3.1. 단위 변형률 행렬

본 연구가 제안하는 변형률 기반 하중 식별 알고리즘은 구 조물에 작용하는 하중과 이에 따라 구조물에 발생하는 변형 률 사이의 관계에 기초하며, 이 관계를 정의하기 위해 구조 물에 단위 하중이 작용한 경우 발생하는 변형률을 구조 해석 을 통해 구하게 된다. Fig. 1에서와 같이 구조물의 하중 재하 예상점 (j)에 단위 하중 (1.0)을 가한 경우 발생하는 구조물 의 부재 내 모니터링의 대상이 되는 특정 위치 (i)에서의 변 형률 값을 Є_ij 로 나타낼 수 있다.

Fig 1.

A Strain by a unit load

단위 하중에 의한 변형률 Є_ij 는 구조 해석을 통해 계산되 고, 단위 변형률 행렬, M ij U 의 i번째 행, j번째 열에 삽입된 다. 단위 변형률 행렬은 다음과 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

for i = 1 to K and j = 1 to n,

여기서, K는 계측점을 포함한 부재 내 모니터링 대상이 되 는 지점의 개수, n은 하중 재하 예상점의 수를 의미한다. 단 위 하중에 의해 발생하는 변형률을 이용하기 위해 본 연구는 구조물의 거동을 탄성 범위로 제한하고 있으며, 다음과 같은 사항을 가정하고 있다: 1) 변형률의 선형성, 2) 하중 중첩의 원리.

하중 재하가 예상되는 부분에 하중이 재하되고 그 값이 증 가함에 따라 구조물의 특정 계측점에서의 변형률은 하중 증 가에 따라 선형으로 증가한다는 내용이 첫번째 가정사항에 해당한다. 또한, 다수의 하중 재하가 이루어지는 경우, 각 하 중 재하에 대한 특정 계측점에서의 변형률 변화의 합은 다수 의 하중을 동시에 재하한 경우 발생하는 해당 계측 지점에서 의 변형률 값과 같다는 것이 하중 중첩의 원리에 대한 내용 이다.

하중 재하 예상점에 하중이 작용할 경우 위 단위 변형률 행렬과 하중 사이의 선형성에 의해 변형률 계측점에서의 하 중 재하에 의한 변형률은 다음 식 (2)와 같이 표현할 수 있다.

여기서, F j R 는 하중 재하 예상점, j에 재하되는 실제 하 중을 의미하여, M i R 는 F j R 로 인해 구조물의 부재 내 특정 위치 i에서 발생하는 변형률을 의미한다.

3.2. 변수 (Parameter) 설정

일반적인 구조 해석상의 모델링은 구조물 자체의 정보와 구조물이 처한 환경에 대한 합리적인 가정을 통해 이루어진 다. 그러나 하중의 불확실성, 구조 부재의 단면 정보 및 재료 물성치의 불확실성, 시공 오차 등을 반영하여 실제의 구조물 과 구조물의 환경을 정확히 모델링하는 것은 매우 어려운 일 이다. 이론적으로는 설명하기 힘든 변수들이 현실 속 구조물 에 작용하고 있으며, 이는 구조물의 응답으로 표출된다. 기 존의 시스템 식별 연구들은 이러한 불확실성을 구조 해석 (FE 모델)에 반영하기 위해 여러 불확실 요소를 변수로 선정 하고 이를 계측 데이터를 통해 찾았다. 하중의 크기, 부재의 휨/축/비틀림 등의 강성, 지점 및 접합부의 강성, 재료의 물 성치, 단면의 손상에 따른 유효 단면 등을 그 변수로 설정하 여 보다 정확한 해석 모델을 구현해 왔다.

한편, 구조물에 단위 하중을 가하여 구조 해석을 통해 얻 은 단위 변형률 행렬 (식 (1))은 위에서 언급한 전역적 혹은 국부적인 구조물의 강성을 반영하여 얻은 값이다. 즉, 구조 물에 가해지는 하중에 대한 구조물의 응답 메커니즘을 나타 내는 행렬이라고 할 수 있다. 본 연구는 특정 강성 요소를 변수화하지 않고 구조물에 크고 작은 영향을 미치는 강성 관 련 요소들의 조합이라 할 수 있는 단위 변형률 행렬을 변수 로써 고려하였고, 이와 더불어 구조물 외부 환경적 불확실성 이라 할 수 있는 하중을 또 다른 변수로 설정하였다.

구조물의 강성에 영향을 미치는 불확실 요소로 인해 단위 변형률 행렬의 구성 성분인 단위 하중에 의해 발생하는 변형 률에 변화가 생긴다는 가정 하에, 다음 식 (3)과 같이 단위 하중에 의한 변형률을 정의하였다.

여기서, Є_ij 와 X ij ∈ 는 구조물의 하중 재하 예상점 (j)에 단 위 하중 (1.0)을 가한 경우 발생하는 구조물의 부재 내 특정 위치 (i)에서 구조 해석을 통해 계산된 변형률 및 구조물 강 성의 불확실성에 기인한 해당 변형률의 변화량을 각각 나타 낸다. 변형률 변화량 즉, 변수 X ij ∈ 에 의해 변수화된 단위하 중에 의한 변형률 ∈ ij v 에 의해 단위 변형률 행렬은 다음 식 (4)와 같이 구성된다.

for i = 1 to K and j = 1 to n,

단위 변형률 행렬 이외에 구조물의 환경적 불확실성, 즉 하중의 불확실성을 반영하기 위해 작용하는 하중 또한 변수 로 설정하였고 식 (5)와 같다.

for i = 1 to K and j = 1 to n,

3.3. 오차 함수

식 (2)는 변수 도입으로 식 (4)-(5)에 의해 다음 식 (6)과 같이 변화하게 된다.

식 (6)은 변수들로부터 추정한 변형률을 나타낸다. 부재 내 모니터링의 대상이 되는 지점 중, 계측이 이루어진 부분 의 추정 변형률과 계측 변형률 간의 차이로부터 오차 함수를 설정하게 된다. 따라서, 계측이 이루어진 부분에 대해 단위 변형률 행렬 및 추정 변형률 벡터를 축소해야 하고, 이를 식 (7)과 같이 표현할 수 있다.

여기서, k (k≤K)는 계측점의 개수를 나타내며, M ij U v 는 계측점에 대하여 전체 단위 변형률 행렬, M ij U v 를 축소시킨 단위 변형률 행렬이고, m j R v 는 계측점에서의 추정 변형률을 나타낸다. 각 계측점 i에서의 계측 변형률 m i T 를 통해 다음 식 (8)과 같은 오차 함수를 설정할 수 있다.

위와 같이 오차 함수를 설정함으로써 추정한 데이터와 계 측한 데이터 간의 오차를 최소화 시키는 최소화 문제로 변환 시킬 수 있으며, 기존 시스템 식별 연구와 같이 최적화 알고 리즘을 도입하여 변수를 찾아나가게 된다. 본 연구에서는 식 (8)을 최소화시키기 위해 GA를 적용하며, 변수인 단위 변형 률 행렬의 구성 성분 변화량과 하중의 값을 찾아 나간다.

3.4. 추정한 단위 변형률 행렬의 활용

3.3절의 오차 함수를 최소화 시키는 변수의 값 즉, 단위 변 형률 행렬 M ij U v 과 작용한 하중 F j R v 의 값을 찾게 되면 식 (6)을 통해 계측하지 않은 부분에서의 변형률 또한 추정 할 수 있다. 만약 구조물의 강성 변화 없이 하중의 위치 혹 은 크기가 변화하는 경우, 추정한 단위 변형률 행렬 M ij U v 을 통해 변화한 하중 상황에 대해서도 계측한 변형률 데이터 만으로 하중을 추정할 수 있다. 하중이 변하더라도 구조물 강성을 대변하는 추정된 단위 변형률 행렬값은 변하지 않기 때문이다. 따라서, 식 (7)에서 m j R v 대신 하중 변화 후 계측 데이터인 m i T ′를 대입하고, 식 (7)을 다음 식 (9)와 같이 변 형시켜 주면 변화한 하중, F j R v ′ 를 추정할 수 있게 된다.

마찬가지로, 식별한 하중을 전체 단위 변형률 행렬에 적용 하면 다음 식 (10)과 같이 계측하지 않은 모니터링의 대상의 지점에 대해서도 변형률을 추정할 수 있다.

여기서, M i R v ′ 는 하중 변화 후, 모니터링 대상이 되는 모든 지점에서의 추정 변형률 값을 의미한다. 이상에서 설명한 하 중 식별 과정을 Fig. 2에 나타내었다.

Fig 2.

Flow chart for the proposed algorithm

4.1. 실험 개요

실험체는 Fig. 3에서 볼 수 있듯이 5층 1경간의 3차원 철 골 골조 구조물로 강재는 SS400를 사용하였다. 기둥 (width: 30, depth: 30mm)과 거더 (width: 15mm, depth: 20mm)는 각각 동일한 단면을 사용하였다. 하중은 실험을 위해 제작된 강재 모듈을 이용하여 재하하였다. 모듈 하나의 무게는 58.96N (6.01kg)으로 층별 거더에 얹혀진 슬라브 위에 내려 놓게 되며 슬라브 상세 사항은 Fig. 4에 나타내었다. Fig. 4 에서 보는 바와 같이 슬라브 하단에 보를 부착하여 슬라브와 슬라브에 얹혀지는 모듈이 슬라브 하단의 보를 통해 집중 하 중의 형태로 거더에 전달되도록 하중 재하를 고려하였다. 하 중은 5개층 중 3개층 (1/3/5층)에 재하하였고, 하중 단계를 총 3단계로 나누어 단계별로 모듈의 수를 늘려가는 방법으 로 실험을 수행하였다. 자세한 하중 정보는 Table 1에 정리 하였고, 하중 재하 전과 후의 실험 전경은 각각 Photo 1과 같다.

Fig 3.

Dimension of steel frame specimen

Fig 4.

The slab detail

Photo 1.

The Whole view of experiment test

변형률 계측은 전기저항식 센서 (electric strain gauge, ESG)를 이용하였고, 3개층 (1/3/5층)에 각 층별 10개씩, 총 30개의 센서를 해당층 거더의 상부 플랜지에 설치하여 하중 단계별로 실험체의 변형률을 계측하였다. ESG 설치 현황은 Fig. 5에 나타내었다. Fig. 5의 센서 표기에서 FL은 센서가 설치된 층을 나타낸다. 각 층 별 센서 번호는 Table 2에 정 리하였으며, 하중 단계 2와 3에서 미계측하였다고 가정하여 하중 식별 알고리즘에 적용되지 않은 센서는 센서 번호 옆에 표시 (▪)하였고 이 부분의 변형률은 이후 식별된 변수를 통 해 추정된다.

Fig 5.

Sensor location on a floor

4.2. 실험 결과

먼저, 하중 단계 1의 계측한 모든 변형률 데이터를 하중 식별 알고리즘에 적용하여 단위 변형률 행렬 및 하중 단계 1 에서의 하중을 식별하였다. 이렇게 구한 단위 변형률 행렬을 통해 3.4절의 식 (9)를 이용하여 하중 단계 2와 3에서의 작 용 하중 값을 추정하였다. 하중 단계 2와 3에서 하중을 추정 할 때에는 일부 계측 데이터 (최대 변형률 발생 예상 지점) 을 제외 (층당 2지점)한 변형률 계측값을 식 (9)에 적용하였 다. 이상의 각 단계별 하중 추정 결과를 Fig. 6에 나타내었으 며, Table 3에서 알 수 있듯이 비교적 정확히 작용 하중의 크기를 식별하는 것을 확인할 수 있었다.

Fig 6.

The results of load identification

본 연구가 제안하는 알고리즘을 이용하여 식별한 하중 및 단위 변형률 행렬을 이용하여 구조물의 모니터링 대상이지 만 계측되지 않은 부분의 변형률을 추정할 수 있다. 식 (10) 을 이용하여 하중 단계 2와 3의 하중 식별 시 제외시켰던 미 계측되었다고 가정한 변형률을 추정해 보았다. 해당 지점은 최대변형률 발생 예상점으로 선정하였다. 추정한 변형률 지 점은 층당 2지점, 총 6지점으로 각 지점의 위치 및 해당 지 점에서의 추정 변형률과 계측 변형률을 Fig. 7에 나타내었다. 또한, 추정한 변형률 (Estimated Strain)과 해당 지점에서의 계측 변형률 (Reference Strain)간의 오차를 Table 4에 정리 하였다.

Fig 7.

Strain (unmeasured strain) estimation results on loading step 2 and 3

Table 4에서 확인할 수 있듯이 계측한 변형률과 비교하여 0.17~3.13%의 상당히 작은 오차 범위 안에서 변형률을 추정 할 수 있었다. 위 결과로부터 하중 단계 1에서, 계측한 변형 률을 통해 구조물의 강성을 대변하는 단위 변형률 행렬을 비 교적 정확히 식별하였음을 알 수 있었다. 하중 크기가 변하 여도 정확한 하중 식별이 가능하며, 변화된 하중의 식별과 이전 하중 단계에서 식별해 놓은 단위 변형률 행렬을 통해 하중 조건이 변한 구조물 내에 계측하지 않은 응답 (변형률) 또한 추정할 수 있음을 확인할 수 있었다.