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Journal of the Korea Concrete Institute

J Korea Inst. Struct. Maint. Insp.
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Research article

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Journal of the Korea Institute for Structural Maintenance and Inspection

J Korea Inst Struct Maint Insp Vol. 18, No. 4, p.1-9

ISSN (print) :

2234-6937

ISSN (online) :

2287-6979

Received : 4 June 2014Revised : 1 July 2014Accepted : 4 July 2014

Publisher ID :

JKSMI-18-1

DOI :

10.11112/jksmi.2014.18.4.001

양자기반 진화알고리즘을 이용한 평면 트러스의 구조최적화

Structural Optimization of Planar Truss using Quantum-inspired Evolution Algorithm
손 수덕 (Su-Deok Shon) 1) 이 승재 (Seung-Jae Lee) 2)*
  1. ()
  2. ()

*Corresponding author: E-mail: leeseung@koreatech.ac.kr

1 :

• 본 논문에 대한 토의를 2014년 8월 31일까지 학회로 보내주시면 2014년 9월호에 토론결과를 게재하겠습니다.

© The Korea Institute for Structural Maintenance and Inspection

License (open-access, http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0/) :

This is an Open-Access article distributed under the terms of the Creative Commons Attribution Non-Commercial License (http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0) which permits unrestricted non-commercial use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

초록

최근 양자컴퓨터의 개발과 더불어 양자역학의 특성을 응용한 양자기반 탐색기법의 개발과 공학 문제에의 적용은 매우 흥미로운 연구주 제 중 하나로 부각되고 있다. 이 알고리즘은 기본적으로 0과 1이 중첩되어진 양자비트를 이용하여 정보가 저장되고, 양자게이트 연산을 통 해 해에 접근하게 된다. 이 과정에서 알고리즘은 탐사와 개척 두 가지 탐색 특성간의 균형이 자연스럽게 유지되며, 진화정보가 계속 누적된 다는 장점으로 기존의 탐색법과 차별되어 새로운 알고리즘으로 평가되었다. 본 연구에서는 이와 같은 양자기반 진화알고리즘을 평면 트러 스의 구조최적화에 적용하여 최소중량설계 기법을 제안하였다. 최적화 수리모형에서 비용함수는 최소중량이며, 제약함수는 변위와 응력에 관한 함수로 구성하였다. 진화정보의 누적과 수렴 과정을 알아보기 위해서 10부재 평면 트러스와 17부재 평면트러스 예제를 수치예제로 채택하여 결과를 분석하였다. 수치예제의 구조최적설계 결과에서 볼 때, 기존의 고전적 탐색기법의 연구결과와 비교해서 더 나은 최소중량 설계의 결과를 얻을 수 있었으며, 진화정보의 누적된 결과로 해의 정밀도를 관찰할 수 있었다. 또한 누적된 진화정보인 양자비트의 확률적 표현은 종료시점을 쉽게 판단할 수 있다.

초록

With the development of quantum computer, the development of the quantum-inspired search method applying the features of quantum mechanics and its application to engineering problems have emerged as one of the most interesting research topics. This algorithm stores information by using quantum-bit superposed basically by zero and one and approaches optional values through the quantum-gate operation. In this process, it can easily keep the balance between the two features of exploration and exploitation, and continually accumulates evolutionary information. This makes it differentiated from the existing search methods and estimated as a new algorithm as well. Thus, this study is to suggest a new minimum weight design technique by applying quantum-inspired search method into structural optimization of planar truss. In its mathematical model for optimum design, cost function is minimum weight and constraint function consists of the displacement and stress. To trace the accumulative process and gathering process of evolutionary information, the examples of 10-bar planar truss and 17-bar planar truss are chosen as the numerical examples, and their results are analyzed. The result of the structural optimized design in the numerical examples shows it has better result in minimum weight design, compared to those of the other existing search methods. It is also observed that more accurate optional values can be acquired as the result by accumulating evolutionary information. Besides, terminal condition is easily caught by representing Quantum-bit in probability.

키워드

양자기반 진화알고리즘, 양자비트, 양자게이트, 진화정보, 평면트러스, 최소중량설계

키워드

Quantum-inspired evolutionary algorithm, Quantum-bit, Quantum gate, Evolutionary information, Planar truss, Minimum weight design

1. 서 론

양자전산이란 양자역학계의 특징인 불확정성, 중첩 (Superposition) 과 얽힘 (Entanglement), 간섭 (Perturbation) 등을 이용하여 지금까지와는 근본적으로 다른 방식으로 정보를 처리하는 일 련의 기술을 의미하는 것으로, 전산 및 정보전송기술을 포함 한 양자정보과학 전체를 지칭하는 말이다. 1980년대 Feynman 에 의해 처음 제안된 양자컴퓨터는 결정론적 데이터대신 불 확정성을 지닌 데이터 처리를 수행하기 위해 양자 역학적 현 상을 동작 원리로 사용하는 연산 기계 장치를 생각하게 되었 으며, 이제까지의 이진비트가 가지는 결정론적 개념의 데이 터에서 불확정적인 확률론적 양자비트 (Quantum-bits)의 개 념으로 획기적인 변화가 시도된 것이다. 0과 1의 모호한 구 분에 의한 정보 저장은 차수의 증가에 따른 복잡도가 지수함 수적으로 커지는 문제에 대해 새로운 연산개념을 생각하게 되었으며 무한한 가능성을 발견하게 되었다 (Feynman, 1986; Deutsch, 1989; Han and Kim, 2002; Han, 2003; Ghosh and Mukherjee, 2013).

많이 알려진 양자알고리즘으로는 1994년 Shor의 양자소인 수분해 알고리즘과 1996년 Grover의 양자데이터 검색 알고 리즘 (Quantum search algorithm)이 있다 (Show, 1994; Glover, 1996). 이후 몇몇 연구자들에 의해 다양한 접목이 시작되었 고, 진화전산 (Evolutionary Computation)과의 다양한 접목 이 1990년 후반부터 연구가 나타나기 시작했다. 진화전산은 유전자알고리즘 (GA), 유전자프로그래밍 (GP), 진화전략 (Evolutionary Strategies) 또는 진화프로그래밍 (Evolutionary programming) 등을 모두 대변할 수 있는 포괄적 용어이며, 이들의 알고리즘에 특화된 양자게이트 (Quantum gate)나 양 자회로 (Quantum circuit)의 설계와 기존의 결정론적 데이터 에서의 새로운 알고리즘의 개발로 연구가 진행되었다 (Glover, 1999; Zhang, 2011). 양자전산과 진화전산과의 접목과 상호 간의 연결가능성에 대한 새로운 연구가 시작되었으며, 1990 년대 후반에 양자기반 연산 (Quantum-inspired computing) 의 새로운 패러다임이 제시되었고 (Moor and Narayanan, 1995), 양자기반 기법의 방법론에 대해서 여러 가지 의견과 가이드라인 등이 이들의 문헌에서 다루어졌다 (Han, 2003).

이 같은 연구 중에서 양자기반 진화전산 (Quantum-inspired Evolutionary computation) 기법을 개발하는 것은 양자알고 리즘의 개발이나 회로 또는 양자역학의 물리적 실현과는 달 리 기존의 결정론적 컴퓨터에서 양자알고리즘의 특성을 이 용한 새로운 진화전산기법을 개발하고 적용하는 것이었다. 기존의 GA나 진화알고리즘 (Evolutionary Algorithm)과 같 은 진화전산기법에 양자물리학의 특성을 수리적으로 모델링하 는 것으로 새로운 탐색알고리즘의 개발이 주를 이루었다. 다양 한 기법의 접목은 초기에 GA나 GP 기법의 데이터를 양자비트 로 표현하기 시작하였고, 진화알고리즘 (Evolution Algorithm) 등과 결합하여 새로운 알고리즘이 개발되고 있다. 그러나 알 고리즘들의 접목에서도 비결정론적인 양자비트와 양자게이 트의 특성은 기법의 적용방법에 따라 다양한 결과를 보이고 있다 (Han and Kim, 2002; Zhang, 2011). 이와 같은 알고리 즘들의 최적해 탐색은 다양한 분야에 접목되었으며, 알고리 즘의 적용성과 장단점 등을 파악하는 연구가 많이 진행되고 있다 (Su and Yang, 2011; Zhang, 2011; Yin et al., 2012).

비용절감을 목적으로 하는 구조물의 최적화 문제의 경우 오랜 기간 다양한 방법이 시도되었으며, 지난 이십년간 다양 한 모든 방법들이 시도되었다 (Lee and Geem, 2004; Choi, 2008; Shon et al., 2011). 구조설계자들의 설계에 대한 최소 중량 문제에 대한 해답을 찾기 위한 다양한 시도들은 수리모 형에 있어서도 선형계획법 (Linear Programming), 비선형계 획법 (Non-LP), 동적계획법 (Dynamic Programming) 등의 방법이 많이 사용되었고, GA를 비롯한 메타 휴리스틱 기법 도 다양한 각도에서 적용되었다. 그러나 다양한 설계규준의 제약 (constrain)이나 다중목적 (multi-objective) 등에 따라 처리되어야 할 수리모형의 모델링은 기법들의 특성에 따라 강력한 (robust) 도구를 제공하기 위해서는 많은 연구가 필요 했다. 이와 같은 접근은 구조물의 최적설계에 매우 유용하며, 실질적인 적용이 가능하게 하는 가능성을 지니고 있으며, 다 양한 시도가 필요하다 (Lee and Geem, 2004).

따라서 본 연구는 최소중량설계를 위한 구조 최적화 문제 에 있어서 양자기반 진화알고리즘을 적용하여 최적설계를 수행하는데 목적이 있다. 최적설계 대상구조물은 평면 트러 스에 대한 최소중량설계의 수리모형을 이용하며, 변위와 응 력을 제약조건 아래에서의 최소중량을 구하도록 한다. 벌칙 함수를 이용하여 변위와 응력에 관한 부등 제약을 적합도함 수에 부여함으로서 문제를 해결하도록 하며, 목적에 부합된 최적설계 결과를 얻도록 한다. 적용 대상 구조물의 예제로 본 논문에서는 10부재 트러스와 17부재 평면트러스를 대상 으로 해석결과를 다른 알고리즘과의 결과와 비교 고찰하도 록 한다.

2. 양자기반 진화알고리즘 (QEA)

양자기반 유전자알고리즘 (Quantum-inspired GA)의 개발 (Moor and Narayanan, 1995)과 순회판매원의 문제에의 적 용은 매우 유용한 결과를 얻게 되었고, 이 후 진화알고리즘의 연산구조를 이용한 방법이 제안되었다 (Han and Kim, 2000). 양자비트를 이용한 이들의 알고리즘은 기본적으로 0과 1이 중첩된 비트의 표현방법과 양자게이트의 적용이었고, 어떻게 연산자가 양자데이터를 처리하도록 할 것인가가 중요한 문제이 었다. 기존의 컴퓨터에서 양자비트표현과 연산자의 처리는 결 정적 데이터를 이용한 불확정성을 도입한 구조로 표현해야 했 으며, 양자비트의 표현 (representation)과 측정 (measurement) 은 새로운 데이터 처리방법이 되었다. 따라서 이들의 양자기 반 진화알고리즘은 설계변수의 양자비트 표현방법과 측정, 양자게이트 연산자 그리고 룩업테이블 (look-up table)을 이 용하여 알고리즘을 구현할 수 있으며, 본 절에서 알고리즘을 설명하도록 한다 (Han, 2003).

2.1. 양자비트의 표현

고전적인 이진비트와 양자비트의 표현방법의 가장 큰 차 이는 결정론적 데이터와 비결정론적 데이터 저장방식으로 설명할 수 있다. 그림 1에서 보는 바와 같이 이진비트의 표 현은 0과 1 중 하나의 값이 결정되어야만 하지만 양자비트는 양자불확정성에 의해 모델링되므로 0과 1의 정보가 공존한 다. 현재의 상태를 측정하므로 어떠한 정보가 결정될지는 항 상 불확정적이다. 양자비트의 중첩된 상태를 표현하는 방법 은 식 (1)과 같고, α 와 β 는 0과 1의 상태의 확률크기를 구 체화 하는 복소수이다. 양자비트가 0의 상태에서의 확률은 $\alpha$ 2 이고, 1의 상태에 있을 확률은 β 2 이다. 따라서 상태의 정규화에 따라 두 확률의 합은 항상 1이 된다. 만약 m개의 양자비트로 구성된 시스템의 경우 시스템의 상태에 대한 표 현은 2m 개의 상태를 동시에 나타내는 결과를 얻게 된다. 따 라서 하나의 양자비트는 한 쌍의 복소수로 표현되는 확률상 태의 조합인 (α,β)로 정의할 수 있다. Fig. 1.

Fig 1.

Binary-bits vs. Quantum-bits

JKSMI-18-1_F1.jpg
(1)
ψ > = $\alpha$ 0 > + β 1 >

식 (1)의 표현을 이용하면 m개의 양자비트를 가지는 개체 에 대해 m 쌍의 복소수로 표현된 확률상태의 조합인 식 (2) 로 나타낼 수 있다. 따라서 t세대의 n개의 개체군은 Q(t)는 식 (3)과 같이 정의된다 (Han, 2003).

(2)
q j t = $\alpha$ j 1 t β j 1 t $\alpha$ j 2 t β j 2 t ⋅ ⋅ ⋅ $\alpha$ j m t β j m t
(3)
Q t = q 1 t , q 2 t , ..., q n t

양자기반 진화알고리즘의 각 개체는 식 (2)의 확률적 표현 으로 나타남으로 기존의 결정론적인 표현방법과는 다르게 설명되어진다. 따라서 세대의 증가에 따라 변화하는 상태에 대한 불확정성이 양자비트가 붕괴 (Collapse)되어감에 따라 관측 (Observation)에 따라 측정되어지는 결과는 지나간 세 대에서 일어난 변화를 포함하게 된다.

양자비트로 표현된 개체의 초기화를 정의하기 위해서 불 확정성에 대한 0과 1의 확률상태가 각각 동일해야하므로, 식 (4)와 같이 모든 가능한 상태를 선형중첩으로 표현되는 동일 한 확률 (probability)로 표현한다. 따라서 식 (4)는 양자비트 의 모든 경우의 수를 확률적으로 동시에 나타낸 것이다.

(4)
ψ q j 0 > = ∑ k = 1 2 m 1 2 m X k >

여기서 Xk 는 k번째 상태를 이진스트링 (binary string)으 로 표현한 것을 말하며, Xk 의 성분인 xi는 0 또는 1의 값을 갖는다. 이와 같은 상태에서 관측을 통한 측정값은 고정된 이진비트로 표현된다.

2.2. 양자게이트 연산자

양자비트의 상태는 양자게이트를 통과하는 연산을 통해서 변화할 수 있다. 양자게이트의 특성은 가역적 (reversible)이 며, 유니타리 연산자 (unitary operator)로 표현할 수 있다. U 의 양자비트 기저 (basis)는 U† U = UU†를 만족하는 상 태이며, 여기서 U†는 U 의 에르미트행렬의 (Hermitian) 수 반행렬 (adjoint)이다. 이러한 게이트 중에서 양자기반 진화 알고리즘은 식 (5)의 양자회전 (Quantum rotation) 게이트를 적용한다. 이것은 양자비트의 정규화조건을 만족하는 연산자 이다.

(5)
U rotation △ $\theta$ i = cos △ $\theta$ i - sin △ $\theta$ i sin △ $\theta$ i cos △ $\theta$ i

양자전산의 가장 큰 특징은 중첩과 얽힘에 기반을 둔 양자 병렬 (Quantum parallelism)화 특성이다. 이것은 두 양자비 트가 분리될 수 없다는 것은 얽혀있는 상태를 의미하고, 얽 힌 상태는 텐서외적 (tensor product)로 표현되지 않는다.

2.3. 양자기반 진화알고리즘의 연산구조

진화알고리즘에서 양자비트와 양자게이트 등을 이용한 알 고리즘의 변환은 개체의 불확정성을 표현한 확률변수에 기 초를 한다. 초기화에서 결정론적 데이터의 처리와는 달리 정 규분포로 측정할 수 있는 과정을 수행하여 식 (2)와 같은 개 체군을 형성하고 상태를 측정한 결과를 바탕으로 진화연산 을 수행한다. 초기 개체군 Q(t)t=0의 각 개체는 m개의 양 자비트로 표현되며, 초기화를 위해서 식 (4)와 같이 표현된 양자스트링을 구성한다. 알고리즘의 초기화를 위해서 관측대 상인 양자비트 개체군에서 난수발생기를 이용하여 상태를 측정하고, 그 값을 초기개체군 P(t)t=0으로 정의한다. 이때 의 값은 한번 측정된 값이므로 적합도를 평가할 수 있으며, 최상의 적합도를 개체그룹에 저장하여 진화연산을 수행한다. 진화연산의 수행에서 관측을 수행하는 양자개체군은 현재의 세대를 기준으로 이전세대에 대한 양자회전게이트 연산을 수행하여 양자정보를 갱신하는 과정을 반복한다. 여기서 정 의되는 양자회전게이트의 회전각은 Table 1과 같이 룩업테 이블을 기준으로 결정하며, 문제에 따라 미치는 영향이 다르 게 나타난다. 탐색균형을 위한 이주 (Migration)연산자의 경 우는 진화연산에서 국소최적점이 발생하는 문제에 대해서 탐험과 탐사 (Exploration)와 개척 (Exploitation)간의 균형을 맞추어 전역 탐색 (Global search)을 수행하기 위한 방법으 로 일정한 세대마다 개체군 집합끼리의 최적 개체의 교환을 통해 양자회전게이트의 회전각을 조절하도록 하는 과정이다.

Table 1.

Look-up table for Quantum rotation gate

xi bi ƒ(x)<ƒ(b) Δθ sign(αiβi)
αiβi > 0 αiβi < 0 αi = 0 βi = 0
0 0 T θ1 0 0 0 0
0 0 F θ2 0 0 0 0
0 1 T θ3 1 -1 0 ±1
0 1 F θ4 0 0 0 0
1 0 T θ5 1 -1 ±1 0
1 0 F θ6 0 0 0 0
1 1 T θ7 0 0 0 0
1 1 F θ8 0 0 0 0

[i] cf) θ = sign (αiβi) Δθ; θ = {00P0N000}T; P(=-N)=0.001π~0.05π

2.4. 양자비트의 확률 평균과 수렴도

각 세대의 탐색정보는 양자비트에 축척되어 변화하며, 각 세대에서의 탐색에서 탐사와 개척에 대한 정보의 축척은 양 자비트의 확률의 평균으로 나타낼 수 있다. 양자비트 수렴도 Cb 는 양자비트의 수렴정도를 나타내는 기준으로 식 (6)과 같고, 평균 수렴도는 식 (7)과 같이 정의할 수 있다 (Han, 2003).

(6)
C b q = 1 m ∑ i = 1 m 1 - 2 $\alpha$ i 2
(7)
C b d Q t = 1 n ∑ j = 1 n C b q j

양자비트의 확률평균과 평균 수렴도를 이용하면 새로운 종료조건 (termination condition)을 제공할 수 있으며, 두 값 이 허용하는 설계종료 조건 γ 보다 작을 경우 정지할 수 있 다 (Han, 2003).

3. 트러스의 중량최적화 수리모형

전형적인 최적설계 수리모형으로는 비용, 공기, 재료의 절 감이나 구조물 강성, 위상, 형상 등이 최적화 목적으로 많이 이용된다. 재료절감 문제는 기본적으로 최소중량설계를 의미 하며, 재료의 정량적 평가를 위해 중량 또는 부피가 목적함 수로 채택된다. 취급되는 설계변수에 따라 함수의 표현방법 도 달라진다. 위상이나 형상최적에서 다루는 함수보다 쉽게 표현할 수 있지만 생산성이나 현실성을 고려하는 경우 이산 화 설계변수로 모델링되기 때문에 경우에 따라 매우 복잡해 진다. 선형부재의 경우 최소중량설계에서는 단면적이나 단면 적을 구성하는 변수들이 주로 설계변수로 이용되며, 생산성 을 고려한 이산화 변수의 경우 생산부재 리스트나 일정한 간 격의 정수형 변수가 이에 해당된다. 일반적으로 최적화를 수 행하는 수리모형은 제약조건식을 만족하는 목적함수의 설계 변수를 구하는 것으로 식 (8)과 같이 표현된다. 본 논문에서 채택한 트러스의 최소중량설계의 목적함수 F(ρ,x,A) 는 부 재의 단면적을 설계변수로 채택하였고, 동일한 재료일 경우 단위중량은 상수로 취급할 수 있다 (Lee and Geem, 2004; Shon et al., 2012).

(8)
minimize F A = ∑ i = 1 n ρ i L i A i = ρ ∑ i = 1 n L i A i subject to G j A ≤ 0 j = 1 , ..., q

위 식에서 ρi, Ai, Li 는 각각 i번째 부재의 단위중량, 단 면적, 길이이고, Gj는 제약함수이다. 설계제약은 재료의 특 성이나 최대강도의 한계치, 외력에 의한 변위나 변형의 경계, 필요로 하는 고유주파수의 제한, 하중 패턴의 조합에 대한 제약, 경계조건의 변화나 제한적인 경계조건, 실질적인 생산 이나 제작에 대한 기술적인 제한, 설계규준에서 제시하는 한 계사항 등이 있으며, 부등식 함수들로 표현된다. 함수에 따 라서 제약조건의 복잡한 성질과 목적함수에 주는 영향은 매 우 다르게 나타나며, 본 연구에서는 식 (9)와 같이 부재의 응 력과 절점 변위를 제약조건으로 채택한다.

(9a)
G 1 σ ≤ 0 , σ i L ≤ σ i ≤ σ i U i = 1 , ..., n
(9b)
G 2 △ ≤ 0 , △ i L ≤ △ i ≤ △ i U j = 1 , ..., m

위 식에서 제약함수 Gj 에 대한 설계변수의 상한치 σU, δU 와 하한치 σL, δL 는 설계초기에 결정되며, 설계조건에 따라 값을 달리 할 수 있다. 따라서 이와 같은 제약조건식을 만족 하는 최소중량을 가지는 전역 최적해를 구하는 것이 궁극적 인 목적이며, 수리모형에서 각각의 제약함수는 조건의 중요 도에 따라 벌칙함수의 계수를 조절하여 탐색한다.

4. 수치해석예제

양자기반 진화알고리즘을 이용하여 평면 트러스 구조물의 최 적구조설계 알고리즘의 유효성과 적용과정을 살펴보기 위해서 본 논문에서는 기존의 연구에서 많이 검증된 10부재 평면 트러 스 예제와 17부재 평면 트러스 예제를 채택하여 해석을 수행하 고 결과를 분석하였다. 양자진화 알고리즘의 초기 해석조건으 로는 두 예제 모두 16개의 양자비트와 3그룹의 50개의 개체를 이용하였다. 최대 반복횟수는 1000회로 가정하였고, 양자회전 게이트의 회전 위상각은 0.2 rad의 값을 이용하였다. 이상의 조 건을 이용하여 해석예제의 목적함수와 양자비트의 확률변화를 이용하여 최적해의 수렴과정과 결과를 분석하도록 한다.

4.1. 10부재 평면 트러스 모델

해석대상모델인 Fig. 2의 캔틸레버 평면 트러스는 여러 연 구자들에 의해서 다양한 탐색기법으로 해석된 예제이다 (Lee and Geem, 2004). 대상모델의 절점은 6개, 부재는 모두 10 개로 구성되었고, 그림에서 단위길이 L은 2.54 m이다. 부재 의 재료 상수로는 밀도 (density) ρ가 2767.99 kg/m3, 탄성 계수 E는 0.689×105 MPa이다. 단면적이 설계변수가 되며, 부재조합을 고려하지 않으므로 모두 10개의 단면적이 설계 변수로 가정된다. 예제는 하중의 형태에 따라 두 가지 Case 로 나뉜다. Case A의 경우는 P1이 444.82 kN, P2는 0 kN이 며, Case A의 경우는 P1이 667.23 kN, P2는 222.41 kN이다. 두 경우 모두 응력제한은 ±172.36 MPa이고, 절점의 각 성분 별 변위제약은 ±5.08 cm로 가정하였다.

Fig 2.

10-bar Planar Truss Example

JKSMI-18-1_F2.jpg

이상과 같은 조건을 이용하여 해석을 수행하였으며, 해석 결과는 Case A의 경우는 Table 2에서 보는 바와 같이 최적 중량이 2287.558 kg으로 탐색되었다. 참고문헌의 해석결과 에 대한 최적단면적에 대한 값의 분포를 살펴보기 위해서 각 각의 최적 단면적을 Fig. 3에 나타내었다. 최적단면적 값의 분포는 비교결과와 매우 유사하며, 2, 5, 6, 10번 부재는 최 솟값으로 나타났다. 해석과정에서 해의 수렴은 Fig. 4에서 보는 바와 같이 세대의 증가에 따라 일정한 값에 수렴한다. 그림에서 세대수가 100세대 이하에서 일정한 값으로 수렴하 며, 양자비트 확률 평균도 이에 상응한다. 국소해에 대한 탐 색의 변화도 양자비트의 확률변화로 알 수 있다. 이 같은 확 률변화는 종료조건을 명확하게 하며, 탐색과정에 대한 정보 의 누적된 결과로 양자비트에 기록된다.

Table 2.

Optimal design comparison for the 10-bar planar truss (Case A)

Variables Optimal cross-sectional area (mm2)
Schmit and Farshi, 1974 Schmit and Miura, 1976 Venkayya, 1971 Gellatly and Berke, 1971 Dobbs and Nelson, 1976 Rizzi, 1976 Khan et al., 1979 Lee and Geem, 2004 This paper
NEW-SUMT CON-MIN
A1 21567.699 19787.057 19722.541 19625.767 20225.766 19677.380 19825.767 19987.057 19451.574 19766.670
A2 64.516 64.516 238.064 82.580 64.516 64.516 64.516 64.516 65.806 64.516
A3 15651.582 15329.002 15464.485 15103.196 12922.555 15025.776 15438.679 15593.517 14651.584 14334.681
A4 9199.982 9412.884 9503.207 9619.336 10064.496 9954.819 9503.207 9554.820 9851.593 8507.596
A5 64.516 64.516 64.516 65.161 90.322 64.516 64.516 64.516 65.806 64.516
A6 64.516 64.516 234.838 65.161 154.838 135.484 64.516 261.935 350.967 258.981
A7 5411.602 5534.182 5514.183 5610.311 5387.086 4934.829 5510.957 4869.023 4865.152 4990.061
A8 13380.618 13593.521 13619.328 13599.973 14329.004 13535.457 13516.102 13580.618 13909.650 13609.070
A9 12703.200 13522.554 13399.973 13599.973 14232.230 14077.391 14090.294 13509.650 13838.682 14841.132
A10 64.516 64.516 206.451 120.000 64.516 64.516 64.516 64.516 64.516 64.516
Weigh (kg) 2308.330 2302.819 2316.630 2306.470 2318.762 2304.247 2302.732 2298.342 2294.214 2287.558
Fig 3.

Optimal cross-section area of 10-bar Truss (Case A)

JKSMI-18-1_F3.jpg
Fig 4.

Optimum weight & Probability of 10-bar Truss (Case A)

JKSMI-18-1_F4.jpg

Case B의 경우도 해석결과를 Table 3에 나타내었으며, 최 적중량이 2047.081 kg으로 탐색되었다. 참고문헌의 결과와 최적단면적을 비교하여 Fig. 5에 나타내었고, Case A와 마 찬가지로 각각의 최적단면적 값의 분포는 매우 유사하게 나 타났다. 해석과정에서 나타나는 해의 수렴은 Fig. 6에서 보 는 바와 같이 세대의 증가에 따라 최적중량은 일정한 값에 수렴하며, 세대의 반복수가 100세대 이하에서 수렴하며, 양 자비트의 평균 확률도 유사하다. 양자비트 확률변화를 통한 종료조건도 Case A와 마찬가지의 결과를 보였다.

Table 3.

Optimal design comparison for the 10-bar planar truss (Case B)

Variables Optimal cross-sectional area (mm2)
Schmit and Farshi, 1974 Schmit and Miura, 1976 Venkayya, 1971 Dobbs and Nelson, 1976 Rizzi, 1976 Khan et al., 1979 John et al., 1987 Lee and Geem, 2004 This paper
NEW-SUMT CON-MIN
A1 15670.936 15193.518 15193.518 16251.580 16651.580 15180.615 15948.355 15219.324 14999.970 14136.811
A2 64.516 64.516 113.548 234.193 64.516 64.516 64.516 64.516 65.806 64.516
A3 15064.486 16316.096 16258.032 16399.967 17567.707 16316.096 17122.546 16290.290 16599.967 15748.194
A4 8812.886 9264.498 9283.852 9245.143 10741.914 9270.949 8529.015 9270.949 9361.272 8860.129
A5 64.516 64.516 64.516 269.032 64.516 64.516 69.677 64.516 64.516 64.516
A6 1270.320 1270.965 1269.030 2028.383 1305.804 1270.965 3119.349 1270.965 1275.481 1471.814
A7 8174.177 7993.532 7999.984 7793.533 8245.145 7993.532 8167.726 7993.532 7877.404 8057.530
A8 8090.306 8264.500 8296.758 9425.788 9174.175 8277.403 8890.305 8258.048 8135.468 8513.115
A9 14174.165 13122.554 13167.716 13070.942 14283.842 13116.103 11896.750 13141.909 13135.458 12025.863
A10 64.516 64.516 64.516 330.967 64.516 64.516 64.516 64.516 64.516 64.516
Weigh (kg) 2128.181 2121.432 2124.675 2220.605 2295.039 2121.413 2173.849 2121.418 2117.735 2047.081
Fig 5.

Optimal cross-section area of 10-bar Truss (Case B)

JKSMI-18-1_F5.jpg
Fig 6.

Optimum weight & Probability of 10-bar Truss (Case B)

JKSMI-18-1_F6.jpg

4.2. 17부재 평면 트러스 모델

두 번째 해석대상모델인 Fig. 7의 캔틸레버 평면 트러스는 절점은 9개, 부재는 모두 17개로 구성되었고, 단위길이 L은 10부재와 마찬가지로 2.54 m이다. 부재의 재료 상수로는 밀 도 ρ가 7418.24 kg/m3, 탄성계수 E는 2.067×105 MPa이다. 예제의 하중 P는 444.82 kN이고, 응력제한은 ±334.74 MPa, 변위제약은 ±5.08 cm로 가정하였다.

Fig 7.

17-bar Planar Truss Example

JKSMI-18-1_F7.jpg

이상과 같은 조건을 이용하여 10부재 모델과 마찬가지로 해석을 수행하였으며, 해석결과는 Table 4에서 보는 바와 같 이 최적중량이 1153.253 kg으로 탐색되었다. 해의 수렴과정 도 Fig. 8에서 보는 바와 같이 세대의 증가에 따라 최적중량 은 일정한 값에 수렴한다. 세대간 누적된 확률의 변화도 10 부재 예제에서 나타난 결과와 마찬가지로 확률변화의 누적 된 결과가 잘 나타나며, 양자비트 확률 평균이 변화하는 구 간을 통해 국소 최적점에서 벗어나 전역최적값으로 탐색경 로가 이동하는 것을 확인할 수 있다.

Table 4.

Optimal design comparison for the 17-bar truss

Variables Optimal cross-sectional area (mm2)
Khot and Berke, 1984 Adeli and Kumar, 1995 Lee and Geem, 2004 This paper
A1 10277.399 10341.270 10207.076 9693.431
A2 64.516 69.032 69.677 77.054
A3 7787.081 7859.984 7739.339 6483.662
A4 64.516 70.968 64.516 64.516
A5 5204.506 5430.312 5258.054 6484.053
A6 3588.380 3687.089 3552.896 3474.503
A7 7698.694 7310.308 7631.598 7286.104
A8 64.516 67.742 64.516 64.516
A9 5125.796 4710.313 5118.699 6484.053
A10 64.516 74.193 64.516 64.516
A11 2616.124 2610.317 2640.640 2572.148
A12 64.516 65.161 64.516 64.516
A13 3649.670 3619.993 3651.606 3575.201
A14 2580.640 2610.317 2619.995 2471.451
A15 3585.799 3323.864 3649.025 3273.893
A16 64.516 69.032 64.516 75.879
A17 3599.348 3410.316 3601.283 3273.893
Weigh (kg) 1171.125 1176.808 1170.635 1153.253
Fig 8.

Optimum weight & Probability of 17-bar Truss

JKSMI-18-1_F8.jpg

5. 결 론

본 연구는 구조물의 최적화를 위해 많이 사용된 고전적인 메타휴리스틱 탐색방법 대신 양자정보의 전달과정을 모델링 한 양자기반 진화알고리즘을 적용하여 최적설계 알고리즘을 구현하였다. 최적화 대상으로는 평면트러스를 채택하였으며, 응력제약과 변위제약을 받는 최소중량설계를 모델링 하였다. 기존 연구에서 많이 채택된 10부재 및 17부재 예제의 해석 을 수행하였으며, 결론은 다음과 같다.

  1. 양자기반 진화알고리즘을 이용한 최소중량설계는 기 존의 최적설계방법의 결과와 일치하는 해를 얻을 수 있었으며, 세대수가 증가함에 따라 최적 해도 수렴하 였다.

  2. 양자비트의 확률 변화를 통해서 세대 간의 누적된 정 보가 표현되며, 이로 인해서 최적 해 탐색의 종료시점 을 쉽게 판단할 수 있었다.

  3. 전역탐색과 지역탐색간의 균형은 지역이주 연산과정 으로 유지할 수 있었으며, 전역 탐색이 가능하였다. 이 과정은 양자비트의 확률 변화에서 나타났다.

양자역학을 모델링한 진화전산에 대한 알고리즘의 개발과 적용은 차세대 전자전산정보의 모델과 알고리즘을 개발하고 확장하는데 매우 중요한 역할을 할 것으로 생각된다.

감사의 글

이 논문은 2013년도 정부 (교육과학기술부)의 재원으로 한국 연구재단의 지원을 받아 수행된 기초연구사업임 (NRF 2011-0024483).

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