2.1. Gradual Bilinear Method

케이블이 손상을 받는 경우 손상전의 케이블 장력을 반대 로 재하하여 하중변화로 케이블의 손상을 모사 (^{Mozos et al., 2011}; ^{Kim et al., 2012})하는 Negative Tension Loading 방법은 케이블의 강성변화를 반영하지 못하기 때문에 정확 한 손상응답을 평가할 수 없다. 본 연구에서 제안한 GBM은 직접적분법을 이용한 시간이력해석 도중에 부재의 강성 및 질량 변화를 특성매트릭스에 직접 대입하는 방법으로 부재 의 손상을 모사하였다. 케이블 손상에 의한 구조물의 강성변 화를 시간이력해석에서 고려할 수 있으므로 NTL에 비하여 신뢰도가 높다.

구조물의 손상전의 지배방정식은 식 (1)과 같이 표현되고 손상 이후의 방정식을 식 (2)와 같이 변형하여 직접적분법, Newmark-β법을 적용하였다. 식 (2)에 적용되는 질량 및 강 성의 특성방정식은 (3)과 같은 방법으로 산정하였다.

(1)

(2)

여기서, M,C,K 는 각각 질량, 감쇠, 강성을 나타내는 특 성행렬, x,F 는 각각 변위, 하중을 나타내는 벡터, 는 손 상이 발생하는 시각, t_δ는 손상이 완료되는데 걸리는 시간, 아래첨자 0와 1 은 각각 손상이전과 손상이후의 상태를 나타 낸다.

해석모델의 동적해석에서 케이블은 초기평형상태 장력을 고려하여 사장케이블과 동일한 동적특성을 갖도록 식 (4)와 같은 등가탄성계수 (E_eq)를 적용한 트러스요소인 2절점 6자 유도 Ernst cable요소 (^{Ernst, 1965})를 적용하였다.

여기서, E_e 는 새그가 없는 케이블의 탄성변형, A_c는 케이 블의 단면적, w 는 케이블의 선중량밀도, l_o는 케이블의 수평 투영길이, T는 케이블의 장력을 의미한다. 이외의 부재는 Hermite 3차식을 형상함수로 적용한 2절점 12자유도 Frame 요소를 적용하였다.

2.2. 수치해석

직접적분법을 적용한 시간이력해석 도중에 질량 및 강성 의 변화를 고려하는 GBM을 적용하기 위해 Fortran기반의 수치해석 프로그램을 개발하였다. 기존의 선형동적해석 유한 요소해석 코드에 질량과 강성을 업데이트하는 부분만을 추 가하여 구현하였다. 개발된 프로그램의 순서도는 Fig. 1에 나타내었다. 단위시간의 응답을 선형적으로 풀이하고 시간에 따른 질량과 강성의 변화를 고려한 동적해석을 수행하였다.

Fig 1.

Flowchart of the analysis program

3.1. 모델링 및 자유진동해석

단순모델은 Fig. 2와 같이 캔틸레버보와 케이블을 각각 10 개의 Frame요소와 1개의 Ernst Cable요소로 구성하였다. 여 기서 캔틸레버보의 길이는10m, 케이블 지점의 높이는 5m 이며, 케이블의 직경은 5mm, 보의 높이와 폭은 각각 10cm, 5cm이다. 탄성계수와 단위중량은 케이블과 캔틸레버보에 동 일하게 2.0 × 10⁸ kN/m², 7.85kg/m³을 적용하였다. 캔틸 레버의 자유단이 자중에 대한 처짐이 0이 되도록 2.04kN 의 초기장력을 도입하였다. 구조감쇠비는 0.3% 로 가정하고 Rayleigh damping을 적용하였다.

Fig 2.

Geometry of Simple Model

기본적인 정적 및 동적특성을 확인하기 위해 단순모델과 케이블을 제외한 캔틸레버 모델의 정적해석 및 자유진동해 석을 수행하였다. 두 모델의 자유진동해석 결과와 보 중앙에 P = 1kN 의 하중을 Fig. 2와 같이 재하하는 경우 발생하는 보의 고유치 변화와 처짐을 Fig. 3 및 Table 1에 정리하였다. 정 적하중에 의한 최대처짐은 단순모델이 중앙점에서 12.3mm, 캔틸레버가 자유단에서 125.0mm로 10.2배 크다.

Fig 3.

Mode shapes of simple and cantilever models

자유진동해석결과 1차 모드의 고유진동수는 단순모델과 캔틸레버에서 각각 2.94Hz와 0.81Hz로 큰 차이를 나타냈지 만 3차 이상의 모드에서는 고유진동수의 차이가 비교적 작 다. 대조되는 두 해석모델을 Gradual bilinear방법으로 해석 할 때 해석결과의 유효성을 주파수특성을 분석함으로써 쉽 게 판단할 수 있도록 두 모델의 1,2차 고유진동수가 동일한 구간에 중복되지 않도록 설정하였다.

3.2. 케이블 파단-정지상태

정지된 상태에서 급작스럽게 케이블이 파단된 경우 자중 과 케이블의 장력에 의한 구조물의 평형이 깨어지면서 구조 물은 진동을 시작한다. 파단된 케이블의 장력에 대응하는 등 가하중변화로 케이블의 파단을 모사하는 NTL과 구조물의 강성행렬을 직접 수정하여 응답을 산정하는 GBM에 의한 결 과를 비교하였다. 초기평형상태를 이루는 구조물의 케이블은 t = 2sec에서 급작스러운 파단을 일으킨다고 가정하였다. NTL에서 적용한 파단 등가장력은 85.42kN 이다.

케이블 파단을 모사하는 두 방법에 의한 보부재 중앙부의 연직변위 및 주파수영역 가속도응답을 Fig. 4에 비교하였다. 구조물의 강성변화를 고려하지 않는 NTL은 케이블이 파단 된 구조물의 고유진동수인 0.83Hz 가 아닌 단순모델의 1차 고유진동수인 2.97Hz에 대응하는 진동양상을 보이고 있다. 그럼에도 불구하고 두 방법의 최대응답은 GBM과 NTL에서 각각 1.013m, 0.977m로 의 응답차이만을 보였다. 실제 교량구조물에 비해 변위가 매우 큰 단순모델을 사용하 였으며 두 방법 모두 케이블 파단에 의한 정적처짐을 정확히 산정할 수 있으므로 설계목적으로 최대응답을 산정하는데 간단한 NTL방법을 적용할 수 있다. 그러나 구조물의 파단후 의 동적거동은 매우 상이한 경향의 결과를 나타내므로 이상 거동 알고리즘 검증을 위한 동적해석은 실제 파단후의 강성 변화를 고려한 GBM을 적용해야 한다. Fig 4

Fig 4.

Vertical displacement responses of the center of the simple beam (Fig. 2) after the loss of a cable at 2 second using GBM and NTL

3.3. 케이블 파단-상시진동상태

구조물의 규모가 크고 주로 해안가에 설치되는 장대교는 공용기간의 거의 모든 시간동안 바람이나 차량에 의해 상시 진동하고 있다. 급작스러운 케이블 파단이 진행되는 시점에 도 교량은 진동하고 있을 것으로 예상된다. GBM과 NTL방 법에 대하여 단순모델이 상시진동하고 있을 경우 파단되는 시점에 따른 최대응답을 산정하고 동적거동 특성을 분석하 였다.

상시진동을 모사하기 위한 시간이력 하중은 파단 전, 후 구조물의 3차 이하 고유진동수를 포함하고 각 모드별 진동 의 검출이 가능하도록 주파수성분별 에너지 분포를 고려하 여 Spectral representation방법을 이용하여 80초 길이로 생 성하였다. 생성된 시간이력 하중은 Fig. 2의 단순모델의 고 정지점에서 5m (L = 10m)떨어진 지점에 재하하였다. 생성 된 80초 동안의 시간이력 하중 중에서 0~16초의 값은 Fig. 5 와 같고 응답스펙트럼은 Fig. 6에 나타내었다.

Fig 5.

Generated point load on simple beam model

Fig 6.

Acceleration response spectrum of generated load

생성된 80초 길이의 시간이력하중을 구조물에 재하하여 80초 동안 동적해석을 수행하였다. 케이블의 파단은 40초에 발생하는 것으로 가정하였다. 산정된 단순구조물의 동적응답 을 Fig. 7에 나타내었다. 40초에 케이블의 파단이 발생하는 경우 동적최대응답은 GBM과 NTL에서 각각 1.028m, 0.858m 로 나타났다. 케이블의 파단에 의한 정적응답이 0.529m인 것을 고려하면 충격계수는 GBM과 NTL이 각각 1.94, 1.62 를 나타낸다. 상시진동을 고려한 응답에서 구조물의 최대응 답차이는 16.5%를 나타낸다.

Fig 7.

Free end vertical displacements of simple model by cable loss at 40.0sec

케이블의 파단에 의해 구조물에 나타나는 최대응답은 파 단이 발생하는 순간의 구조물의 속도와 변위에 따른 영향을 확인하기 위해 케이블이 파단 되는 시각을 39.00 ~ 41.00초 까지 0.01초 단위로 나누어 80초 동안의 동적해석을 GBM 과 NTL으로 각각 200회 씩 수행하여 최대응답을 산정하고 충 격계수를 Fig. 8에 정리하였다. 케이블파단에 의한 충격계수는 케이블이 파단 되는 시각에 따라 GBM의 경우 0.81~2.36의 큰 차이를 나타내었다. 정적응답 0.529m에 대한 동적최대응 답의 비의 평균값은 GBM과 NTL이 각각 1.602와 0.979이 고, 표준편차는 각각 0.345와 0.214로 나타났다. 케이블의 파단은 비상시적인 응답이므로 정적응답에 대한 동적최대응 답의 비의 비초과확률 97%를 충격계수로 보는 것이 합리적 이라고 보는 경우 GBM과 NTL의 충격계수는 각각 2.29과 1.41로 평가할 수 있다. 두 해석방법 모두 정적인 응답은 유 사한 값을 나타내지만 동적인 응답, 특히, 외력에 의해 상시 진동상태의 구조물에 케이블이 파단이 발생하는 경우 NTL 이 GBM보다 충격계수를 30% 이상 작게 산정할 수 있음을 확인하였다.

Fig 8.

Impact factor of simple model by the time of cable loss

케이블의 파단을 장력의 변화로만 모사하는 NTL방법은 상시진동을 고려하는 경우 충격계수 추정에 상당한 오차를 나타낼 수 있음을 확인하였다. 케이블의 파단에 의한 구조물 의 정확한 응답을 예측하기 위해서는 파단 후 구조물의 강성 변화를 고려한 해석방법인 GBM을 이용한 동적해석을 수행 해야 한다.

4.1. 해석대상 구조물

해석대상 구조물은 Fig. 9의 종평면도와 같이 경간구성 85+280+85=450m의 2면 사장교이다. 사장재는 하나의 주탑 에 대하여 1면당 주경간 7개, 측경간 7개 (Back stays 4개) 로 총 56개의 케이블을 사용하였으며 시점측의 주탑이 5m 높은 비대칭 형태이다. 케이블 번호는 서에서 동으로 1~28 번으로 나타내었다.

Fig 9.

Cable-stayed bridge model and cable number

해석대상교량의 모드형상 및 고유진동수는 Fig. 10에 나타 낸 것과 같이 Lateral방향의 모드형상이 1차로 나타났다. 연 직방향의 1차 모드형상은 0.554Hz, 비틀림방향의 1차 모드 형상은 2.385Hz의 고유진동수를 보였다. 해석대상교량의 정 적응답은 105.5kN의 하중이 주경간 중앙에 재하되었을 때 주 경간 중앙의 처짐은148.9mm, 시점측과 종점측의 측경간에 재하되었을 때 측경간의 최대처짐은 각각 10.2mm, 11.2mm

Fig 10.

Mode shape of analysis model

4.2. 케이블의 파단과 고유진동수 변화

케이블의 파단에 의한 손실이 해석대상 교량구조물의 정 적응답에 미치는 영향을 파악하기 위해 각각의 케이블의 파 단에 따른 주경간 거더 중앙점의 연직변위를 파단된 케이블 의 번호에 따라 Fig. 11에 나타내었다. 주경간에 배치된 가 장 긴 케이블인 L14와 R14가 파단되었을 때 주경간의 연직 변위는 각각 23.03, 22.97mm로 변위가 발생하였다. 좌·우 케이블의 파단에 따른 응답에 발생하는 0.1mm 이하의 편차는 모델링과정에서 발생하는 수치오차로 구조물의 동적응답에 미 치는 영향은 미미한 것으로 판단된다. 측경간의 Back-stay케 이블이 파단을 일으킨 경우 발생하는 주경간 거더 중앙점의 변위는 12.67mm로 나타났다.

Fig 11.

Static vertical displacement of center of main girder by each cable loss.

파단 시 특정 모드형상에 대해 가장 큰 고유진동수 변화를 나타내는 케이블과 고유진동수 변화량을 Table 2와 Fig. 12 에 나타내었다. 케이블의 파단은 연직모드에 대응하는 고유 진동수를 0.93~4.44% 변화시켰고, 이외의 횡방향이나 주탑 의 모드에 대응하는 고유진동수는 0.02~0.51% 변화시키는 것을 확인하였다. 연직방향 1, 2차 고유진동수는 케이블번호 1~4, 25~28에 해당하는 back-stay 케이블에 의한 영향이 크 고 연직방향 3, 4차 고유진동수는 주경간 케이블의 영향을 크게 받는 것으로 나타났다. 구조물의 고유치변화를 검출하 여 이상거동을 판단해야 할 경우 파단 전·후의 응답차이가 클수록 고유치변화를 정밀하게 산정할 수 있다. 해석대상 구 조물의 경우 계측지점이 1개인 경우 주경간 3/5지점, 2개인 경우 1/2지점과 1/4지점에서 응답을 계측하는 것이 이상거동 평가에 유리할 것으로 사료된다.

Fig 12.

Natural frequency variation of vertical modes with respect to cable loss.

4.3. 진동이 없는 교량의 케이블 손상응답

고유진동수의 결과로부터 비교적 파단 후 정적응답의 차 이가 크고 연직방향 고유진동수에 대하여 큰 차이를 나타내 는 15번 케이블이 파단 이후의 거동을 GBM을 이용하여 분 석하였다.

정적인 상태에서 15번 케이블이 파단 되는 경우 케이블 파 단의 지연시간에 따라서 보강거더 중앙점의 응답을 산정하 였다. 지연시간은 0.0초부터 2.0초까지 0.01초 단위로 증가 시키며 해석을 수행하였으며 대표적인 응답을 Fig. 13에 나 타내었다. 15번 케이블 파단에 따른 정적응답은 21.8mm로 케이블의 파단이 순간적으로 일어나는 경우 1.446의 동적확 대계수를 나타낸다. 200여 번의 해석결과로부터 산정한 동적 최대응답을 Fig. 14에 도시하였다. 케이블의 파단에 의한 동 적최대응답은 파단의 지연시간의 증가에 따라 일관되게 감 소하지 않으며 파단에 의해 가장 크게 관여되는 고유주기의 1/2의 지연시간 간격마다 극치를 갖는 것으로 추정된다.

Fig 13.

Vertical displacements at center span of the girder with respect to fracture delay time of cable No.15

Fig 14.

Maximum vertical response (displacement) at center span of the girder with respect to fracture delay time of cable No.15

케이블에 발생할 수 있는 손상은 전체적인 파단 외에도 Multi Strand 케이블의 경우 일부 소선만 파손될 수 있다. 일 부소선의 파단은 질량은 일정하고 케이블의 탄성계수만 저 하되는 것으로 볼 수 있다. 케이블의 손상비를 식 (3)과 같이 정의하고 손상지연시간이 0초인 경우 손상비 (D_c)에 따른 거더중앙점의 시간이력 변위응답 및 최대응답을 Fig. 15와 Fig. 16에 나타내었다. 여기서, E_s 는 손상전의 케이블의 탄 성계수, E_s′는 손상후의 케이블의 탄성계수를 나타낸다.

Fig 15.

Vertical displacements at center span of the girder with respect to damage ratio of cable No. 15

Fig 16.

Maximum vertical response (displacement) at center span of the girder with respect to damage ratio of cable No. 15

케이블의 손상비에 따른 동적최대응답을 나타낸 Fig. 16으 로부터 케이블의 손상지연시간이 0인 경우 케이블 손상에 의한 동적최대응답은 손상비에 비례하여 증가하는 것을 확 인할 수 있다. 손상비에 따른 응답은 응답패턴에 큰차이를 나타내지 않았다. 그러나 Fig. 15의 시간이력응답에서 극치 가 나타나는 시간간격이 고유치의 변화를 반영하여 손상비 가 커질수록 고유치가 작아져 응답패턴의 주기가 길어지는 것을 확인할 수 있다.

4.4. 진동상태 교량의 케이블 손상응답

케이블을 이용한 장대교량은 일반적으로 해안가에 위치하 므로 바람에 의한 상시진동에 노출된다. 케이블의 손상 또한 상시진동상태에서 발생할 것이므로 바람에 의해 진동하는 교량의 케이블 손상거동을 정지상태 교량의 손상거동과 동 일한 방법으로 분석하였다.

교량의 상시거동을 모사하기 위한 시간이력 변동풍속은 spectral representation방법을 이용하여 von Karman spectrum 을 만족하도록 공간상관성을 고려하여 생성하였다. 거더높이 의 평균풍속 20m/s, 기류방향 및 연직방향의 난류길이는 100m, 30m, 난류강도는 각각 14.2%, 11.4%, 공간상관계수 Cy, Cz 는 16과 10을 적용하였다. 기류방향과 연직방향의 변동풍속 은 목표스펙트럼을 기준으로 생성하여 적용하였으며, 목표 스펙트럼 및 생성된 변동풍속의 스펙트럼을 Fig. 17에 나타 내었다.

Fig 17.

Target spectrum & generated turbulence spectrum

진동이 없는 상태와는 다르게 상시진동하는 구조물에서 케이블의 파단시각은 최대응답에 영향을 준다. 인공적으로 생성된 풍하중을 받으며 진동하는 구조물에 급작스러운 파 단이 발생한 경우 파단시각에 따른 시간이력 응답을 Fig. 18 에 나타내었다. 변위응답의 저점에서 15번 케이블이 파단되 는 경우보다 변위응답의 변곡점에서 파단이 발생하는 경우 더 큰 최대응답을 나타낸다. 케이블의 파단시각이 100.0초부 터 300.0초까지 0.1초 단위로 변할 때 총 해석시간 600초 동 안 거더 중앙점에 발생하는 최대처짐을 Fig. 19에 정리하였 다. 최대 119.2mm에서 최소 85.3mm까지의 처짐이 발생하 였다.

Fig 18.

Vertical displacements at center span of the girder from ambient vibration with respect to fracture delay time of cable No.15

Fig 19.

Maximum vertical response (displacement) at center span of the girder from ambient vibration with respect to fracture time of cable No.15

진동상태의 교량에서 15번 케이블이 파단 되는 경우 케이 블 파단의 지연시간에 따라서 보강거더 중앙점의 응답을 산 정하였다. 지연시간은 0.0초부터 2.0초까지 0.1초 단위로 증 가시키며 해석을 수행하여 Fig. 21에 정리하였으며 대표적인 응답을 Fig. 20에 나타내었다. 외부하중에 의해 상시진동하 는 상태에서 케이블의 파단지연시간과 거더 중앙점의 최대 응답은 변위의 시간이력에서 미소한 차이를 나타내고 있지 만 케이블의 손상이 완료된 후에는 응답의 차이가 거의 나타 나지 않았다. 지연시간의 변화에 따른 거더의 최대응답은 92.1 ~ 95.0mm로 큰 차이를 나타내지 않는다.

Fig 20.

Vertical displacements at center span of the girder from ambient vibration with respect to fracture delay time of cable No.15

Fig 21.

Maximum vertical response (displacement) at center span of the girder from ambient vibration with respect to fracture delay time of cable No.15

케이블의 파단이 240초에 발생하는 경우 케이블의 손상비 에 따른 응답의 변화를 Fig. 22에 도시하였다. 부분적으로 진동형태의 변화가 있기는 하지만 손상비가 증가할수록 처 짐도 증가하는 것을 확인할 수 있다. 정적인 상태에서 케이 블의 손상이 발생하는 경우 구조물의 최대응답은 Fig. 16과 같은 비례관계를 나타내었지만 상시진동하는 경우 손상비에 따른 최대응답은 Fig. 23과 같이 정확하게 선형적인 응답을 나타내지는 않는다. 손상이 없는 경우에 거더 중앙점에 발생 하는 최대응답은 76.3mm이고 케이블이 파단된 경우 최대응 답은 119.4mm를 나타내었다. 15번 케이블의 파단에 의한 정적응답이 21.8mm인 것을 고려하면 케이블의 손상비에 대 한 정적응답의 증가율은 2.18%이고 동적최대응답의 증가율 은 4.09%로 대략 1.87배의 응답차이를 나타내었다.

Fig 22.

Vertical displacements at center span of the girder from ambient vibration with respect to damage ratio of cable No. 15

Fig 23.

Maximum vertical response (displacement) at center span of the girder from ambient vibration with respect to damage ratio of cable No. 15

Fig. 13과 같이 정적인 상태에서 파단 지연시간에 따른 최 대응답은 차이를 나타내는 경우에도 상시진동하는 상태에서 파단지연시간에 따른 최대응답의 차이는 Fig. 21과 같이 거 의 나타나지 않았다. 장경간 사장교의 단일 케이블의 파단에 대하여 단순히 안전성을 검토하기 위한 목적이라면 파단지 연시간을 고려하지 않아도 큰 차이를 나타내지 않을 것으로 판단된다.

생성된 풍속을 해석모델의 거더 모든구간에 재하하고 시 간이력 해석을 수행하였다. 동적해석 시간은 480초이며 240 초에서 순간적인 케이블의 파단을 GBM을 이용하여 모사하 였다. 해석시간 동안의 거더 중앙점의 변위를 14번 케이블 파단과, 13, 14번 케이블의 파단에 대하여 Fig. 24에 나타내 었으며, 케이블 파단에 대하여 중앙점과 1/4 지점에서 산정 된 변위의 Fourier변환 결과를 Fig. 25에 도시하였다

Fig 24.

Displacement at center span of the girder with respect to cable loss

Fig 25.

Fourier transformed displacement after the loss of cable

케이블이 파단에 의한 거더 중앙점의 연직변위응답은 케 이블의 파단개수에 따라 거더의 처짐이 증가하는 것을 확인 할 수 있다. 절단한 케이블은 #14 및 #13번 케이블로 거더의 중앙점에 위치해 있기 때문에 연직 2차모드의 변화는 매우 작게 나타났다. 비교적 응답의 차이가 크게 나타날 것으로 생각되는 1차와 3차모드를 비교하면 케이블의 2개 파단된 경우는 1차와 3차 모두 0.1Hz 이상의 큰 변화를 나타내지만, 케이블이 1개 파단된 경우는 1차와 3차에서 각각 0.001Hz, 0.036Hz의 작은 차이만을 나타내었다.