2.1 베이지안 추론

주어진 관측된 정보로부터 모수에 대한 어떠한 결론을 이끌어 내는 과정을 의미하는 통계적 추론에는 베이지안 접근법과 고전적인 접근법으로 구분할 수 있다. 고전적인 접근법은 관측된 자료의 분포만을 고려하기 때문에 관측 자료의 영향을 많이 받는다. 베이지안 접근법은 관측된 자료와 함께 모수에 대한 확률분포를 사용하기 때문에 표본이 작거나 이상치가 존재하는 등 자료가 불완전할 경우 과거의 경험 또는 선행연구의 결과 등을 통한 사전정보를 활용하여 정확도를 향상시킬 수 있다.

베이지안 추론에서 모수 $\theta$는 고정된 값이 아닌 확률변수이다. 일반적으로 관측자료 y에 대한 우도함수 $f(y\vert\theta)$와 사전분포 $p(\theta)$가 주어졌을 때, Eq. (1)과 같이 미지(unknown)의 모수 $\theta$의 조건부 확률인 사후분포 $p(\theta\vert y)$를 산정할 수 있다.

여기서, $p(y\vert\theta)$는 모수 $\theta$가 주어졌을 때 관측자료의 조건부 확률분포이며, $y$의 우도함수로 정의된다. $p(\theta)$는 $\theta$의 사전분포이며, $\theta$에 대한 과거 및 사전 정보로부터 유도할 수 있다. $p(y)$는 $y$에 대한 주변분포이며 전확률정의에 의해 $p(y)=\int p(y\vert \theta)p(\theta)d\theta$ 이다.

베이지안 추론 과정에서 사전분포는 관측값을 포함하지 않기 때문에 사전분포 선택에 있어 특정한 기준은 없으며, 모수에 대한 충분한 사전정보가 거의 없는 경우에는 무정보적 사전분포를 사용한다. 일반적으로 추정하고자 하는 모수의 분포에 대한 제약이 없는 제프리스(Jeffreys) 사전분포가 많이 사용되고 있다^{(Yoo and Kim, 2020)}. 관측자료에 대한 확률밀도함수의 평균을 이용하면, 제프리스 사전분포는 Eq. (2)와 같이 나타낼 수 있다.

여기서, $\sigma$는 관측자료의 표준편차이다.

2.2 민감도 분석을 통한 가중치 산정

본 연구에서 제안하는 베이지안 추론과 민감도 분석을 통한 적정 설계빈도를 결정하기 위한 평가인자의 가중치를 산정하는 절차는 다음과 같다. 먼저, 각 평가인자들을 정규분포로 가정하고, 최우추정법을 이용하여 모수인 평균($\mu$) 및 표준편차($\sigma$)를 추정한다. 즉, 관측값 y에 대한 정규분포함수인 $p(y\vert\theta)$가 우도함수가 된다. 사전분포는 2.1절에서 설명한 바와 같이 제프리스 사전분포를 적용한다. 따라서, 우도함수와 사전분포를 결합하여 평가인자에 대한 사후분포를 추정한다. 각 평가인자에 대한 사후분포의 누적분포함수를 통해 세부 구간에 따른 발생확률(Occurrence Probability, OP)을 산정한다. 평가인자의 세부 구간은 최댓값 및 최솟값을 통해 적절한 구간으로 설정할 수 있다. 이러한 구간은 설계빈도의 값을 낮추는 안전한 구간인 첫 번째 단계부터, 설계빈도의 값을 높이는 위험한 구간인 마지막 단계(10번째, 5번째 또는 2번째)로 구분된다. 이 중 첫 번째 단계인 가장 안전한 단계를 기준시나리오(Scenario 1, S1)라고 하며, 해당 구간의 발생확률과 가장 발생확률이 큰 값과의 민감도 분석을 통해 평가인자의 가중치를 산정한다.

민감도 분석이란 모형을 구성하고 나서 하나의 인자 값을 변경하면서 평가 값이 얼마나 변하는지를 분석하는 것이다. 이때 큰 변화를 일으키는 인자의 기여도가 높다고 판단한다. 본 연구에서는 각 평가인자마다 가장 안전한 단계의 발생확률과 가장 많이 발생하는 단계의 발생확률의 비를 비교하여 민감도 분석을 실시하고 이를 통해 기여도가 높은 평가인자에 가중치를 크게 부여하는 방법을 적용하였다. 이는 가장 안전한 단계와 가장 많이 발생하는 단계와의 비율을 통해 해당 평가인자가 최종 점수에서 얼마나 기여하는지를 판단하기 위한 것이다. 만약, 가장 안전한 단계가 발생확률이 제일 클 경우는 가장 안전한 단계와 발생확률이 제일 작은 경우와의 비율을 산정하였다. 즉, 먼저 베이지안 추론을 통해 업데이트된 평가인자에 대한 확률분포를 적정 구간을 나누어 단계별 확률 값을 산정하고, 민감도 분석을 통해 가중치를 부여하였다. 여기서, 발생확률 비율(Occurrence Probability Ratio, OPR)은 Eq. (3)을 적용하여 산정하였다.

모든 평가인자의 비율이 산정되면 Eq. (4)와 같이 총 비율에서 해당 비율을 나누어 평가인자의 가중치($Weight_{i}$)를 산정하였다. 평가인자의 최종 가중치를 각 평가인자별 구간 수를 고려하여 등간격으로 나누어 평가인자 구간별 가중치를 산정하였다.

여기서, $i$는 평가인자 번호를 의미하며, $n$은 총 평가인자 수이다.

3.1 대상 지역

본 연구에서 제안한 베이지안 추론을 활용한 적정 설계빈도 산정 방법을 충청남도의 지방하천에 적용하였다. 충청남도의 전체 면적은 8,204 ㎢으로 우리나라 면적 99,617 ㎢의 약 8.6 %를 차지하며, 행정구역으로는 천안시, 공주시, 보령시 등 15개 시･군으로 구성되어 있다. Fig. 2는 충청남도의 행정구역(시･군) 현황이며, 본 연구에서는 지방하천의 시점과 종점이 충청남도에서 발원·합류·바다로 유출되는 하천에 대하여 수집하고 적정 설계빈도를 추정하였다.

한국하천일람^{(MOLIT, 2018)}에 따르면, 충청남도에는 492개의 지방하천이 있으며, 국가하천으로 유입하거나 서해, 호 및 만으로 유출되는 하천은 157개이다. 국가하천으로 유입되는 유역은 99개(63.06 %)이며, 서해로 유출되는 하천은 28개(17.83 %), 호 및 만으로 유출되는 하천은 30개(19.11 %)이다. 또한, 충청남도의 80년 빈도 이상인 하천이 252개(65.5 %), 50년 빈도 이하인 하천이 133개(34.5 %)이다.

Fig. 2. Map of The Study Areas

3.2 지방하천 설계빈도 추정을 위한 평가인자 도출

｢충청남도 지방하천 적정설계빈도 결정방안｣^{(Chungcheongnam-do, 2017)}에서는 지방하천의 설계빈도를 결정하기 위하여 7개의 평가인자를 도출하고(Table 1), 평가인자의 가중치는 AHP 기법을 통해 산정하였으며, 가중치를 적용한 점수의 총합과 홍수피해잠재능(PFD)을 고려하여 적정 설계빈도를 추정한 바 있다. 그러나, ^{Chungcheongnam-do(2017)}의 방법은 평가인자의 가중치가 AHP 분석을 위해 선정된 전문가 집단의 개인적 선호에 따라 결정될 수 있고, 기후변화 시나리오를 고려한 이상강우의 특성은 평균치를 활용하여 미래의 강우 변화량만을 적용하였으며, 미래에 변화가 발생할 시가화 침수면적과 PFD는 현재 기준으로 설정되어 있어 미래 변화량을 적절히 반영하지 못하는 문제점이 있다.

따라서, 본 연구에서는 ^{Chungcheongnam-do(2017)}의 평가인자를 준용하되, 문제점을 보완하고 통계학적 객관성을 확보하기 위해 베이지안 추론을 적용하였으며, PFD 방법을 사용하지 않고 적정 확률분포형을 통해 도출된 빈도값을 사용하여 기수립 빈도와 비교･검토하였다.

3.3 베이지안 추론에 의한 가중치 산정

베이즈 이론을 활용한 연구에서 평가인자들을 확률분포에 적합할 때 일반적으로 정규분포를 활용하므로, 본 연구에서도 각 평가인자를 정규분포에 적합하여 확률분포화 하였다. 정규분포의 매개변수는 Table 2에 나타내었으며, 최우도법을 적용하여 우도함수를 결정하였다.

사전분포로는 제프리스 사전분포를 채택하였으며, Eq. (2)와 같이 주어진 자료의 표준편차를 활용하였다. 사전분포와 우도함수를 Eq. (1)에 적용하여 사전분포에 의해 갱신된 사후확률분포를 추정하였다. 예를 들어, Fig. 3의 검정색 실선은 베이지안 추론을 적용하기 전인 하도경사 원자료의 우도함수 정규분포이며, 파란색 점선은 사전분포와 결합하여 베이지안 추론 과정을 통해서 추정한 사후확률분포를 나타낸 것이다.

민감도 분석을 적용한 구간별 가중치를 산정하기 위하여 충청남도 지방하천에 대한 유역 및 하천(하도특성), 강우 특성인자들을 적절한 단계로 등분할하였다. 유역면적과 형상계수, 하도경사, 시가화 침수면적, 이상강우 발생빈도는 총 10구간으로 등분할하였으며, 수계차수와 배수영향구간은 각각 5개 구간, 2개 구간으로 등분할하였다. 추정된 평가인자별 사후확률분포의 면적을 구간별로 계산하여 구간에 따른 발생확률을 산정하였다. 구간에 따른 발생확률은 Table 3과 같다. Table 3에서 진하게 표시된 구간이 각 평가인자에서 가장 안전한 구간이며, 음영이 들어간 구간이 최대 또는 최소 발생확률을 갖는 구간이다. 각 구간별 발생확률을 Eq. (3)에 적용하여 발생확률 비율을 산정하였다. 예를 들어, 하도경사의 가장 안전한 단계인 1단계의 발생확률은 0.07이며, 최대 발생확률은 0.18인 3번째 단계에 해당된다. 따라서 하도경사의 발생확률 비율은 0.82가 된다.

이와 같이 모든 평가인자들의 발생확률 비율을 모두 계산한 다음, 총 합에서 각 평가인자의 비율을 계산하여 산정한 최종 가중치 결과는 유역면적은 15점, 형상계수는 11점으로 유역특성은 26점으로 산정되었다(Table 4). 하천(하도)특성은 전체 38점으로 하도경사 15점, 수계차수 12점, 배수영향구간 11점으로 산정되었다. 이상강우 및 침수특성인자는 이상강우 발생빈도 18점, 시가화 침수면적은 18점으로 산정되었다. 즉, 유역면적이 42.34 ㎢ 이상이면 15점이며, 하도경사가 0.18 ~ 0.28 % 내에 해당하면 13.5점이다. 산정된 각 평가인자의 가중치는 합으로 산정되어 최종 점수를 산정하게 된다. 최종적으로 베이지안 추론과 민감도 분석에 의한 가중치 산정결과를 정리하면 Table 5와 같다.

Fig. 3. Likelihood Function and Posterior Distribution of Channel Slopes(Ryu et al., 2022)

3.4 적정 설계빈도 추정

^{Chungcheongnam-do(2017)}에서는 충청남도 지방하천 중 자료분석이 가능한 413개 하천에 대하여 평가표를 작성하고, 평가점수가 정규분포를 따른다고 가정하였으나, 이는 가장 기본적인 확률분포형으로 실제 자료계열은 다른 확률분포형일 수 있다. 본 연구에서는 확률론적 수문분석에서 많이 사용되는 18개의 확률분포형에 대해서, 일반적으로 적용되는 3가지 매개변수 추정법(최우도법, 모멘트법, 확률가중모멘트법)으로 매개변수를 추정하고, 5가지 적합도 검정(Chi-Square ($\chi^{2}$) 검정, Kolmogorov-Smirnov (K-S) 검정, Probability Plot Correlation Coefficient (PPCC) 검정, Cramer von Mises 검정, Modified Anderson-Darling Test (MADT))을 실시하여, 4가지 이상 적합도 검정방법을 통과한 GEV 확률분포형을 채택하였다.

충청남도 413개 지방하천에 대하여 평가표로 작성하여 평가점수를 산정한 후, 산정된 점수를 GEV 분포에 적용하여 누가분포함수의 99 %가 일반적인 지방하천의 설계빈도인 50년 ~ 100년 빈도에 분포한다고 가정하였다. 충청남도의 지방하천 중 200년 빈도에 해당하는 하천은 없기 때문에 이러한 가정은 타당한 것으로 판단된다. 즉, 누가분포함수의 0.05와 99.5에 해당하는 평가점수를 도시하고(Fig. 4), 각각 30년, 100년 빈도로 환산하였다. 또한 50(%)에 해당하는 평가점수는 80년 빈도로 가정하여 충청남도 413개 지방하천에 대한 적정 설계빈도를 추정하였다(Table 6).

본 연구에서 누가분포함수에서 추정된 각 지방하천의 설계빈도 추정 결과, 기수립 지방하천의 설계빈도와 비교하여 증가하는 하천은 225개, 감소하는 하천 158개로 분석되었다. ^{Chungcheongnam-do (2017)}을 살펴보면, 평가점수 구간별 분류 결과 지방하천의 설계빈도가 증가하는 하천이 97개, 감소하는 하천이 141개, 동일한 하천이 144개이다.

이러한 결과의 차이는 ^{Chungcheongnam-do(2017)}은 AHP를 활용하여 가중치를 산정한 후 정규분포의 누가분포함수의 결과를 범위로 산정하여 30년, 50년, 80년, 100년, 200년 빈도로 추정하였고, 평가점수 외에 PDF를 통해 해당 설계빈도로 선정하였기 때문이다. 즉, 누가분포함수의 결과가 50년 ~ 80년 빈도의 점수로 추정되었을 때, PDF의 결과에 따라 해당하천이 50년 또는 80년 빈도의 설계빈도로 추정되어 실제 평가항목의 점수는 현재 설계빈도보다 높은 점수이지만, “동일” 또는 “감소”하는 하천의 수가 많아진 것이다.

Fig. 4. Probability Distribution for the Design Frequencies (GEV Distribution)

3.5 기수립 설계빈도의 비교검토

충청남도의 기수립 지방하천 중 자료의 구축이 가능하고 평가가 가능한 413개 하천에 대하여 본 연구의 추정 설계빈도와 비교 검토하였다. 현재 충청남도의 지방하천의 설계빈도는 30년 빈도(5개), 50년 빈도(127개), 80년 빈도(265개), 100년 빈도(16개)로 분포되어 있다(Table 7). 또한 ^{Chungcheongnam-do(2017)}에서 추정한 지방하천 설계빈도에 해당하는 하천수는 50년 빈도는 181개, 80년 빈도는 185개, 100년 빈도는 16개이다.

Table 8을 살펴보면, 충청남도의 지방하천 설계빈도가 상향되는 것으로 분석되었다. 범위로 보면 30년 ~ 50년 빈도로 추정된 하천은 1개이고, 50년 ~ 80년 빈도로 추정된 하천의 수는 195개이고, 80년 ~ 100년 빈도로 추정된 하천은 213개이며, 100년 빈도 이상으로 추정된 하천은 4개이다. 100년 빈도 이상으로 추정된 4개의 하천은 모두 99.95년 빈도에서 반올림을 한 것이며, 100년 빈도를 초과하는 하천은 없는 것으로 나타났다. 본 연구 분석 결과 평균적으로 기수립 설계빈도보다 약 (+)7.62년 상향되었다.

본 연구의 결과 중 상향되는 하천 중 삽교천의 경우 현재 50년 빈도로 수립되고 있으나, 본 연구의 결과는 약 99.46년 빈도로 추정되었다. 이러한 이유는 본류에 해당하며 하류에 침수가 되는 시가화 지역이 매우 넓게 분포하여 시가화 침수면적이 만점(18점)에 해당하는 ‘201,494 ㎡ 이상’ 보다 2배 이상 큰 5,066,929 ㎡로 평가점수가 매우 높게 나타난 경우이다.

하향되는 하천 중 남창천의 경우 유역면적이 1.86 ㎢인 매우 작은 하천이지만, 하천설계빈도는 80년 빈도로 수립되고 있다. 남창천의 시가화 침수면적은 2,043 ㎢이며 수계차수는 3차이다. 기수립 대비하여 매우 저평가 되어 50.84년 빈도로 추정되었다.

기수립 설계빈도와 선행연구^{(Chungcheongnam-do, 2017)}보다 본 연구의 결과가 고빈도로 추정되었다. 본 연구의 결과가 평가항목에 대한 통계학적 추론을 통해 가중치를 산정하여 정량적인 평가를 수행하였으며, 적정 설계빈도의 범위가 아닌 평가표로 도출된 빈도이기 때문인 것으로 판단된다.

^{Chungcheongnam-do(2017)}에서 검토한 2015년 이후 기본계획이 수립된 지방하천 중 30개 지방하천에 대하여 본 연구의 결과와 비교 검토하였다. 추정 설계빈도가 증가하는 하천은 20개 하천이고 감소하는 하천은 10개 하천이다. 평균적으로 약 5.83년 상향 조정되는 것으로 분석되었다. ^{Chungcheongnam-do(2017)}에서는 감소(5개), 증가(5개), 동일(20개) 하천으로 분석하였다. 적정 설계빈도의 범위로 산정하였기 때문에 평가점수만을 비교하면 감소하는 하천은 8개 하천이며, 증가하는 하천은 22개 하천인 것으로 분석되었다.

따라서, 본 연구의 결과에서 추정된 지방하천의 적정 하천설계빈도의 결과는 선행된 연구와 마찬가지로 기존의 하천설계빈도보다 높게 산정되어 전반적으로 상향되는 것을 확인할 수 있었다.