ZND detonation model (Minchinton 2015)

Fig. 2. Schematic diagram of a cylinder test

위와 같은 이유로 비이상적 폭발을 해석할 때에는 반응구간의 고려가 필요한데, 이에 대한 적합한 해결방법의 하나로서 I & G (Ignition and Growth) 모델이 적용될 수 있다^{(Lee and Tarver 1980)}. 이 모델에서는 미반응 구간, 화학반응이 완료된 구간에서 발생하는 폭발압력 $P_e$ 및 $P_p$를 식 (1) 및 식 (2)와 같이 별도의 상태방정식(equation of state, EOS)으로 정의하고 있다. 그리고, 미반응 구간에서 화학반응이 완료되어 부산물이 생성되는 구간으로의 천이(transition) 속도는 식 (3)과 같은 소위 ‘반응 속도식’(reaction rate equation)에 의해 조절된다^{(Johansson 2011; Kittel et al. 2016; Yi et al. 2020)}. 예를 들어, 반응속도가 높으면 화학반응 및 부산물이 생성되는 과정이 빠르고, 폭속이 높게 나타나는 등의 이상적 폭발에 근접하게 되고, 반대의 경우에는 비이상적 폭발에 속하는 특성이 지배적으로 발현된다. 여기서, 반응속도는 폭압과 비례관계에 있다^{(Bohanek et al. 2023)}. Minchinton⁽²⁰¹⁵⁾ 또한 반응속도는 에너지 방출율(release rate)을 반영하는 물리량으로서 반응속도가 높으면 폭압이 증가한다고 설명하고 있다. 식 (1)~(3)에서 $P$, $V$ 및 $T$는 압력, 상대부피(relative volume) 및 온도이고, $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_5$, $r_6$, $a_p$, $b_p$, $xp_1$, $xp_2$ 및 $g_p$는 재료상수이다. $\lambda$는 두 구간이 각각 차지하는 부피를 결정하는 변수로서 volume fraction이라고 한다. $\rho_0$ 및 $\rho$는 초기 및 고려 시점의 밀도, $a$, $b$, $c$, $d$, $G$, $I$, $x$, $y$는 재료상수이다.

폭발해석에 JWL (Jones-Wilkins-Lee, ^{Lee et al. 1968}) 모델이 단독으로 사용되는 경우도 있는데, 이 경우에는 I & G 모델과 달리 반응속도를 고려하지 않게 된다. 주로 TNT(trinitrotoluene)나 PETN(pentaerythritol tetranitrate)과 같이 폭발에너지를 거의 일시에 방출하는 특성을 갖는 이상적 폭약의 해석에 많이 사용되고 있다^{(Johansson 2011; Kittel et al. 2016; Yi et al. 2020)}. 반응속도를 고려하여 비이상적 폭발을 해석해야 하는 이 연구에서는 I & G 모델이 사용되었다.

2.2 반응물질의 부피 변화

^{Bohanek et al. (2023)} 및 Minchinton⁽²⁰¹⁵⁾에 의하면, 반응구간(Fig. 1 참조)에서의 화학반응에 의해 초기 압력파를 능가하는 압력파가 생성되어야 압력파가 성장하게 되고 폭속이 이론상의 속도에 근접하게 된다고 하고 있다. 그러나, 폭속이 느린 비이상적 폭발에서는, 압력파 후측에 나타나는 희박화(rarefaction)로 물질이 팽창하는 효과가 클수록 폭발압력이 떨어지게 되고 압력파 성장이 저해되므로, 이론상의 폭속에 도달하지 못하게 된다. 관련 연구들에서 어떤 일정의 정해진 공간을 차지하고 있는 폭약 물질의 팽창 및 압축과 같은 부피 변화는 초기 부피($Vo$)에 대한 고려 시점에서의 부피($V$)로 정의되는 상대부피(relative volume, $V/Vo$)의 개념을 사용하여 고려되고 있다. 이 연구에서는 상대부피와 크게 다르지 않으나, 역학분야에서 많이 사용되고 있는 체적 변형률(volumetric strain)로 부피 변화를 검토하였다.

위와 같은 비이상적 폭발 및 관련 인자에 대한 사항들을 고려했을 때, 폭약의 직경 크기와 같은 경계조건(폭발조건)에 따른 반응속도와 체적변형률의 변화, 그때의 폭속이나 폭압과 같이 폭발 결과로서 나타나는 거동과의 연관성을 검토해 보는 것이 하나의 해석과정으로서의 의미가 있을 것으로 사료되었다. 비이상적 폭발에서 뚜렷이 나타나는 크기효과(size effect, 개념에 대해서는 서두 참조)를 비롯해 기타 다양한 폭발거동의 기본적 메커니즘을 좀 더 구체적으로 검토할 수 있을 것으로 보았다. 예를 들어, 기존과 다른 어떤 폭발조건에 대해 수치해석한 결과에서 폭속/폭압의 변화가 있다라고 가정해 본다. 반응속도와 체적변형률(부피팽창률)이 폭속/폭압의 증가에 유리한 경우인지, 또는 불리한 경우인지에 대해 검토함으로써 주어진 조건에 대한 폭발거동의 메커니즘을 좀 더 구체적으로 이해할 수 있을 것이다.

3.1 해석조건 및 모델링 방법

ANFO 폭약의 폭발거동 분석을 위한 해석모델은 타 연구에서 수행된 실린더 폭발실험(^{Bohanek et al. 2023}, Fig. 3 참조)을 참고하여 작성되었다. 실린더 폭발실험(cylinder test)은 폭발 생성물의 압력-팽창 특성, 폭발에너지 및 폭굉속도 등에 관한 연구를 위해 필요하다. 폭발압력을 계산하는 데 사용되는 상태방정식의 계수를 결정하기 위해서도 이 폭발실험이 행해지고 있다. 위 문헌자료에 따르면 질산암모늄과 연료유가 94.6:5.4의 비율로 혼합되어 폭약이 제조되었다. 밀도는 0.8 g/cm³이다. 폭약을 담기 위해 사용된 PVC(polyvinyl chloride) 실린더의 내측 직경은 71 mm, 104 mm, 119 mm 및 154 mm 등 총 4종류이고, 이 중에서 이 연구의 해석에 포함된 것은 71 mm(L=700 mm), 104 mm(L=1000 mm) 및 154 mm(L=1,000 mm)이다. PVC 실린더의 두께는 2~3 mm인 것으로 되어 있는데, 본 연구의 해석 모델에서는 3 mm로 가정하였다. ANFO 폭약은 기폭을 위해 전폭약이 사용되는데, 참고한 실험에서는 ANFO 량에 상관없이 20 g의 PETN이 사용됐다. 여기서, 전폭약(PETN) 사용량은 ^{Bohanek et al. (2023)}의 연구에도 나타나 있듯이 이론적 폭굉속도의 현출 시점에 영향을 주지만, 그 크기에는 큰 영향을 주지 않는다. 본 연구에서는 세부적인 폭발거동의 변화를 알아보는 것보다는 실린더 직경 크기를 변수로 했을 때 검토될 수 있는 크기효과를 검토해 보았다. 그리고, 이를 통해 다른 연구에서도 참고할 수 있는 일련의 분석과정 내지는 분석방법을 모색하는데 목적이 있기 때문에 전폭약 량의 변화에 대해서는 별도로 검토하지 않았다. 한편, 참고한 실험에서는 폭속을 실린더 중앙에서 측정하고 있으며, 본 연구에서는 이를 해석결과와 비교하여 유한요소 모델을 검증하였다.

Fig. 3. Test setup diagram (^{Bohanek et al. 2023})

해석에 사용되는 ALE(Arbitrary-Lagrangian-Eulerian) 해석기법은 구조체와 주위의 공기나 물 같은 유체 간의 상호작용을 해석하는데 사용되고 있으며, 폭약 또한 같은 기법으로 모델링 된다. 일반적으로 ALE 해석기법에서는 폭약과 유체는 오일러리안(eulerian) 기법으로 모델링 되며, 구조체는 라그랑지안(lagrangian) 기법으로 모델링 된다^{(Abedini et al. 2020; LSTC 2020; Kim et al. 2024)}.

실린더 폭발 해석을 하는 본 연구에서도 위와 같은 해석기법이 사용되었다. 사용된 유한요소프로그램은 LS-DYNA^{(LSTC 2020)}이다. 전폭약의 점화는 JWL 모델을 단독으로 사용하는 경우에서와 동일한 방법에 의한다. PETN 폭약에서 ANFO로의 전달은 충격파로 인한 밀도나 부피의 변화에 의한다. 또한, 폭약(eulerian 모델)과 PVC(lagrangian 모델) 사이에는 별도로 추가되는 인터페이스 조건을 부여하였다(ALE_COUPLING_ NODAL_CONSTRAINT). ANFO 폭약과 전폭약(PETN)에서 발생하는 폭발압력의 계산에 각각 I & G 상태방정식과 JWL 상태방정식이 사용되었다. I & G 상태방정식은 앞서 2.1절에서 검토된 바와 같이 비이상적 폭발 특성을 갖는 폭약의 폭발압력 계산에 사용되고 있다. 폭약에 대한 재료모델은 ANFO의 경우 폭약의 밀도($\rho$=0.8 g/cm³)로 정의되고, 전폭약의 경우는 밀도($\rho$= 1.75 g/cm³), 폭속($D$=8,210 m/s), C-J(Chapman-Jouguet) 폭발압력($P_{cj}$=4.52×10⁴ MPa) 등에 의해 정의된다. ANFO 폭약과 전폭약의 상태방정식(EOS)의 정의를 위해 입력된 상수는 ^{Stimac et al. (2021), Jayasinghe et al. (2017)}, ^{Lee and Tarver (1980)}, Johansson⁽²⁰¹¹⁾ 등의 연구를 참고했으며, Table 1에 나타낸 바와 같다.

폭약을 담고 있는 실린더 형태의 PVC 튜브 모델에 사용된 재료모델은 밀도(1.367 g/cm³), 전단 탄성계수(1,150 MPa), 항복강도(37.8 MPa)로 정의된다. 또한, 압력계산에 사용된 상태방정식은 충격하중을 받는 solid 요소의 압력 계산에 적합한 Gruneisen EOS이다^{(Yi et al. 2018)}. 이와 관련된 입력 상수는 Table 2에 나타낸 바와 같다.

위와 같은 방법으로 모델링된 폭약 모델을 Fig. 4에 나타내었다. ANFO 폭약에 대한 해석 논문^{(Price and Ghee 2009; Sanchidrian et al. 2015; Bohanek et al. 2023)}을 참고하면, 반응구간의 길이를 고려했을 때 1 mm의 메쉬 크기가 적당하며, 이보다 두 배 정도 커도 허용될 수준이라고 되어 있다. 본 연구의 해석모델도 이와 같은 연구를 참고하여 예를 들어, 중앙부 메쉬의 경우 1 mm 내외로 정하였다. 예로서 내측 직경 154 mm 폭약 실린더에 대한 해석모델은 폭약에 11,945,472개의 ALE solid 요소, 폭약을 담고 있는 PVC 튜브에 1,447,936개의 일반 solid 요소가 사용되어 총 13,393,408개의 solid 요소가 사용되었다. 또한, 메쉬는 총 13,682,617개의 절점으로 구성되었다. 위와 같은 모델링 방법은 압력파와 관련된 폭약 내의 폭발거동을 해석하는 데 있어 사용되는 방법으로 ^{Fan et al. (2025), Johansson (2011)} 등의 연구를 참조할 수 있다.

Fig. 4. Finite element analysis model

3.2 해석모델의 적합성 검토

3.1절에서와 같은 모델이 이 연구의 목적에 적합한지 검토하기 위해 Fig. 6과 같이 해석에 의해 계산된 압력파 속도(‘Simulation’)를 ^{Bohanek et al. (2023)}에 의한 실험결과(‘Cylinder Test’) 및 해석결과(‘Autodyn’)와 비교하였다. 뚜렷한 거동 차이를 보이는 71 mm 및 154 mm 폭약 실린더에 대해서 예로써 나타내었고, 모든 폭속에 대한 비교결과를 오차율과 함께 표로 요약해 놓았다. 여기서, 압력파 속도는 압력파의 구간별 이동거리 및 소요시간으로부터 계산된 값이다. 예를 들어, Fig. 5에서와 같이 압력파가 전파해 갈 때 구간별 속도를 구한다. 압력파 속도 비교 그래프의 x축은 전폭약의 점화위치(실린더 초입부)로부터 떨어진 거리, y축은 폭속(폭굉속도)을 포함하는 개념으로 넓은 의미에서 압력파 속도(Pressure-wave Velocity)로 정의하였다.

Fig. 5. Propagation of pressure wave (154 mm cylinder)

Fig. 6. Comparisons of pressure wave velocity

Fig. 6에서 그래프의 전체적인 경향을 보면, 시작점에서는 전폭약(booster)의 폭발로 발생한 충격파로 인해 높은 속도를 나타내다가, ANFO 폭약 내 약 100 mm 내외의 거리에 이르기까지 급격히 감소된 값을 보이고 있다. 그후 일정한 속도(폭굉속도)에 수렴하는 거동을 나타내고 있다. Table 3 및 Fig. 6의 비교에서 직경 71 mm 폭약의 경우 실험값 기준으로 약 1,190 m/s의 비교적 낮은 폭속을 보이고 있으나, 직경 154 mm 폭약에서는 100 mm 부근에서 나타난 최저 속도로부터 점차 증가하여 실험값 기준으로 약 3,620 m/s의 폭속에 도달한 것으로 나타났다(직경별로 서로 다른 폭속을 나타내는 것은 크기효과에 의한 것으로 이후 영향인자 분석에서 검토). 해석에서 계산된 폭속과 실험에서 나타난 폭속의 차이를 검토해 보면, 폭약 실린더의 직경 크기 순(오름차순)으로 7.6 %, 6.8 %, 4.1 %와 같다.

참고로서 직경 104 mm 및 154 mm 실린더의 폭굉속도에 대해 다른 연구결과^{(Stimac et al. 2021)}를 참조하면, 각각 2,850 m/s와 3,680 m/s로서 이 연구의 해석결과와의 차이는 각각 5.8 % 및 2.5 %로서 마찬가지로 10 % 미만의 오차를 나타내고 있다. Fig. 6의 ^{Bohanek et al. (2023)}의 연구결과와 비교에서 초기 구간에 약간의 차이가 보이긴 하나, 폭굉속도에 대해 두 기존 연구와의 비교 결과를 고려할 때 이 연구의 해석모델 및 결과가 어느 정도 타당성이 있는 것으로 판단된다.

비교 결과에 대해 전반적으로 판단한다면 다음과 같다. 최종적으로 안정된 폭속에 도달하기 전의 초기 구간에서 다소 실험결과와 차이를 보이긴 하였으나, 거리에 따라 나타나는 속도의 전체적인 변화 추세, 직경 크기별 폭속의 변화와 같은 폭발거동 등은 비교적 잘 모사할 수 있는 것으로 검토되었다. 결론적으로 경계조건이 변화할 때 나타나는 폭발거동의 차이가 뚜렷이 모사될 수 있는 점을 고려했을 때, 본 연구에서 다루고자 하는 영향인자 분석은 충분히 가능하다고 판단되기 때문에 3.1절에 나타낸 바와 같은 해석모델은 분석 목적에 충분하다고 사료된다.

4.1 직경 크기에 따른 체적변형률 비교

폭약 직경별로 반응속도 및 물질의 팽창과 같은 물리량을 비롯해 다른 인자가 어떻게 다르게 변화하고, 그로 인해 앞서 Table 3 및 Fig. 6에서와 같은 폭속을 결과로서 얻을 수 있는지 분석하였다. 팽창은 체적변형률의 개념으로 그 정도를 비교 평가하였다. 먼저, Fig. 7은 거리별(전폭약으로부터 떨어진 거리) 체적변형률의 분포를 비교해 놓은 것이다. 여기에 나타낸 그래프들은 대표되는 몇 개의 위치를 선정하고, 그 위치에서 폭압이 최대가 되는 시점에서 해당 위치를 포함한 그 이전 구간에서의 변형률에 대한 값들을 연결해서 나타낸 것이다. 여기서 대표되는 위치는 Fig. 6과 같은 압력파 전파속도의 거리별 분포를 참고하여 선정하였다. 예로, Fig. 7의 (c)의 직경 154 mm 폭약에 대한 경우에서 h 그래프는 741 mm 위치에서 폭압이 최대가 되는 0.238 ms 시점(압력파가 741 mm의 위치에 도달한 시점)에서 741 mm 위치를 포함한 그 이전에서의 체적 변형률을 나타낸 것이다. 그리고, 나머지 a~g 그래프들은 시점은 다르나 변화추세를 보기 위해 함께 나타낸 것이다.

Fig. 7. Comparisons of volumetric strain distribution

Fig. 7의 (c)의 직경 154 mm 실린더에 대한 결과에서 팽창에 해당하는 부분(+값)을 살펴보면, 곡선 a에서 곡선 c까지 기준 위치 및 시점(압력파가 도달한 위치 및 시점)이 변하더라도 최대값은 (+)0.849 내외 수준으로 크게 변동 없다가, 곡선 d 및 곡선 e(압력파 위치=305 mm) 등에서는 최대값이 (+)1.64 정도까지 점차적으로 증가하였다. 이후 팽창에 해당하는 부분은 전반적으로 증가하는 것으로 나타났다(곡선 f~h). 예를 들어, 곡선 h를 보면 최대 (+)4.3의 변형률을 나타내었다. 이에 비해 Fig. 7(a) 및 (b)와 같이 실린더 직경이 더 작은 경우를 보면, 예를 들어 직경 71 mm 실린더의 경우 곡선 e(압력파 위치=314 mm)에 나타난 바와 같이 실린더 초입부 부분에서 (+)3.63~(+)5.13의 변형률을 나타냈고, 직경 104 mm 실린더의 경우 곡선 d(압력파 위치=304 mm)에서와 같이 최대 (+)2.76의 변형률을 나타냈다. 이를 직경 154 mm 실린더의 경우(곡선 e, 압력파 위치=305 mm)와 비교해 보면, 직경이 작아질수록 팽창이 점점 더 크게 증가한 것이다.

한편, 대표적 예로서 Fig. 8에서와 같이 직경 154 mm 실린더에 대한 체적변형률 속도(volumetric strain rate)를 검토해 보면, 절대값 크기로 비교했을 때 팽창변형률 속도(+값)는 압축변형률 속도(-값)에 비해 상당히 작아서 (+)50 (1/ms) 미만의 값을 보이고 있다.

여기서, 체적변형률 속도는 동적거동을 보고자 하는 것으로서 체적변형률을 시간에 대해 미분하여 얻을 수 있다. 압축변형률 속도(절대값)가 팽창의 경우에 비해 상대적으로 더 큰 것은 음속 이상으로 전달되는 충격파에 의해 매우 빠른 속도로 압축 변형이 일어나기 때문이다. 모두 나타내지는 않았으나, 직경이 작은 실린더의 경우도 팽창변형률 속도는 압축의 경우에 비해 상당히 작아서, 직경별 체적변형률을 비교했을 때만큼의 뚜렷한 차이를 보이지 않았다. 그러나, 압축변형률 속도의 경우, 최소값(압력파 선단에서의 변형률 속도로서 절대값으로는 최대값)을 직경 크기 순(오름차순)으로 나타내면, Fig. 8의 파선으로 표시된 바와 같이 약 (-)340, (-)780, (-)900 (1/ms) 수준으로 나타나서 직경별 차이가 뚜렷하였다.

Fig. 8. Volumetric strain rate distribution for the ∅154 cylinder, and comparisons of max. compressive volumetric strain rate

4.2 폭발압력과 체적변형률과의 관계

체적변형률 검토에서 나타난 거동들이 폭압과는 어떠한 관계가 있을지 검토하기 위해 Fig. 9와 같이 거리에 따른 폭압 분포를 그려 보았다(각 개별 곡선의 작성방식은 변형률에 대한 경우와 유사). 직경 154 mm 실린더에 대한 Fig. 9(c)의 a, b, c 곡선에서 볼 수 있는 바와 같이 실린더 초입부에서 크지는 않으나 일정한 압력 이상으로 작용하고 있는 경우, 압력파 선단(pressure front)에서의 폭압(각 개별 곡선에서 최대값)이 크게 증가하다가, d 및 e 곡선에서처럼 실린더 초입부에서의 압력이 다소 떨어지면서 더 이상 증가하지 않고 6,600 MPa 정도에 수렴하는 것으로 나타났고, 이후의 곡선에서도 비슷한 최대값이 유지되는 것으로 나타났다. 154 mm 실린더에 비해 직경이 작은 경우는 실린더 초입부 구간에서의 압력이 비교적 더 낮거나, 일정한 압력 이상으로 유지되지 못하고 곧 떨어지는 거동을 보였다.

실린더 직경이 큰 경우와 전체적인 거동을 비교해 보면, 압력이 크게 성장하지 못하거나 직경 71 mm 폭약의 경우와 같이 전혀 성장하지 못한 채 실린더 초입부에서의 압력 수준을 그대로 유지하는 것으로 나타났다. 이러한 결과를 보면, 팽창변형률이 크고 압력파 선단에서의 압축변형률 속도가 낮은(절대값 기준으로) 작은 직경 실린더의 경우 폭압이 성장하지 못하고 낮게 나타나는 것을 알 수 있었다.

Fig. 9. Comparisons of pressure distribution

4.3 구속 수준, 폭압 성장에 미치는 영향

Fay⁽²⁰²⁰⁾ 및 Zhang⁽²⁰¹⁶⁾에 의하면, 압력파 선단의 후측으로 희박파(rarefaction wave)가 형성되는데, 이로 인해 폭발 물질이 방사방향으로 팽창하고 압력은 점차 떨어지게 된다. 압력 저하 정도는 폭약 량(폭약 직경) 및 실린더 케이스의 영향으로 나타나는 구속(confinement) 효과, 다시 말해 팽창하는 물질의 흐름을 억제하는 효과가 얼마나 크고 작으냐에 따라 다르다. 구속 수준이 높아 팽창이 크지 않으면 압력파 선단 후측의 압력이 서서히 떨어지는 분포를 보이고, 반대인 경우 압력이 더 빨리 0에 근접하게 된다.

Fig. 9의 폭압 분포에서도 그와 같은 거동을 볼 수 있지만, 좀 더 명확히 읽어 내기 위해서는 데이터 분석이 더 필요하다. 폭압(Fig. 9) 및 체적변형률(Fig. 7) 분포를 종합하여 검토해 본 결과, 실린더 초입부에서의 폭압이 팽창 정도에 따라 민감하게 변화하는 것을 알 수 있었는데, 이를 고려하여 폭압 분포도의 각 곡선에서 초입부 압력(초입부 3개의 점에 대해 평균값)의 변화를 Fig. 10과 같은 그래프로 나타내었다. x 좌표는 실린더 내 압력파 선단(front)의 위치(각 폭압 곡선에서 최대값 위치), y 좌표는 각 해당 곡선에서 초입부 구간의 폭압이다.

Fig. 10. Comparisons of changes in confinement level

예로서 Fig. 10의 직경 154 mm 폭약에 대한 경우, 초기 3개의 위치에서는 비교적 크고 일정한 압력이 유지되는 것으로 보아 상대적으로 구속 정도가 높은 것으로 볼 수 있다. 그와 같은 조건이 형성됨으로 폭압이 계속 성장할 수 있었던 것으로 보인다. 그후 305 mm 또는 392 mm 위치부터 하락하기 시작하면서 압력판 선단에서의 폭압(Fig. 9에서 각 곡선의 최대 폭압)도 더 성장하지 않은 것으로 보인다. 이에 비해 작은 직경 실린더의 경우는 더 낮은 초기 압력이 셋팅된 상태에서 출발하여 더 이른 위치부터 하한값에 수렴하는 것으로 나타났다. 상대적으로 압력 성장에 유리한 구속조건이 형성되지 못한 것으로 분석될 수 있다.

종합적으로 보면, 희박파에 의한 팽창 및 압력 저하가 작게 유지되는 구간의 길이가 길수록(=구속 수준이 높을수록) 폭압이 더 크게 성장한 것으로 분석될 수 있었다. 앞서 2.2절에서 압력파 선단 후측에서의 물질의 팽창 정도가 폭압의 성장에 영향을 미친다고 인용하였는데, Fig. 9 및 Fig. 10에서와 같이 압력파 선단의 후측에서의 폭압 분포 및 구속 수준에 대한 분석과정을 통해 그와 같은 현상을 구체적으로 확인할 수 있었다.

4.4 반응속도와 폭굉에너지, 폭발거동에 미치는 영향

Fig. 11은 각 직경의 실린더에 대해 반응속도의 분포를 나타낸 것이다. x 좌표는 앞서 체적변형률 및 폭압의 검토를 위해 선정된 위치를 참고하여 정했다. 미반응 폭약에서 부산물로 전환되는 동안의 반응속도는 계속 변하는데, 그래프에 나타낸 것은 그 중 최대값이다. 직경 154 mm 실린더의 경우 초기 약 2,000 ms^-1 정도였다가 점차 증가하여 4,000 중반 정도의 반응속도를 보이고 있다. 또한, 직경 71 mm 및 104 mm 실린더의 경우는 1,000 ms^-1 및 3,000 ms^-1 내외 수준으로 나타났다. 폭압이 직경 크기에 따라 증가한 것으로 나타났는데, 반응속도 또한 같은 경향을 나타냈다.

한편, Fig. 11에는 폭속 및 폭굉이 일어날 때 방출되는 에너지의 증가율을 같이 나타냈다. 폭약의 초기 상태 내부에너지(internal energy)와 고려 시점의 내부에너지의 차이로부터 얻을 수 있는 에너지가 폭굉에너지인데(폭굉 과정에서 방출되어 폭속의 증가에 기여하는 에너지), 그 증가속도가 폭굉에너지 증가율 또는 폭굉에너지 방출율(detonation energy release rate)이다. 직경별 에너지 증가율(방출율)을 비교해 보면 그 추세는 반응속도의 경우와 유사하며, 이와 같은 비례관계는 관련 연구^{(Minchinton 2015)}와도 일치한다. 폭속이 비교적 큰 154 mm 실린더의 경우 증가율이 폭속과 유사한 추세로 크게 상승하는 것에 비해 71 mm 실린더의 경우는 그것의 약 25 % 내외 수준에서 더 이상 증가하지 않았다. 비이상적 폭발의 경우 폭발 생성물의 발산으로 인해 폭발에너지가 폭굉과정에 다 활용되지 못하고 손실되는 특성이 강한데, 폭약 직경별로 그 정도가 다르게 나타나는 것이 소위 크기효과이다. 위에서와 같은 일련의 분석과정을 통해 그와 같은 현상을 구체적으로 비교 검토할 수 있었다.

Fig. 11. Relationships between reaction rate, energy increase rate and detonation velocity

4.5 각 영향인자의 변화 추세

실린더 직경 크기에 따른 각 인자의 변화 추세, 인자들 간의 연관성을 좀 더 명확히 요약적으로 표현하고자 Fig. 12와 같은 그래프를 작성하였다. 여기서, 폭속, 반응속도, 에너지 증가율, 폭압 등에 대해 압력파가 실린더 내에서 전파되는 중에 얻은 최대값을 비교해 놓았다. 개별 그래프는 직경 154 mm 실린더에 대해 얻은 값을 기준으로 정규화되었다. 서두에서와 같은 기존 연구에서 밝혀진 바와 같이 각 인자가 서로 비례하고 있는 것을 볼 수 있다. 앞에서와 같은 일련의 분석과정을 통해 그와 같은 상호관계를 구체적으로 확인할 수 있었다.

특히, 이 연구에서는 구속 수준(confinement level)을 실린더 초입(전폭약 위치)으로부터 희박파에 의해 물질이 팽창, 그로 인해 폭압이 하락 수렴하게 되는 위치까지의 거리와 같이 간접적인 방식으로 표현하였다(4.3절 참조), 그 거리가 길수록 압력파 선단 후측의 압력이 더 높은 수준으로 유지되어 압력 성장에 더 유리한 조건이 형성됨을 알 수 있었다. Fig. 12에 의하면, 구속 수준이 높을수록 기타 다른 인자의 값들도 비례하여 큰 것을 볼 수 있으며, 이는 문헌조사에서 검토된 관련 연구들과도 일치하는 결과이다. 구속 수준의 판별은 해당 폭약의 거동이나 상대적 성능이 어떠한 조건에서 유도되었는지 그 원인을 분석함에 있어 하나의 비교 지표로서 사용될 수 있다는 것에 그 의미가 있다.

Fig. 12. Changes in each parameter value according to the radius size