2.1. 다경간 연속보에 작용하는 실제 하중

다경간 연속보에서 하나의 보 부재에 작용하는 하중은 해 당 경간 내에 작용하는 하중과 인접 부재로부터 보 양단의 접합부에서 전달되는 모멘트가 존재한다. 본 연구는 Fig. 1 과 같이 다경간 연속보의 임의의 한 경간의 보를 단순보로 치환하고 양단모멘트를 포함한 불확실한 하중들이 이 치환 된 단순보에 재하된다는 가정에서 시작한다. 경간 사이에 발 생하는 모멘트는 치환된 단순보의 양단에 작용하는 모멘트 로 수직하중의 정보를 알 경우 이론적인 해석에 의해 구할 수 있으나, 하중의 불확실성과 구조물의 실제 거동의 이론과 의 불일치를 고려하여 본 연구에서는 미지의 값으로 간주하 고 있다. Fig. 1과 같이 실제 보 구조물에 작용하는 중력방향 하중은 크게 두 가지로 나눌 수 있다. 첫째는 형상과 크기를 알지 못하는 분포하중이다. 구조해석 및 설계 과정에서 분포 하여 작용하는 형태의 하중은 일반적으로 그 형상 및 크기를 예상하여 가정된 값을 해석에 반영한다. 그러나 분포된 하중 의 형상과 크기의 불확실성은 언제나 존재하며 이를 정확히 예측하는 것은 힘든 일이다. 둘째는 집중하중이다. 보에 접 합된 작은 보 혹은 재하 면적이 작아 한 점으로 치환하여도 무방한 하중이 집중하중으로서 보에 작용하게 된다. 비록 집 중하중은 그 작용점의 위치는 예측할 수 있지만 그 크기는 마찬가지로 불확실성을 내포하는 미지의 인자로 간주할 수 있다.

Fig. 1은 n개의 경간을 가지고 있는 다경간 연속보의 일반 적인 하중 재하 상황을 나타내고 있다. k번째 경간의 변형률 분포는 분포하중 w_k(x)과 집중하중 P_k 를 받고 있을 때 양 옆 경간에서 전달받는 미지의 모멘트 M_k1,2, M_k,2 를 도입한 단순보에서의 변형률 분포와 같다. 여기서 w_k(x)의 형상과 크기, P_k 의 크기, 양단 모멘트 (M_k,1, M_k,2)의 크기는 알 수 없는 값이다.

2.2. 변형률 분포 함수

본 연구는 변형률 분포 추정을 위하여, 해석적 추정 기법 에서 보의 변형률 분포식 유도에서 사용하는 이론적인 보의 휨 이론을 도입하지 않고, 일반적인 다항식 형태의 함수를 통해 보의 변형률 분포식을 직접적으로 유추하고자 한다. 가 정의 합리성을 위하여 Fig. 2와 같이 치환된 단순보에 작용 하는 3가지 종류의 하중으로 인해 결정되는 변형률의 분포 는 집중하중으로 인해 첨점을 유발시키는 분포 (1차 함수)와 분포하중과 양단 모멘트에 의한 부드러운 곡선으로 표현되 는 분포 (2차 이상의 다항식)로 나누고 있다. k번째 경간에서 부드러운 곡선으로 표현되는 변형률 분포성분은 ε_{k, dist.}(x_k) 으로 정의하며 이는 분포하중과 양단모멘트 작용 시 보에 발 생하는 변형률 분포 특성을 고려하여 다차 (2차 이상) 다항 식으로 근사화하였다. 가정한 부드러운 곡선 형태의 다항식 은 커브 피팅을 이용하여 그 다항식의 계수를 구하게 된다. 커브 피팅은 이산 데이터에 대하여 함수로 표현되는 수학 모델의 계수를 조정하여 수학모델과 데이터의 차이를 최소 가 되도록 하는 기법이다. 이를 통해 데이터와 가장 잘 일치 하는 최적의 계수를 갖는 수학모델을 찾을 수 있다. 본 연구 에서 곡선 형태의 변형률 분포에 적용하는 다항 커브 피팅에 서의 수학모델은 아래와 같이 표현된다.

여기서 n은 선택한 다항식의 최고 차수이며, a_j 는 x^j의 계수이다. 분포하중과 양단 모멘트에 의한 부드러운 곡선 형 태를 갖는 변형률 분포 곡선을 나타내기 위한 분포식은 위 커브 피팅의 수학모델 (식 (1))을 이용하여 식 (2)와 같이 표 현할 수 있다.

여기서 a_{k, j} 는 k구간 (k경간)의 변형률 분포 추정 다항식 의 x_j^k 의 계수이며 t는 변형률 분포 추정식에 사용할 커브 피 팅 다항식의 차수이다.

한편, k번째 경간에서 집중하중으로 인해 유발되는 직선 형태의 변형률 분포는 ε_{k, con} (x_k)로 표현하였다. 본 연구에서 는 경간 당 하나의 집중하중이 작용하는 것으로 가정하였으 며 이에 따라 집중하중에 대한 변형률 분포는 집중하중의 작 용점을 경계로 두 개의 구간을 갖는 1차 함수로 표현된다. 그 경계에서 Fig. 2에서와 같이 첨점을 갖는다. 이 두 가지의 변형률 분포식은 식 (3)과 같이 표현된다.

x_k 는 k구간의 왼쪽 지점을 0으로 하는 로컬 좌표이다. 한 편, 식 (3)은 구간 별로 식의 형태가 다른 함수로서 이를 표 현하기 위하여 연산자 ^*k를 정의하였으며 그 의미는 식 (4) 과 같다.

식 (3)의 λ_k 는 k구간 x_k = l_{k, l} 에서 집중하중에 의해 발생 한 변형률을 추정한 값, ε_{k, con} (l_k,1)이다. 따라서, 집중하중, 분포하중 및 양단모멘트를 받고 있는 k번째 경간의 변형률 분포 근사 추정식은 위에서 가정한 식 (2)와 식 (3)을 조합하 여 식 (5)와 같이 나타낼 수 있다.

2장에서 가정한 다경간 연속보의 변형률 분포 근사 추정식 은 3장에서 설명할 계측한 변형률 데이터를 입력한 커브 피 팅을 통해 구하게 된다.

3.1. 다경간 연속보의 경계조건을 적용한 변형률 분포 추정식

먼저, 본 연구에서 대상으로 하는 다경간 연속보의 특성을 반영하여 식 (5)로 표현된 근사 추정식을 변형한다. 다경간 연속보의 경계조건을 대입하여 보다 정확한 변형률 추정식 을 설정하고 이를 구하기 위함이다. 다경간 연속보의 구조 특성상 두 경간의 경계점에서의 변형률 분포는 연속이어야 한다는 특징이 반영된다. 이를 식으로 표현하면 식 (6)과 같 다. n개 경간에서 변형률 분포식은 식 (6)의 n-1개의 경계조 건을 만족해야 한다.

한편, 식 (5)는 집중하중과 양단 모멘트에 의한 항과 집중 하중에 의한 항으로 구분된다. 여기서 집중하중에 의한 변형 률 추정식에 집중하중의 변형률 분포 특성을 반영하기 위해, 단순보에서 집중하중에 의한 변형률 분포식의 양단에서의 변형률 값이 0인 경계조건을 대입할 수 있다. ε_{k, con} (x_k)은 x_k = 0 과 x_k = L_k 에서 모두 0을 가지기 때문에 식 (7)과 같이 표현할 수 있다.

식 (6)과 (7)의 경계조건 정보를 변형률 분포 추정식인 식 (5)에 대입하면 식 (8)과 같이 표현할 수 있다.

for k = 1 to n - 1

식 (8)을 정리하여, 추정 다항식의 0차수에 대한 계수를 분 리하여 나머지 계수들과의 관계를 표현하면 식 (9)와 같다.

for k = 1 to n - 1

식 (9)는 다경간 연속보의 모든 경계점에 대하여 위에서 언급한 두 가지 경계조건이 모두 대입된 관계식으로서 아래 의 식 (10)과 같은 행렬식으로 다시 쓸 수 있다.

위의 식 (10)은 {A}로 정의된 추정 다항식의 0차수 계수인 a_{1, 0}, a_{2, 0}, … a_{n. 0} 와 {B}로 정의된 ε_{1, dist.}(x₁), ε_{2, dist.}(x₂), …, ε_{n, dist.}(x_n)의 나머지 계수들의 관계를 보여준다. {A} 와 {B}의 관계는 식 (10)으로 부터 식 (11)과 같이 얻을 수 있다.

여기서 [R] 은 [Φ]_-1[ψ] 으로 정의되며 [A]와 [B]의 직접적인 관계를 설명한다. R_{i, j} 를 R 행렬의 i행 i열 성분 (element)을 가리키는 것으로, B_i를 벡터 B 의 i 행 원소로 정의하면, 식 (11)로 부터 다항식의 0차수 계수들인 a_{k, 0} 은 다음 식 (12)와 같이 주어진다.

for k = 1 to n

따라서 경계조건을 통해 계수간의 관계를 적용한 새로운 형태의 변형률 분포함수는 식 (12)를 식 (5)에 대입하고 I 단 위행렬을 이용함으로써 식 (13)과 같이 나타낼 수 있다.

for k = 1 to n

3.2. 최소제곱법을 이용한 변형률 분포 추정식

3.1절에서 다경간 연속보의 경계조건을 대입하여 변형시킨 변형률 분포 추정식에서 미지수인 계수들의 값을 구하면 다 경간 연속보의 변형률 분포 추정식을 구할 수 있다. 본 연구 에서는 다경간 보에서 계측한 변형률을 통해 실제의 변형률 분포에 가장 근접한 분포 추정식의 계수를 찾기 위해 최소제 곱법을 이용한 커브 피팅 기법을 적용한다. 최소제곱법을 이 용하여 계측한 변형률 값과 같은 위치에서의 변형률 분포식 의 변형률 값 간의 차이를 최소화하는 계수의 값을 구한다.

k경간의 i 번째 계측 변형률, y_{k, i}을 x_k = x_{k, i}에서 얻었을 때, 분포 추정식의 오차함수 E는 다음 식 (14)로 주어진다.

여기서 m_k 는 k번째 경간에서 계측한 변형률 데이터의 총 개수이다. 오차함수에서 볼 수 있듯이 경계조건을 적용한 변 형률 분포 추정식은 3가지 형태의 계수가 존재한다: a_{α, β}, a_{n, 0} and λ_k. 구하고자 하는 각 계수들에 대해서 식 (14)를 편미분하여 정리한 후, 계측한 변형률과 변형률 분포 추정식 의 차이를 최소로 하기 위해 편미분한 값이 0이 되도록 하면 식 (15)~(17)과 같이 나타낼 수 있다.

for g = 1 to n and h=1 to t

식 (15)~(17)로 주어지는 방정식은 nt + 1 + t차 연립 방정식으로 Fig. 3과 같이 선형 행렬시스템으로 나타낼 수 있다. Fig. 3에서 X 는 각 계수에 곱해진 성분을 의미한다. X 의 상첨자는 오차함수를 편미분한 계수를 의미하며, 하첨 자는 X에 곱해지는 계수를 나타낸다. Y 는 계측한 변형률 값을 포함한 3가지 편미분 방정식의 우변성분인 상수항을 나타내며, Y의 상첨자는 X 의 상첨자와 마찬가지로 편미분 한 계수를 나타낸다. 따라서 식 (15)~(17)은 Fig. 3에서 정의 된 바와 같이 식 (18)로 표현할 수 있다.

3.3. 축소된 연립방정식 (reduced system equation)

만약 i 경간에서 집중하중이 작용하지 않아 직선형 변 형률 분포식인 ε_{i, con}(x_i)가 존재하지 않는다면, 그에 해당하 는 λ_i를 결정할 수 없기 때문에 식 (18)에 나타낸 추정식의 계수를 구하는 연립방정식의 해는 존재하지 않게 된다. 이러 한 경우 [X] 행렬에서 λ_i에 해당하는 열, [X] 행렬과 [Y] 벡터에서 ∂E/∂λ_i에 해당하는 행에서 원소는 모두 0을 갖는 다. 따라서, Fig. 4와 같이 해당 열과 행을 삭제하여 축소된 연립방정식을 구성할 수 있다. 집중하중이 작용하지 않는 모 든 경간에 대해 Fig. 4의 행렬과 벡터에서 해당되는 모든 행 과 열의 원소들이 삭제된다. 만약 모든 경간에서 집중하중이 없다면 행렬의 nt + 2부터 nt + 1+ t 까지의 모든 행과 열이 삭제되어 연립방정식에 에 관한 항이 존재하지 않게 된다. 이 같은 과정을 거쳐 축소된 연립방정식은 식 (19)와 같이 표현할 수 있다.

여기서 하첨자 _R 은 축소된 (reduced) 행렬 혹은 벡터를 나 타낸다.

식 (19)를 통해 분포 추정식의 계수를 식 (20)과 같이 결정 할 수 있다.

하지만 식 (20)을 통해 얻은 분포 추정식의 계수는 다항함 수의 0차수 계수들인 a_{1, 0}, a_{2, 0}, …, a_{n - 1, 0} 을 포함하고 있지 않다. {C_R}의 1부터 nt + 1 까지의 행에 해당하는 a_{1, 1},a_{1, 2}, … a_{n, t},a_{n, 0}, 은 식 (11)에서 정의된 {B}이며, 식 (20)의 {C_R}에 포함되지 않은 분포 추정식의 계수는 식 (11)의 {A}에 해당되므로, [R] 행렬에 식 (20)으로 부터 구한 행 렬 {B}를 대입하여 {C_R}에 포함되지 않은 분포 추정식의 나머지 계수인 {A}를 구할 수 있다. 마침내 3장에서 설명 한 기법을 통해 분포 추정식의 모든 계수를 구할 수 있게 되 었다. 이와 같이 구한 모든 계수들을 식 (5)에 대입함으로써 다경간 연속보의 변형률 분포 추정식을 얻을 수 있다. 3장에 서 언급한 변형률 분포 추정 기법에 대한 전체 과정을 그림 으로 나타내면 Fig. 5와 같다.

4.1. 실험 개요

실험체는 PL - 150 × 15의 총 길이 6000mm길이의 3경간 강재 보로 한 경간 당 1800mm길이이고 실험체 양 끝단은 300mm씩 내민보 형태를 갖는다. 강재의 재료는 SS400이다. 제안한 기법 검증을 위해 다경간 보에 설치된 FBG센서는 경간 당 5개로 해당 센서로부터 계측한 변형률 데이터는 변 형률 분포 추정을 위해 이용된다. 또한, 추정된 변형률 분포 를 검증하기 위해 각 경간에는 reference 센서가 설치되어 있다. 첫번째 경간에 2개, 두번째 경간에 3개, 세번째 경간에 2개의 FBG센서가 각각 설치되어 있다. 분포 추정을 위해 이 용되는 경간 당 5개 FBG센서의 위치는 비교적 계측 및 설 치 시공상 용이한 곳을 선정하였고, 미리 수행한 구조해석을 통해 각 경간의 최대 정모멘트 및 부모멘트 발생 지점을 reference point로 선정하여 해당 위치에 reference 센서를 설치하였다. 최대 부모멘트 발생 예상 지점 (지점)에 대해서 는 센서의 손상이 우려되어 해당 지점과 매우 인접 (50mm) 한 양 옆 두 위치에 각각 설치하였다. 센서의 자세한 위치는 Table 1에 정리되어 있다.

하중 재하 과정은 Fig. 6에 나타나 있다. Fig. 6a와 같이 다경간 보의 상부에 센서를 설치한 초기 세팅을 계측 시작 상 태로 정하였다. 첫번째 하중 단계는 Fig. 6b에 표현한 것처 럼 강재 보를 뒤집어 형강 자중의 2배의 분포 하중이 재하되 도록 설정하였다. 두번째 하중 단계는 집중 하중이 추가되는 단계로, 집중 하중을 구현하기 위해 Fig. 6c와 같이 보 상부 에 강체 3개를 놓고 그 위에 2600mm길이의 H-100×100×6/8 형강을 얹어 형강 무게가 강체가 놓인 3점을 통해 집중하중 으로 변환되어 다경간 보에 가력될 수 있게 세팅하였다. Photo 1은 센서 설치 및 분포 하중 재하를, Photo 2는 집중 하중 재하를 추가한 최종 하중 단계를 보여주는 실험 전경이 다. 추가적으로 모든 하중 단계에서 다경간 보 양단의 내민 보 부분이 실험체에 양단모멘트를 작용하고 있다. 이와 같은 단계별 하중 재하를 통해 최종 하중 단계에서 다경간 보가 집중하중, 분포하중 및 양단모멘트를 동시에 받을 수 있도록 고려하였다.

4.2. 실험 결과

Table 1에 나타낸 위치에 FBG 센서를 설치하여 각 하중 단계별로 다경간 보의 변형률을 계측하였다. 각 경간 당 5개 씩 얻은 변형률 데이터를 통해 다경간 보의 변형률 분포를 추정하였다. 식 (5)에서 변형률 분포 근사 추정식의 분포하 중에 대한 항의 다항함수 차수 (t)는 2차로 가정하였다. 또한, 계측 데이터를 경간 당 4개로 감소시켜 기법 적용을 한 경 우, 변형률 분포를 추정해 보고 계측 데이터 수에 따른 영향 을 분석해 보았다.

각 하중 단계별로 다경간 보의 변형률 분포를 추정하였다. 먼저, 분포 하중을 재하한 하중 단계 1에서의 변형률 분포를 추정하여 reference point에서 계측한 값과 추정한 값의 비교 를 Table 2에 정리하였다. 추정한 변형률 분포와 reference point에서의 계측 변형률 값을 Fig. 7에 나타내었다. 다경간 보 한 경간 당 5개의 FBG센서로부터 계측한 변형률 데이터 로 변형률 분포를 추정하여 각 경간에서 최대 정모멘트와 부 모멘트 발생 예측지점에서의 계측 변형률과 추정 변형률을 비교하였다. 그 결과, 전체오차는 5.89%가 발생하였다. 추정 된 변형률 분포의 전체오차는 일반적인 상대오차를 다수의 데이터로 확장시킨 값으로 식 (21)에 의해 계산된다.

여기서, ε_me는 계측 변형률로 구성된 벡터, ε_es 는 추정된 변형률로 구성된 벡터이다. ║ ║는 놈 (norm)을 나타낸다. 각 reference point에서의 절대오차에 대해서 살펴보면, 0.96µε에서 6.69µε의 범위를 갖으며 첫번째 경간 최대 정모멘 트 발생 지점에서 6.69µε (8.36%)의 최대상대오차가 발생하 였다. 보 구조물 모니터링의 핵심인 최대 변형률에 대한 계 측값과 추정값의 오차를 경간 별로 살펴보면, 첫번째 경간에 서는 6.69µε (8.36%), 두번째 경간에서는 5.05µε (6.57%), 마지막 경간에서는 3.00µε (4.06%)의 오차를 나타내었다. 경간 당 센서 설치개수 5개 중 4개를 선택 (위치 : 50, 300, 1000, 1350, 2100, 2400, 3100, 3300, 3900, 4300, 5200, 5350mm)하여 추출한 계측 데이터로부터 변형률 분포를 추 정해 보았다. 전체오차는 6.26%로 5개의 센서 추정시보다 0.37% 증가하였다. 절대오차는 최대 변형률에 대해서 첫번 째 경간에서는 6.93µε (8.67%), 두번째 경간에서는 1.40µε (1.82%), 마지막 경간에서는 0.76µε (1.03%)의 오차를 나타 낸 바, 경간 당 5개의 센서로부터 최대 변형률 분포를 추정 한 결과와 비슷한 결과를 나타내었다. 그러나 최대 절대오차 는 경간 당 5개 센서 추정시보다 미세하게 증가 (0.24µε)하 였다. 또한, 상대적으로 작은 변형률이 발생한 일부 위치에 서 다소 큰 %상대오차를 나타내었다.

다음으로 집중하중을 추가로 재하한 하중 단계 2에서의 변 형률 분포를 추정하였다. Table 3에 reference point에서의 계측값과 해당 위치에서의 추정 변형률 값을 비교하였다. 추 정한 변형률 분포는 추정시 적용한 센서 수를 5개와 4개인 경우에 대하여 각각 Fig. 8에 나타내었다. 추정시 적용한 센 서의 수가 경간 당 5개인 경우, 전체 오차는 6.95%를 나타내 었다. 추정한 변형률의 절대오차 범위는 0.54µε에서 10.51µε 로 최대 상대오차는 세번째 경간 최대 정모멘트 발생 점에서 발생하였다. 각 경간 별 최대 변형률 절대오차는 첫번째 경 간에서 7.89µε (8.23%), 두번째 경간에서 6.53µε (5.72%), 마지막 경간에서 2.19µε (2.10%)가 발생하였다. Fig. 9에서 확인할 수 있듯이, 하중 단계 2에서 추정된 변형률 분포는 집중하중이 가력된 위치에서 하중 단계 1의 추정 변형률 분 포와는 다른 양상을 갖고 있음을 확인할 수 있다. 집중하중 에 의해 변화한 변형률 분포 양상이 추정한 변형률 분포에 적절히 반영되어 집중하중 점 이후의 변형률 분포 기울기가 변하는 것을 확인할 수 있다. 집중하중에 대한 변형률 분포 추정식인 1차 함수의 기울기를 비교적 정확히 추정함으로써, 최대 부모멘트 발생 지점까지 변형률 분포뿐만 아니라 지점 에서의 최대 변형률을 작은 오차 범위 내에서 추정하고 있 다. 추정시 적용한 계측 데이터 수를 경간 당 4개로 감소시 켜 변형률 분포를 추정한 경우, 전체오차는 7.21%가 발생하 였으며 5개의 센서로 추정시 전체오차보다 0.26%증가하였 다. 절대오차의 경우, 1.52µε에서 8.30µε의 오차범위를 보 이며 경간 당 5개로 추정한 경우보다 다소 오차가 증가했음 을 알 수 있다. 그러나 다경간 보 전체에서 발생한 최대 변형 률 (두번째 경간과 세번째 경간 사이 지점)은 상당히 적은 상 대 오차 범위 내에서 추정하고 있음을 확인할 수 있었다.