박 승진
(Sung-Jin Park)
1)*
© The Korea Institute for Structural Maintenance and Inspection
키워드
초기응력을 받는 직사각형판, 자유진동, 좌굴, Mindlin’s 판이론
Key words
Initially stressed rectangular plate, Free vibration, Buckling, Mindlin’s plate theory
1. 서 론
구조물 또는 구조요소의 강성이나 고유진동수는 초기응력 에 큰 영향을 받는다는 것은 잘 알려져 있다. 예를 들면 정 적인 축방향 압축하중을 받는 직선보의
휨 고유진동수는 하 중의 증가와 함께 감소하고, 작용하중과 좌굴하중이 같을 때 영이 된다. 또한 주기적인 하중이 작용할 경우에는 하중의 진폭이 정적
좌굴치보다 낮아도 하중의 주기와 휨 고유진동 수와의 특별한 관계가 성립되면 심한 휨진동이 발생하여 계 수 면진동 또는 동적불안정 현상이 발생하게 된다.
최근 항공기, 우주구조물, 자동차, 선박 및 토목, 건축 구조 물 등 많은 공학 분야에서 구조물의 경량화를 요구하고 있 고, 구조물에 대한 하중조건도
점차 복잡해지고 있기 때문에 구조물의 안정성에 미치는 영향을 검토하기 위해 초기응력 이 작용하는 구조요소의 고유 진동특성에 미치는 변화는 동 역학적
특성의 규명에 반드시 필요하다고 생각된다. 따라서 본 연구와 관련된 초기응력이 작용하는 직사각형판에 대해 서 비교적 많은 연구가 이루어지고 있다.
초기응력이 작용하 는 좌굴응력이나 고유진동수의 산정식은 고유치 문제로 단 정 지을 수 있기 때문에 2변 단순지지된 등방성질의 직사각 형판에 대해서도
진동과 좌굴의 고유치의 상호관계가 Iguchi (1938), Lurie (1951)에 의해 검토되고 있고, 더욱이 Lurie (1952)은 단순지지변에 직각인 방향으로 일정한 정적압축하 중을 받는 경우에 대해 다음 식을 제시하고 있다.
식 (1)은 전단변형∙회전관성의 영향이 고려되지 않은 판 이론 (고전판이론)을 이용하여 유도된 것이기 때문에, w*m와 wm 은 압축하중 Nx 이 작용하는 경우 및 작용하지 않는 경 우의 m차 모드에 대한 고유원진동수이고, Nxc (m)은 m 모드의 좌굴하중이다. 식 (1)은 좌굴과 진동모드가 같게 되 면 고유 원진동수 (2승)와 압축하중이 선형관계가 된다는 것. 즉 진동특성을 이해한다는 조건하에서 중요한 자료를 제시
하고 있지만, 설계 등의 필요로 하는 기본 고유진동수의 산 정에는 진동모드의 파수와 좌굴모드를 규정하는 파수가 양 의 형태로 되지 않아 해석하는데
문제가 발생할 수 있다. 더 욱이 식 (1)과 같은 초기응력이 작용하는 판이론에 대한 기 존 논문의 적용 사례는 거의 찾아 볼 수 없을 정도이다.
따라서 본 논문은 식 (1)에서 기술한 하중∙경계조건의 직 사각형판을 대상으로 좌굴∙진동문제에서 고유치의 유사성 을 이용하여, 고전판 이론 및 전단변형∙회전관성의 영향이 고려된
수정판이론 Mindlin의 판이론 (1951)에 대한 식 (1) 과 유사한 고유진동수 산정식을 제시하였고, 수치 검증예로 서 ➀초기응력이 작용하는 직사각형판 ➁초기응력이 작용하 는 역대칭 Angly-Ply 적층판을
이용하여 산정식을 비교 검 토하였다.
산정식은 진동모드와 좌굴모드를 규정하는 파수가 양의 형태로 나타나고, 초기압축하중이 작용하지 않는 무재하시의 고유진동수 파라메터로 해석할 수 있다.
따라서 진동수 파라메터를 집적한 설계 핸드북 형태의 자료 만 주어지면 고유진동수를 간단히 산정할 수 있으며, 주기적 인 면내하중을 받는 판의 동적불안정
문제에 적용하여 주불 안정 영역의 산정을 검토하였다.
더욱이 근사해법으로 고유진동수만 구할 수 있으면 직사 각형판, 쉘, 회전쉘, 적층판, 적층쉘 등 본 논문에서 제시되 고 있는 산정식을 적용할 수 있다.
2. 고유진동수 산정식의 유도
Fig. 1에 보이는 바와 같이 x=0,a에서 단순지지 되어 있 고, 두께가 일정한 직사각형판 (a × b)가 단순지지되어 초기 압축하중 N0x (=hσx0)을 받는 경우에 대해 해석한다.
x=0, a에서 단순지지 조건을 만족하는 Levy형인 변위함 수를 사용하게 되면, 산정식에 지배되는 미분방정식 및 에너 지원리를 이용하여 유도할 수 있기 때문에, 여기서는 후자인 에너지원리를 이용한
Ravleigh-Ritz법을 적용한다.
또한 Mindline 판이론을 이용하면 변형에너지 (U), 운동 에너지 (T) 및 초기응력이 작용하는 에너지손실 (V)는 다 음과 같다.
여기서, w 는 판두께 방향 변위, φx 와 φy 는 휨에 의한 회 전각, D[= Eh3/(12(1 - v2]는 휨강성, E는 탄성계수, v 는 포아송비, G는 전단탄성계수, k2 는 전단보정계수, ρ는 밀도를 나타내고 컴마 (,)로 계속되는 첨자는 편미분을 의미 한다.
식 (2.b)의 밑줄 부분은 Sun (1972)에 의해 Timoshe-nko보 의 좌굴해석에 도입된 곡률항 (Curvature term)이며, Hinton (1992; 1998)에 의해 판의 좌굴∙진동문제에 응용되고 있다. 식 (2.b) 및 식 (2.c)는 진동문제에서 회전관성과 같은 역 할을 한다는 것을 알 수 있다.
변위함수는 다음 식을 이용한다.
여기서, w 는 고유원진동수, am, bm, cm 은 미정계수, Wm, φxmφym 은 y=0, b에서 임의 경계조건을 만족하는 y방향 의 변위함수, m은 x방향의 진동모드의 반파장 수를 나타낸다.
범함수 Π 는 식 (2)를 이용하여 다음 식으로 나타낼 수 있다.
식 (3)을 식 (4)에 대입하여 적분하면 무차원량∙무차원 파 라메터 관계를 이용한 범함수는 다음 식으로 표현할 수 있다.
여기서 무차원화 고유원진동수 파라메터 (Ω2) 및 무차원 화 좌굴계수 파라메터 (k)는 각각 다음 식으로 주어진다.
더욱이 곡률항을 고려하고 있기 때문에 T* 와 V* 는 다음 식으로 나타낼 수 있다.
범함수를 최소화 (ϑΠ*/ϑam = ϑΠ*/ ϑbm = ϑΠ*/ϑcm =0) 하면 다음 매트릭스 방정식을 구할 수 있다.
여기서 {δ}는 am, bm, cm 을 성분으로 하는 변위함수 백 터, [K], [KG] 및 M의 매트릭스는 각각 U*, V* 및 T* 로 부터 구해지며 탄성강성, 기하학적 강성 및 질량매트릭스 에 해당된다. 또한 식 (7)에서 기하학적 강성매트릭스 KG 및 질량매트릭스 [M]은 다음 식과 같다.
식 (8)은 다음과 같은 3종류의 고유치문제로 분류할 수 있다. 무재하시 진동문제 (자유진동) : KG= 0으로 두면 다음 식을 얻을 수 있다.
여기서
Ω
¯
mn
2
은 파수 m, n에 있어서 무차원화 고유진동수 를 나타내며, 재하시의 고유진동수와 구별하기 위해 윗줄 기 호 ‘-’를 붙쳤다.
좌굴문제 :
[M]= 0으로 두면 다음 식을 얻을 수 있다.
여기서 k는 무차원화 좌굴계수이다.
재하시 진동문제 :
작용 압축하중 N0x 은 식 (11)에서 좌굴하중 Ncr 을 이용하 면 λ (0≤λ≤1)의 압축력이 작용하고 있는 경우이므로, k 를 λkcr로 정의하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.
따라서 식 (
8)은 다음과 같이 수정할 수 있다.
위와 같이 각 고유치문제에서 고유치의 상호관계는 다음 과 같이 정리할 수 있다.
2.1. 무재하시 고유원진동수와 좌굴계수의 관계
식 (9)를 이용하면 식 (11)은 다음과 같다.
식 (
10)과 식 (
14)의 고유치를 같게 하면 무재하시 고유원진 동수와 좌굴계수는 다음과 같은 관계가 성립함을 알 수 있다.
따라서,
여기서
Ω
¯
의 밑첨자
m,n은
x,y 축방향이 파수
m,n을 나타내며, 식 (
16)에서
Ω
¯
mn
2
/
m
2
$\pi$
2
은 좌굴계수
kcr 에 의 해 구해지는 것을 알 수 있다. 본 논문에서 제시되는 임의 파수
m에 대해서
n=1이 최소 진동수를 나타내기 때문에,
kcr 은 다음 식으로 나타낼 수 있다.
여기서
m* 과
Ω
¯
m
∗
1
는
Min
Ω
¯
j
1
2
/
j
2
$\pi$
2
단,
j = 1,2,… 를 만족하는
j와
Ω
¯
j1
이다.
2.2. 재하시 고유원진동수와 무재하시 고유원진동수의 관계
식 (9)와 식 (17)을 이용하면 식 (13)은 다음 식과 같다.
식 (
18)과 식 (
11)의 고유치를 같게 하면, 재하시 고유원진 동수
Ω
mn
은 다음 식에 의해 산정할 수 있다.
위의 식을 이용하면 초기응력 λ=
Nx0/
Ncr0 이 작용할 경우 의 고유진동수
Ωmn 은 식 (
16), (
17)에서 구할 수 있는 무재 하시의 고유진동수
Ωm12,
Ωmn 로 부터 간편하게 구할 수 있 다. 여기서,
λ는 0~1 사이에 변화되는 매개변수이다.
또한 식 (19)는 Mindlin판에 대해서는 곡률항을 고려할 때 만 성립되지만, 고전판 이론을 적용하면 운동에너지 (T)는
T
=
ρ
h
2
∫
∫
W
,
t
2
dxdy
에너지손실 (V)은
V
=
N
x
0
2
∫
∫
W
2
,
x
dxdy
로 나타낼 수 있기 때문에 항시 성립한다.
2.3. 좌굴하중 산정식과 재하시 고유원진동수 산정식의 특징
각 산정식 (식 (17), 식 (19))에서 알 수 있듯이 재하시 고 유원진동수 특성은 다음과 같다.
➀ 식 (19)는 곡률항을 고려함으로써 얻어지는 재하시의 고유진동수에 관한 산정식으로써, 비재하변의 경계조 건에 관계없이 성립하며, 무재하시의 고유진동수만 알
고 있으면, 재하시의 임의의 파수 m,n에 대한 고유진 동수는 물론, 좌굴응력도 산정이 가능하다. 즉 진동수 자료를 집적한 설계 핸드북과 같은 자료만 있으며, 좌 굴응력 및 고유진동수를
간단하게 구할 수 있다.
➁ 무재하시 고유원진동수만의 결과에 의해 좌굴하중과 재하시 고유원진동수의 산정이 가능하다.
➂ 재하시 고유원진동수 2승 (
Ω
¯
mn
2
)은 초기작용압축하중 에 비례한다. 작용하중 변화에 대한
Ω
¯
mn
2
의 변화율 (변 동율)은 비재하변 방향의 진동모드 파수 n에 의존하지 않는다. 더욱이 변화율은 재하변 방향의 진동모드 파수 (m)과 좌굴모드 파수 (m*)에 의존하고, m > m* 인 경 우에 커지고 m < m* 의 경우는 작아진다.
➃ ➂에서 기본 고유원진동수의 2승 (
Ω
¯
m1
2
)과 작용압축하 중 (λ)의 관계는 1차함수 또는 구분적 1차함수로 나타 낼 수 있다. 즉 좌굴모드 파수가 m* 인 경우
Ω
¯
m1
2
- λ 관계는 m* 의 구분적 1차함수로 나타낼 수 있다.
3. 산정식의 동적불안정 문제 적용
Fig. 1에 보인 초기압축하중이 비주기성분과 주기성분의 합으로 주어질 경우에 대해 검토한다.
Fig 1.
Initially stressed rectangular plate
여기서 θ 는 주기성 하중의 진동수, α 와 β는 비주기하중 과 주기하중의 좌굴하중의 비 (α= Nxs/Ncr, β = Nxd/Ncr) 이다. 위에서 서술된 문제를 이산화하면 운동방정식은 다음 식과 같이 된다.
여기서 [
M*], [
K*] 및 [
KG*]는 각각 [
M],[
K] 및 [
KG] 와 같은 성질의 매트릭스이다.
식 (21)은 Mathieu-Hill의 방정식이다. 이 방정식의 해로서 변위벡터 {δ}를 주기성 하중 주기의 2배 주기를 가진 다음 주기관계
로 나타내면 동적주불안정 영역은 이하의 경계진동수방정 식에서 근사적으로 구해질 수 있다.
매트릭스 [M],[K] 및 [KG]로 무차원량∙무차원파라메 터를 이용하면 다음 식이 된다.
여기서
Θ 는 무차원화된 주기성 하중의 진동수 파라메터 이다.
식 (
16), (
17)을 이용하여 식 (
23)을 수정하면 다음과 같다.
여기서 무재하시의 고유진동수 방정식과 식 (25)의 고유치 를 같게하면 주불안정영역은 다음 식에 의해 산정할 수 있다.
식 (
19)와 식 (
26)을 비교하면 주불안정영역의 경계는 크 기
λ (=
Nx0/
Ncr) = (
α + β/2),(
α - β/2)의 초기하중이 작용 할 때의 고유원진동수를 구하면 되기 때문에, 무재하시의 고 유원진동수만 알고 있으면 구할 수 있다.
4. 수치계산예
식 (17), (19) 및 식 (26)을 이용한 계산예 3가지를 ╔초기 응력이 작용하는 직사각형판╝과 ╔초기응력이 작용하는 역대 칭 Angle-Ply 적층판 (Fig. 2)╝에 대한 산정식의 결과 및 타 당성을 검증한다.
Fig 2.
Ansymmetric Angle-Ply Laminated Plate
초기응력이 작용하는 간편 산정식은 직사각형판 및 역대 칭 Angle-Ply 적층판에서도 동일하게 적용할 수 있다.
4.1. 진동특성의 산정식을 이용한 수치예
수치계산에 사용된 비재하 상태의 고유원진동수
Ω
¯
m1
, Table 1a, Table 1b에는 고전판이론을 근거로 한 결과 (Sekiya, 2010), 2변 단순지지 나머지 2변이 각각 고정-고정 및 고정-단순지지에 대해서 나타내었다.
Natural frequencies under unloading state Ωm1
(a)
Two opposite edges clamped-simply supported Ωm1
|
b/a |
m =1
|
m =2
|
m =3
|
m =4
|
m =5
|
m =6
|
|
|
0.3
|
178.8
|
202.4
|
244.3
|
306.5
|
389.5
|
493.4
|
|
0.5
|
69.33
|
94.59
|
140.2
|
206.7
|
293.8
|
401.1
|
|
1.0
|
23.65
|
51.67
|
100.3
|
169.0
|
257.5
|
365.9
|
|
2.0
|
12.92
|
42.24
|
91.49
|
160.5
|
249.3
|
357.9
|
(b)
One opposite edges clamped-Thress opposite edges simply supported Ωm1
|
b/a |
m =1
|
m =2
|
m =3
|
m =4
|
m =5
|
m =6
|
|
|
0.3
|
254.1
|
272.2
|
306.2
|
359.5
|
434.3
|
531.3
|
|
0.5
|
95.26
|
115.8
|
156.4
|
219.0
|
303.4
|
408.9
|
|
1.0
|
28.95
|
54.74
|
102.2
|
170.3
|
258.6
|
366.8
|
|
2.0
|
13.69
|
42.59
|
91.70
|
160.7
|
249.4
|
358.0
|
Table 1은 종횡비 b/a를 변화시켰을 때, 식 (10)에 서 구 한 고유진동수
Ω
¯
m1
2
(x축 방향 파수 m=1~4)에 있어서 1방 향의 최저차수진동수)를 구한 것이다.
4.1.1. 좌굴하중과 재하시 기본원진동수를 구한 기본적인 관계
다음과 같이 문제를 설정한다.
[비재하변이 고정조건의 정방형판의 좌굴하중을 구하여, 좌굴하중 50% (λ=0.5), 종횡비 (b/a=1)인 압축하중이 작용 할 때의 기본 고유원진동수를 구하시오. 더욱이 기본 고유원 진동수에 미치는 진동모드의 파수 m이 m=1에서 m=2로 이동할 때 λ (= Nx0/Ncr)를 구하시오.]
고전판이론을 적용하면
Ω
¯
m1
(m=1~4)는 Table 1a에서
Ω
¯
11
=28.95,
Ω
¯
21
=54.74,
Ω
¯
31
=102.2,
Ω
¯
41
=170.3이며, m* =1,2,3,4가 된다. Table 2는 식 (16)의 산정식을 이용하여 km (m=1~4)를 구하면 k1=84.92, k2=75.90, k3=117.59, k4=183.66이 되기 때문에, Table 1a의 결과를 식 (16)에 대입하면 Table 2와 같은 좌굴계수를 얻을 수 있다. 식 (16) 에서 산정한 해와 식 (10)에 의해 구한 결과 (Mikami, 1999) 는 잘 일치하고 있다.
Table 2.
Comparison of Buckling Coefficient
|
m
|
Two opposite edges clamped-simply supported Table 1(α)
|
|
Equation (10)
|
Equation (16)
|
|
1
|
84.92
|
84.92
|
|
2
|
75.90
|
75.90
|
|
3
|
117.59
|
117.59
|
|
4
|
183.66
|
183.66
|
좌굴하중이 주어지는 m* 과
Ω
¯
m
∗
1
은 m*=2,
Ω
¯
m
∗
1
=54.74 이다. 따라서 λ=0.5에서 식 (19)에서 Ωm1을 구하면
Ω
11
2
= (28.95)2-0.5 (1/2)2 (54.74)2 =463.54,
Ω
11
2
= (54.74)2-0.5 (2/2)2 (54.74)2=1497.69, …가 되고, 기본고유원진동수는 m=n=1 일 때 그 값은 Ω11=21.53이 된다.
기본 고유원진동수에 미치는 파수가 m=1에서 m=2로 변 화할 때 λ는
Ω
11
2
≥
Ω
21
2
의 관계를 만족시켜야 한다. 식 (19)를 이용하면 다음 부등식
Ω
¯
11
2
-
Ω
¯
m
∗
1
2
≥
Ω
¯
21
2
-
λ
2
/
m
∗
2
Ω
¯
m
∗
1
2
를 풀면 λ ≥ 0.96이 된다. 또한 이 결과는 기존 Mikami (1999)의 Fig. 3b와 일치한다.
Fig 3.
Loading natural frequencies
Ω
/
Ω
¯
0
2
and compression load
λ
=
N
x
0
/
N
cr
4.1.2. 기본고유원진동수에 미치는 압축하중의 영향
Fig. 3a 및 Fig. 3b는 각각 비재하변의 결과가 고정-고 정 및 고정-단순지지인 경우에 대해서 기본 고유원진동수와 압축하중의 관계를 종횡비 b/a=0.3, 0.5, 1, 2에 대해서 살 펴본 것이다.
그림의 종축은 재하시 기본고유원진동수과 무재하시 비의 2승
Ω
/
Ω
¯
0
2
, 횡축은
λ
=
N
x
0
/
N
cr
이고, Fig에서 m의 값 은 기본 고유원진동수에 미치는 파수이다. 또한 좌굴하중에 미치는 파수 m* 은 고정-고정인 경우에는 종횡비 b/a=0.3, 0.5, 1, 2의 순서에 대응하며 m*=5, 3, 2, 1이 된다. 마찬가 지로 고정-단순지지인 경우는 m*=4, 3, 1, 1가 된다.
Fig에서
Ω
/
Ω
¯
0
2
-
λ
의 관계는 구분적 1차함수 또는 완 전한 1차함수로 표시되고, 전자 타입은 종횡비 b/a의 값이 작은 경우라는 것을 알 수 있다.
또
Ω
/
Ω
¯
0
2
의 λ에 대한 변화율은 이미 서술한 바와 같 이 m > m* 인 경우에 크고, m < m* 인 경우에 작아 진다는 것 을 알 수 있다.
4.2 진동특성의 산정식을 이용한 수치예
[초기응력이 작용하는 역대칭 Angle-Ply 적층판] 초기응력을 받는 4변단순지지된 Angle-Ply 역대칭 적층판 에 대한 재료 특성은 다음과
같다.
Graphite/Epoxy
E1/E2 = 40, G12 = G13 = 0.5E, G23 = 0.6 E2 v12 = 0.25, b/h = 100, a/b = 1, θ450
여기서, E2, E2=재료주축 (1,2)에 대한 탄성계수, v12 는 포아송비, G12, G13, G23 은 전단탄성계수, θ 는 배향각을 의 미한다.
Table 3은 적층수 N 와 종횡비 a/b를 변화시켰을 때 식 (10)에서 구한 고유원진동수
Ω
¯
m1
2
(x축방향 파수 m=1~4에 있어서 1방향 최저차수진동수)를 구한 것이다.
Table 3의 결과를 식 (16)에 대입하면 Table 4와 같은 좌 굴계수를 얻을 수 있다.
Table 3.
Buckling coefficients calculated using natural frequencies Ωm1
|
a/b |
N = 2
|
N = 6
|
|
|
m =1
|
m =2
|
m =3
|
m =4
|
m =1
|
m =2
|
m =3
|
m =4
|
|
|
1
|
14.62
|
33.62
|
63.30
|
101.32
|
24.74
|
56.17
|
102.53
|
154.90
|
|
2
|
33.70
|
58.47
|
91.96
|
134.49
|
56.49
|
98.97
|
154.85
|
224.67
|
|
3
|
62.59
|
92.06
|
131.56
|
179.61
|
102.76
|
155.32
|
222.67
|
303.16
|
Table 4.
Buckling coefficients of equation (16)
|
a/b |
N = 2
|
N = 6
|
|
|
m =1
|
m =2
|
m =3
|
m =4
|
m =1
|
m =2
|
m =3
|
m =4
|
|
|
1
|
21.65
|
28.64
|
43.69
|
65.01
|
62.02
|
79.91
|
118.35
|
172.18
|
|
2
|
115.06
|
86.61
|
95.19
|
114.54
|
323.37
|
243.09
|
269.96
|
319.64
|
|
3
|
96.91
|
214.68
|
194.86
|
204.28
|
1090.84
|
611.08
|
558.19
|
582.01
|
여기서, 밑줄부분이 바로
Ω
¯
m
,
1
(N =2인 경우 ｢21.65, 86.01, 194.86｣, N =6인 경우 ｢62.02 248.09, 558.19｣이며, m*는 각각 1,2,3이 된다. Table 5는 Table 4에서 구한 k의 최소값 (임계좌굴계수 kcr) 및 식 (11)에서 직접 구한 좌굴계 수를 비교한 것이다.
Table 5.
Comparison of buckling coefficient
|
a/b |
N = 2
|
N = 6
|
|
Equation (11)
|
Equation (16)
|
Equation (11)
|
Equation (16)
|
|
1
|
21.65
|
21.65
|
62.02
|
62.02
|
|
(m = 1)
|
(m = 1)
|
|
2
|
88.61
|
86.61
|
248.09
|
248.09
|
|
(m = 2)
|
(m = 2)
|
|
3
|
194.87
|
194.87
|
558.19
|
558.19
|
|
(m = 3)
|
(m = 3)
|
Table에서 알 수 있듯이 괄호내의 수치는 좌굴계수에 주어 지는 x축 방향의 파수 m을 나타낸 것이다. Table 5는 식 (16)에 의해 산정한 해와 식 (11)에 의해 구한 결과는 잘 일 치하고 있음을 알 수 있다.
식 (16)은 곡률항을 고려한 경우의 좌굴계수를 산정하는 식으로서 고유진동수를 이용한 좌굴계수의 산정 또는 해의 정도 검토에 유효하게 이용될 산정식이다.
Table 6은 무재하변이 4변단순지지된 등방등질인 정사각 형판 (a/b=1)에 좌굴계수 및 좌굴하중 10%, 25%, 50%, 75%의 초기하중이 작용할 경우에 고유진동수는 다음과 같다. 여기서, m*=1,
Ω
¯
m
∗
1
2
=21.65이다.
Table 6.
Initially stressed of natural frequencies
|
λ
|
N = 2
|
N = 6
|
|
|
m =1
|
m =2
|
m =3
|
m =4
|
m =1
|
m =2
|
m =3
|
m =4
|
|
|
10%
|
13.87
|
32.33
|
60.73
|
99.62
|
24.31
|
55.40
|
101.59
|
163.86
|
|
25%
|
12.66
|
30.28
|
58.31
|
97.01
|
23.64
|
54.23
|
100.61
|
162.28
|
|
50%
|
10.34
|
26.52
|
54.03
|
92.50
|
22.48
|
52.33
|
97.73
|
152.63
|
|
75%
|
7.31
|
22.12
|
49.38
|
87.76
|
21.26
|
50.14
|
95.24
|
156.93
|
Table 7에서 알 수 있듯이 최소고유진동수의 식 (19)에 의 해 산정된 해와 식 (13)에서 구한 결과는 잘 일치하고 있다. 여기서 m=1이다.
Table 7.
Comparison of natural frequencies
|
λ
|
N = 2
|
N = 6
|
|
Equation (13)
|
Equation (19)
|
Equation (13)
|
Equation (19)
|
|
10%
|
13.87
|
13.87
|
24.31
|
24.31
|
|
25%
|
12.66
|
12.66
|
23.64
|
23.64
|
|
50%
|
10.34
|
10.34
|
22.48
|
22.48
|
|
75%
|
7.31
|
7.31
|
21.26
|
21.26
|
4.3. 주불안정영역의 산정
4.3.1. 초기응력이 작용하는 직사각형판
Fig. 4는 비재하변이 고정-고정인 경우 정방향판 (b/a=1=1) 이며, 파수 (m,n)= (1,1), (2,1) 및 (3,1)에 대한 주불안정영 역을 식 (26)을 이용하여 산정한 결과이다 (2개의 곡선에서 좁아진 부분이 불안정영역).
Fig 4.
Periodic in-plane loading of dynamic principal instabily region
Fig에서 (a) 및 (b)는 각각 α (= Nx,x/Ncr)=0 및 0.5의 결과이고, 세로축은 좌굴하중에서 주기하중 성분의 진폭 α(= Nx,d/Ncr)이고, 가로축은 무재하시 기본 고유원진동수에 서 주기하중의 진동수
$\theta$
/
Ω
¯
0
Ω
¯
0
=
28.95
이다. 여기서 Hachi and Nagai (2004)와의 직접적인 비교를 하지는 않았지만 충 분히 양호한 결과가 얻어질 수 있다는 것을 알 수 있다.
4.3.2. 초기응력이 작용하는 역대칭 Angle-Ply 적층판
Table 3, Table 4를 이용하여 식 (26)과 식 (21)과의 해의 비교를 a/b=1, N=2에 대한 해석 결과는 Table 8과 같다. 여기서 α (=σs/σcr)=0.05로 일정하고, β (=σd/σcr)를 변화 시켜 구한 것이다.
Table 8.
Comparison of dynamic principal instability region
|
β
|
Equation (21)
|
Equation (26)
|
|
+
|
-
|
+
|
-
|
|
0.00
|
3.562
|
3.562
|
3.562
|
3.562
|
|
0.02
|
3.543
|
3.581
|
3.543
|
3.581
|
|
0.04
|
3.524
|
3.599
|
3.524
|
3.599
|
|
0.06
|
3.505
|
3.168
|
3.505
|
3.618
|
|
0.08
|
3.486
|
3.636
|
3.486
|
3.636
|
Table에서 알 수 있듯이 식 (21)에서 구한 결과와 산정식 에서 구한 식 (26)은 잘 일치하고 있는 것을 알 수 있다.
5. 결 론
본 논문에서는 좌굴∙진동문제의 고유치의 유사성을 이용 하여 단순지지된 2변상의 일정한 압축하중이 작용할 경우의 직사각형판과 역대칭 Angle-Ply
적층판의 고유진동수의 산 정식을 제시하였다. 산정식은 얇은 판 및 비교적 두꺼운 판 에서도 적용 가능하다. 또한 산정식의 표시 방법은 단순지지 방향의
진동모드를 산정하는 파수 및 좌굴모드를 규정하는 파수가 양인 형태로 가져올 수 있다.
그 결과 압축하중 하에서 직사각형판의 고유진동수 특성 의 파악이 용이하게 되고, 또 무재하시 진동수 데이트를 집 적한 설계 핸드북 자료만 있으면 임의
진동파수에 대한 고유 진동수의 산정이 가능하게 된다. 더욱이 산정식은 판의 동적 안정문제에서 주불안정영역의 근사적인 산정에 유효하게 이 용 될 수
있다.
더욱이 본 논문의 고유진동수 산정식은 초기응력을 받는 직사각형판 뿐만 아니라, 역대칭 Angle-Ply 적층판, 쉘, 회전 쉘 등 고유진동수만 구할
수 있다면 본 논문의 산정식을 모 두 적용할 수 있기 때문에 논문적인 가치는 충분하다고 판단 된다.
감사의 글
이 논문은 인천대학교 2011년도 자체연구비 지원에 의하 여 수행한 것으로 이에 감사드립니다.
References
(2013), Static and dynamic stability results for a class of three-dimensional configurations
of Kirchhoff elastic rods, Original Research Article Physica D: Nonlinear Phenomena,
253, 91-101.
(1992), A thick finite strip solution for static, free vibration and stability problems,
Int. J. Num. Meth. Eng, 10, 665-678.
(2012), Vibration of an initially stressed rectangular plate due to an accelerated
traveling mass, Original Research Article Scientia Iranica, 19(5), 1195-1213.
(2013), Vibration analysis of nonhomogeneous moderately thick plates with point supports
resting on Pasternak elastic foundation using element free Galerkin method, Original
Research Article Engineering Analysis with Boundary Elements, 37(10), 1212-1238.
(2004), Periodic plate loading under dynamic principal instabily region, Tohoku Univ,
36(381), 147-169.
(1998), Buckling of initially stressed Mindlin plates using a finite strip method,
Computers & Structures, 8, 99-105.
(1938), Die Eigenwertproblem fur die elastische rechteckige platte, Mem. Fac. Eng.,
Hokkaido Univ, 305-372.
(1952), Lateral Vibrations as related to structural stability, J. Appl. Mech, 74,
195-204.
(1951), Vibrations of rectangular plates, J. Aeron, Sci, 139-140.
(1951), Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic
elastic plates, J. Appl. Mech, 18, 31-38.
(2013), Buckling and free vibration of exponentially graded sandwich plates resting
on elastic foundations under various boundary conditions, Original Research Article
Composite Structures, 99, 76-87.
(1999), Initially stressed under Vibration of Cylindrical Shell, Journal of Structure,
45A, 709-717.
(2010), Plate structure design, Asakura
(1972), On the equations of Timoshenko beam under initial stress, J. of Appl. Mech,
39, 282-285.
(1961), Theory of elastic Stability
(2009), Free and forced flexural vibration analysis of cantilever plates with attached
point mass, Original Research Article Journal of Sound and Vibration, 321(1-2, 20),
270-285.
(2013), Free vibration and buckling analysis of plates using B-spline wavelet on
the interval Mindlin element, Original Research Article Applied Mathematical Modelling,
37(5), 3449-3466.