3.1 수치 해석 모델

본 연구에서 제안 기법의 검증을 위하여 사용한 수치모델 은 Fig. 1과 같은 2m 규모의 단순보 모델이다. 본 모델은 MATLAB을 이용하여 제작되었으며, Euler-Bernoulli Beam Element 20개로 이루어졌다. 보의 단면은 단순 직사각형으 로, 보 모델의 재료 및 기하특성은 Table 1과 같다. 경계조건 은 힌지-롤러이며 경계조건을 자유단에서 고정단까지 변화시 킬 수 있도록 회전 스프링을 부착하였다. 회전 스프링의 회 전강성이 0에 가까울수록 경계조건은 자유단에 가까우며, 회 전강성이 점차 증가할수록 경계조건은 점점 고정단에 가까 워진다. 이는 일반 교량에서 받침이 열화되어 그 성능이 감 소할 경우 나타날 수 있는 상태를 모사한 것이다.

Fig. 1.

Simply-supported Beam Model for Numerical Simulation

3.2 경계조건 케이스

스프링의 회전강성에 대한 경계조건의 민감도는 자유단과 고정단 사이에서 선형적인 관계를 이루지 않는다. 즉, 회전 강성이 상대적으로 작은 경우에는 조그만 변화에도 경계조 건이 민감하게 변화하며, 회전강성이 상대적으로 큰 경우에 는 경계조건의 민감도가 매우 작은 비선형성을 나타낸다. 본 연구에서는 이를 고려하여 위 Fig. 1의 모델에서 양단 회전 스프링의 강성을 변화시켜가며, 모드 특성 (고유진동수와 모 드형상)이 충분하게 변화하는 9가지의 경계조건 케이스를 Table 2와 같이 마련하였다. 양단 스프링은 동일한 회전강성 을 갖는 것으로 가정하였다.

3.3 모드해석

지점부에서의 회전강성 증가가 시스템의 어떤 변화를 주 는지 확인하기 위해서, 9가지 경계조건 케이스의 수치 모델 의 모드 특성을 비교하여 보았다. 본 모드 특성은 수치 모델 을 고유치 해석하여 얻은 양단 정해이며, 3차 모드까지만 비 교하였다. 우선 Table 3은 9가지 경계조건을 갖는 모델로부 터 얻은 고유진동수를 자유단과 고정단일 때 모델의 고유진 동수와 함께 표로 나타낸 것이다. 회전스프링의 강성이 증가 할수록 1~3차의 고유진동수가 모두 점차적으로 증가하며 고 정단의 고유진동수에 가까워짐을 알 수 있다.

Fig. 2는 양단 자유단인 초기 모델과 Case 4, Case 9의 1~3차 모드형상, 각 모드형상을 비교한 것이다. 초기 모델에 서 케이스 4와 케이스 9로 회전강성이 증가할 경우, 가속도 모드형상은 크게 차이가 없지만, 각속도 모드형상은 지점부 부근에서 큰 차이가 생긴다는 것을 모드해석을 통해서 확인 할 수 있다. 이는 병진운동을 계측하는 가속도 계측이 경계 조건의 변화에 낮은 민감도를 가지고 있으며, 대신 지점부 부근의 회전 운동을 계측하는 자이로센서가 시스템 경계조 건 판별에 효과적인 역할을 할 수 있음을 의미한다.

Fig. 2.

Mode Shapes of Numerical Models (Initial Model, Case 4 and 9)

3.4 계측 시나리오

위 9가지 경계조건을 갖는 모델에 대하여, MATLAB Simulink 를 이용하여 수치실험을 수행하였다. 제안된 데이터 융합 기 반 유한요소모델 개선 기법의 검증을 위하여 가속도 기반 계 측 시나리오 2개와 가속도와 각속도 계측 시나리오 1개를 다 음 Fig. 3과 같이 마련하였다. Fig. 3(a)는 일반적으로 통용 되는 등분포된 가속도 계측 시나리오 이며, Fig. 3(b)는 경계 조건을 좀 더 정확히 얻기 위하여 경계조건 주위에 가속도계 를 많이 설치한 계측 시나리오 이다. Fig. 3(c)는 앞서 모드 해석에서 확인하였듯이 경계조건 주위에는 자이로센서를, 보 의 중심부에는 가속도계를 설치한 계측 시나리오이다. Fig. 3(a)와 3(b)는 가속도 7채널을, Fig. 3(c))는 가속도 3채널, 각 속도 4채널 (총 7채널)을 얻는다. 모든 시나리오에 대하여 N10에 백색잡음 (White Noise)을 이용하여 가진하였다. 측정 된 가속도 및 각속도 데이터에는 RMS (Root-mean-square) 5%의 잡음을 추가하여 실제 계측 잡음을 모사하였다.

Fig. 3.

Measurement Scenarios

3.5 유한요소모델 개선

위의 3가지의 계측 시나리오에 따라 각각 9가지의 경계조 건에 대한 유한요소모델 개선을 수행하였다. 먼저 계측 데이 터를 시뮬레이션 하여 얻어낸 후 시스템 식별 방법 중의 하 나인 NExT-ERA (^{Juang and Pappa 1985}; ^{James III et al., 1993})를 사용하여 구조물의 고유진동수와 모드형상을 추정 하였다. 식별된 구조물의 고유진동수와 모드형상은 추가된 잡음의 영향으로 Table 3, Fig. 2와 매우 근사하게 추정되었 으며, 그에 따라 다시 기술하지는 않았다. 본 연구에서의 개 선변수는 대표적으로 구조물의 물리적인 특징을 나타내는 수치 모델의 탄성계수와 경계조건에 직접적인 영향을 미치 는 양단 지점부에서의 회전강성으로 지정하였다. Table 4는 개선변수 각각의 초기 값과 상·하계 (Upper and Lower Bounds)를 나타낸 것이다. 탄성계수는 보 전체의 탄성계수 하나를 대표값으로 이용하였다.

탄성계수의 초기 값, 하계 및 상계 값은 일반적으로 쓰이 고 있는 철의 탄성계수인 200GPa 부근으로 설정하였고, 양 쪽 지점부 회전강성의 상계 값은 고정단 조건에 거의 근사하 게 되는 20000 (N·m/rad)로 하였다. 참고로 본 유한요소모 델 개선에서는 목적함수에 부여되는 모든 가중치요소 (식 (1)의 w_{1, i} , w_{2, i} , w_{3, i})를 1로 동일하게 설정하였다.

3.6 유한요소모델 개선 결과

Fig. 4는 3가지 계측시나리오 각각에 대하여 목적함수가 최적화되는 과정을 정규화 (Normalize)하여 각각 나타낸 것 이다. 모든 목적함수가 최적화가 진행됨에 따라 작아져서 마 지막 단계에서는 최소화된 목적함수 값으로 충분히 수렴하 였음을 확인할 수 있으며, 그에 따라 3가지 계측 시나리오 모두 성공적으로 모델 개선이 수행되었다고 판단된다.

최종적으로 개선된 각각의 모델의 탄성계수와 양단 스프링 의 회전강성을 실제 수치모델의 값과 비교하였다. 비교는 두 값의 차이를 백분율로 나타내는 오차율 (Error Percentage)을 이용하였으며, 이는 다음 식과 같다.

Fig. 4.

Conversions of Objective Functions for 3 Measurement Scenarios

여기서, t와 a는 각각 실제 값과 모델 개선을 통해 얻은 개선변수의 값을 나타낸다. Fig. 5는 탄성계수의 오차율을 각 케이스 별로 나타낸 것이다. 가속도 기반의 계측 시나리 오 2가지와 가속도·각속도 융합 기반 계측 시나리오 모두 오차율 2% 미만으로, 매우 근사한 값을 추정하였음을 알 수 있다. 특히 가속도와 각속도를 모두 활용할 경우는 그 오차 율이 1% 미만으로 더 작게 나타났다.

Fig. 5.

Error Percentage of Updated Elastic Modulus

Fig. 6은 두 지점부의 회전강성의 오차율을 나타낸 것 이 다. 가속도 데이터만을 이용한 유한요소모델 개선은 회전강 성 값을 정확하게 추정하지 못하며, 오차율이 최대 40%에 근접하였다. 특히 한쪽 지점부로 회전강성이 몰리는 현상이 일어나고 있는데, 이는 Fig. 2에서 확인하였듯이 가속도 모 드형상은 회전강성의 변화에 대해서 민감도가 매우 작기 때 문으로 보인다. 다시 말해서, 기존의 가속도기반 유한요소모 델 개선은 구조물의 물리적인 특성을 분석하기에는 적합하 지만 경계조건을 판단하기에는 한계가 있다는 것을 확인할 수 있다. 반면에 본 연구에서 제안한 가속도 데이터에 각속 도 데이터를 융합하여 유한요소모델 개선을 한 경우에는 회 전강성 오차율 또한 약 6% 미만으로 매우 낮게 나타나고 있 다. 특히 회전강성이 상대적으로 클 경우 회전강성의 변화에 대하여 경계조건의 민감도가 낮음을 감안할 때, 회전강성이 가장 큰 Case 9에서의 6%에 근접한 오차율은 허용할만한 것이다. Case 9를 제외한 나머지 8가지 케이스의 오차율은 최대 3%로, 제안방법이 구조물의 물리적 특성과 경계조건을 정확하게 판별하는데 매우 유용함을 알 수 있다.

Fig. 6.

Error Percentage of Updated Rotational Stiffness of Supports