2.1. 현의 공식을 이용한 장력 추정

텐던의 휨강성과 새그효과를 무시할 수 있는 경우 현의 운 동방정식 (equation of motion of a string)으로부터 다음과 같은 식 (1)을 적용하여 텐던의 장력을 추정할 수 있다 (^{Kim et al.,2002}).

여기서 T 는 텐던의 장력, f_n 은 측정된 n차고유진동수, m 은 단위길이당 텐던의 질량, L 은 텐던의 길이를 나타낸다. 이 방법은 텐던의 휨강성을 무시하였기 때문에 지지하는 양 쪽 끝단의 경계조건이 힌지로 거동함을 의미한다

2.2. 다중모드를 이용한 장력추정 방법

텐던의 휨강성을 고려하여 장력을 추정하는 방법 중 텐던 의 다중진동모드를 이용하는 방법은 고유진동수 차수의 제 곱과 고유진동수를 차수로 나눈 값은 비례관계에 있다는 것 에 착안하여 장력을 구하는 방법으로 다음 식으로부터 구할 수 있다 (^{Cho et al., 2013}; ^{Park et al., 2005}).

여기서 S 는 텐던의 휨강성을 나타낸다. 윗 식에서 비례관 계에 있는 (f_n/n)² 과 n²의 함수로 나타내어 정리하면 다음 식과 같다.

측정된 n차 모드의 고유진동수로 반복계산을 수행하여 a 와 b을 구할 수 있으며, 결정된 a와 b를 식 (3)에 대입하 면 장력 T 와 휨강성 S 를 구할 수 있다.

2.3. 저차모드의 실용적 공식을 이용한 장력 추정

휨강성의 진동모드에 영향을 미치는 정도를 나타내는 무 차원 변수와 텐던의 새그효과 (Sag effect) 여부를 고려하여 케이블 장력을 추정할 수 있다 (^{Zui et al., 1996}).

새그 효과가 거의 없는 경우 장력은 식 (4)~(6)과 같다.

여기서, f₁ 은 1차모드의 고유진동수, C = S / m L 4 이고, 무차원 변수ξ는 값이 증가할수록 텐던의 휨강성의 영향은 감소 하여 현의 거동에 근접하는 것을 의미하며 ξ = T / S × L 로 표현된다.

2.4. 양단고정 경계조건의 휨강성을 고려한 현의 공식 장력 추정 방법

미국 플로리다의 세그멘탈 PSC 교량에 대해서 외부텐던에 가속도 센서를 부착하고 장력을 추정한 방법은 (^{Sagűѐs et al., 2006}) 텐던의 양 끝단이 세그멘탈의 방향전환블록 (Deviation block)이나 다이아프램으로 인하여 회전이 발생하지 않는 것 으로 보고 이에 따른 경계조건을 부여하여 현의 방정식의 해 를 도출하였다. 이 방법은 텐던의 휨강성에 대한 장력의 비 를 나타내는 무차원 휨강성 (σ)의 개념을 도입하여 무차원 진동수 (υ_n)와 진동모드와의 관계를 분석하는 단계를 거치 며 반복계산을 통하여 텐던의 휨강성과 장력을 추정하는 방 법이다. 무차원 휨강성 (σ) 및 무차원 진동수 (υ_n)는 식 (7), (8)과 같다.

여기서, u_n 은 n차 모드에 대한 초월함수로서 홀수차 모드 (n = 1, 3, 5, ....) 및 짝수차 모드 (n = 2, 4, 6, ....)에 대한 값은 각각 식 (9)와 식 (10)과 같다.

반복계산을 수행하여 위의 공식에 대한 해를 얻을 수 있 다. 무차원 휨강성에 대한 무차원 진동수 및 모드에 대한 관 계를 그래프로 나타내면 Fig. 1과 같다.

여기서, 무차원 휨강성 (σ)이 0에 가까울수록 υ_n/n 의 값 이 모드차수 n과 관계없이 0.5의 값에 수렴되며 이는경계조 건이 힌지인 현의방정식과 같은 결과를 나타내게 된다. 텐던 의 강성이 증가하거나 텐던의 길이가 짧아지게 되면 고차모 드로 진행할수록 고유진동수가 가파르게 증가하는 것을 알 수 있다. 고유진동수를 실제 측정하여 n차 모드를 추출하게 되면 식 (11)과 같은 주파수 비 (R)를 얻을 수 있다.

여기서 각 n차 모드에 대한 실측치인 f_n 과 υ_n 이 일정한 값을 갖도록 무차원 강성 σ의 값을 변화시키며 반복계산을 수행하고 모드별 R값의 차이가 최소가 되는 무차원강성을 결정하고 모드별 R값의 평균치 (R_avg)를 결정하면 추정된 장력 및 휨강성은 식 (12) 및 식 (13)과 같다.

여기서, σ_e 는 반복계산을 통해 결정된 텐던의 무차원강성 이다.

3.1. 개요

PC 텐던은 내부가 그라우팅되어 있고 외부는 PE관으로 둘러싸여 있다. 가속도 센서는 PE관 외부에 부착되므로 PC 강선과 그라우팅 및 PE관이 일체화 거동을 한다고 가정하였 다. 시공 중에 충분히 세밀한 그라우팅을 실시하였고 각 재 료간의 계면이 분리되지 않았다면 PE관, 그라우팅 및 강선 이 일체화 거동을 한다고 볼 수 있으며 이를 확인하기 위하 여 다양한 부착조건에 대한 실험을 실시하여 일정한 고유진 동수가 얻어지는지 여부에 대한 분석을 수행하였다.

또한 텐던의 휨강성은 Fig. 2와 같이 강선의 배치가 일정 치 않으므로 텐던의 진동 방향에 따라 고유진동수가 달라질 수 있으므로 타격방향과 센서의 부착방향에 대한 분석을 수 행하였다.

가속도 측정을 통한 장력 추정법 적용의 유효성을 검증하 기 위하여 시험에 적용된 텐던의 물성은 Table 1과 같다.

Table 1에서 그라우트의 밀도는 시공 당시의 배합설계 자 료가 남아 있지 않고 강선 사이의 빈공간에 그라우팅이 채워 지지 않을 가능성이 있어 정확한 추정이 어렵다. 이에 따라 기존의 연구에서 사용한 동등한 텐던에 적용된 그라우트의 유효단위중량 1,850kgf/m³을 적용하였다 (^{Sagűѐs et al., 2006}). 또한, 덕트PE관의 단위중량 1,000kgf/m³을 반영하여 텐던의 단위 길이당 중량은 30kgf/m을 적용하였다.

시험을 실시한 PC텐던은 총 7개소로서 격벽으로부터 첫 번째 방향전환블록 (Deviation block)까지의 텐던 길이는 Table 2와 같다. Fig. 3과 같이 텐던의 배치는 경간 중심부의 Deviation Block을 중심으로 좌우 대칭으로 고정단과 긴장 단이 배치되어 있다. Fig. 3의 그림이 좌우 대칭이므로 T1은 총 1개의 Deviation Block을 통과하고 T6 및 T7은 총 9개의 Deviation Block을 통과함을 의미한다.

3.2. 가속도 측정 및 주파수분석

본 논문에서는 가속도 센서 부착시험에 신뢰성을 확인하 기 위하여 실제 공용중인 교량의 외부텐던에 가속도 센서를 부착하고 부착방향, 부착 위치 등 다양한 변수에 따라 진동 을 분석하였다.

텐던의 가속도 이력을 얻기 위하여 가속도 센서를 텐던의 피복에 부착하고 센서로부터 어느 정도 거리가 떨어지고 실 험의 일관성 확보를 위하여 텐던의 3/4L 지점에 햄머로 가격 하여 인위적인 진동을 발생시켜 시간이력 곡선을 획득하였다. 가속도 데이터는 고차의 진동모드를 확인하기 위하여 500Hz 의 샘플링으로 시험을 실시하였다. T1 텐던의 1/8L, 1/4L, 3/8L, 1/2L 지점에 센서를 부착하고 가진하였을 때 가속도 이력곡선은 Fig. 4와 같으며 FFT (Fast Fourier Transform) 분석을 실시한 결과는 Fig. 5와 같다.

Fig. 5에서 텐던의 중심에서는 짝수모드의 피크가 두드러 지지 않았고 3/8L위치의 신호분석에서는 8차모드가 피크가 발생하지 않았으며 1/4L 위치에서는 4차와 8차모드 피크가 두드러지지 않았다. 이는 중심부에서는 현의거동과 유사한 진동모드를 갖는다는 것을 의미한다. 1/8L 지점에서는 텐던 의 양단이 힌지인 현의 거동을 한다면 8차모드의 피크가 발 생하지 않아야 하나 10차모드의 피크가 발생하지 않아 경계 부로 갈수록 경계의 구속조건으로 인하여 진동모드가 영향 을 받고 있음을 알 수 있다. 그러나, Fig. 5와 같이 센서의 부착 위치와 상관없이 각 모드 차수별로 일정한 고유진동수 를 갖는다는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 6은 센서의 위치별로 FFT분석에 따른 각 모드별 피 크치를 추출하여 모드형상을 도시한 것이다. 텐던의 길이가 길수록 (T1) 이론적인 현의 모드형상과 일치하고 짧을수록 고차모드 진폭은 줄어들고 1차모드가 두드러짐을 알 수 있 다. 특히 텐던의 길이가 짧은 T5~T7의 1차모드 형상의 경우 1/8L 지점의 피크치가 상대적으로 작아 양단의 고정된 경계 조건을 반영한 모드형상이 도출되는 것을 알 수 있다.

3.3. 텐던 고유진동수의 유효성

PC텐던은 강연선이 설치된 PE덕트 내부가 그라우트로 채 워져 있고 횡단면상 강선의 배열이 일정치 않아 횡단면에 대 한 휨강성이 일정하지 않은 특징이 있다. 이에 따라 센서 부 착방향, 가진 시 타격 방향 등 다양한 조건에 대한 진동수 분석을 수행하여 결과의 일관성 여부를 검토하였다. 다양한 조건에 따른 분석결과는 Table 3과 같다.

Table 3의 결과에 따르면 센서부착 방향, 부착 위치 등에 대해서는 고유진동수에 큰 영향을 미치지 않음을 알 수 있으 나, T3의 경우 1%이내의 오차가 발생하였는데, 이는 2개월 간의 측정 기간 동안 온도변화에 의한 장력의 미소 변형이 발생하였거나, 분해능의 차이에 기인하는 것으로 판단된다. 전반적으로 실험여건과 상관없이 텐던의 일관된 고유진동수 를 추출할 수 있음을 알 수 있다.

부착방향에 따라 휨강성이 일정하지 않아 수평방향의 고 유진동수와 수직방향의 고유진동수가 일치하지 않을 수 있 는데 본 연구에서는 Table 3과 같이 이에 대한 영향이 크지 않은 것으로 분석되었으나 일부 선행피크 및 후행피크의 신 호가 감지된 부분이 있어 이에 대해서는 추가적인 연구가 필 요하다.

3.4. 고유진동수와 n차 모드수와의 상관관계

텐던이 완전한 현의 거동을 한다면 n차 고유진동수를 n 으로 나눌 경우 일정한 값 (f_n/n=const)을 갖는다. 그러나 텐던의 휨강성이 고려될 경우 n차 고유진동수를 모드차수 (n)으로 나눈값과 모드차수의 제곱 (n²)은 비례관계에 있다 (^{Sagűѐs et al., 2006}; ^{Cho et al., 2013}). 실험치 고유진동수 와 모드차수와의 관계에 대하여 텐던의 길이 변수별로 그래 프를 도시하면 Fig. 7과 같다.

Fig. 7에서 텐던의 길이가 짧아질수록 기울기가 증가하는 것을 알 수 있다. 기울기가 큰 만큼 휨강성이 텐던의 거동에 미치는 영향이 크다는 것을 알 수 있다.

이상과 같은 분석으로부터 측정된 가속도 신호로부터 FFT 분석을 수행한 시험결과가 충분한 일관성이 있음을 확인할 수 있었다. 따라서, 텐던의 PE덕트에 가속도 센서를 부착하 여 텐던의 고유진동수를 분석하는 방법은 충분히 신뢰성 있 는 방법이 될 수 있다고 판단된다.

4.1. 장력 추정방법의 적용

앞선 2장의 텐던의 장력 추정 방법을 이용하여 가속도 센 서 부착시험을 통해 분석된 고유진동수를 활용하여 텐던의 장력 측정을 비교하였다. 각 방법에 따른 장력추정 결과는 Table 4와 같다.

현의방정식을 이용한 장력 추정방법은 T1과 같이 텐던의 길이가 충분히 긴 경우에는 다른 추정법과 큰 차이가 없으나 텐던이 길이가 짧아질수록 장력을 과대평가하는 결과를 도 출하였다. 이는 길이가 짧을수록 경계조건의 영향을 더 많이 받고 휨강성으로 인하여 고유진동수가 증가하나 이를 반영 하지 못하기 때문으로 분석된다. 다중모드법의 경우도 현의 방정식과 유사하게 짧은 길이의 텐던의 장력을 과대평가한 결과가 도출되었다. 저차모드의 실용적 공식을 이용한 장력 추정방법 (^{Zue et al., 1996})은 장력을 추정하기 위해서는 케 이블의 휨강성을 도출하여야 하는데, 휨강성을 크게 가정할 수록 장력이 줄어든다. 본 논문에서는 200~300kN/m²을 적 용하였다. 휨강성을 최대 300kN/m²으로 가정하였을 경우 T6의 장력은 2121kN으로서 다소 과소평가 된다. 양단고정 경계조건에 의한 휨강성을 고려한 현의공식 장력추정방법 (^{Sagűѐs et al., 2006})은 다중모드를 활용함으로서 휨강성을 입력하지 않아도 반복계산을 통해 장력과 이에 따른 휨강성 을 추정할 수 있는 방법으로 Table 4의 장력 추정치가 비교 적 고른 분포를 보이고 있음을 알 수 있다.

조사 대상 텐던은 준공 후 10년 이상 경과한 구조물에 장 착된 텐던으로서 장력의 이력 측정이 이루어지고 있지 않고, 정착부는 무수축모르터로 채워져 있어 직접적으로 텐던의 장력을 확인할 수 없는 상태이다. 시공당시의 기록에 따르면 프리스트레스의 손실이 수렴한 시점에서 2600kN~2880kN의 긴장력을 갖는 것으로 추정되었다. 정착직후의 긴장단에서의 긴장력은 최대 3136kN으로서 이 값을 초과하는 현의방정식 이나 다중모드법은 길이가 짧은 텐던의 장력 추정방법으로 적합하지 않음을 의미한다. 그러나, 휨강성을 고려한 나머지 2가지의 방법 (^{Zue et al., 1996}; ^{Sagűѐs et al., 2006}) 또한 길이가 짧은 텐던의 장력값이 길이가 긴 텐던의 장력값보다 작아 장력을 과소평가할 가능성이 있으므로 이에 대한 추가 검토가 필요하다고 판단된다.

4.2. 휨강성을 고려한 장력추정방법의 검증

외부텐던은 편심을 가하기 위하여 Fig. 8과 같이 방향전환 블록 (Deviation Block)을 시공한다. 긴장단에서 동일한 힘 으로 긴장이 이루어지지만 PE 덕트와 강연선과의 마찰등으 로 인하여 긴장단의 긴장력이 고정단까지 모두 전달되는 것 이 아니므로 긴장단 (T8), 고정단 (T11) 및 중앙단 (T9, T10)의 장력이 다르게 된다. 일반적으로 긴장단의 장력이 고 정단의 장력보다 크다 (^{Sagűѐs et al., 2006}). 방향전환블록 과 다이아프램은 텐던을 구속하는 효과가 있으므로 Fig. 8의 텐던은 각 단부 다이아프램과 방향전환블록을 경계로 4구간 의 텐던 (T8~T11)이 각각 다른 고유진동수를 갖는다.

Fig. 8의 PC tendon에 대해 휨강성을 고려한 장력을 추정 한 결과는 Fig. 9와 같다.

Fig. 9의 그림에서 휨강성을 300kN/m²으로 가정할 경우, Deviation block 사이의 텐던의 장력이 고정단의 텐던 장력 보다 낮아 저평가됨을 알 수 있다. 200kN/m²으로 가정할 경 우, ^{Sagűѐs et al.} 의 방법과 유사한 결과값이 도출되며 고정 단과 긴장단 사이의 장력이 범위를 벗어나지 않아 비교적 합 리적인 결과가 도출됨을 알 수 있다. 긴장 시 방향전환블록 에서 PE덕트와 강연선의 마찰로 인하여 긴장단의 긴장력의 일부가 고정단까지 전달할 수 없는 경우가 발생하며 이에 따 라 Fig. 9와 같이 고정단으로 갈수록 프리스트레스 힘이 줄 어들게 된다. 본 연구에서 적용한 장력 추정방법은 PC 텐던 의 이러한 거동 특성을 양호하게 반영하고 있는 것으로 판단 된다.

본 연구에서는 일부 텐던에 대해서 연구를 수행한 결과이 므로 추후 연구에서는 보다 많은 실험을 수행하여 PC 텐던 장력 측정의 유효성을 보다 세밀하게 검토하는 것이 필요하 다고 판단된다.