2.1. 탄성국부좌굴이론

탄성국부좌굴은 반파장 (half-wave)의 패널 내에서 발생하 며 인접해있는 플랜지 또는 패널은 경계조건으로 작용한다 고 가정하여 기존의 평판 전단좌굴강도식을 이용할 수 있다. 국부 전단좌굴응력 (τ_cr,l)은 기존의 평판 좌굴 전단좌굴 응 력식을 이용하여 다음과 같이 정의 된다 (^{Timoshenko, 1981}).

2.2. 탄성전체좌굴이론

탄성전체좌굴은 파형영역 전체에 걸쳐 좌굴이 발생하며 파형 내에서 교축방향과 교축직각방향의 강성이 다르므로 직교이방성을 고려해야 한다 (^{Oh, 2010}).

^{Easley (1969)}는 파형강판을 직교이방성판으로 가정하여 전체 전단 좌굴 응력을 제안하였으며, 탄성 전체 전단 좌굴 응력은 식 (3)과 같이 나타낼 수 있다.

2.3. 탄성연성좌굴이론

연성좌굴은 전체 및 국부좌굴의 상호작용에 의해 발생하 는 좌굴현상으로 현재 그 거동이 명확히 규명되지 않고 있으 며, 여러 연구자들에 의해 강도를 감소시키는 이론식을 연성 좌굴 식으로 사용하고 있다. 최근 ^{Yi et al. (2008)}의 연구에 서는 연성 좌굴은 재료의 성질과는 무관한 기하학적 문제이 므로 항복강도 항을 생략할 수 있으며, 1차 연성좌굴식이 파 형강판의 탄성 연성 좌굴 강도를 합리적으로 예측할 수 있다 고 제안하였으며, 1차 연성 전단좌굴식은 식 (6)과 같이 나 타낼 수 있다.

2.4. 고유치해석을 통한 전단좌굴강도의 산정

고유치해석을 통한 좌굴응력 산정은 이상적인 선형탄성 구조물의 임계하중을 예측하는 방법으로, 식 (7)과 같이 역 이 존재하지 않는 강성매트릭스 모델에서 고유벡터 ( v i M )가 영이 아닌 해를 가져야만 하는 조건으로 식 (8)과 같은 특성 방정식을 유도할 수 있다.

3.1. 평판의 해석과 경계조건의 가정

플랜지와 웨브는 사실상 단순지지와 고정지지의 중간상태 인 탄성적인 지지상태이나 ^{Abbas (2002)}, ^{Gill et al. (2003)}, ^{Choi et al. (2009)} 및 ^{Oh (2010)}는 복부판의 경계조건을 안 전측인 단순지지로 가정하여 프로그램을 검증하였다. 본 연 구에서도 프로그램 검증을 위해 경계조건을 단순지지로 가 정하였으며 Fig. 1과 같이 순수전단좌굴이 작용하는 경우에 대해 해석을 수행하였다.

Fig 1.

Shear stress distribution map of flat plate

Fig. 1에서 판의 높이 (h)는 1000mm, 길이 (L)의 범위는 1000mm~5000mm으로 1000mm간격이며 판의 두께 (t)는 10mm로 모델링하였다. 파형강판의 재료적 성질인 탄성계수 (E)와 포아송비 (v)는 각각 2.1 × 10⁵ MPa 및 0.3으로 가 정하였으며, 하중 (P)는 10N/mm의 분포하중이 작용하였다. 평판은 쉘요소를 이용하여 모델링하였으며, 경계조건은 Table 1과 같다 (^{Yoo et al., 2013}).

Table 2는 경계조건을 적용한 모델의 유한요소 해석결과 를 국부좌굴식인 식 (1)의 계산결과와 비교한 것이다. Table 2의 해석결과, 유한요소 해석 값이 판의 길이가 1000mm일 때를 제외한 나머지 결과에서 오차 1% 내외로 이론값과 상 당히 일치함을 확인할 수 있었다. 여기서 판의 가로세로 비율 에 따른 정밀도의 차이는 판의 형상, 요소의 분할 수 및 경계 조건에 따라 조금씩 다르게 나타난다 (^{Yoo et al., 2013}).

4.1. 전단좌굴응력변화의 변화

본 절에서는 판의 높이 별 두께 증가에 따른 응력 변화를 분석하였다. 앞의 Table 3의 조건을 바탕으로 판 높이 별 응 력변화그래프는 Figs 3, 4와 5에 나타내었다. Figs 3, 4 및 5 의 그래프에서 공통적으로 두께가 증가할수록 전단좌굴응력 이 증가하며 파고가 깊어질수록 전단좌굴응력이 더 크게 나 타나는 일반적인 결과를 얻을 수 있었다. 또한, Figs 3, 4 및 5 그래프의 전단좌굴응력곡선에서 변곡점이 발생한 후 전단 좌굴응력 증가율이 감소하며, 두께가 증가함에 따라 변곡점 이 발생하였다. 이러한 결과로부터 해석변수가 전단좌굴에 영향을 미침을 예상할 수 있었다. 그러나 전단좌굴응력의 증 가곡선으로는 전단좌굴거동을 예상할 수 없으므로 해석형상 을 통해 파형강판의 거동을 분석하였다.

Fig 3.

Changes in shear buckling stress (h = 500 mm)

Fig 4.

Changes in shear buckling stress (h = 1000 mm)

Fig 5.

Changes in shear buckling stress (h = 1500 mm)

4.2. 파형강판의 좌굴형상 분석

해석결과 Fig. 6은 모델 20_a_H1의 결과, Fig. 7은 30_a_H1 모델의 결과이며 Fig. 8은 40_a_H1 모델의 결과이다. 좌굴 모드형상을 통해 얇은 판에서는 국부좌굴이 발생하고 두꺼 운 판에서는 전체좌굴이 발생하며 그 사이에서는 연성좌굴 이 발생하는 형상을 확인 할 수 있다. 두께에 따른 좌굴의 성질을 4.1절의 전단좌굴응력 그래프와 비교하였을 때 Figs 3, 4 및 5 그래프의 변곡점이 발생하는 부근에서 연성좌굴이 발생하였다. 또한 파고가 얕을수록 얇은 판에서 국부좌굴에 서 연성좌굴로 넘어가며 주름의 길이가 길어질수록 국부좌 굴에서 전체좌굴로 넘어가는 연성좌굴의 범위가 늘어나는 것을 형상의 변화를 통해 예상할 수 있었다.

Fig 6.

Changes shape in shear buckling stress (a₃ = 20mm , ω = 77.5mm , h = 500mm)

Fig 7.

Changes shape in shear buckling stress (a₃ = 30mm , ω = 77.5mm , h = 500mm)

Fig 8.

Changes shape in shear buckling stress (a₃ = 40mm , ω = 77.5mm , h = 500mm)

4.3. 전단좌굴거동의 경향

정현파형 강판의 두께 변화에 따른 전단좌굴거동을 고찰 하기 위해 τ_fe/τ_cr 값을 통하여 좌굴의 경향성에 대하여 해석 을 수행하였다. 해석을 수행하기 위해 Table 3의 형상을 이 용하였으며 정현파형 강판의 좌굴거동을 설명하기 위한 변 수는 전체좌굴과 국부좌굴의 이론비 (τ_cr,G/τ_cr,L), 판의 두 께 (t), 판의 높이 (h), 파고 (a₃), 반파장길이 (ω)를 선택하 였다.

좌굴 이론비에 대한 경향성은 Figs 9, 10 및 11과 같으며 그래프에서 x축은 전체좌굴이론값 (τ_{cr, G})을 국부좌굴이론값 (τ_{cr, L})으로 나눈 값, y축은 유한요소해석에 의한 전단좌굴강 도 값과 국부좌굴 및 전체좌굴의 이론값의 비를 나타낸 무차 원 좌굴강도이다 (^{Oh, 2010}). y축에서 τ_{cr, G}/τ_{cr, L} > 1 일 때 유한요소해석의 전단좌굴강도 값을 국부좌굴 이론값으로 나누고, τ_{cr, G}/τ_{cr, L} <1 일 때 유한요소 해석의 전단좌굴강 도 값을 전체좌굴 이론값으로 나누어 그래프를 작도하였다 (^{Hyun, 2002}).

Fig 9.

Influence of τ_{cr, G}/τ_{cr, L} on shear buckling stress (a₃ = 20 mm)

Fig 10.

Influence of τ_{cr, G}/τ_{cr, L} on shear buckling stress (a₃ = 30mm)

Fig 11.

Influence of τ_{cr, G}/τ_{cr, L} on shear buckling stress (a₃ = 40mm)

Fig. 9는 주름깊이 (a₃) 20mm, Fig. 10은 주름깊이 (a₃) 30mm의 결과이며 Fig. 11은 주름깊이 (a₃) 40mm의 결과이다. 그림에서 τ_{cr, G}/τ_{cr, L} 가 가장 작은 영역 (Case1), τ_{cr, G}/τ_{cr, L} = 1 인 영역 (Case4), τ_{cr, G}/τ_{cr, L} 이 가장 큰 영역 (Case7), τ_{cr, G}/τ_{cr, L} < 1 영역에서의 변곡점 (Case2), τ_{cr, G}/τ_{cr, L} > 1 영역에서의 변곡점 (Case6), τ_{cr, L}/τ_{cr, L} < 1 영역과 τ_{cr, L} = 1 사이의 중간 영역 (Case3), τ_{cr, L} > 1 영역과 τ_{cr, L} = 1 사이의 중간 영역 (Case5)으로 나누 어 7가지 영역을 Figs 9, 10 및 11의 그래프에 표현하였다.

해석결과 공통적으로 Case7에서는 국부좌굴이 발생하며 Case1에서는 전체좌굴이 발생을 고유모드의 형상을 통해 확 인하였다. Case4 부근에서 국부좌굴에서 전체좌굴로 넘어가 는 연성좌굴이 나타났다. Case6에서 Case4사이에서는 국부 좌굴의 형상이 나타나며 유한요소해석의 전단좌굴강도값과 이론값의 차가 점차 감소하였다. Case4에서 Case2로 국부좌 굴에서 연성좌굴로 파형 형상이 변해가는 과정에서 유한요 소해석의 전단좌굴강도값과 이론값의 차가 점차 증가하였다. Case3에서는 국부좌굴에서 연성좌굴로 넘어가는 형상을 확 인 할 수 있었다. 또한 Case2의 변곡점에서 연성좌굴에서 전 체좌굴로 넘어가는 형상을 확인할 수 있었다. 각각의 모델에 서 두께가 두꺼워질수록 국부좌굴에서 전체좌굴로 바뀌는 양상이 나타나며 그 사이에 연성좌굴이 발생한다. 연성좌굴 대상 모델의 경우 Case3과 Case2사이에서 좌굴모드 형상의 변화과정이 나타났다. 또한, 그림에서 τ_{cr, L}가 1.0에 근접할 때, Fig. 9의 20_b_H1 및 20_c_H1, Fig. 10의 30_b_H1, 30_c_H1, Fig. 11의 40_a_H1, 40_b_H1 및 40_c_H1의 7개 모델에서 이론전단좌굴강도보다 더 작은 해 석의 전단좌굴강도 (τ_fe/τ_cr < 0)를 가짐을 확인할 수 있었 다. 그러나 모든 모델에서 1차 연성전단좌굴강도보다 크게 나오며, 1차 연성좌굴이론이 정현파형 강판을 설계하는데 충 분함을 예상할 수 있다. τ_{cr, G}/τ_{cr, L} > 1 인 국부좌굴이 지 배적인 범위에서 판높이 (h)와 판너비 (L)가 길어질수록 이 론값과 해석값의 차이가 크게 나타나지만 τ_{cr, G}/τ_{cr, L} < 1 인 전체좌굴이 지배적인 범위에서 변곡점이 발생한 이후 그래프 가 역전된다. 이 결과로부터 판의 두께 (t), 판높이 (h)와 판너 비 (L)가 좌굴 형상에 민감하게 작용함을 예상할 수 있었다.