2.1 지배 방정식

지배 방정식은 다음과 같은 보존형 천수 방정식이다^{(Weiyan, 1992)}.

여기에서 아래 첨자 $t$, $x$와 $y$는 각각 시간과 공간(평면 2차원) 편미분이고 보존 변수 벡터, $ U$, 각각 $x$와 $y$ 방향의 흐름률 벡터, $ F$와 $ G$, 그리고 생성항 벡터, $ S$는 다음과 같다.

여기에서 $h$는 수심, $u$와 $v$는 각각 $x$와 $y$ 방향 유속, $g$는 중력 가속도이고, $ S_{0}$와 $ S_{f}$는 각각 바닥 경사와 마찰 생성항으로 다음과 같다.

여기에서 $b$는 바닥 표고이고 $n$은 Manning 조도 계수(이하 Manning 계수)이다.

2.2 수치 해법

임의의 검사 체적, $\omega$에 대해 Eq. (1)을 적분하고 Gauss의 발산 정리를 적용하면 다음과 같다.

여기에서 n은 경계, $\partial\omega$에서 외부로 향하는 단위 법선 벡터이다. $k$개 변으로 이루어진 2차원 계산 격자, $i$에 Eq. (2)를 적용하고 천수 방정식의 회전 불변성(rotational invariance)을 이용하여 다음과 같은 이산 방정식을 얻을 수 있다^{(Lee and Lee, 1998)}.

여기에서 $A$는 격자의 면적, $L$은 변의 길이, $\theta$는 변에서 외부로 향하는 법선이 $x$축과 이루는 각도, ($\dot{}$)는 시간 도함수, ($\hat{}$)은 변에서 외부로 법선 방향 성분이고, $ T(\theta)$는 다음과 같은 회전 행렬로 나타낼 수 있다.

Fig. 1에 보인 어떤 삼각형 계산 격자의 한 변에서 국부 좌표계 ($\hat{x},\: \hat{y}$)를 생각할 수 있다. 결국, 쌍곡선형 미분방정식의 초기치 문제인 Riemann 문제는 국부 좌표계에서 다음과 같다.

여기에서 $j$는 $i$와 변을 공유하는 이웃 격자이고 $\hat{}U_{i}$와 $\hat{}U_{j}$는 초기 조건인 자료(data)이다(Fig. 1 참조).

Godunov 정리에 따라 $\hat{ U_{i}}$와 $\hat{ U_{j}}$처럼 자료가 격자 내에서 상수이면 해법의 정확도는 1차이다^{(van Leer, 2003)}. 이 정리에 의한 차수 장벽(order barrier)을 우회하여 더 높은 정확도를 확보하는 방법의 하나는 두 격자의 중심으로부터 선형 또는 더 고차의 자료 재구축(data reconstruction)을 적용하는 것이다^{(van Leer, 2003)}. 곧, 변($\hat{x}=0$)의 왼쪽과 오른쪽에 각각 재구축된 자료, $\hat{}U_{ij}$와 $\hat{}U_{ji}$로 둔다. 이 연구에 사용한 자료 재구축 기법은 ^{van Leer(1976)}가 제안한 MUSCL(Monotonic Upstream-centered Scheme for Conservation Laws)이다. 다만, 보존 변수인 수심 대신 수위를 재구축하는 ^{Zhou et al.(2001)}의 SGM(Surface Gradient Method)을 따랐다.

Riemann 해법은, Eq. (5)에 보인 Riemann 문제를 풀 때, 적용되는 방법에 따라 정확 해법과 근사 해법으로 나뉜다. 어떤 Riemann 해법을 $\mathcal{R}$로 두면, $\hat{}U_{ij}$와 $\hat{}U_{ji}$로부터 흐름률, $ F_{ij}$를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이 연구에는 근사 Riemann 해법 중 하나로서 ^Linde(2002)가 개발한 HLLL(Harten-Lax-van Leer-Linde) 기법을 적용한다. HLL-형 기법 중에서 가장 효율적인 계승으로 알려져 있으며^{(van Leer, 2003)}, 공기 동역학^{(Suzuki and van Leer, 2005)}, 천체 물리학 분야^{(Kupka and Muthsam, 2017)} 등에서 사용된다. 수리학 분야에는 ^{Hwang and Lee(2012)}가 천수 방정식에 적용하였다.

삼각형 격자의 자료 재구축에서 최대 원리(maximum principle)가 충족되도록 ^{Batten et al.(1996)}이 제시한 제약 조건은 계산 격자 전반에서 다음과 같다.

여기에서 $\Delta t$는 시간 간격이고 $\hat{\lambda}$는 특성파(characteristic wave) 속도이다.

Fig. 1. Local Coordinate System ($\hat{x},\: \hat{y}$)

3.1 고전 도수 실험

^{Gharangik and Chaudhry(1991)}는 길이가 14 m이고 폭이 0.46 m인 수평 실험 수로에서 상류 개구를 빠져나온 사류를 하류단 수문(tail gate)으로 조절하여 도수를 고정시킨 뒤 유량을 재고 수심을 측정하였다. 또한, 흐름률에 시·공간 혼합 미분 항($u_{xt}$)이 제거된 1차원 Green-Naghdi 방정식^{(Green and Naghdi, 1976)}을 ^{Gottlieb and Türkei (1976)}의 소산성 2-4(dissipative two-four) 기법으로 차분한 수치 모형을 상류 Froude 수, ${Fr}_{1}$의 범위가 2.3~7.0인 여섯 가지 서로 다른 실험 경우(Table 1에서 각각 ‘No.’와 ‘${Fr}_{1}$’ 참조)에 적용하였다^{(Gharangik and Chaudhry, 1991)}.

^{Gharangik and Chaudhry(1991)}는 하류단 수문 조절 전에 측정한 사류 수위에 맞도록 시행착오를 통해 수치 모형의 Manning 계수를 결정하였는데, 그 값은 초기 사류 수심에 따라 0.008부터 0.011까지 실험 경우마다 달랐다. 그들의 실험과 비교한 다른 연구에서 사용된 Manning 계수 범위를 살펴보면, ^{Rahman and Chaudry(1995)}는 0.017~0.019, ^{Khan and Steffler, 1996)}는 0.0063~0.0077, ^{Ting et al.(2022)}은 0.013~0.022 범위의 값을 사용하였고 ^{Oh et al.(1998)}은 실험 경우를 가리지 않고 0.008을 적용하였다.

Manning 계수 사용의 장점 중 하나는 수심, Reynolds 수 또는 상대 조도(relative roughness)와 대체로 무관하게 거의 상수로 취급되는 것이다^{(Yen, 2002)}. 그런데 도수에 의해 단일 수로에서 비교적 수심이 얕고 빠른 사류와 상대적으로 수심이 깊고 느린 상류가 동시에 나타나므로 전체 구간에 대해 단일한 값으로 두는 것이 오히려 불리할 수 있다.

Weisbach 저항 계수(resistance coefficient)(이하 Weisbach 계수)는 Reynolds 수와 상대 조도를 통해 흐름 특성을 반영할 수 있으며, 개수로에서 Weisbach 계수, $f$는 다음과 같다^{(Yen, 2002)}.

여기에서 Reynolds 수, ${Re}=uh/\nu$ 또는 $vh/\nu$이고 $\nu$는 동점성 계수(kinematic viscosity) 그리고 상대 조도, $k_{s}/h$에서 $k_{s}$는 등가 벽면 조도(equivalent wall surface roughness, 이하 등가 조도)이다^{(Yen, 2002)}. 또한, Weisbach 계수와 다음과 같은 관계를 통해 Manning 계수에 흐름 특성을 반영할 수 있다^{(Yen, 2002)}.

^{Gharangik and Chaudhry(1991)}가 이용한 금속(metal) 재질 실험 수로의 사용 연수까지 알 수는 없으나, 신제품 강철(steel)에 대한 등가 조도는 0.02~0.10 mm 사이에 있으므로^{(Idelchik, 2008)} 이 범위 내에서 그 값을 결정한다. 실험에서 최소 ${Re}$가 약 78,000으로서 30,000을 충분히 상회하고(Table 1에서 ‘${Re}$’ 열 참조) 상류에서 평균 수심이 0.043 m이므로(Table 1에서 ‘$h_{1}$’ 열 참조) $k_{s}$의 하한과 상한에 대해 상대 조도는 각각 0.00047과 0.00234로서 둘 다 0.05를 넉넉하게 하회하므로 $f$의 결정에 Eq. (8c)를 사용한다.

상류에서 $k_{s}$의 하한과 상한에 대해 $f$를 구해보면, 각각 0.015와 0.019이므로 $k_{s}$가 5배 커질 때 $f$의 증가는 1.25배에 그친 셈이다. 즉, $k_{s}$에서 값의 큰 차이가 $f$에서는 작은 오차에 불과하므로 등가 조도의 적합성에 대해 지나치게 얽매일 필요는 없다^{(Henderson, 1966; White, 2011)}. 하류에서 평균 수심이 0.221 m이므로(Table 1에서 ‘$h_{2}$’ 열 참조) 상류와 마찬가지로 $k_{s}$의 하한과 하한에 대해 $f$가 각각 0.014와 0.015로 산정된다. 상류와 하류에서 $f$가 각각 상한과 하한의 평균치에 근접하는 최적 $k_{s}$ 값은 55 µm였다. 한편, ^{Gharangik and Chaudhry(1991)}는 실험 경우 1번과 5번에 대해 초기 사류 수위를 제시하였는데, 그로부터 $k_{s}$ 값을 구해보면 각각 66 µm와 63 µm로 추정되었다.

수로 중앙에 대해 1차원으로 두고 정상 상태(steady-state)에 도달할 때까지 모의하였으며, 경계 조건으로 상류 경계에서 측정 수심과 유속, 하류 경계에서 측정 수심을 부여하였다. 이때 모든 실험 경우에서 $k_{s}$ = 55 µm로 두었다. 모의에서 Weisbach 계수는 도수 상류와 하류에서 각각 0.017~0.020 그리고 0.014~0.016의 범위에 있었다(Table 1에서 각각 ‘$f_{1}$’과 ‘$f_{2}$’ 열 참조). Eq. (9)로 환산해 보면, Manning 계수가 각각 0.009 그리고 0.010~0.011의 범위에 해당한다(Table 1에서 각각 ‘$n_{1}$’과 ‘$n_{2}$’ 열 참조). ^{Chow (1959)}에 따르면 강철에 대해 최소, 0.010, 최대, 0.014, 그리고 통상, 0.012이므로 저항 계수가 적정하게 부여되고 있음을 알 수 있다. 수로 길이와 폭의 평면에 대해 4,332개의 삼각형 계산 격자로 나눈 2차원 모의도 곁들였다.

Fig. 2에 실험과 모의에서 수심 분포를 비교하였으며, 그림에서 빈원은 실험 결과, 실험 경우 1, 3, 4, 그리고 6에서 일점쇄선은 2-4 기법 모의 결과, 실선은 $k_{s}$ = 55 µm일 때 1차원 모의 결과, 실험 경우 1과 5에서 파선은 각각 $k_{s}$ = 66 µm와 $k_{s}$ = 63 µm일 때 모의 결과, 그리고 점선은 2차원 모의 결과이다. 그림에서 도수의 높이와 아래 끝 위치가 대체로 일치하나 도수에 따른 수위 상승이 비현실적으로 가팔라 2-4 기법의 모의 결과와 대비된다. 이것은 천수 가정(또는 정수압 가정)으로 파의 분산에 대한 고려가 없는 천수 방정식과 수치 소산이 거의 없는 근사 Riemann 해법의 특징 때문이다.

그런데 2-4 기법의 결과는 지배 방정식의 분산 특성보다는 오히려 수치 해법의 ‘소산’ 특성 덕분일 수 있다. 그 이유는 지배 방정식에서 분산 관련 항들의 기여가 실제로는 매우 작아 심지어 ${Fr}_{1}$ = 9일 때에도 다른 공간 미분 항에 비해 6.6%에 불과하기 때문이다^{(Gharangik and Chaudhry, 1991)}. 애당초 그런 효과가 없는 천수 방정식에 2-4 기법을 적용해도 수위 분포의 차이가 거의 없으며, Ting et al.(2022)의 결론도 같다. 두 연구에서 공통되는 접근은 정상 모의를 구실로 지배 방정식의 흐름률에서 시․공간 혼합 미분, $u_{xt}$항을 빼놓고는 정상 상태에 도달할 때까지 비정상 모의를 수행한 것이다.

한편, 2차원 모의와 차이가 거의 없는 이유는 하류에서 평균 수심에 비해 수로 폭이 2배 이상이어서 수로 옆벽의 영향이 거의 미치지 않았기 때문이다(Fig. 2 참조). 앞서 토의한 바와 같이, 실험 경우 1과 5에서 추정 $k_{s}$ 값이 55 µm에 비해 15~20% 가량 차이가 나지만 결과의 차이는 미미하다(Fig. 2에서 각각 (a)와 (e) 참조).

Fig. 2. Comparisons of Depth Profiles in Simulation and Experiment ofGharangik and Chaudhry (1991): (a) No. 1, (b) No. 2, (c) No. 3, (d) No. 4, (e) No. 5, (f) No. 6

3.2 비정상 강제 도수 실험

^{Cheng et al.(2017)}은 Lagrange 방법의 일종인 WC-MPS (Weakly Compressible Moving Particle Semi-implicit) 기법의 검증을 위해 1.6 m 길이의 경사 수로에 일정 유량(5.561⨉$10¯³{m}³/{s}/{m}$)을 흘리고 하류에 설치한 보(높이 0.03 m, 길이 0.01 m)로 도수를 일으켜 PIV(Particle Image Velocimetry)로 시간에 따른 수면 변화를 관측하였다. 이때 수로 바닥에 수직으로 보를 설치하여 바닥 지형이 직립이나, 수로 경사 덕분에 보 전면이 연직에서 벗어나 경사면이 되므로 별도의 조치 없이 수심 적분 모형을 적용하는 것이 가능하다.

실험 수로 재질에 대해 명확한 언급은 없으나 PIV 관측 수로에 사용되는 유리나 투명 플라스틱 재질이라면 대체로 평활(smooth)할 것으로 보인다^{(White, 2011)}. 게다가, ${Re}$가 약 5,500일 때 적용되는 식은 Eq. (8b)로서 이때 $f$는 ${Re}$만의 함수이고 $k_{s}$와 무관하므로 별도로 등가 조도를 설정할 필요는 없다. 2차원 모의에서 측정 시각별로 수로 중앙에서 평균한 Weisbach 계수는 사류와 상류 구간에서 각각 0.023~0.026 그리고 0.019~0.051의 범위에 있으며, Manning 계수로는 각각 0.008~0.009 그리고 0.009~ 0.015의 범위에 있었다. 정상 모의와 달리 수심과 유속의 변화가 커서 저항 계수 값의 범위가 비교적 크게 나타난다.

협소한 수로에서 옆벽의 영향을 고려하려고 계산 영역을 가로 방향으로 수로 폭(0.02 m), 세로 방향으로 영상 취득 영역의 길이(0.32 m)인 평면 2차원으로 두고 삼각형 계산 격자 2,452개로 분할하였다. 실험에서 관측된 수위와 유량을 상류 경계 조건으로 부여하고 하류 경계에서 보존 변수의 경사를 영으로 두었다.

Fig. 3은 경사 수로에서 하류 보(그림에서 ‘Weir’)에 의한 강제 도수의 발달 과정을 모의한 결과(그림에서 ‘2D’), PIV 관측 결과(그림에서 ‘PIV’), 그리고 WC-MPS 모의 결과(그림에서 ‘WC-MPS’)를 평평한 바닥에 맞추어 측정 시각에 따라 비교한 그림이다. 그림에서 하류 보에 반사되어 발달한 도수가 정상 상태로 이행하는 과정이 잘 나타난다. 흐름이 보에 반사되면서 발생한 상류 방향의 단파(surge)를 ^{Cheng et al. (2017)}은 “후방 전파(backward propagation)”로 부르고 강제 도수 형성에 필수적이라고 보았다.

Fig. 3에서 수심 적분 2차원 모의 결과를 살펴보면, 초기에는 하류 보에 의한 “후방 전파”에 비해 다소 늦은 편이었으나 나중에는 그 속도가 차츰 줄면서 도수 위치를 어느 정도 따라잡는다. WC-MPS 모의 결과에 대해 마치 포락선(envelope)으로 보일 정도로 잘 일치하나, 도수가 고정될수록 도수 전면의 형상이 경직되어 보인다(Fig. 3에서 (c) 이후 참조). 고전 도수 실험과 비교에서 살펴본 바와 같이, 지배 방정식의 한계이자 수치 해법의 특징이다. 도수가 어느 정도 진행된 후 하류 수위와 보를 넘어가는 흐름은 실험 결과에 더 부합된다(Fig. 3에서 (d) 이후 참조).

수로 중앙에 대해 1차원으로 모의한 결과(그림에서 ‘1D’)와 대조해 보면(Fig. 3에서 (b) 이후 참조), “후방 전파” 속도의 차이로 미루어 수로 옆벽의 영향이 2차원 모의에서 제대로 반영됨을 짐작할 수 있다. 또한, 계산 격자의 수를 약 1/8로 줄인 성긴 격자에 대한 2차원 모의 결과(그림에서 ‘2D-Coarser’)와 비교해 보면(Fig. 3 참조), 도수 전면에서 수심이 급변할 때 격자 크기 차이로 인한 수면 경사 말고는 수심 분포에서 차이가 거의 없다.

Fig. 3. Comparisons of Depth Profiles in Simulation and Experiment ofCheng et al. (2017): (a) t = 0.5 s, (b) t = 1.0 s, (c) t = 1.5 s, (d) t = 2.0 s, (e) t = 2.5 s, (f) t = 3.0 s, (g) t = 3.5 s, (h) t = 4.0 s, (i) t = 4.5 s

3.3 설계 지침을 위한 강제 도수 실험

^{Forster and Skrinde(1950)}는 길이 3.048 m, 폭, 0.305 m인 황동(brass) 수로 하류에 네 가지 서로 다른 높이(23.8, 36.6, 53.9, 그리고 79.6 mm)의 턱(sill)을 설치하고 턱의 높이($\Delta b$)와 상류 수심($h_{1}$)의 비($\Delta b/h_{1}$)가 1/2, 1, 2, 그리고 4가 되도록 상류 수심을 맞추어 각각 16회, 15회, 15회, 그리고 14회 등 모두 60회에 걸쳐 실험을 수행하였다. ${Fr}_{1}$ 산정에 쓰이는 상류 수심을 하류 턱에서 상류로 턱 높이의 20배가 되는 위치에서 측정하고 도수 위치가 하류 턱으로부터 턱 위 수위($\Delta b + h_{3}$)의 5배 거리에서 멈추도록 턱 위 수심($h_{3}$)을 조절하였다^{(Forster and Skrinde, 1950)}.

또한, 운동량 원리를 적용하여 ${Fr}_{1}$과 상류에 대한 턱 위 수심비($h_{3}/h_{1}$) 사이의 관계를 유도하고 수리 구조물 설계에 이용될 수 있도록 실험 결과를 무차원량인 ${Fr}_{1}$과 $h_{3}/h_{1}$을 이용하여 도표로 제시하였다^{(Forster and Skrinde, 1950)}. Fig. 4에 그들이 제시한 이론식을 실선, 실험 결과를 빈 기호(그림에서 ‘Exp.’)로 보였으며, 그림에서 $h_{2}$는 고전 도수에서 공액 수심($h_{2}/h_{1}=(\sqrt{1+8{Fr}_{1}^{2}}-1)/2$)

으로 $h_{3}= h_{2}$이면 $\Delta b=0$이고 $h_{c}$는 한계 수심으로 $h_{3}= h_{c}$이면 ${Fr}_{1}$-$\left(h_{3}/h_{1}\right)$ 관계식의 최솟값이다(곧, $h_{3}/h_{1}={Fr}_{1}^{2/3}$). ^{Forster and Skrinde(1950)}가 제시한 도표의 범례에서 맨 아래 턱의 높이가 “$\Delta b$ = 0.026 ft”로 표기되어 있는데^{(Chow, 1959)}, 이는 ‘$\Delta b$ = 0.261 ft’의 오기로 보이므로 턱의 최대 높이로서 79.6 mm를 사용하였다.

수로 중앙에 대해 1차원으로 모의하였고 2차원 모의도 곁들여 길이, 2.4 m와 폭, 0.305 m의 평면에 대해 522개의 삼각형 계산 격자로 분할하였다. 황동 재질에 대한 등가 조도는 15~100 µm의 범위에 있으며^{(Idelchik, 2008)}, ^White(2011)에 따라 20 µm로 두었다. 모든 실험 경우에서 ${Re}$의 최솟값이 30,000을 넘고 상대 조도의 최댓값이 0.05보다 작아 Eq. (8c)가 적용된다. 1차원 모의에서 $\Delta b/h_{1}$에 따른 Weisbach 계수의 평균값은 도수 전과 후에 각각 0.015~0.019와 0.014~0.017의 범위에 있다. Eq. (9)로 환산한 Manning 계수로는 각각 0.008과 0.010~0.011의 범위에 있으며, ^Chow(1959)에 의하면 황동에 대해 최소, 0.009, 최대, 0.013, 통상, 0.010이므로 저항 계수가 적정하게 설정됨을 다시 한번 확인할 수 있다.

실험 초기에 하류단 수문를 내버려 둔 것처럼 하류 경계에서 보존 변수 경사를 영으로 부여하고 상류 경계에서 수심을 조절하여 턱에서 상류로 20$\Delta b$ 위치에서 수심이 실험에서 측정한 $h_{1}$로 흐름의 정상성(steadiness)이 유지되는지 확인 뒤 도수 아래 끝 위치가 턱으로부터 5$\left(\Delta b + h_{3}\right)$에 고정될 때까지 하류 경계에서 수위 조절을 반복하였다. 상류 수심과 도수 위치 결정에 시행착오 법으로도 가능하겠으나 실험 경우의 수가 많아 해 찾기 또는 최소화 기법으로 Brent 방법(알고리듬에 대해서는 ^{Press et al.(1992)} 참조)을 적용하여 적당한 오차 범위 내에서 자동으로 탐색하였다.

평평한 수로 바닥에 직사각형 턱이 놓이면서 생긴 직립 지형 때문에 미분 계수를 결정할 수 없으므로 Eq. (1f)에서 바닥 경사(식에서 $b_{x}$와 $b_{y}$)의 계산이 불가능하다. 기존의 수심 적분 모형을 적용하기 곤란하므로 직립면을 경사면으로 완화하지 않고 직접 해석하는 ^Hwang(2015)의 기법을 사용하였다. 또한, ^{Hwang (2023)}에 따라 직립면에 작용하는 흐름률 보정 계수를 결정하기 위해 208개 직립 광정 위어 실험 경우에 대한 1차원 모의를 별도로 수행하고 그 값을 0.979로 결정하였다(2차원에 대해서는 ^{Hwang (2022)} 참조).

60가지 실험 경우 전체에 대한 모의 결과를 Fig. 4에 채운 기호로 보였는데, 1차원 모의 결과를 검은색(그림에서 ‘1D’), 2차원 모의 결과를 회색(그림에서 ‘2D’)으로 표시하였다. 그림을 살펴보면, 두드러져 보이는 것이 이론식과 실험 결과의 차이이다. 이 괴리에 대해 ^{Henderson(1966)}은 상류의 고 유속 분류(jet)가 하류 턱에 도달할 때까지 그 기세가 충분히 꺾이지 않았으며, 여분의 분류가 턱에 더하는 충격이 일으키는 추력(thrust)이 이론식 도출에서 공액 수심을 바탕으로 계산된 것보다 더 크기 때문이라고 설명하였다. 오히려 모의 결과가 이론식에 더 부합하는 것처럼 보이는 것도 이론식처럼 실제 흐름을 제대로 반영하지 못하기 때문이며, 실험 결과와 편차는 $\Delta b/h_{1}$가 클수록 더욱 두드러진다. 2차원 모의 결과는 1차원 모의 결과와 거의 일치하며, $\Delta b/h_{1}$ = 4에서는 이론식에 좀 더 가깝다(Fig. 4 참조).

바닥 마찰 생성항이나 흐름률 보정 계수를 극단적으로 설정하여도 경향에는 거의 차이가 없어 도수에 의해 소산되는 에너지를 실질적으로 반영할 수 없고 지배 방정식 유도에서 적용된 정수압

가정이 흐름의 실정에 잘 들어맞지 않기 때문으로 여겨진다. 도수에 따른 에너지 손실에 대해서는 지배 방정식에 적절한 난류 모형을 도입하고 그에 따른 계산 부하를 감당하면 되겠으나, 비정수압(non-hydrostatic) 영향을 반영하려면 지배 방정식이나 수치 해법의 중대한 변경이 불가피할 수 있다.

온전한 3차원 해석을 제외하면, 압력 보정 방법(pressure correction method)을 곁들인 준 3차원 모형이나 최소 2차(2nd order) 이상의 도함수로 구성되는 Boussinesq-형 방정식 모형의 해석이 자리 잡았으나, 압력 보정에서 음해법의 효율적인 병렬화(parallelization)나 고차 도함수의 이산화 같은 수치 해법의 어려움에 직면해 왔다^{(Echeverribar et al., 2023)}. ^{Bristeau et al.(2015)}은 압력을 정수압과 비정수압으로 나눈 뒤 Euler 또는 Navier-Stokes 방정식의 수심-평균(depth-average)을 통해 1차 도함수만으로 이루어진 편미분 방정식을 연립하여 비정수압 천수 흐름 모형을 제안하였다. 1차원 모형은 천수 방정식, 연직 유속의 수송 방정식, 그리고 여전히 음해법으로 풀어야 하는 1개의 타원형 편미분 방정식 등 모두 4개의 방정식으로 구성된다^{(Bristeau et al., 2015)}. ^{Escalante et al.(2019)}은 천수 방정식을 포함하여 1차의 쌍곡선형 편미분 방정식만으로 연립한 비정수압 모형이 가능함을 보였으며, 음해법이 필요 없어 병렬화가 쉬워진 대신 파속(wave celerity) 관련 계수 도입이 불가피하다. 두 모형에 대해 근사 Riemann 해법의 적용도 뒤따르고 있어^{(Echeverribar et al., 2023)} 고정확도 도수 해석에 고무적이다.

Fig. 4. Comparison of Fr1-(h3/h1) Relation in Simulation and Experiment ofForster and Skrinde (1950)