2.1 힐버트-황 변환

HHT의 핵심기술은 EMD로 주기, 정상인 신호는 물론 자 연현상에서 얻을 수 있는 일반적인 비주기, 비정상 신호를 여러 개의 단일신호인 내부 모드 함수로 분리하는 기능을 수 행한다. IMF는 각 주기에서 0을 교차 (zero-crossing)하고, 하나의 모드에 관해 다른 복잡한 파형을 포함하지 않는 신호 로, HT에 부적합한 시계열 데이터에서 적합한 형태 (Single Oscillation 형태)의 IMF들과 잔차 (residual)로 분리하여 시 간과 주파수영역에서 관찰할 수 있도록 변환하는 기법이다.

EMD를 수행하는 방법은 다음과 같다. 신호 s(t)의 최대값 과 최소값을 각각 연결하여 포락선 (envelope curve)를 생성 하여, 최대경계선과 최소경계선을 만든다. 최대경계선과 최 소경계선의 평균선인 m을 구하고, 식 (1)과 같이 s와 m의 차로 IMF인 C1k를 구한다. 여기서 1은 첫 번째 IMF를 의미 하고, k는 IMF의 조건을 만족하기 위한 연산의 반복횟수 (shifting)이다.

C가 IMF의 조건을 만족할 때까지 새로이 C의 포락선을 생성하여 m을 빼는 것을 반복한다. 이때, 무분별한 반복연산 과정은 신호의 특성까지 없애버릴 수 있으므로 식 (2)와 같 이 표준 편차 (Standard Deviation, SD)에 제한을 둔다. 일반 적으로 이 표준편차의 제한은 0.2~0.3의 값을 가진다.

첫번째 IMF인 C1k가 구해지면 원 신호 s(t)에서 분리해 내고, 다시 식 (1)과 (2)를 반복하여 나머지 IMF를 구한다. 이때, 원 신호 s(t)는 비정상-비선형 신호이므로 IMF의 조건 을 만족하지 못하는 신호가 남게 되며 이를 잔차 (residue) 신호라고 하며 모든 EMD수행을 종료한다. 이렇게 시계열 데이터에서 추출한 각 IMF들과 잔차의 합성을 통해 다시 원 본데이터로 합성이 가능하다. 각 IMF는 고주파에서 저주파 형태로 추출되며 경험적 방법이기 때문에 신호에 따라 분해 되는 IMF의 수량도 다르다. Fig. 2에서는 EMD 수행 결과의 예제를 보여주고 있다.

Fig. 2.

EMD result

2.2 변량 분석

EMD기법은 이름 그대로 모드를 분리하는 기법이므로 원 본 신호가 복잡할수록 더 많은 IMF로 분해될 가능성이 높으 며, 수학적 이론이 아닌 경험적 방법이기 때문에 몇 개의 IMF 가 나올지 EMD를 수행하기 전까지 알 수 없으며, 표준 편 차에 설정에 의해서도 많은 영향을 받는다. 따라서 다수의 EMD 중 원본 신호의 변화를 대변하는 즉, 각 모드들 중 이 상 거동 정보를 가지고 있을 IMF를 선정해야 한다.

변량분석 (Analysis of Variance)은 특성값의 변동을 나타 내는 제곱합을 요인별 제곱합과 오차에 의한 제곱합으로 분 해하고 이들의 비를 통계량으로 하여 요인의 유의성을 검증 하는 통계적 기법으로 (^{Kim and Jun, 1997}) 식 (3)과 같이 정리할 수 있다.

여기서 SS는 Sum of Square값을 의미하며 전체 제곱합은 집단간 제곱합과 집단내 제곱합의 합으로 구성된다.

하나의 IMF는 하나의 집단이므로 각각의 IMF들이 전체 신호에 미치는 영향력을 통계적으로 평가할 수 있다. 각각의 IMF들의 변량 특성 비교를 통해 이상거동 신호가 포함된 IMF를 구분할 수 있으며, 반대로 이상거동이 없는 상태를 판단할 수 있다.

2.3 경계 탐색

이상거동 시점의 순간가속도는 급변하므로 경계 (Edge)를 형성하게 되므로 이러한 경계가 형성되는 시점이 이상거동 시점이라 할 수 있다. 본 연구에서는 1986년 John Canny가 발표한 “Edge Detection” 방법을 이용하여 그 시점을 추론 하려 한다 (^{Canny, 1986}).

일반적으로 “캐니 에지 (Canny Edge)”라고 부르는 이 방 법의 기본적인 원리는 다음과 같다. ① 가우시안 스무딩 필터링 ② 신호의 기울기 계산 ③ 기울기의 강도를 계산 ④ 히스테리시스 수행 잡음 제거를 위해 신호를 먼저 완만하게 근사시킨다. 그런 다음에 높은 공간 변화를 갖는 영역들을 분명히 하기위해 기 울기를 찾는다. 이어서 이러한 영역들을 추적하여 최대가 아 닌 시점을 삭제한다. 히스테리시스에 의해 기울기 배열은 계 속 축소된다. 히스테리시스는 삭제되지 않은 나머지 시점들 의 추적에 사용된다.

히스테리시스는 Fig. 3과 같이 어떤 A의 변화에 따라 다른 B가 변화하는 경우, A를 변화시키는 경로에 따라 같은 A값 에 대한 B값이 달라지는 현상이다.

Fig. 3.

Hysteresis

히스테리시스는 두 가지 임계를 사용하는데 크기가 첫 번 째 임계보다 작다면 에지가 아닌 것으로 0으로 설정된다. 만 일, 크기가 높은 임계보다 크다면 에지로 간주된다. 크기가 2 가지 임계 사이에 있으면 이 화소로부터 두 번째 임계보다 큰 기울기를 갖는 하나의 시점까지 경로가 존재하지 않으면 0으로 놓는다.

본 연구에서는 노스캐롤라이나대학교의 CISMM연구실에 서 공개한 “Edge Detector 1D” 소스를 이용하였다 (^{CISMM, 2007}).

3.1 실험설계

구조물의 이상 거동을 재현하기 위하여 Fig. 4와 같이 사 장교 형태의 교량 모형을 제작하고 진동대를 이용하여 강제 진동 시험을 수행하였다.

Fig. 4.

A cable-stayed bridge type model

교량의 중심을 기준으로 좌우로 각각 2mm씩 도합 4mm의 범위를 3Hz로 약 2분간 가진하였다. 구조물의 이상거동 (손 상)을 모사하기 위하여 강제 가진이 진행되는 도중 60초 부 근에서 주탑과 주경간 중앙에 연결된 케이블 12개 중 1개를 완전히 잘라 100%의 케이블 손상을 발생하였다.

가속도 응답의 측정은 측경간의 중앙부 하단에 ±2G 센서 를 지면과 수직방향으로 부착하고 200Hz로 계측하였으며 그 결과는 Fig. 5와 같으며 육안으로는 손상이 발생한 시점 을 특정하기 어렵다.

Fig. 5.

Response signal (Vibration)

3.2 이동시점 추정 결과 분석

계측한 가속도 응답 신호를 EMD기법으로 Fig. 5와 같이 IMF들로 분리하였다. 상단부터 우측의 순서로 IMF1, 2, 3, …, 10이며, 11~25번은 지면상 생략하였다. 각 IMF는 고주 파 신호부터 저주파 신호의 순서로 분리되었다.Fig .6

Fig. 6.

IMFs (No.1~10)

분리된 각 IMF의 변량분석을 수행하여 Fig. 7과 같은 각 IMF별 변략을 도식화 하였으며 IMF6, 8, 7, 9의 순서로 다 른 IMF와 변화량의 차이를 보여주고 있다. 본 실험에서는 변화량의 차이가 가장 큰 IMF6을 대표 IMF로 선정하였다.

Fig. 7.

Results of analysis of variance

선택된 IMF6을 HT한 결과는 Fig. 8과 같으며 Fig. 5에 비 해 케이블 절단 시점을 명확하게 구분할 수 있다.

Fig. 8.

Representative (IMF6)

경계 탐색기법으로 IMF6의 이동거동 시점 탐색결과, Fig. 8과 같이 총 59개의 시점이 검출되었으며, 이상 거동시점을 포함하고 있는 것을 확인하였다. 이들 중 유효하지 이상거동 시점인 9개의 지점을 제외하면, 약 84%의 정확도를 확인할 수 있다.

5초 부근의 첫 이상거동 시점은 진동대가 가진을 시작하는 시점이며, 60초 부근의 시점은 외력에 의해 교량의 케이블이 절단된 시점이고, 135초 부근의 시점은 진동대의 가진이 끝 나는 시점으로 확인하였다.

이상 거동 시점인 60초를 기준으로 Fig. 9와 같이 원본 신 호 (A)와 이상거동 전 (B)과 후 (C) 신호의 주파수 성분을 비교하였다. 단일 거동 하에 측정된 신호이기 때문에 전체적 인 공진주파수를 얻을 수는 없지만 A에서는 2.2, 4.3, 6.5, 8.6, 10.8, B에서는 2.6, 5.2, 7.8, 10.4, C에서는 3.7, 7.4, 11.1의 성분 (Hz)이 두드러져 A와 B, A와 C의 경우는 유사 점을 찾을 수 있었지만 B와 C를 비교할 때, 전혀 다른 주파 수 양상을 보이는 것을 확인할 수 있다.

Fig. 9.

Estimated abnormal behaviors

본 논문에서 사용한 실험데이터는 200Hz의 샘플링레이트 로 기록되고, 가진시 발생하는 고주파 잡음이 발생하여 짧은 시간의 데이터지만 수행시간은 약 507.02초로 상당한 시간이 소요되었다. 하지만 데이터를 반으로 잘라 연산할 경우 총수 행시간이 383.61초로 줄어들었으며, 4등분한 경우는 247.97 초로 각각 76%, 49% 수준으로 확인되었다.Fig .10

Fig. 10.

Comparison between before and after abnormal behavior point in freuency domain (A) Original (B) Before (C) After

이는 데이터 수량에 따라 최대경계선과 최소경계선을 생 성할 때 수행하는 Spline 연산량이 많아져 발생하였고, 하나 의 센서를 시간에 흐름에 따라 지속적으로 발생하는 대량의 데이터를 감시하기 위해서는 신호를 적절한 크기로 분할하 여 연산을 수행해야 한다. HHT의 대표적인 단점인 spline 연산 오류 (시작점과 끝점 오류)를 적절히 대처해야 한다. EMD 수행시 결정하는 포락선을 그릴 때 처음과 마지막의 값이 없기 때문에 자칫 발산하는 경우가 있고 잘못된 주파수 값으로 이어질 수 있으므로 “Mirror Extending and Circular Spline Function”의 사용을 권장한다 (^{Zhao and Huang, 2001}).