2.1. 전단형 건물의 강성 및 질량행렬

전단형 건물은 각 층 높이에서 수평 단면의 회전이 없는 구조물로 정의된다. 따라서 변형된 건물은 전단력에 의해서 만 처짐이 발생하는 캔틸레버 보의 특성을 가지게 되며 Fig. 1과 같이 이상화 할 수 있다.

Fig 1.

3 DOF Shear Building

Fig. 1과 같이 전단형 건물로 모델링 되는 구조물은 각 층 높이에서 자유도 즉 수평변위를 표현한다. 또한 거더와 기둥 사이의 연결부는 회전에 대해 고정되어야 하고 강성이 큰 거 더는 운동 중 변형이 없이 수평을 유지한다. 각 층강성은 층 간변위를 발생시키는데 필요한 힘으로써 다음 식 (1)과 같이 정의된다.

여기서 I_k 및 L_k 는 i층의 k번째 기둥의 단면2차모멘트와 길이를 나타낸다. 3층 전단형 건물의 비감쇠 자유진동 운동 방정식을 행렬식으로 표기하면 다음과 같다.

여기서 [M]및 [K]는 각각 다음 식 (3)과 (4)로 주어지는 질량 매트릭스 및 강성도 매트릭스로서 [M]은 양정치의 대 각행렬이고, [K]는 양반정치의 대칭행렬이다.

2.2. 고유진동수 변화량

강성행렬의 변화는 고유진동수를 변화시키므로 손상 전 후 변화된 고유진동수로부터 손상위치 및 정도를 추정할 수 있다. 비감쇠 자유진동 구조물의 운동방정식은 식 (2)와 같 으며 구조체가 탄성이라고 가정하고 식 (2)의 해를 구하면 다음과 같다.

여기서 r는 모드차수이며 $\phi$ r 는 식 (6)의 정규화조건을 만족한다.

강성행렬 [K] 가 양반정치 (positive semi-definite)의 대칭 행렬 (symmetric matrix)이므로 r는 구조물의 자유도수 n과 동일한 차수를 갖는다. 손상 구조물에 대하여 식 (5)는 다음 과 같이 나타낼 수 있다.

식 (7)에서 모드형상변화량 △ $\phi$ r 의 크기는 비교적 작을 뿐 아니라 향후 손상추정 시 이를 번거롭게 산출하지 않고 손상추정 식 (14) 및 식 (16)에서와 같이 손상 전 모드형상 과 강성 그리고 손상 발생 시 진동수 변화량만으로 손상위치 를 파악 할 수 있도록 하기 위하여 △ $\phi$ r 를 0으로 하였다. 이로 인한 미소한 오차는 발생 할 수 있으나 손상추정 시 계 측의 번거로움을 해소할 수 있는 실용적인 방법이라고 판단 된다. 따라서 식 (7)에서 △ $\phi$ r = 0 으로 하고 식 (5)를 적 용하면

여기에 $\phi$ r T 를 곱하고 식 (6)을 적용하면 고유진동수의 변화는 다음과 같다.

여기서 전체 강성행렬의 변화량을 각 층 강성의 변화로 나 타내면 식 (10)과 같이 나타낼 수 있다.

여기서 [K_i]는 i번째 층에 대한 계수만 값이 있는 전체 강 성행렬이며, β_i는 i번째 층의 층강성 손상비를 나타낸다. 식 (10)을 식 (9)에 대입하면 다음과 같다.

식 (11)에서 고유진동수 변화량 △ w r 2 과 모드형상 $\phi$ r 은 손상 전후 구조물의 동적응답신호로부터 측정 할 수 있고, 손상전 구조물의 강성행렬 [K_i]는 구조도면 등으로부터 정 보를 알 수 있으므로 층강성 손상비 β_i만 미지수로 남게 된다.

2.3. 손상추정지수 제안

본 연구에서는 손상에 의한 동특성의 변화량 △ w r 2 을 나타 내는 식 (11)을 β_i에 대한 식으로 정리하고 이를 손상지수로 써 제안하였다.

먼저 식 (11)을 연립방정식의 형태로 정리하면 다음 식 (12)와 같다.

따라서

여기서

또는 Cramer's Rule에 의해

즉,

여기서 A_i 는 행렬 A의 i번째 열벡터

[Cramer's Rule]

식 (14)에서 β_i는 층강성의 감소비로써 (-)부호는 층강성 의 감소를 나타내며 그 크기는 층강성의 감소율을 나타낸다. 따라서 β_i가 (-)부호이면서 상대적으로 큰 값을 나타내는 층 에 손상이 발생하였음을 예측할 수 있다.

3.1. Matlab

Matlab의 수치해석 모델은 Fig. 2의 3층 전단형 구조체를 Fig. 1과 같이 이상화된 전단형 건물로써 단순화하여 고유치 해석을 수행하였다. 층강성, 전체강성행렬 및 질량행렬은 식 (1), (3) 및 식 (4)를 사용하였으며, 손상은 1층 기둥 1개를 감소시켰으므로 1층의 강성을 3/4으로 감소시키고 손상에 의 한 질량의 변화는 무시하여 고유치 해석 (eigenvalue analysis) 을 수행하였다. Matlab 수치해석 대상모델의 고유치해석 조 건으로 적용된 층강성 및 질량은 Table 3과 같다. 본 연구에 서 제시된 손상지수로 활용되는 층강성 감소비는 식 (14)에 서와 같이 구조물의 자유도와 동일한 차수의 모드해석이 필 요하므로 3차모드까지 고유치 해석을 수행하였으며, 그 결과 는 Table 2와 같다.

Fig 3.

Damage Detection Index

Table 2에서 손상 전후 고유치해석결과로 구한 1, 2, 3차 모드의 진동수와 모드형상의 변화를 고찰하여 보면 손상 이 후 진동수가 전 모드차수에서 감소함을 알 수 있다.

3.2. MIDAS GENw

MIDAS GENw의 수치해석 대상모델은 Matlab과 동일한 Fig. 2의 3층 전단형 구조체를 3차원으로 모델링하였으며, 기둥은 보요소를 슬래브는 플레이트요소를 사용하였으며, 재 질은 Table 1을 고려하고 질량의 분포는 lumped mass로 고 려하여 유한요소법에 의한 고유치해석을 수행하였다.

MIDAS GENw의 고유치 해석결과 각 모드별 고유진동수 와 정규화된 모드형상은 Table 4와 같다. Matlab의 Modal Analysis 결과와 유사하게 손상 후 전 모드차수에서 진동수 가 감소하며, 손상 있는 1층에서 모드형상이 비교적 크게 나 타났다. 식 (16)의 층강성 감소비 β_i를 산출하기 위해서는 식 (14)에서와 같이 층강성이 필요하므로 유한요소모델인 MIDAS GENw에서는 임의의 횡력을 주어 해석결과로 구한 층전단력을 층변위로 나누어 층강성을 구하였다. 이와 같이 구한 층강성은 Table 5와 같다.